К вопросу применения методов исследования электрических цепей к решению задач изгиба плоских стержневых систем Текст научной статьи по специальности «Физика»

И 3 В I: С 'Г И я

ТОМСКОГО ОРДШ1Л '1 РУДОВОГО КРАСНОГО 311ЛМ1:1 III IЮЛИИ:X11ИЧГСКОК) Том 72 ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА 1952 г.

К ВОПРОСУ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ИЗГИБА ПЛОСКИХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

Г. Е. ПУХОВ Введение

Методы исследования электрических цепей, в особенности за последние годы, стали широко внедряться в смежные области науки [1—13 и др.]. Наиболее эффективными в этом отношении оказались методы электрического моделирования и известный метод электромеханических аналогий.

Настоящая работа ставит своей целью описание метода определения изгибающих моментов и перемещений плоских стержневых систем (неразрезных балок, рам и т. п.), основанного на замеченной возможности привести изгибаемый стержень к активному^; электрическому трехполюс-нику.

Для простоты в работе рассматриваются лишь задачи статики.

1. Трехполосная электрическая схема замещения изгибаемого стержня

Пусть стержень 1—2 (фиг. 1) находится под воздействием изгибающих моментов Муг и М2и реакций /?х и Л?2 и под влиянием произвольно распределенной по его длине внешней нагрузки, действие которой характе-

Фиг. 1. Изгибаемый стержень.

ризуется площадью (о>) эпюры изгибающих моментов (при условии свободных шарнирно опертых концов) и расстоянием (а1) ее центра тяжести до точки 1 (или VI до точки 2).

Известно [14], что в этом случае связь между углами поворота срх и <р2 концев стержня, углом Ф, характеризующим смещение у2 — ух концов,

изгибающими моментами и, наконец, опорными реакциями, выражается системой уравнений:

Мп = ш (2 ъ + ?а -ЗД - -Ц- (3 г; - 1),

= 2|-(?1 + 2 ?2 -3'}») -Ь у - (3 и- 1),

(1.1)

Я, - Я10 = - (<?, + <?2 - 2 <10 - -^-(и - г.),

/?, - - 6 (?, + <Р* - 2 -V) + (« - V)

(действие продольных сил не учитывается), где I — длина стержня, /?10 и /?2(| — опорные реакции от внешней нагрузки в стержне со свободными шарнирно опертыми концами, /—момент инерции стержня относительно его оси, ¿" — модуль упругости.

Поскольку стержень характеризуется, вообще говоря, четырьмя входными величинами (<рь Мг1у ух и и четырьмя выходными (<?2» М-п, У2 и Л?2). то обычно считается, что электрическим изображением стержня является восьмиполюсник [8, И].

Расчет электрической цепи, состоящей из восьмиполюсников, сложен и приводит к громоздким вычислениям. Покажем, что в качестве электрической схемы, изображающей стержень, может быть взята несравненно более простая трехполюсная схема.

Действительно, замечая, что

М12 - М2Х = - /(/?! - Я1о) -1(#2 - #20), (1.2)

и определяя из первых двух уравнений (1.3) углы ъх и

= МХо Л— мп + + Ф, (1.3)

3£7 6 Е1 Е1

I хя \ • I ЯД I

— ъ —------м2х Н--— Ф

' 6 ЕI 3 Е1 Е1 Т

и, наконец, трактуя углы как напряжения и э. д. е., а изгибающие моменты как токи электрической цепи, нетрудно усмотреть, что зависимостям (1.2) и (1.3) отвечает схема активного электрического трехполюс-ника, приведенная на фиг. 2. Цепь эта1) вполне определяется углом <]> и величинами

/ а 0 со и

г —--, Эх=- и 3, —---, (1,4)

6 Е1 Е/ " Е1

которые назовем параметрами схемы замещения стержня.

Различные нагрузки стержня и способы закрепления его концов отображаются на схеме замещения следующим образом: 1) стержень с несме-

От Т-обра:шоп схемы замещения легко, разумеется, при необходимости игройгн к П-оГ)рлзной схеме [18].

щающимися концами 4 — 0, 2) к стержню не приложена внешняя нагрузка (о™ о и, следовательно, Э1~Э2 = 0, 3) жесткое закрепление левого конца стержня 4) жесткое закрепление правого конца стержня

ср2™0, 5) шарнирное закрепление левого конца стержня Му%= 0 (разумеется, если не прикладывается какой-либо внешний изгибающий момент) и т. д.

Фиг. 2. Т-образная схема замещения (электрический аналог) изгибаемого стержня.

Значения параметров Эх и Э2 для различных видов нагрузки стержня, подсчитанные по формулам (1.4), приведены в приложении.

2. Порядок расчета стержневых систем по предлагаемому методу (методу трехполюсника)

Имея полученную выше трехполюсную схему замещения изгибаемого стержня, можно предложить следующий порядок расчета плоских стержневых систем:

1) определение параметров вида г, Эх и Э2 схем замещения стержней, составляющих рассматриваемую систему;

2) составление схемы замещения всей стержневой системы с учетом граничных условий (способов закрепления концов и т. п.);

3) расчет схемы замещения стержневой системы как обычной электрической цепи с привлечением к решению уравнений статики

ЕГ=0 и т. д.).

Следует отметить, что рассматриваемые схемы замещения стержневых систем относятся к электрическим цепям постоянного тока, расчеты которых являются наиболее простыми. Для определения распределения токов и напряжений в схемах замещения могут быть применены любые методы исследования линейных электрических цепей, в частности, методы контурных токов и узловых напряжений, теорема об эквивалентном генераторе, метод составных четырехполюсников [19—21] и т. д. Для расчета цепей особенно сложной конфигурации целесообразно применять метод подсхем, основанный на разложении сложной цепи на последовательно, параллельно и смешанно соединенные подсхемы [22].

Изгибающие моменты, действующие в различных узлах стержневой системы, и углы поворота узлов будут изображаться на схеме замещения соответствующими электрическими токами и напряжениями.

Дальнейшее построение эпюр изгибающих моментов, поперечных перерезывающих сил и т. д. может производиться обычными приемами строительной механики.

Несколько примеров, поясняющих сказанное, приведены в приложении.

3. Замечание об уравнении трех моментов

При расчетах неразрезных балок (фиг. За) часто используется уравне ние трех моментов:

Мн-. 1+2

■ь

и

к + 1

1К

Ч-1

—6

Щ и к ! / 2

6

IК ч- 1

] Vk.1T 1

к + 1

+ 1 11к-1- I

(3.1)

Написав уравнение контурного тока для к-той ячейки схемы замещения балки (фиг. 36)

ГКМК - 1 + 2 (гк I- Гк + 0 Ми + /V +! + ! = — - Э^« -ь ч

(3.2)

яебг'

I

р

и, принимая во внимание выражение (1.4), убеждаемся в тождественности уравнений (3.1) и (3.2).

Таким образом, метод расчета неразрезных балок, использующий уравнение трех моментов, является аналогом расчета цепных электрических схем по методу контурных токов, заметим, весьм а неподходящему для этой цели.

4. Замечание о методе фокусных точек

В строительной механике известна теория так называемых фокусных отношений, имеющая большое значение для практических и теоретических расчетов неразрезных балок и рам. Теория эта сводится к нахождению па каждом незагруженном пролете точек (называемых моментными

фокусами), в которых происходит изменение знака эпюры изгибающих моментов. Теория основывается на вычислении фокусных отношений X по формулам*

$ к-1 з? з;

(С^ г"

_____4--------

Фиг. 3. Неразрезная балка и ее схема замещения.

О)

к\ /

м,

и

Ск

Ми

I

(4.1)

8)

Фиг. 4. Неразрезнаи балка п ее схема замещения для случая, когда нагрузки находятся правее лг-той опор гл.

ние определяется в общем случае зависимостью:

где ск — расстояние от фокусной точки до левой опоры к-тото пролета от нагрузки, расположенной на правых относительно него пролетах.

Обращаясь к схеме замещения (фиг. 4) ¿-того стержня и учитывая, что как она, так и схемы замещения всех левых пролетов пассивны (параметры типа Эь Э2 и ^ равны пулю), видим, что фокусное отноше-

М,

м,

= - +"

(4.2)

где Гу — сопротивление, отвечающее левой части балки, кроме рассматриваемого к-того пролета.

В частных случаях: а. = О (левый конец ¿-того пролета защемлен) \к = 2, б. п = оо (левый конец ¿-того пролета шарнирно оперт) и т. д. Последние соотношения хорошо известны в строительной механике. Значение п легко найти прямо по схеме замещения балки обычными приемами замены последовательно и параллельно соединенных сопротивлений эквивалентным.

Таким образом, мы приходим к выводу о существ^ании аналогии между методом фокусных отношений строительной механики и простейшими приемами известного в электротехнике метода преобразования (трансфигурации) электрических цепей.

5. Заключение

Выше было доказано, что изгибаемый стержень может быть приведен не только к восьмиполюсной системе, как это обычно считается, но и к несравненно более простой трехполюсной. Изображение стержней в виде активных электрических трехполюсников позволяет несколько упростить расчеты плоских стержневых систем и применять к ним любые методы исследования электрических цепей.

Автор надеется, что изложенный метод окажется полезным в практике расчетов строительных конструкций, так как при его применении могут быть использованы возможности как теории электрических цепей, так и теории сооружений.

Разумеется, предлагаемые электрические схемы замещения стержневых систем могут быть легко осуществлены в лаборатории, после чего вычисления изгибающих моментов и углов поворота заменятся измерением соответствующих токов и напряжений.

Приложение 1. Параметры схемы за меще ни я изгиоаемо го стержня постоянного сечения

№ ii.ii. Вид загружения Параметры

э1

1 2 1 ^Р ,2 [<-а 1~> \ <— р /-> 1 « - Р = 1-2 б Е1 к ~ ' РР 16 £ / 6ЕI РР 16£7

| 24 ЕI ^ _^ 1 цР 24 Е1

I

дР

! 24 Я/

<— а / —>

р/

а / -> -» М

I

1 ! 2

М1

< <■

Н/

6 Е\

2 а2 дР 24 Е1 (2 — а2) а2

"О М1 6 ЯI (ЗаЗ-1)

Приложение 2. Примеры расчета балок и рам.

Пример 1. Определим угол ср) и изгибающий момент М2, для балки фиг. 5а. Из схемы замещения (фиг. 56) получаем

М21 =

Э-, 2 г

дР

так как

I

<7

16 Е1

(П.1) (П.2)

г —

6 Е1

Э, = Э2 =

дР

24 Е1

(см. приложение 1). Знак минус указывает на то, что защемляющий момент действует против выбранного положительного направления. Значения М21 и общеизвестны и приводятся, например, в [15].

а) я

>Мг:

5) ^о э,

я

Зг

-г

I

—--о—>

Зг

б)

-с»3/г'

Фиг. 5. Балка и се схема замещения.

Фиг. 6. Рама и ее схема замещения.

Пример 2. Определим изгибающие моменты в узлах рамы1) фиг. 6.

В силу симметричного приложения нагрузки Р узлы рамы не будут смещаться, а только поворачиваться, и поэтому <Ь — 0. В схеме замещения электрические напряжения, между точками О — а и 0—б, очевидно, будут равны нулю, вследствие чего сразу находим

М12 = Мп =

Э

3г, 2 + 3 ги + Э

(-ГнХЗгн+Згз,)

Г14+ЗГИ + ЗГ

34

3 (г12+ Зг"2

Згц + Згз,

(П.З)

Подставляя сюда

Л3 6£/12

3£7

и

Я/

г.

34

4 3£7

окончательно получаем

Л*12 = :!/■„ =

3

12 Р

23

12

2 Р

ЕI

= — 0,5217 Я.

(П.4)

(П.5)

Данные для примера злимспювпиы из [16, задача 13, 15].

Изгибающие моменты в узлах 3 и 4 будут

г,

Ми — М,г - Мъг = Ми=—М-

и

12

2гИ + Згм

2Р_ "23

0,08695 Р. (П.6)

Приближенное решение этой задачи по методу фокусов, приведенное в [16], имеет вид:

Мп = М2} = — 0,5224 Р, М{Х == уИ .13 = = Ми= — 0,087 Р. (П.7)

Пример 3. Найдем опорные изгибающие моменты неразрезной балки1) фиг. 7 от осадки опоры В на величину Д.

Фиг. 7. Неразрезная балка с осевшей опорой и ее схема замещения

Параметры схемы замещения равны

I

I

г —----- И 6

6ЕГ

(П.8)

На основании теоремы об эквивалентном генераторе (теоремы Теве-нена—Гельмгольца) непосредственно из схемы находим изгибающий момент Мс:

М,

2<Ь 4 г

'—5г

4-3—~ Г~ 5 г-р ( г) 5 г + (—г)

7 г

18 ЕI

ИI

2,57 -^-Д.

7/2 I-

Изгибающие моменты в сечениях В и О будут

(Г 1.9)

Мв

6 г—-~ Г \МС

М0 = А/,

о г

( '•)

4 г

8

140 г

51 ЕI

3 Ф

28 г

14 /2 9 Е1

Д = 3,65

/-;/ I-

д од; 12 7:7 д,

14 г /з

(П.10)

Данные зaимcтвJвaны из [16, задача 10,17].

Найденные значения Мв, Мс и совпадают с полученными обыч-

ными методами строительной механики [16, задача 10.17].

Пример 4. Определим защемляющие моменты в узлах рамы междуэтажного перекрытия (фиг. 8а).

с!

- 2 Ум

3

ч&Э—

А/

- г

ф

Фиг. 8. Рама'междуэтажного перекрытия и'ее Ц схема замещения.

Схема замещения рамы показана на фиг. 86. Параметры Э и г схемы равны1)

Э =

дР

2.5:;

24 Е1 24 ВI

I 5

125 12 £7

Заметим, что

Э

6Е1 6 Е1

12,5 тж.

(11.11)

(11.12)

Рассчитывая схему любым из методов электрических цепей (наиболее целесообразно применить метод трансфигурации), находим

Ж..-.

Уравнение статики

Я.-, + /?о

11 э <Ъ 32 Э 2 6

32 г ~ 8г ' г 8 г

6 Э 2 6 V - 1 -Э- 4- <ъ

32 г 8 г ' 32 Г 87'

5 32 -э- + г 3 0 8г ' М,а = - -— 32 г 3 6 8 г

М,Г1 +■ м,л

— о

(П. 13)

(П.14)

1) Данные примеры заимствованы из [17, стр. 121].

позволяет определить угол поворота стоек 2—5 и 3—6:

ф = _ А. = _ (ПЛ5)

6 72Е1

Подставляя значения.'ж и г в уравнения (П.13), окончательно получаем

М21 =

м2а = --

775 192

550

192

Мог. ~

225 192

= — 4,036 тм, — 2,864 /иж, = 1,172 тм,

Ма.

32

125

96

Ж-

25

192 225 192

= 1,302 тм, 0,13 тм, (П. 16) = — 1,172 тм.

Точно такие же значения изгибающих моментов приведены в работе Г. В. Ульянинского [17, стр. 121], из которой заимствованы данные рассмотренного примера.

Фиг. 9. Двухярусная рама и ее схема замещения.

Пример 5. Определим момент в узле №3 рамы, показанной на фиг. 9а. Параметры схемы замещения (фиг. 96) равны

Г, о =

¿12

6£7„ 10

Е1

9

= г,

Э= 4 -3-1 24 Е1,,

6

_5 Л0;; 48 "

Гп — г,

г.

(П.17)

В силу симметрии системы напряжения между точками 0,— а и 0б равны нулю. Поэтому искомый момент находится просто по закону Ома

где гэ -

М,-= 704 г

Э

гэ

16.704

20,7 тм,

(П.18)

3.47

сопротивление, измеренное между зажимами [источ-

ника э. д. с. Э при условии, что точки а и б замкнутся накоротко с точкой О.

Заметим, что решение этой задачи по приближенному способуТпроф. Б. Н. Жемочкииа, приведенное в |1(>, задача 1.3. 22, стр. 116 и 391], дало в результате значение М3=20,8 тм.

л 11 т 1; р л т ура

Л. Л. \ ,1 р к с к н ч. Теории электроакустических аппаратов, М.» 1910.

2. Л. А. X арке и н ч. Теории преобразователей, Госэнергоизлат, 1048.

Л. А. Л. X а р к е в и ч. К расчету механических колебательных систем, ЖТФ, т. IV, в. 6, 1934.

4. В. В. Фу р д у е в. Электроакустика, ГТТИ, 1948.

5. В. В. Ф у р д у е в. Теоремы взаимности, Гостехиздат, 1948.

Г). Г. О л ь с о п. Динамические аналогии, ГНИЛ, 1947.

7. Л. И. Гуте н м а хер. Электрическое моделирование (электроинтегратор), изд. АН СССР, 1943.

8. С. Г. М и л е й к о-в с к"и й. К вопросу о приведении колеблющегося стержня к восьми полюс Н011 системе, ЖТФ, т. XI, в. 8, 1941.

У. Н. М. Т б т е л ь б а у м. Исследование крутильных колебании ваюв 'поршневых двигателей путем электрического моделировании, изд. ВИТ, М., 1048.

10. Н. Н. Андреев. К расчету глушителей для моторов внутреннего сгорании, ЖТФ, т. XVI, в. 6, 1946.

11. Н. М. Тете л ь б а у м. Электрическое моделирование упругих систем в динамических задачах строительной механики. Сб. „Повышение прочности деталей машин", изд. АН СССР, 1949.

12. Ю. Н. Г р и з о д у б. Применение теории пассивных четырехполюсников к расчету распространении колебаний давления в разветвленных гидравлических системах авиадвигателей, Автоматика и телемеханика, т. XI, 1950.

13. А. Л. Г о ф л и н. Электрическая^модель балки, лежащей на упругом основании, Электричество, № 5, 1947.

14. Н. М. Р а б и н о в и ч. Строительная механика стержневых систем, Стройиздат, 1916.

15. А. И, Д и н н и к (ред.). Справочник по технической механике, Гостехиздат.-1949.

16. Н. Л. Кузьмин, В. Г. Рекач, Г. И. Розепблат. Сборник задач по теории сооружений, ^Стройиздат, 1950.

17. Г. В. У л ь я_н и н с к и п. Расчет рамных конструкций, Томск, 1931.

18. П. Л. К а л а н т а\р о в. Теория переменных токов, Госэнергоиздат, 1940.

19. Э. В. З'е л я х. Основы теории четырехполюсника, Вестник электротехники, № 3 и 7, 1931.

20. Г. Е. Пухов. Уравнения активного четырехполюсника, Научные записки ЛПИ, в. VIII, Львов, 1949.

21. Г. Е. Пухов. Геометрическая теории цепей, состоящих из четырехполюсников, Научные^записки ЛПИ, в. X, Львов, 1949.

22. Г. Е. II у х о в. Теория метода подсхем, Электричество, № 8, 1952.