Метод учета податливости в узлах металлических конструкций зданий Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 624.078 Ананьин М. Ю.

Фомин Н. И.

ЧерногубовД. Е.

Методучета податливости в узлах металлических конструкций зданий

Аннотация

Ананьин

Михаил Юрьевич

канд. техн. наук, доцент, УГТУ-УПИ

Фомин

Никита Игоревич

ст. преподаватель УГТУ-УПИ

Черногубов Дмитрий Евгеньевич

канд. техн. наук, доцентУГТУ-УПИ

Статья открывает цикл, посвященный вопросамучета податливости узлов соединений металлических конструкций. В статье предложена методика определения расчетныхдлин элементов поперечной рамы быстровозводимых зданий на примере ее ригеля как стержня, опертого на нерегулярные упругие опоры.

Ananjin M.Y., Fomin N. I., Tchernogubov D. E.

Method of the account of a pliability in nodes of metal designs of buildings The article open a cycle, devoted to problems of the account of a pliability in nodes of connections metal designs. In the article the procedure effective lengths of element in lateral framefast-mountable buildings on a example of its girder as bar; supported on irregular elastic legs is offered.

Ключевые слова: годатливостъ, узел, металлическая рама, быстровозводимое здание, расчетная длина, упругая опора.

Задача экономичного расходования материала при одновременном обеспечении надежности является одной из важнейших в расчетах строительных конструкций. В данном контексте весьма актуальной является задача, связанная с определением несущей способности сжатых и сжато-изогнутых элементов металлических конструкций.

Как известно, целью расчета любой системы на устойчивость является определение критической силы Ысг, или, в случае действия нескольких сил, — критического параметра группы сил при заданных геометрических и физических параметрах системы. В практике проектирования проверка несущей способности обычно проводится при помощи коэффициента продольного изгиба ф, который учитывает упругопластические свойства строительных сталей [2].

При этом при использовании коэффициента продольного изгиба делается предположение, что стержень имеет шарнирное опирание, поэтому возникает проблема выбора так называемых расчетных длин элемента, или расстояния между нулевыми точками эпюры моментов.

Для классических условий закрепления концов (жесткой заделки, шарнирно опертого или свободного конца стержня), задача решается аналитически в предположении упругой работы материала и, таким образом, определяется расчетная длина элемента (или коэффициент приведения свободной длиныЦ по отношению к задаче «шарнир-шарнир») [1]. Для условий упругого (податливого) защемления или опирания, что всегда имеет место на практике, проектировщик может столкнуться со сложной задачей определения свободной длины конкретного элемента конструкции. Особую сложность данная задача представляет для стержневых конструкций, имеющих нерегулярные упругие опоры.

Настоящая публикация открывает цикл статей, посвященный следующим вопросам:

1 Способ определения расчетных длин участков сжатого стержня переменной жесткости, опертого на нерегулярные упругие опоры с различной величиной податливости, на примере элемента поперечной рамы быст-ровозводимого здания;

2 Обзор методик учета податливости в узлах металлических конструкций;

3 Способ определения величины податливости в узлах металлических конструкций на примере болтовых соединений поперечной рамы быстровозводимого здания.

Часть I. Способ определения расчетных длин участков сжатого стержня переменной жесткости, опертого на нерегулярные упругие опоры

Важность изучения податливости узлов в соединениях металлических конструкций связана с тем, что расчет устойчивости элементов в форме [6] требует корректного определения расчетной длины стержня, которая зависит от многих факторов, но прежде всего от степени защемления на концевых и промежуточных опорах.

В существующих отечественных нормах [6, 7] содержатся формулы для определения расчетной длины только для однопролетных стержней, имеющих одну или две податливых концевых опоры, и отсутствуют решения для стержней с промежуточными податливыми опорами. Необходимость решения задачи такой сложной системы возникла при расчете устойчивости конструкций быст-ровозводимых зданий массового применения [8]. Схема рамы представлена на рисунке 1.

На рисунке 2 показаны расчетные схемы элементов несущей рамы, а также геометрические и жесткостные параметры исследуемых систем. Буквами а,б,в иг отмечены расчетные схемы, соответственно: стойки, подкоса, половины ригеля и затяжки рамы.

Определение расчетной длины стержней схем а и в на рисунке 3 представляет собой задачу нахождения Эйлеровой (критической) силы сжато-изогнутого стержня, опертого на нерегулярные упругие опоры — то есть на опоры, размещенные с различным шагом и имеющих различную податливость. Для стержней схем б иг решение задачи нахождения критической силы содержится в [4], в которой окончательное выражение критической силы N для стержней схем б' и г имеет вид

Яг =

СпЬ

Спа + СпЬ

(1)

где Спа и СпЬ— коэффициенты жесткости упругопере-мещающейся опоры, численно равные реактивной силе, возникающей в опорном сечении при его единичном перемещении;

I — пролет стержня, м.

Рассмотрим способ определения расчетных длин участков сжатого стержня, опертого на нерегулярные упругие опоры на примере системы, представленной на рисунке 3, с использованием метода перемещений [4, 5].

Зададимся жесткостью опор 2, 3 и 4, соответственно С2, С3 и С4

С2= 8-Е1/13 С3= 4-Е1/13 С4= 6-Е1/13

Опора 1 принята по отношению к другим опорам шарнирной. Жесткость С. представляет собой силу, под действием которой упругая опора г смещается на единицу в направлении нормальном к оси стержня. Последовательность определения расчетных длин выглядит следующим образом.

1 Определение коэффициентов влияния продольных сил

Рисунок 1. Расчетная схема поперечной рамы быстровозводимого здания

Рисунок 2. Расчетные схемы элементов поперечной рамы

РисунокЗ. Расчетная схема многопролетного стержня

Коэффициент влияния продольной силы для участка стержня определяется по формуле

ц = ь-фш

отсюда

У12 = 21 • -у/зй/зы = 2.582У

% = 1,51-л/4Ы/2Е1 = 2,121у Уз4=1 • л/Ы/Е1 =г

(2)

(3)

(4)

(5)

2 Выбор основной системы метода перемещений

? Т

1 к Г А ? £ \ Л 1 4

Рисунок 4. Основная система метода перемещений

Л2

б)

Шг, г

,'щ£

ГПзг4

Эп. Ми

Г п

я

в) Га

Шгз Шзг

[¡г

Рисунок5. Копределениюусилий, возникающихотединичногопово-рота защемлений наупругихопорах

Ф/^ЧО — функции Корноухова Н. В., приняты согласно [3].

После преобразования моменты равны следующему т21= 4,5^-<*>1(2,582у) (9)

ГТ

т23 = 5,333 • <Р2(2,121у) (Ю)

Ш

т32= 2,667 — • Ч>з(2,121у) (11)

Уравновешивающие моменты г11 и г21 на опорах, определены из равновесия соответствующих защемлений (схема моментов для опор 2 и 3 показана на рисунке 56 и 5в соответственно).

ги =т21 + т23

Г21 = т32

(12)

(13)

3.2 Усилия от единичного поворота опоры 3 Эпюра моментов М.2 приведена на рисунке 5г. Значения моментов равны

т

ЕІ

і23 = -2,667 — • Фз(2,121у) (14)

ЕІ

т32 = 5,333 — • Ч>2(2,121у) (15)

ЕІ

т34 = 3,0 — -Ч>і(у)

(16)

Уравновешивающие моменты г12 и г22на опорах, определены из равновесия соответствующих защемлений (схема моментов для опор 2 и 3 показана на рисунке 5д и 5е соответственно).

Ги=т23

г22 = т32+т34

(17)

(18)

Основная система метода перемещений получается в результате наложения на все внеопорные упругие узлы защемлений, препятствующих их повороту, и закрепления подвижных опор стерженьками, устраняющими их линейные смещения. Основная система метода перемещений для данной задачи показана на рисунке 4.

3 Вычисление усилий, возникающих в системе от единичного поворота каждого защемления на угол, равный единице

3.1 Усилия от единичного поворота опоры 2 Эпюра моментов Ма приведена на рисунке 5а, значения моментов определены с помощью данных из [3, 5]

42 • ф 1 (Уи) (6)

ТП - 4 (Ы)23 т23— 4 7 *23 • Ф2^2з) (7)

т - , (Е1)2з т32— ^ / т • (Ъз) (8)

где

і II (Еі)23 = 2ЕІ

І12 —21 II

і*22 —— 2,582и ии = 2,12Ъ

4 Вычисление усилий, возникающих в системе от единичного смещения каждой упругой опоры

4.1 Усилия от единичного смещения опоры 2 Эпюра моментов М1 приведена на рисунке 6а. Значения моментов определены с помощью данных из [3, 5] ¥1

т21= 2,25 -уг-Ч>і(2,582у) (19) щ (20)

т21 = т21 = 5,333 -р- • Щ(2,12Ъ)

Уравновешивающие моменты Я11и Я21 на опорах определены из уравнения равновесия (схема моментов для опор 2 и 3 показана на рисунке 66 и 6в соответственно).

Кіі = т2і-т23 (21)

Я,, = -т,

32

(22)

4.2 Усилия от единичного смещения опоры 3 Эпюра моментов М2 приведена на рисунке 6г. Значения моментов равны

ЕІ

т23 = т32= 5,333 -р • Ф4(2,12Ъ)

ЕІ

т34 = 3,0—р" ф1(у) (23) (24)

Уравновешивающие моменты Я12 пЯ22 на опорах, определены из уравнения равновесия (схема моментов для опор 2 и 3 показана на рисунке 6д и 6е соответственно).

х12 -

л22~

пи

: ТПо-)— ТП

'32 34

(25)

(26)

4.3 Усилия от единичного смещения опоры 3 Эпюра моментов М3 приведена на рисунке 6ж. Значение момента равно

ЕІ

т34=з,о-р--т(у)

(27)

й =

Подставляя из уравнений (12), (13), (17) и (18) значения г с противоположным знаком получается

Д =

~(т21 + т23)

-т-

'23

опор 2, 3 и 4

*1=

*2=

*11

*21

*12

*22

*13

*23

-(т2і-т23)

~(тзг)

~(т2з)

-(т32-т34)

О

-(тз4)

(31)

(32)

(33)

Общий вид матричного уравнения метода перемещений

я-г + я=о (34)

как

5^+1^ = О

я-г2+я2 = о я-г3+я3 = о

(35)

Решением матричного уравнения относительно Z будет выражение

(35)

М1 = М1 +мі • М2 = Й2+М{'% М3 = Й3+МГ%

(36)

где М.— матрица изгибающих моментов от единичных смещений:

Уравновешивающий момент В.23 на опоре 3 определен из уравнения равновесия (схема моментов показана на рисунке 6з).

Л2з = т34 (28)

5 Приведение к равновесию узлов системы от единичных смещений опор 2,3 и 4 в матричной форме метода перемещений

Матрица реакций от поворота защемлений на опорах 2иЗ

г'п Ъ (29)

М;=

ти ти

Щі т21

т23 т23

т32 т32

Щ4 Щ4

(37)

-т32 -(т32+т34)

(30)

Векторы реакций в узлах от единичных перемещений

где т12... т34 — из первого столбца — изгибающие моменты от единичного поворота защемления во 2-ом узле;

т12... т34 — из второго столбца — изгибающие моменты от единичного поворота защемления в 3-м узле;

М1, М2иМ3- матрицы изгибающих моментов в системе от смещения упругой опоры, соответственно во 2, 3 и 4 узлах системы.

6 Построение действительных эпюр изгибающих моментов от смещений опор 2,3 и 4

Характер действительных эпюр изгибающих моментов от смещений опор 2, 3 и 4 соответственно М1, М2 и М3, показан на рисунке 7.

7 Определение усилий, возникающих на опорах от единичных смещений

7.1 Усилия на опорах от единичного смещения опоры 2

Усилия определяются по эпюре М1, с учетом продольных сжимающих сил в каждом пролете стержня, а также жесткости опоры 2.

г М21 (М23 + М32) 1 ^ 5Ы 4Ы

21 1,51 21 1,51

'21

(М2з + М32) М34 4Ы

1,51 I 1,51

М,

■34

I

(38)(39)(40)

Для узлов системы это уравнение можно записать

7.2 Усилия на опорах от единичного смещения опоры 3 Усилия определяются по эпюре М2 с учетом продольных сжимающих сил в каждом пролете стержня, а также жесткости опоры 3

М2і _ (М23 + М32) 41V

21 1,51 1,51

_ (М2з + М32) 1 М34

Г22~ Хз7 ~Г

+ Со —

4Ы

--З*

I

32г

N

I

'3 1,51

(41)(42)(43)

N

I

где Я1— матрица, обратная Я.

Действительные изгибающие моменты в системе можно записать как

7.3 Усилия на опорах от единичного смещения опоры 4 Усилия определяются по эпюре М2 с учетом продольных сжимающих сил в каждом пролете стержня, а также жесткости опоры 3

ішг'—-кЭп. Мі тгі(^І-)Шї

1 Шгі 2>%гз з 4 %

вї Л„

4- -г

2 ЛЗгз з 4

Пїгз

Г) 17)2.1 ^г~Ц

Шзг

ЇЇІ21

'

ЩРП 5я-

Шзг 3 Шм 4

д)

е)

Еіг Егг

^їїїгз Шзг Ф ЇЇІ34

2 З

ж) _ ІА з=1

„т.34 і-

_ &

Мз ^¡£ ¡т.

І

Рисунок 6. К определению усилий возникающих от единичного сме-щенияупругихопорах

а)

д

1

б)

Ш 21 жйгМгЗ ж* жг

д-«ггт^^ Эп.

1 2 Мзг З М 34 4

Б) Мзг М.

„.................. .......-лттТТГІІ

А:....................

І гі % Мгз

Эп. М,

Мв

Мгі 2 Мг.

| ТПТПтпт^^.

Мз

Рисунок 7. Характер действительных эпюр изгибающих моментов от смещений опор 2,3и4

8 Условие устойчивости системы

Стержень потеряет устойчивость, если будет выпол-

___ М21 (м23 + м32)

Г23 —

21 1,51

(М23 + М32) М34 1 N

(44)

1,51

гзз —

--М34+Г -К 1 +Сз 1

I +'1

(45)(46)

нено условие

Ги ги Г13

Б = Г21 Г22 Г23 (46)

Г31 Г32 Г33

9 Вычисление наименьшего значенияЛ?, при котором выполняется условие (47) уп = 2,582у = 2,572

у2з = 2,12Ъ =2,113

і>34 = у = 0,996

Нетрудно заметить, что для нахождения наименьшей величиныУ, не равной нулю, при которой определитель В обращается в ноль, необходимо выполнить большое количество вычислений. Для упрощения процесса поиска величины в математическом пакете Mathcad была составлена специальная программа, алгоритм которой представлен на рисунке 8.

В результате решения задачи получено, чтоу = 0,996.

И-=Д н-, и

2,572 -1’221

И

(40)

23 2,113

П

-1,487

^34 0,996 3,154

10 Вычисление коэффициентов влияния продольной силы

Коэффициенты влияния продольной силыи для учасЬ = Рч’Ь (41)

тков стержня определяется по формулам (3)-(5)

Ы = М12= 1,221 • 21 = 2,4411

11. Определение коэффициентов приведения дли-

123 = М23-123=1,487-1,51 = 2,2311

НЫ|!

134 = I*34-134 = 3,154 -1 = 3,1541

Коэффициент приведения^, длины определяется как

12 Вычисление приведенных (расчетных) длин участков стержня I.

Коэффициент приведения длины определяется как Участок 1-2 Участок 2-3 Участок 3-4

Заключение

1 Предложена методика определения расчетных длин элементов поперечной рамы быстровозводимых зданий на примере ее ригеля, как стержня, опертого на нерегулярные упругие опоры.

2 Получены величины расчетных длин для конкретного сочетания геометрических и жесткостных параметров рамы быстровозводимого здания.

3 Разработана программа для автоматизации вычислений коэффициентов влияния продольной силы для участков стержня, опертого на нерегулярные упругие опоры.

Список использованой литературы

1 Артемов А. А. Устойчивость стержневых элементов, работающих в составе решетчатых конструкций: Дис. ... канд. техн. наук / ЦНИИПСК им. Мельникова. М., 2004.174 с.

2 Грудев И. Д. Устойчивость стержневых элементов в составе стальных конструкций. М.: МИК, 2005.320 с.

3 Корноухов Н. В. Прочность и устойчивость стержневых систем. М.: Госстройиздат, 1949. 211 с.

4 Лейтес С. Д. Устойчивость сжатых стальных стержней. М.: Стройиздат, 1954.308 с.

5 Рогицкий С. А. Новый метод расчета на прочность и устойчивость. Свердловск, М.: МАШГИЗ, 1961.354 с.

6 СНиП 11-23-81*. Стальные конструкции / Госстрой России. М.: ГУП ЦПП, 2003. 90 с.

7 СП 53-102-2004. Общие правила по проектированию стальных конструкций. М.: ГУП ЦПП, 2006.131 с.

8 Инвентарные здания из складывающихся секций / Там-плон Ф. Ф., Крохалев В. Г., Ананьин М. Ю., Тарабаев В. Н. // Промышленное строительство. — 1989. — № 12. С. 18-19.

□1(1),

п2(к) := Г|1 (о 5К) а4(х) := а1 (0.5х) пЭД := а4(х)

/і- * 1 П1 (к) := е. ( , ч , 1ап(х) ^ а2(х) := —7 =- /іап(0.й) ^ аЗ(їі) г/ Іап(О.іх) ^

V ЇЗГі(х)) 1 х Х) 1 0.ІК ) "1 0.ІХ )

функции Корноухова Н.В.

для вычисления N и Q

□(*) ■

■ точность решения задачи

Мр1 -

МрЗ ■

О о

-4.5 (11(2.532 к) О

-5.333 - а2 (2.121 - х) -2.667 - аЗ (2.121 х) -2.667-аЗ(2.121 -X) -5.333 а2 (2 121 х) 0 -3-сс1 (х)

ґ 0

-2.25-а1 (2.582-х)

5.333 0(4(2.121-х)

5.333 0(4(2.121-х)

Ч о

-5.333 а4 (2.121-х) -5.333 а4 (2.121 - х) з 0С1 (X)

о

моменты от единичных

поворотов связей

моменты от единичных линеиных

смещений опор (неуравновешенные)

Р!р1 <-Б!р1 <-

Ир2<г-

Р!рЗ<-

11

12^-Я

и и

3 а1(х)

-(МІ2Д + Міз і) -МІ3 2

-МІ41 -(МІ42 + МІ5 2І

'-(Мр12+ Мр13)

-МрІ4 -(МрІ2 + Мр1з)

-МрІ4 -Мр2з -(Мр24 + Мр2^)

■Мр35

'■Ярі

'■Ррг

расчет стержня методом

перемещении

М1 Мр1 + МІН

М2 Мр2 + МІ-І2

МЭ МрЭ + МІ-ІЗ

-МІ2

моменты от единичных

линеиных смещении связей

реакции в связях от единичных смещений

("ТГ)-(=Л- И -М22 2 + М2з+М24 Г4х21 і, +11., .,1 -мз2 2 МЗз + МЗ4 1.5

'М1з+М14> М1з (л г2 ' { и Г 1 Ні.;] ^ М2з + М24^ 2 ^ МЗ3 + МЗ44 *ш

-МІ5 М25 н2 1 1 и 2 X + 6 1

|0|

начальное

Рисунок 8. Программа поиска значения V в математическом пакете Ма^сас]