Применение графов и автоматов к расчету колебаний дискретно-континуальных балок Текст научной статьи по специальности «Физика»

624.042.8

А. С. РАСПОПОВ (ДИИТ)

ПРИМЕНЕНИЕ ГРАФОВ И АВТОМАТОВ К РАСЧЕТУ КОЛЕБАНИЙ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНЫХ БАЛОК

Складено тополопчш моделi для поздовжшх i крутильних коливань стержневих конструкцiй Í3 рiзними зосередженими включениями в розподiлену масу, жорстшсть пружного середовища та жорстшсть стержня. Показана висока ефективнiсть застосування теорiй графiв i автоматiв у розрахунках вiльних коливань дис-кретно-континуальних балок.

Составлены топологические модели для продольных и крутильных колебаний стержневых конструкций с различными сосредоточенными включениями в распределенную массу, жесткость упругой среды и жесткость стержня. Показана высокая эффективность применения теорий графов и автоматов в расчетах свободных колебаний дискретно-континуальных балок.

The topological models for longitudinal and torsional oscillations of rod structures with various concentrated inclusions in distributed mass, stiffness of elastic medium and rod stiffness are done. The high efficiency of application of theory of graphs and automations into calculations of free oscillations of discrete-continual beams is shown.

Конструкции, имеющие сосредоточенные включения в распределенные параметры, относятся к смешанным (комбинированным) дискретно-континуальным системам, математическое описание которых является достаточно сложным, особенно при возрастании числа учитываемых элементов и связей. Методы точного динамического расчета таких систем должны сочетать возможности применения как дискретной, так и непрерывной моделей. Упрощение вычислений за счет изменения расчетных схем с помощью предельного перехода от одной модели к другой приводит к приближенному решению и необходимости двусторонней оценки точности получаемых результатов. В данной работе используются графовые и автоматные модели для точного решения такого рода задач. На примере стержней и одномерных стержневых систем прослеживается последовательность стандартных действий и простота логики алгоритма, которые в последующем используются в динамических расчетах более сложных двух- и трехмерных стержневых систем.

Будем различать сосредоточенные включения двух типов [1, 2]: I тип соответствует случаю, когда в распределенную массу стержня включены сосредоточенные массы с жесткими или упругими связями или когда в жесткость упругой среды (основания), в которой находится стержень или одномерная стержневая система, включены упругие или жесткие опоры и защемления, и II тип, когда в жесткость стержня (при изгибе, растяжении-сжатии, кручении) включены точечные упругие элементы, а также

идеальные или упругие шарниры I и II рода. В последнем случае стержни, содержащие точечные упругие элементы, называются стержнями с сингулярной податливостью [3].

Рассмотрим сначала продольные колебания одномерной балочной конструкции с сосредоточенными включениями в погонную массу стержня точечных масс тк, в жесткость упругой среды дискретных упругих опор жесткостью ск и в продольную жесткость балки упругих связей жесткостью с' (рис. 1). Интенсивность массы , продольная жесткость ЕЕк

приняты постоянными по длине к-го участка и в общем случае различными для каждого из участков.

В соответствии с типами сосредоточенных включений будем рассматривать два вида дополнительных связей: внешние (рис. 1, а) и внутренние (рис. 1, б).

Дополнительные связи между кинематическими и силовыми (статическими) параметрами

П p-1 и Z1, z2' — ' Zp-1' обуслов-

ленные наличием сосредоточенных включений, накладывают определенные ограничения на состояния зависимых параметров в сечениях балки. Рассечение этих связей, как и любых других, создает для граничных параметров по две дополнительные вершины графа О , каждая из которых может принимать либо фиксированное значение 0, либо произвольное 1. Таким образом, к-тая дополнительная связь определяет состояние к-го узла ук, в котором стыкуются к и (к + 1) зависимые параметры. Следуя

© Распопов А. С., 2009

работе [4], связь между пк и ук выражается логическим отношением отрицания

Пк = Ук . (1)

Зависимость (1) позволяет сформулировать следующие две теоремы для внешних дополнительных связей.

Теорема 1. Если состояние узла ук является

произвольным 1 , то кинематические зависимые параметры, входящих в узел стержней, связаны

посредством логической операции отрицания (инверсии) или логической операции равнозначности (эквиваленции) - если состояние узла ук является фиксированным 0.

Теорема 2. Если состояние узла ук является

фиксированным 0, то силовые зависимые параметры, входящих в узел стержней, связаны посредством логической операции отрицания или логической операции равнозначности - если состояние узла ук является произвольным 1.

Рис. 1. Сосредоточенные включения и топологическая модель континуальной балки

Доказательство. Допустим, что жесткость

• да

П?)

упругой опоры ск ^да (рис. 1, а), тогда для кинематических параметров состояние примет значение 1, а состояние узла ук по соотношению (1) будет фиксированным 0. При таком состоянии Ук , очевидно, кинематические

зависимые параметры входящих в узел стержней, также будут фиксированными

Л к)

х(к) _ 1к+1

= 0. Для силовых параметров состояние пкс) является фиксированным, состояние Ук = 1 и силовые зависимые параметры бу-

(с) (с) Л

дут также произвольными хк ~ хк = 1.

Предположим, что ск ^ 0. В этом случае ц(к) равняется 0 и на узел ук не наложено никаких кинематических ограничений. Поэтому при Ук =1 будет выполняться соотношение [4]

для кинематических параметров Соответственно, при состоянии ПС = 1 и

х( к) = х (к) 1к _ к+1

,(с) =

Ук = 0 отсутствуют ограничения на силовые

параметры и хкс) = х^ . Теоремы 1, 2 доказаны.

Топологические модели к-го узла с дополнительной внешней связью, построенные в соответствии с теоремами 1, 2, приведены на рис. 2. Здесь же показаны два варианта представления состояний узла ук.

На рис. 2, а видно, что подача входного символа 1 на кинематические узловые параметры и символа 0 - на силовые заставляет пару состояний хкг) и хк+х перейти в одно и то же состояние с одинаковыми реакциями 0/0 или 1/1. И, наоборот, соответствующие входные символы 0 и 1 приводят к различным их реакциям 0/1 или 1/0.

Совершенно иначе обстоит дело с дополнительными внутренними связями, имеющими место для стержней с сингулярной податливостью. Теоремы для кинематических и силовых параметров запишем в символьной форме.

Рис. 2. Топологические модели к-го узла с дополнительной внешней связью

Теорема 3. Если ) = 0, Ук =1, то кинема- ний на узел ук, поэтому хкк) = х^. Соответственно, при = 0, Ук = 1 отсутствуют ограничения на силовые параметры и х^) = х^ .

Если с' —^ 0, ^к) = 0, У к = 1, то, очевидно,

тические зависимые параметры х

(к)

х(к) =1 и Хк+1 = 1 и

при = 1, Ук = 0:

х(к) = х (к) ' к ~ к+1 •

Теорема 4. Если ^кс) = 1, У к = 0, то силовые

х(с) = к+1

= 0 и при

(с)

зависимые параметры х

Скс) = 0, Ук = 1 ^ хкс) = хк+1.

Доказательство проведем по аналогии с теоремами 1, 2. При с'—да, С^^ = 1, У к = 0 следует отсутствие кинематических ограниче-

Дк)

х(к) _ к+1

= 1 и, когда ^ = 1, У к = 0, будет

выполняться соотношение х

(с)

х(с) = 0 хк+1 - и •

В виде графов теоремы 3, 4 могут быть представлены следующим образом (рис. 3).

Рис. 3. Топологические модели к-го узла с дополнительной внутренней связью

Как следствие, из теорем 1 - 4 несложно по- Ухк и 2хк с учетом различных упругих связей: лучить выражения ассоциированных матриц

(2)

или в сокращенной форме с учетом принятых ранее обозначений [2]

^к = М

-Скм 01); ^хк = М

1

М(2). (4)

1 ск =

1 ск 0 1

1ск

1

1/ ск

(5)

Очевидно, что при ск ^ 0, с'к^-да приходим к схеме в виде сплошной балки, а при ЕЕк ^ да получим дискретную модель из абсо-

Матрицы упругой связи 1ск и Гск получим из матриц Ухк и Ххк если принять ¡к ^ 0:

лютно твердых тел массой Шк. упругими связями, для которой

соединенных

^хк =

2

; %хк =

- Шк

1 --

(7)

Т.к. рассматриваемое сечение находится слева от упругой связи, то матрицы Ухк, %хк

к-го участка балки с непрерывно-дискретными параметрами можно также представить в следующем виде

^хк = !сМх; %хк = , (6)

где Мх - ассоциированная матрица для продольных колебаний обычного участка балки, не имеющего сосредоточенных включений.

Одинаковая структура дифференциальных уравнений, описывающих продольные и крутильные колебания, позволяет полученные результаты распространить на задачи о крутильных колебаниях.

Ассоциированные матрицы, учитывающие сосредоточенные включения I, II типов с дополнительными внешними и внутренними упругими связями жесткостью дк и дк, имеют вид:

(8)

Можно отметить некоторую закономерность образования таких матриц, которая следует из сравнения с ассоциированной матрицей обычного участка балки. Например, для участка балки с внешней упругой связью матрица У^

может быть получена из исходной матрицы Ыу прибавлением к строке {10}, соответствующей участку без связи (дк ^ 0), строки {01}, соответствующей участку с абсолютно жесткой связью (дк ^да), умноженной на жесткость упругой связи дк . И, наоборот, матрица %ук для участка балки с внутренней упругой связью можно получить из матрицы Ыу при-

(9)

бавлением к строке {01}, соответствующей участку с абсолютно жесткой связью (дк ^да), строки {10} , соответствующей участку без связи (дк ^ 0), умноженной на величину обратную жесткости упругой связи дк .

В матричной форме можно записать

V = ЫФ+дкЫ0?; V = ЫФ+-1-М^ (10)

дк

или через матрицы упругой связи

¥ук = 1 дк Ы у '

= ^дк Ыу ,

(11)

где

2

jqk -

1 qk 0 1

j' -

qk

1

1qk

(12)

Если в местах расположения упругих опор (рис. 1, а) имеются сосредоточенные массы тк (к = 1, 2, ..., р -1) или диски с моментом инерции массы Jm (сосредоточенные включения I типа), то вместо ск и ^ в матрицах (2), (8) необходимо подставить выражения ск - ткю2 и дк - Jтю2. Например, для балки,

один конец которой заделан, другой свободен и нагружен сосредоточенной массой т, уравнения частот определяются непосредственно элементами (10/01) матрицы Ухк (2) для продольных колебаний и матрицы У^ (8) для крутильных, которые после несложных преобразований приводятся к известному виду [5]

Ях х = т'; (13)

Ч 18\= . (14)

Выражения в правой части т' = ц/ / т, 1' = J I / Jm представляют, соответственно, отношение массы всей балки к массе, сосредото-

ченной на ее конце, и отношение момента инерции всей балки к моменту инерции сосредоточенной массы.

Рассмотрим трехпролетную регулярную балку с двумя одинаковыми включениями I и II типов (рис. 1, а, б) с закрепленным левым концом (код 01) и свободным правым (код 10). Уравнения частот согласно [2, 4] примут вид:

Vtó -0; v;zj; -0.

(15)

Характеристики каждого стержня примем одинаковыми ах1 = Ях2 = Ях3 = Ях; с1 = с2 = ск; ах = а2 =а3 =а; с1 = с2 = ск . Т.к. сечение 1 находится слева от упругой связи, то векторы V, V соответствуют строке матрицы Мх [6] обычного участка балки с кодом граничных условий 01

V - V1-

1

аА x

-sin Аx cos Аx

(16)

Третий участок балки уже содержит упругую связь, поэтому векторы У3 и V' будут содержать элементы столбцов матриц Ухк (2) и ^хк (3) с кодом 10:

V -

-аАx sin Аx + c, cos Аx

-v я /с -v

cos А x

V -

-аА x sin А x

л аАx . cos Ах--- sin А,

(17)

После подстановки в (15) и преобразований получим характеристические уравнения:

- для включений I типа

(

cos ЗА,

аА,

sin3А,

аА

-sin Аx cos Аx

- 0;

- для включений II типа

cos3Аx --

аА,

sin ЗАx --

аА

-sin Аx cosАx

- 0.

(18)

(19)

Используя предельные переходы, несложно получить частные случаи этой задачи. Так, при ck ^ 0, c'k ^<х> уравнения (18), (19) будут

одинаковыми и равны cos ЗАx - 0 как для однородной балки длиной 31, . Если c, - 0, получим уравнения частот cos Аx - 0; sin Аx - 0 отдельных участков балки с кодами граничных условий 01/10 и 10/10. Переход к дискретной системе с двумя степенями свободы осуществляется при EF, ^ да, что приводит к следую-

щему уравнению

где Wk =-

у2 -Зу +1 -0:

m - m2- mk ■

(20)

Уравнения (19), (20) в точности совпадают с решениями, приведенными в работе [1].

Условия периодичности в балочных конструкциях позволяют упростить значительную часть расчетов и получить несложные алгоритмы и программы для ЭВМ. Так, при возведении

2

c

в п-ю степень слагаемых (4) получим:

008 пХ 1

ыПк =

аХ

хк

П Х

-аХхк 81П пХхк

хк

008 П Х

хк

(м01))

хк

= с.

; (21)

( ■ \ V-1

81П Х хк

V аХхк )

м

(1). 01 '

Г Ы<02)

V с'

= (-аХхк 81П Ххк )) Ы1(02).

(ск )

(22)

Далее, используя свойства биноминальных коэффициентов, несложно получить выражения

т,тП гуП

для матриц Ухк и %хк :

УПк = t СШЫ"п-ШсШ ((0?) ;п = 1,2,...,р-2; (23)

ш=0

г* = 1СШЫ

ш=0

п-ш хк

( Ы (2) V с'к )

(24)

СШ

п!

•; ш = 0, 1, 2, ..., п.

ш!(п - ш)!'

Уравнения частот собственных колебаний для других граничных условий имеют отличия только в матрицах концевых участков V и Ур.

Полученные результаты несложно распространить также на задачи о крутильных колебаниях балок с сосредоточенными включениями.

Так, для регулярных балок, имеющих сосредоточенные включения I и II типов, произведения ассоциированных матриц промежуточных участков можно представить в виде

Уфк = ^ еШЫф-ШдкШ ((1) ;п = 1,2,.,Р-1; (25)

ш=0

п

7п = у СШЫГ[

ш=0

¡-п-ш 1ф-

м(2

дк

;ш = 0,1,.,п. (26)

Графики-номограммы собственных значений Хук, особенности определения спектра

частот будут аналогичными продольным колебаниям регулярных балок с сосредоточенными включениями I, II типов [2].

Решения (2), (3) и (23) - (26) дают возможность в простой форме получить уравнения

частот для продольных и крутильных колебаний регулярной балки с сосредоточенными включениями.

Таким образом, полученные зависимости позволяют достаточно эффективно составлять топологические модели стержневой системы с различными сосредоточенными включениями в распределенную массу и жесткости упругой среды и стержня. Показано, что кинематические и силовые зависимые параметры, входящих в узел стержней, зависят от состояния этого узла и связаны посредством логической операции отрицания (инверсии) или логической операции равнозначности (эквиваленции). Как следствие полученных теорем, для каждого вида колебаний определены выражения ассоциированных матриц с учетом различных упругих связей. Очевидные преимущества этого подхода проявляются при динамическом анализе более сложных пространственных стержневых систем.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лазарян, В. А. Обобщенные функции в задачах механики [Текст] / В. А. Лазарян, С. И. Кона-шенко. - К.: Наук. думка, 1974. - 192 с.

2. Распопов, А. С. Колебания регулярных балочных конструкций с непрерывно-дискретными параметрами [Текст] / А. С. Распопов, О. О. Рубан, С. А. Чернышенко // Техн. мех. - 2008. -№ 1. - С. 131-139.

3. Григорьев, Е. Т. Продольные совместные колебания стержня и систем масс [Текст] / Е. Т. Григорьев, Н. Б. Тульчинская. - К.: Наук. думка, 1991. - 156 с.

4. Распопов, А. С. Структура частотных уравнений стержневых систем с распределенными параметрами [Текст] // В1сник Дшпропетр. нац. ун-ту залiзн. трансп. 1м. акад. В. Лазаряна. - 2009. -Вип. 28. - Д.: Вид-во ДНУЗТ, 2009. -С. 100-105.

5. Пановко, Я. Г. Основы прикладной теории колебаний и удара [Текст] / Я. Г. Пановко. - Л.: Машиностроение, 1976. - 320 с.

6. Распопов, А. С. Применение конечных автоматов к расчету пространственных колебаний рамных мостов / А. С. Распопов // Баштов1 спору-ди: матер1али, конструкцп, технологи. Зб. наук. пр. // В1сник Донбасько! нац. акад. буд1вн. та архггект. - 2007. - Вип. 6 (68). - С. 73-79.

Поступила в редколлегию 01.09.2009.

Принята к печати 15.09.2009.