CC BY
16
СТРОИТЕЛЬСТВО И АРХИТЕКТУРА _CIVIL ENGINEERING BUILDING AND ARCHITECTURE_
УДК 539.3 DOI: 10.17213/0321-2653-2015-4-93-99
СПОСОБЫ УЧЕТА НЕОПОРНЫХ ШАРНИРНЫХ СОЕДИНЕНИЙ ПРИ РАСЧЕТЕ ИЗГИБАЕМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
METHODS OF ACCOUNTING FOR UNSAMPLED SWIVEL IN THE CALCULATION OF THE BENDING UNITS BEAM STRUCTURES USING FINITE ELEMENT METHOD
© 2015 г. П.П. Гайджуров, Н.А. Савельева, К.Ю. Подолько
Гайджуров Петр Павлович - д-р техн. наук, профессор, Guyjourov Peter Pavlovich - Doctor of Technical Sciences, кафедра «Техническая механика», Ростовский государ- Professor, department «Technical Mechanics», Rostov State ственный строительный университет, г. Ростов-на-Дону, University of Civil Engineering, Rostov-on-Don. Russia. Россия. E-mail: gpp-161@yandex.ru E-mail: gpp-161@yandex.ru
Савельева Нина Александровна - аспирант, кафедра «Тех- Savelyeva Nina Alexandrovna - graduate student, department ническая механика», Ростовский государственный строи- «Technical Mechanics», Rostov State University of Civil Engi-тельный университет, г. Ростов-на-Дону, Россия. E-mail: neering, Rostov-on-Don. Russia. E-mail: nina_sweet86@ nina_sweet86@mail.ru mail.ru
Подолько Ксения Юрьевна - студент, кафедра «Техническая Podolko Kseniya Jurievna - student, department «Technical механика» Ростовский государственный строительный Mechanics», Rostov State University of Civil Engineering, университет, г. Ростов-на-Дону., Россия. E-mail: kseniya94 Rostov-on-Don. Russia. E-mail: kseniya94apple@mail.ru apple@mail.ru
Рассмотрены три способа учета неопорных шарнирных соединений, используемых при прочностных расчетах рамных конструкций методом конечных элементов в форме метода перемещений. На конкретном числовом примере подробно показаны особенности программной реализации для каждого способа. Установлено, что наибольшей универсальностью и вычислительной эффективностью обладает способ объединения степеней свободы одного направления в смежных узлах модели.
Ключевые слова: стержневые конструкции; шарнирные соединения; метод конечных элементов; матрицы жест-костей стержневых конечных элементов балочного типа.
Considered three ways of accounting for unsampled swivels are used in strength analysis offrame structures by the finite element method in the form of the displacement method. For a specific numerical example shows in detail the features of the software implementation for each method. Found that the greatest versatility and computational efficiency has a way of combining the degrees offreedom in one direction in the adjacent nodes of the model.
Keywords: rod design; swivel; finite element method; stiffness matrices of truss finite elements of beam type.
Расчетные схемы многих современных зданий и сооружений в первом приближении можно представить в виде набора стержневых элементов, моделирующих колонны, пилоны, ригели и балочные перекрытия [1]. Для прочностного расчета стержневых конструкций, воспринимающих изгибные деформации, используются как классические методы строительной механики, так и численные методы. Среди последних методов наибольшей универсальностью и значительными вычислительными возможностями обладает
метод конечных элементов (МКЭ) в форме метода перемещений. Это объясняется тем, что в настоящее время МКЭ является основой всех вычислительных комплексов, используемых при проектировании в строительстве [2].
В расчетной практике часто встречаются рамные конструкции с неопорными шарнирными соединениями стержней в узлах. При этом полагается, что в плоскости действия шарнира изгибающий момент между торцами смежных стержневых конечных эле-
ментов (КЭ) не передается. Несмотря на то что пользовательские интерфейсы конечно-элементных комплексов позволяют выполнить моделирование комбинаций шарнирных соединений стержневых КЭ, определенный методологический интерес представляет подробное рассмотрение программной реализации различных способов учета неопорных шарниров.
В рамках МКЭ данная задача может быть решена тремя способами [3]. Первый способ учета шарнирных соединений базируется на использовании так называемых комбинированных балочных КЭ, имеющих шарнир на одном из концов. Второй способ заключается в задании дополнительных вращательных степеней свободы для стержней, шарнирно присоединяемых к основному стержню. За основной обычно принимается стержень, имеющий наименьший номер в каждом конкретном шарнирном соединении. Третий способ основан на введении в неопорном шарнире дополнительных ключевых точек и, соответственно, дополнительных номеров узлов для каждого присоединяемого стержня. В дальнейшем для совпадающих узлов линейные смещения одного направления полагаются равными. Рассмотрим вычислительные особенности каждого из перечисленных способов.
Ограничиваясь в дальнейшем рассмотрением только плоской задачи, отметим, что общим для всех трех способов учета неопорных шарнирных соединений является известное матричное выражение для базового КЭ балочного типа (рис. 1), устанавливающее связь между узловыми перемещениями {^} и усилиями {р} в местной системе осей {х,у} :
[ к ] =
EF
~Т
О
12 EJ
ñei i aoöe^i i
FF
О О О
1
6 EJ 12 EJ 6 EJ
12 О 13 12
4 FJ О 6 EJ 2 EJ
12
1 1
FF О О
1
12 EJ 6 EJ
13 12
4 EJ
Т
; (2)
Е, Г, J - модуль упругости, площадь поперечного сечения и осевой момент инерции КЭ. Здесь и далее символ Т обозначает операцию транспонирования.
Преобразование матрицы жесткости КЭ при переходе к глобальной системе осей {х, у} (рис. 2) осуществляем по формуле
[k]=[c][k][c]T , где матрица преобразования координат cos9 -sinф 0 0 0
(3)
[с] =
{w}=[k ]{ p},
(1)
sin< cos< О О О
О О 1 О О
О О О cos< -sin< О
О О О sin< cos< О
О ООО О 1
где {м>} = {щV!©!и2у2©2}Т; {р} = {рх1 Ру!т1их2^т2}Т ; матрица жесткости элемента
Х2 - Х1 . У 2 -Ул , /,- _ ч2 _ ч2
cos<=-; sin<=—2-1; I =s¡ (x2 -xi) + (y2-y1) .
01
<
Vi
02 V2
ui EJ
У
Pyi
U
Рх1
Рис. 1
К v„
Рл РУ2 ^
Х2 Х
Рис. 2
m
1
1
x
x
l
Х
Х
Для программной реализации первого способа учета неопорных шарниров введем комбинированные стержневые КЭ двух типов [4]: тип 1 с шарнирным опиранием на правом конце (рис. 3) и тип 2 с шарниром опиранием на левом конце (рис. 4). Выражения для матриц жесткости комбинированных КЭ, полученные путем «конденсации» матрицы жесткости базового КЭ (1), имеют следующий вид: для КЭ, представленного на рис. 3,
[ к ]1=
EF
~Т
О
3EJ
О -
EF
О О --
ОО
3EJ 3EJ
l'
l
2
1 О
EF
~Т
ОО О О
3EJ 3EJ
l3
nei i äoöe^i i
для КЭ, представленного на рис. 4,
l2
3EJ
; (4)
[ к ] 2=
EF
~Т
О
3EJ
О --
EF
l
ОО
3EJ - 1Г 3 EJ
~Г
О -3EJ О
О
EF
~Т
l3 3 EJ
О
3EJ
nei i äoöe^i i
. (5)
ственно к 33 =1
k66 =1.
01
У
fr
V1
и
u EJ
(2 lbx
жесткости, вычисляемые по формулам (2), (4), (5), имеют одинаковую размерность. Преобразование матриц (4) и (5) при переходе к глобальным координатам выполняем аналогично выражению (3).
Результирующую систему уравнений для ансамбля КЭ представим в форме
[ K ]{[W }={P},
(6)
Для удобства программирования размерность матриц (4) и (5) искусственно увеличена путем введения единичных диагональных элементов соответ-
Таким образом, матрицы
где [K ] - глобальная матрица жесткости ансамбля КЭ; {W}, {P} - глобальные векторы-столбцы неизвестных узловых перемещений и заданных узловых сил.
Второй и третий способы учета неопорных шарнирных соединений базируются на использовании только выражений (1) - (3) и соответствующих процедурах преобразования структурны глобальной матрицы жесткости.
Процесс сборки матрицы [K ] реализуем в среде
компьютерной математики системы Maple [5] с использованием следующих трех вложенных циклов:
for ie from 1 to ne do # Цикл по КЭ
# Включение матрицы жесткости k(6,6) ie-го КЭ в
K(ng,ng)
for i from 1 to ne do # Внешний цикл по локальным степеням свободы ie-го КЭ
ia:=LB[ie,i];
for j from 1 to ne do # Внешний цикл по локальным степеням свободы ie-го КЭ
ib:=LB[ie,j];
K[ia,ib]:=K[ia,ib]+k[i,j]; # «Прямое включение жесткостей» ie-го КЭ
od: od: od:.
Здесь ne = 3 - число КЭ модели; ng = 12 - общее число степеней свободы; LB(ne,6) - двумерный массив, предназначенный для хранения матрицы связности [LB], устанавливающей индексную адресацию для процедуры прямого включения жесткостей hij отдельных КЭ в матрицу [ K ]. Матрицу [ LB ] формируем на основании принятой глобальной нумерации узлов и заданной структуры вектора-столбца узловых перемещений стержневого КЭ.
Для учета опорных связей осуществляем коррек-
У
m1
fr
Py1
ц
Px1
Py2 2 px2
P
rnr x
Рис. 3
V1
t 02
1 EJ /
2
/Т l
M- -►
У Py1
JL ^
-
Рис. 4
P
m2
-n
0
1
1
l
тировку матрицы [K ]. Для этого вводим массив [ID] размерностью ixng, состоящий из нулей и единиц. Причем, если на i-ю степень свободы наложена связь, то элемент массива ID[i] = 1, в противном случае ID[i] = 0. Фрагмент соответствующей программы Maple приведен ниже.
# Корректировка матрицы K(ng,ng) с учетом статических граничных условий
for i from 1 to ng do # Внешний цикл по глобальным степеням свободы if ID[i] Ф 0 then
for j from 1 to ng do # Внутренний цикл по глобальным степеням свободы
if j=i then K[i,j]:=1; fi: # Диагональный элемент
K(ng,ng)
if j Ф i then K[ij]:=0; K[j,i]:=0; fi: # Вне диагональный элемент K(ng,ng) od: fi: od:.
С целью демонстрации вычислительных особенностей каждого из рассматриваемых способов моделирования неопорных шарниров выполним учебный пример, в котором требуется определить узловые перемещения и усилия для плоской статически неопределимой рамы, показанной на рис. 5. Исходные данные: величина сосредоточенной силы, приложенной к ригелю, P = 1,2 кН; продольная и изгибная жесткости стоек EF = 9,3-108 Н; EJ = 1,416107 Н-м2. Разбивку на конечные элементы рамы выполняем так, чтобы стойкам и ригелю рамы соответствовало по одному КЭ, таким образом, общее количество стержневых элементов в данном примере равно трем.
P
2J
J
J
ттттп '
4м
Рис. 5
Согласно первому способу учета неопорного шарнира можно применить одну из конечно-
элементных схем, приведенных на рис. 6 - 8. На этих рисунках места расположения шарниров комбинированных КЭ выделены кружками. Отметим, что такой подход реализован в программных комплексах ЛИРА [6, 7] и SCAD [8, 9].
Матрица связности для конечно-элементных схем, представленных на рис. 6 - 8, имеет вид
[ LB]=
(3x6)
1 2 9 3 4 10 3 4 10 5 6 11 5 6 11 7 8 12
Массив для идентификации опорных связей [Ю] =[1 1000011000 1].
(1x12)
Анализ результатов решения результирующей системы (6) показал, что величины узловых линейных перемещений для трех схем с комбинированными КЭ совпадают и составляют: w1 = 0, w 2 = 0, w3 = 2,9836-Ю-4,
w4 = 2,3698-10-6, w5 = 2,9577-10-4, w6 = -1Д849-10-6,
w7 = 0, w8 = 0.
При этом компонента угловых перемещений w
10
в зависимости от конечно-элементной схемы принимает различные значения: схема рис. 6
w10 =
= -3,3699-10 ; схема рис. 7 w10 = -4,9726-10-5; схема рис. 8 w10 = 0. Здесь и далее значения линейных перемещений измеряются в метрах, а угловых - в радианах.
По найденным узловым перемещениям {Ж} , используя матрицу [ЬБ] и формулу ^}=[с]Т (W}, определим узловые перемещения для каждого КЭ в местных осях. Узловые усилия КЭ находим с помощью выражения (1), в которое для комбинированных КЭ вместо матрицы [к ] подставляем в зависимости от
расположения шарнира либо матрицу (4), либо матрицу (5). Результаты вычислений внутренних усилий в местных осях сведены в табл. 1, где величины усилий и моментов соответственно имеют размерности Н и Н-м.
Как следует из данных, представленных в таблице, точный результат дает схема с двумя комбиниро-
w.
Т wuJ6
f\UW3 Ж
13 w5
w
w
w2
c^Lwi
w
4 w7
1 x
Рис. 6
w
10
У
'C
w
f4 wujw
У-3 Ж
*2 T3 w5
w
w
№
4 w7
w1
Рис. 7
ytw4 w w
w
w
w
3 w5 w
4 w7
cfL w1
Рис. 8
1
x
x
ванными КЭ (рис. 8). Вместе с тем схемы с одним комбинированным КЭ (рис. 6, 7) позволяют получить вполне приемлемые по точности значения узловых усилий.
На рис. 9, 10 представлены результаты расчета данного примера с помощью конечно-элементного комплекса ANSYS 12.1 [9], в котором для учета неопорных шарнирных соединений используется процедура объединения степеней свободы («coupled degrees of freedom»). На рис. 9 показана рама в деформированном состоянии и приведено значение максимального перемещения 0,298-10-3 м. На рис. 10 изображена эпюра изгибающих моментов (Н-м). Как видно, данные таблицы совпадают с результатами, представленными на рис. 10.
В соответствии со вторым способом учета неопорного шарнира рамы (рис. 5) применим конечно-элементную схему, показанную на рис. 11. Как видно в данном случае, в шарнире искусственно добавлена вращательная степень свободы w13. Все стержни рамы моделируем базовыми КЭ (рис. 1).
Для формирования глобальной матрицы жесткости используем матрицу связности, имеющую следующую структуру:
2 9 3 4 10"
[ LB] =
3 4 13 5 6 11 5 6 11 7 8 12
{W} ={0 0 2,9836-10~4 2,3698-10-6 2,9577-10-4
(1x13)
-1,1849-10-6 0 0 4,9726-10-5 4,9726-10-5
7,0065-10-5 0 -3,3699-10-5}г,
а затем определяем узловые усилия в стержневых КЭ в местных осях:
{р}1 ={-367,3 -1-10 7 1-10 7 367,3 1-10 7 0}г ;
{р}2 ={1200 -367,3 5-10-7 -1200 367,3 1469}г ;
{р}3 ={367,3 1200 -1469 -367,3 -1200 2131}г ,
здесь нижний индекс соответствует номеру КЭ.
Приведенные значения линейных перемещений и узловых сил совпадают с ранее полученными данными на базе комбинированных КЭ.
Третий способ учета неопорных шарниров в рамных конструкциях базируется на принципе объединения степеней свободы одного направления в заданных узлах. Отметим, что именно такой подход реализован в программном комплексе А№У8 [10]. Для применения этого способа к рассматриваемой раме на этапе формирования геометрии модели создаем две совпадающие ключевые точки с координатами х = 0, у = 6 м.
Выполнив необходимые вычисления, вектор-столбец узловых перемещений
находим
Результаты вычисления внутренних усилий в местных осях
Схема № КЭ { Рх1} { Ру1} {mj { Р x2} {Ру2 } {m 2}
Рис. 6 1 -367,3 0 1-10-7 367,3 0 -3,370-10-5
2 1200 -367,3 3,42 -10"5 -1200 367,3 1469
3 367,3 1200 -1469 -367,3 -1200 -2131
Рис. 7 1 -367,3 8,20 -10-6 2 -10-7 367,3 -8,20 -10"6 -4,960-10"5
2 1200 -367,3 4,973-10-5 -1200 367,3 1469
3 367,3 1200 -1469 -367,3 -1200 -2131
Рис. 8 1 -367,3 0 0 367,3 0 0
2 1200 -367,3 0 -1200 367,3 1469
3 367,3 1200 -1469 -367,3 -1200 -2131
ANSYS 12.1 DISPLAC EMENT STEP=1 SUM =1 TIME=1
PowerGraphics EFACET=1 AVRES=Mat DMX =.2 98E-03
ANSYM 12.1 -.и -1469
Ш □
о о о
-1069
-669.295
-269.295
130.705
530.705
930.705
1331
1731
2131
Рис. 9
Рис. 10
Wi3
У
С1
tW4 W w6
3 W5
Wg
fW8
W12
4 W7
W2
W9 A 2
W1
Рис. 11
В дальнейшем это позволяет сформировать конечно-элементную модель из базовых стержневых КЭ, для которой матрица связности принимает структуру
[ LB ] =
1 2 11 3 4 12 5 6 13 7 8 14 7 8 14 9 10 15
ik.W4 W12
■Ь W J; W
W5
2, 3
4 w7
4W10
Wi5
W9
1
Wj
При формировании вектора-столбца {Р} задаем Р3 = 1200 Н.
Решив систему уравнений (6) с откорректированной матрицей [К ], получим вектор-столбец узловых перемещений
{Ж} = {0 0 2,9836-10~4 2,3698-10-6 2,9836-10-4
(1x13)
Соответствующий массив [Ю] имеет вид [Ю]=[1 1000000110000 1].
(1x15)
Для того чтобы результирующая система уравнений (6) в данном случае имела решение, на линейные узловые перемещения в узлах 2 и 3 накладываем следующие условия: щ = , wц = .
Рис. 12
Процедуру объединения степеней свободы wn и wm (т >п) формально можно представить в виде следующего алгоритма корректировки матрицы [К ]:
К(п,п)=К(п,п)+К(т,т) ;
К(п,])= К(п,])+К(т,]), у = т +1,п^ - цикл по столбцам п-й строки;
К(г,п)=К(г,п)+К(г,т), I = т+1,ng - цикл по строкам п-го столбца;
К (т,т)=1;
К(/,т)=0, К(т,г)=0, г =1,ng , / Фт - циклы по т -му столбцу и т -й строке.
2,3698-10-6 2,9577-10-4 -1,1849-10-6 0 0
4,9726-10-5 4,9726-10-5 -3,3699-10-5 7,0065-10-5 0}Т, в котором учтено, что щ = , = .
Дальнейшие расчеты показали, что компоненты векторов-столбцов {р}1, {р}2, {р}3 в данном случае
совпадают с полученными ранее значениями с помощью способа введения дополнительной степени свободы.
Выводы
1. На тестовом примере апробированы три способа учета неопорных шарнирных соединений стержневых конструкций рамного типа. Представленные результаты могут быть использованы при разработке учебно-исследовательских программ, реализующих МКЭ в форме метода перемещений.
2. Установлено, что наибольшей универсальностью обладает способ, базирующийся на алгоритме объединения узловых степеней свободы одного направления. Данный способ помимо учета неопорных шарниров может быть использован для моделирования эффекта абсолютной жесткости ригелей в рамных конструкциях.
Литература
1. Перельмутер А.В., Сливкер В.И. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа. М.: ДМК Пресс, 2007. 600 с.
2. Перельмутер А.В. Беседы о строительной механике. М.: Изд-во SACD Soft; издательство ассоциации строительных вузов, 2014. 250 с.
3. Гайджуров П.П. Методы, алгоритмы и программы расчета стержневых систем на устойчивость и колебания / Юж.-Рос. гос. ун-т. Новочеркасск: ЮРГТУ, 2010. 230 с.
4. Синицын С.Б. Строительная механика в методе конечных элементов стержневых систем: учеб. пособие для техн. вузов. М.: Изд-во АСВ, 2002. 320 с.
5. Дьяконов В.П. Математическая система MAPLE V R3/R4/R5. М.: «СОЛОН», 1998. 399 с.
6. Городецкий А.С., Барабаш М.С., Водопьянов Р.Ю., Титок В.П., Артамонова А.Е. Программный комплекс ЛИРА-САПР 2013: учеб. пособие. Киев; М.: Электронное издание, 2013. 376 с.
2
x
x
7. ЛИРА®9.4 Примеры расчета и проектирования / Ю.В. Гензерский, А.Н. Куценко, Д.В. Марченко, Я.Е. Сло-бодян, В.П. Титок. Киев: Изд-во НИИАСС, 2006. 124 с.
8. Семенов А.А., Габитов А.И. Проектно-вычислительный комплекс SCAD в учебном процессе. Ч. 1. М.: Изд-во АСВ, 2005. 152 с.
9. Басов К.А. А^УБ: справочник пользователя. М.: ДМК Пресс, 2005. 640 с.
10. Басов К.А. АШУБ для конструкторов. М.: ДМК Пресс, 2009. 248 с.
References
1. Perel'muter A.V., Slivker V.I. Raschetnye modeli sooruzhenii i vozmozhnost' ikh analiza [Calculation models of structures and their analysis]. Moscow, DMK Press, 2007, 600 р.
2. Perel'muter A.V. Besedy o stroitel'noi mekhanike [Conversations about structural mechanics]. Moscow, Izdatel'stvo SACDSoft, izdatel'stvo assotsiatsii stroitel'nykh vuzov, 2014, 250 р.
3. Gaidzhurov P.P. Metody, algoritmy i programmy rascheta sterzhnevykh sistem na ustoichivost' i kolebaniya [Methods, algorithms and programs for calculation of core systems on stability and oscillations]. Novocherkassk, YuRGTU, 2010, 230 р.
4. Sinitsyn S.B. Stroitel'naya mekhanika v metode konechnykh elementov sterzhnevykh sistem [Structural mechanics in the finite element method rod systems]. Moscow, ASV Publ., 2002, 320 р.
5. D'yakonov V.P. Matematicheskaya sistema MAPLE VR3/R4/R5 [Mathematical system MAPLE V R3/R4/R5]. Moscow, «SOLON », 1998, 399 р.
6. Gorodetskii A.S., Barabash M.S., Vodop'yanov R.Yu., Titok V.P., Artamonova A.E. Programmnyi kompleks LIRA-SAPR 2013 [ Software complex LIRA-SAPR 2013]. Kiev - Moscow, Elektronnoe izdanie, 2013, 376 p.
7. Wanserski J.V. Kutsenko, A.N., Marchenko D.V., Slobodyan J.E., Titok V.P. Lira®9.4 Primery rascheta iproektirovaniya [Examples of analysis and design]. Mev, NIIASS Publ., 2006, 124 р.
8. Semenov A.A., Gabitov A.I. Proektno-vychislitel'nyi kompleks SCAD v uchebnom protsesse [Design and computing complex SCAD in the learning process]. Moscow, ASV Publ., 2005, 152 р.
9. Basov K.A. ANSYS: spravochnikpol'zovatelya [ANSYS: user guide]. Moscow, DMK Press, 2005, 640 р.
10.Basov K. A. ANSYS dlya konstruktorov [ANSYS for designers]. Moscow, DMK Press, 2009, 248 р.
Поступила в редакцию 3 сентября 2015 г.
