Устойчивость и колебания составных стержней с упругими шарнирами Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вісник ПДАБА

4. Andrianov, I. V., Awrejcewicz, J., Diskovsky, A. A. Homogenization of quasiperiodic structures. Trans. ASME J. Vibr. Acoustics, 128 (4), 2006. - Р. 532 - 534.

5. Bakhvalov N., Panasenko G. Homogenization: Averaging Processes in Periodic Media. Mathematical Problems in Mechanics of Composite Materials, Kluwer, Dordrecht, 1989. - 352 p.

УДК 534.1

УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ С УПРУГИМИ ШАРНИРАМИ

А. А. Брынза, к. т. н., доц.

Ключевые слова: упругие шарниры, обобщенные функции, свойство попарного сближения собственных частот при уменьшении жесткости упругого шарнира.

В работе рассматривается устойчивость и колебания составных стержней с упругими шарнирами. Подобные системы встречаются в машиностроении и строительстве, и их расчет является актуальной задачей. Для расчета составных стержней с упругими шарнирами применяется численно-аналитический метод, основанный на применении обобщенных функций.

1. Рассмотрим устойчивость составного стержня, состоящего из отдельных стержней одинаковой жесткости, соединенных между собой упругими шарнирами (рис. 1). Упругую постоянную этой связи обозначим kM . Ее можно определить как величину момента, который необходимо приложить к узлу, чтобы взаимный поворот концов примыкающих к нему стержней был равен 1.

Рис. 1. Упругий шарнир с жесткостью kM

Пусть такие шарниры имеются в сечениях х = Lt(i = 1,...,n) составного стержня.

Заменим дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня системой уравнений

EI(x)v' = EI0z, z = -, (1)

EI0

где EI(х) - изгибная жесткость балки, EI0 - жесткость при х Ф Lt, Mх(х) - изгибающий момент.

Перемещение у(х) в общем случае может быть представлено в виде [1]:

у(х) = v (х) +^Аг(х - Ц)о0(х - Ц) , (2)

i=1

где ~(х) - некоторая непрерывная в точках х = Li(i = 1,2,...,n) функция, имеющая

непрерывную первую производную по х в этих точках; Av (Lt) = v (Ц + 0) - v (Ц - 0) -

взаимный угол поворота сечений справа и слева от i - го шарнира, а

■ V Т , / т , А^'(х - Li) при х > Li „ „

Av (х - Lt )а0( х - Li) = < - линейный сплайн.

[ 0 при х < Lt

Дифференцируя соотношение (1.2) дважды по х, получаем

v '' = v '' + ZAv (Ц)а 1( х - Li),

i=i

где <71(х - Lt) - импульсивная функция первого рода или 5-функция Дирака.

Подставляя это значение в равенство (1.1), находим:

32

№ 5 травень 2011

EIn

Av (Ц )

;+Z ' ot(x - Li).

(3)

EI(x) z(x) i=i z(x)

После некоторых преобразований уравнения (3), выполненных с использованием свойств обобщенных функцій [1; 2], получаем:

-i-i

n EI

EI(x) = EI0 1 + £—— a1(x - xi) . (4)

tk,

Mi

Таким образом, жесткость EI(x) равна EI0 всюду, кроме конечного числа точек x = Ljt в которых она имеет сосредоточенные включения, определяемые выражением (4).

Дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня с упругими шарнирами в сечениях x = Li(i = 1,2,...,n) имеет следующий вид

v

IV

+

V '(x)

n EI

Z-r° z(Li)a3(x - Li),

i=1 kMi

(5)

или

vIV + k2v''(x) = XAv'(Li )a3(x - Ц )

2 F

де k =-----, <r3(x - Lt) - импульсивная функция третьего порядка.

EI0

Таким образом, задача по расчету на устойчивость составного стержня с упругими шарнирами сводится к решению дифференциального уравнения четвертого порядка с импульсивными функциями в правой части (5). Решение этого уравнения, найденное с помощью преобразования Лапласа [3], имеет следующий вид:

Мп ,, , , Q0 / sinkx ( | n л ,/т (sink(x-Lt)

k i=1

v(x) = v0 +90x -^-°j(1 - coskx) -—0-(x -^Z.) +YJAv'(Ll)-

El0k

EI0k2

k

-o0(x - Lt) , (6)

где v0, 60, M0, Q0 - начальные параметры, а Av '(Li) - промежуточные параметры, зависящие только от начальных параметров и некоторых функций влияния. Так Av'(L1) выражается только через начальные параметры

Av

'(h) = -Mx(L^ = EI°v"x(L1) = —(-M0 coskLі - QsinkL1)

kM1 kM1

k

k

Рассмотрим защемленный по краям стержень с тремя упругими шарнирами, жесткости которых kMi могут изменяться от 0 до бесконечности, в сечениях x = L1,L2,L3. Используя

краевые условия на правом конце стержня, составляем характеристическое уравнение для нахождения критических параметров. Для нахождения решения составляем Ma^t^AD-программу [4].

Вначале рассмотрим случай, когда крайние шарниры идеальные, т.е. их жесткости бесконечно малы (kM1 = kM3 = 0,00001), а средний упругий с конечной жесткостью kM3 = 0,01. При этом жесткость составного стержня на несколько порядков больше жесткости упругого шарнира. В этом случае в первом приближении можно считать стержень абсолютно жестким и такая конструкция будет системой с одной степенью свободы (рис. 2). При исходных данных (в кН, м): Lmax = 4, EI = 100, kM1 = 0,00001, kM2 = 0,01, kM3 = 0,00001, минимальные

критические параметры имеют следующие значения: vk1 = 0,141, vk2 = 1,166 , vk3 = 1,571, vk4 = 3,142.

Рис. 2. Составной стержень с тремя шарнирами. Крайние шарниры идеальные, а средний упругий с жесткостью kM = 0,01; M - изгибающий момент, S - вертикальное перемещение

упругого узла, 6 - угол поворота

33

Вісник ПДАБА

Минимальный корень для этого случая можно найти рассматривая этот составной стержень как систему с одной степенью свободы (рис. 2). Используя статический метод [5], составим уравнение моментов относительно центрального шарнира, сил, лежащих по одну сторону от этого узла. Реактивный момент в узле зависит от изменения угла между звеньями и жесткости упругого шарнира

ЕM = Fk5 —M = Fk Lmax

4

-в — км32в = 0 .

Отсюда:

Тогда

F, = 8kM3 = vk2,EIn

L.

vkj =.

8 k,

M3

8 • 0,01EIn

L EI

4EIn

= 0,141,

l0 \ ^J-'±0

что полностью совпадает с ранее приведенным решением.

Рассмотрим задачу с тремя упругими шарнирами. Исходные данные следующие:

Lmax = 4, EI = 100, L = [0,25 0,5 0,75]Lmax, кмТ = [100 100 100] . Минимальные корни характеристического уравнения принимают следующие значения: vkj = 1,247, vk2 = 1,766, vk3 = 2,076, vk4 = 3,398.

Формы потери устойчивости минимальных критических сил приведены на рисунке 3. На рисунке видно, что наблюдается чередование симметричных и кососимметричных форм.

Рис. 3. Первые четыре формы потери устойчивости составного стержня с тремя упру

гими шарнирами

2. Рассмотрим свободные колебания составного стержня, состоящего из двух отдельных стержней одинаковой жесткости, соединенных между собой упругим шарниром, расположенным на упругой промежуточной опоре сопротивляющейся вертикальному перемещению (рис. 4).

Рис. 4. Составной стержень с упругим шарниром жесткостью kM на упругой опоре жесткостью K, расположенными на расстоянии L1 от начала координат; R - реакция

упругой опоры

В этом случае дифференциальное уравнение свободных колебаний балки имеет следующий вид [1]

[EI(x)Xk"]''—mvlXk =—Ra/x — Lt) = — K • X(L1)a1(x — Lt)

(7)

34

№ 5 травень 2011

Здесь EI(x) - изгибная жесткость стержня, при x ф L1 она равна EI0, а при x = L1 имеет

особенность, т.к. там упругий шарнир; m - погонная масса стержня, vk - частота колебаний, K - жесткость упругой опоры на вертикальное перемещение, LI - координата сечения в котором находится промежуточная опора, X(L1) - перемещение сечения при x = L1, a1(x-L1) - дельта-функция Дирака. Как частный случай, упругая опора может быть в том сечении, где находится упругий шарнир. В результате некоторых преобразований, решение уравнения (7) имеет следующий вид [1; 2]

XkIV - k4kXk = AXk' (Lj )a3 (x - Lj) ~KXk (Lj )a1 (x - Lj). (8)

EI0

Здесь, AXk'(LI) = -

M(Lj) EI0Xk" (Lj)

k

к

VM "-M

Решение уравнения (8), найденное с помощью преобразования Лапласа [3] имеет следующий вид:

Xk(x) = v(0)Yi(kkX) + v'( 0)

Y2(kkx)

k.

+к'(0)Щ*)+*"(0)Mkl

+

,v J2(kk(x-x^) K Y4(kk(x-xI)

+ AXk (xt)----------a0(x- Xj)-—— X(xj)----—-----&0(x-Xj) =

k

EL

К

= v0Y1 (kkX) + 00 -^Y3(kkx) —QLjY4(kx) +

k

EI0kk2

EI0K

J2(kk(x- Xj))

K

+ AXk'(ХіУ^^; Лі" a0(x-xj)-—X(Xj)±4[ n'k k EI

Y4(kk(x - Xj)

k3

a0(x - Xj).

k ^ 0 p-k

Промежуточные параметры AXk(x1) , Xk(x1) выражаем через начальные параметры:

Xk(xi) = v0Yi(kkXj) + 0/-^ —ML_Y3(kkx1)----QY—Y4(kxj),

k.

EI0kk

EI0kk

EE

^Xk '( X1) = trIL [v0kkY3 (kkX1 ) + °0kk Y4 (kkX1 ) - M0 Y1(kkX1) -ХХТ~ Y2 (kX1 )] •

Mn

k.

EE

EI 0kk

VM ^0

Исключив промежуточные параметры, получим выражение Xk(x) только через начальные параметры и некоторые функции влияния, которые будут иметь разрывы непрерывности I рода при х = х1 . Для составления характеристического уравнения используем граничные условия на правом конце системы.

В качестве примера рассмотрим шарнирно опертый по краям стержень с упругим шарниром на шарнирной опоре, расположенной симметрично относительно опор.

Выполним расчеты при kM = 100000 EI. В этом случае упругий шарнир можно считать «заглушенным». Даже 10-я частота находится с точностью в 0,0001. Уменьшим жесткость упругого шарнира на три порядка (kM = 1000EI0), при этом частотный спектр не изменяется. Уменьшаем еще на порядок до 100 EI0 и ряд частот начинает уменьшаться. Однако

минимальная частота изменяется мало. При дальнейшем уменьшении жесткости упругого шарнира уменьшается и основная частота.

При уменьшении жесткости упругого шарнира, расположенного на жесткой шарнирной опоре, частоты начинают попарно сближаться и при kM < 0,001 EI низшие частоты попарно

практически сливаются и равны частотам шарнирно опертой балки длиной Lmax/2. Так vk1 = vk2 = 0,395 , vk3 = vk4 = 1,579 (отличие в 4-м знаке). При этом формы колебаний взаимно ортогональны. При не центральной или упруго-шарнирной опоре это явление ненаблюдается. Формы колебаний, соответствующие низшим частотам, приведены на рисунке 5, а и б.

35

Вісник ПДАБА

Рис. 5. а - формы колебаний, соответствующие равным 1-й и 2-й частотам; б - формы колебаний соответствующие равным 3-й и 4-й частотам

ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ ИСТОЧНИКИ

1. Лазарян В. А. Обобщенные функции в задачах механики / В. А. Лазарян, С. И. Конашенко // К.: Наукова думка, 1974. - 190 с.

2. Минусинский Я. Элементарная теория обобщенных функций / Я. Микусинский, Р. Сикорский // М.: Иностранная литература, 1959. - 258 с.

3. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М.: Наука, 1963. - 287 с.

4. Макаров Е. Инженерные расчеты в Mathcad, СПб: Питер, 2005. - 448 с.

5. Безухов Н. И. Устойчивость и динамика сооружений в примерах и задачах: Учеб. пособие / Н. И. Безухов, О. В. Лужин, Н. В. Колкунов // М.: Высшая школа, 1987. - 264 с.

УДК 681.3 : 624.2

АВТОМАТИЗАЦИЯ ФОРМИРОВАНИЯ МАТРИЦ ЧИСЛЕННОАНАЛИТИЧЕСКОГО ВАРИАНТА МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ СТАТИЧЕСКОМ РАСЧЕТЕ ПЛОСКИХ МНОГОПРОЛЕТНЫХ ОДНОЭТАЖНЫХ РАМ

А. В. Ковров*, к. т. н., доц., Т. А. Синюкина, асп.,

Т. С. Цатуров, соискатель, А. В. Ковтуненко, магистр Одесская государственная академия строительства и архитектуры

Ключові слова: матрица численно-аналитического варианта, метод граничных

элементов, расчет плоских многопролетных одноэтажны рам.

Постановка проблемы. Определение напряженно-деформированного состояния

36