Научная статья на тему 'Приложение теории графов и автоматов к решению задач динамики стержневых систем'

Приложение теории графов и автоматов к решению задач динамики стержневых систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
442
61
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ТЕОРИЯ ГРАФОВ И АВТОМАТОВ / ЗАДАЧА / ДИНАМИКА / СТЕРЖНЕВАЯ СИСТЕМА / ТЕОРіЯ ГРАФіВ і АВТОМАТіВ / ДИНАМіКА / СТРИЖНЕВА СИСТЕМА / GRAPH AND AUTOMAT THEORY / TASK / DYNAMICS / BAR SYSTEM

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Распопов А. С.

На основе проведенного анализа научной литературы отмечается, что используемые в теориях графов и автоматов теоремы и алгоритмы могут служить основой для уточнения и развития общепринятых теорий и методов в механике стержневых систем.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

THE APPLICATION OF GRAPH THEORY AND AUTOMATA TO SOLVE DYNAMICS PROBLEMS STEINEBACH SYSTEM

On the basis of conducted analysis of scientific literature it is noted that the theorems and algorithms used in theories of graphs and automata can serve as a basis for the refinement and development of generally accepted theories and methods in the mechanics of beam systems.

Текст научной работы на тему «Приложение теории графов и автоматов к решению задач динамики стержневых систем»

УДК 624.071.3

А. С. РАСПОПОВ (ДИИТ)

ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРАФОВ И АВТОМАТОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

На 0CH0Bi проведеного ан^зу науково! лггератури вiдмiчаeться, що теореми й алгоритми, як1 викорис-товуються в теорiях графiв i автомапв, можуть служити основою для уточнення та розвитку загальноприй-нятих теорш i методiв в механiцi стержневих систем.

На основе проведенного анализа научной литературы отмечается, что используемые в теориях графов и автоматов теоремы и алгоритмы могут служить основой для уточнения и развития общепринятых теорий и методов в механике стержневых систем.

On the basis of conducted analysis of scientific literature it is noted that the theorems and algorithms used in theories of graphs and automata can serve as a basis for the refinement and development of generally accepted theories and methods in the mechanics of beam systems.

Наряду с традиционными методами, позволяющими рассчитывать свободные и вынужденные колебания стержневых систем, все более широкое применение находят топологические методы, связанные с исследованиями структуры графов, представляющих такие системы [1 - 8]. Появилась возможность получить эффективное средство формализации современных инженерных задач, возникающих при изучении сложных механических систем, и разработки оптимальных вычислительных алгоритмов.

В настоящее время имеется множество публикаций, посвященных приложениям теории графов в различных областях исследований. Их детальный обзор и тематическая классификация приведены в работе J. Montbrun-DiFilippo и M. Delgado [9]. Следует также назвать монографии М. Свами, К. Тхуласираман [10], В. П. Сигорского [11], Р. Басакер, Т. Саати [12], В. А. Горбатова [13], в которых излагаются как основы теории графов, так и примеры их практического применения, в частности, в задачах сетевого планирования и управления, построения систем связи и передачи информации, выбора оптимальных маршрутов и потоков в сетях, проектировании механических систем, построении электрических цепей и других. Отметим работы, в которых применялись связные графы для изучения динамики транспортных средств [14 - 16], моделирования механических систем [5, 17, 18], стержневых конструкций [8, 19 - 22], динамики твердого тела [7, 23 - 25] и др. Кроме того, графы широко используются в различных разделах математики, теории конечных автоматов и теории групп [26 - 28].

В свою очередь, конечные автоматы, являясь составной частью теории систем, применяются в самых разнообразных областях науки и техники, таких как электротехника, механика, физиология, лингвистика, а также в задачах анализа и синтеза различных технических устройств, систем и процессов, разработке программ и алгоритмов [11, 29 - 31].

O. Shai, K. Preiss [17], подводя итоги различных исследований, на примере плоской фермы, возвратно-поступательного механизма и планетарной передачи показали, что дискретные математические представления теории графов, матроидов и линейного программирования содержат элементы и структуры, изоморфные многим техническим системам. В следующей работе [18] авторы переходят к логическому выводу, имеющему важное практическое применение. Представляя элементы различных технических систем в виде математического графа, несложно определить, насколько обоснована топология данного графа и, следовательно, топология данной технической системы. Проведение такого анализа до перехода к основному статическому расчету дает явные преимущества, сокращает время на проектирование и исключает вероятность ошибки. Кроме того, дальнейшие исследования N. Ta'aseh, O. Shai [8] открывают новые перспективы для использования известных теорем сопряженных структур в механике, которые могут быть выведены из принципа теоретической двойственности графов, представляющих реальные конструкции.

F. F. Tsai, J. E. Hang [14, 15] вводят понятие топологического анализа, под которым понимается исследование структуры графа, описы-

© Распопов А. С., 2010

вающего систему твердых тел. Разработанная методика позволяет приводить граф к структуре дерева и находить пути оптимизации вычислительных процедур для расчета кинематических и динамических характеристик механической системы. Для конкретных примеров многозвенного механизма и четырехколесного экипажа получены матрицы ориентации, скорости и ускорения точек тел.

Работа Е. Г. Кузовкова, А. А. Тырымова [32] посвящена изучению возможностей графового подхода к разработке статических расчетных схем повышенной точности, в частности, при построении дискретной модели упругой орто-тропной среды. Вначале среда рассекается на элементы (подграфы), имеющие известное математическое описание. Затем с помощью матриц, гарантирующих структуру графа-модели и уравнений, описывающих отдельные элементы, получают уравнения системы в целом.

Практически из той же идеи исходит метод Г. Крона [33], получивший название «диакоп-тика». Проводя аналогию между электрическими сетями и системами самой различной физической природы, автор с помощью топологических моделей, матричного и тензорного исчисления получает общее решение по уравнениям отдельных ее частей.

В работе В. А. Баженова, В. Ф. Оробей и др. [4] для рассчитываемой методом граничных элементов стержневой системы составляется ориентированный граф, который практически не отличается от принятой расчетной схемы и содержит номера узлов с указанием начала и конца каждого стержня. Для составления разрешающих уравнений используются топологические матрицы, связанные с переносом конечных параметров и сохраняющие свою структуру в задачах статики, динамики и устойчивости стержневых систем.

На основе применения теории графов K. Watanuki, H. Ohtaki и др. [16] предложили аналитический метод, позволяющий с помощью специальных средств компьютерной алгебры автоматизировать расчет динамических характеристик многомассовых механических систем. На примере моделей с двумя и тремя степенями свободы вычерчивается граф системы, составляются уравнения движения и рассчитываются параметры колебаний. Аналогичный подход использовали в своих работах J. J. McPhee, S. M. Redmond, P. Shi [7, 34, 35] для представления топологии системы твердых тел и составления уравнений движения с по-

мощью специальной компьютерной программы в символьной форме.

Ma Zheng-Dong, N. Kikuchi и др. [6] методы топологической оптимизации относят к одним из самых перспективных направлений оптимального проектирования конструкций, в частности, при отыскании показателей наилучшего распределения конструкционного материала. Предлагается также использовать способ топологической оптимизации в задачах расчета собственных значений однопролетных балок и плоских рам с различными граничными условиями. Развитие этот метод получил в работах

G. Guo, N. Morita, T. Torii [21], Y. Dong,

H. Huang [20], в которых используется генетический алгоритм для топологической оптимизации ферменной конструкции и определения оптимальных динамических характеристик плоского четырехзвенного механизма, а также в работе K. Shea, J. Cagan, S. J. Fenves [22], где рассматривается топологическая задача оптимального проектирования стержневых конструкций с целью наилучшей группировки структурных звеньев.

Одной из важнейших проблем, возникающих при расчете колебаний стержневых и балочных конструкций на ЭВМ, является формализация ее топологии и автоматизация формирования коэффициентов системы уравнений. И. П. Осолотков, Е. К. Резников [3] для формализации топологии таких конструкций предложили выделение типовых структурных элементов (звено, связь, включение) и присвоение им векторов признаков. Эффективная методика для идентификации изоморфных графов разработана Ch.-H. Hsu, K.-T. Lam [36], где также приведен простой алгоритм перемаркировки вершин графа и получения его топологического кода.

G. Bojadziev, L. Lilov [24] представили уравнения движения системы твердых тел, которые можно разделить на две группы: первая описывает топологию, т.е. совокупность связей между подсистемами, а вторая - физические процессы, происходящие в этих подсистемах. В монографии А. И. Телегина [37] разработана методика формального составления уравнений механики систем твердых тел с помощью таблиц структурных, кинематических и массо-инерционных параметров. В результате использования теории графов K. P. Arczewski, F. A. Dul [23] получили матричное выражение для угловых скоростей отдельных твердых тел системы. Показано, что абсолютная скорость любого тела зависит от топологической струк-

туры системы, которую удобно представить в виде системного и размерного графов. Первый определяет взаимосвязь элементов системы, а второй - прослеживает возможные переходы к основанию от каждого тела.

T. F. Brown [25] для анализа относительно простых динамических систем использует методы прямого моделирования. Такой подход приводит к тому, что специалист создает модель в виде связного графа, который раскрывает сущность конструкции и содержание самой модели, тем самым предотвращает возможность совершения разного рода ошибок и ускоряет процесс благодаря получению набора легко решаемых алгебраических уравнений. Для расчета сложных систем автор предлагает методы непрямого моделирования, основанные на расчетах энергии с помощью уравнений Ла-гранжа и Гамильтона, которые также совместимы с основными связными графами. Как доказательство приведены многочисленные примеры в виде плоского двухзвенного механизма, системы с переменной регулируемой массой, гиросистемы и др.

Статьи D. Karnopp [5] и B. Maschke [38] развивают предшествовавшие работы, посвященные применению связных графов к исследованию энергетических потоков в физических системах. В частности, предлагается способ построения графа при нелинейных характеристиках конечных связей, который демонстрируется для механического дифференциала при помощи полей инерции и податливости конструкции с последующим аналитическим описанием движения системы уравнениями Лагранжа и Гамильтона.

Топологические аспекты механики стержневых систем, а также основные понятия теории графов использованы А. П. Филиным, О. Д. Тананайко и др. [19] в статических расчетах строительных конструкций с применением классических методов сил и перемещений. Графовая модель и функция Грина использовались в работе М. Абдульмаджида и В. А. Прядиева [39] при расчете колебаний упругой сетки из струн, сочлененных пружинами.

Приложение булевой алгебры, математической логики и некоторых понятий теории конечных автоматов к решению плоской задачи изгибных колебаний пластин и цепных стержневых систем можно найти в работах В. Л. Рвачева [40] и Г. Н. Эйхе [41]. В первом случае для описания сложных краевых условий в расчеты вводятся специальные R -функции, которые являются функциями обычных непре-

рывных аргументов и обладают рядом свойств функций алгебры Буля. Во втором - применяется метод прогонки в сочетании с ассоциированными матрицами, действия над которыми сведены к простым и наглядным операциям.

A. С. Галиуллин [42], анализируя основные задачи динамики механических систем, отметил, что они как по постановке, так и по методике их решения могут быть рассмотрены в виде прямой и обратной задач теории симметрии, предполагающей существование исходного и отображенного множеств. Особенно четкое представление составляющих симметрии наблюдается в системах динамической аналогии между процессами различного физического содержания.

Как известно [43, 44], формальное сходство дифференциальных уравнений, описывающих колебательное движение механических, электрических, акустических и других систем позволяет провести динамические аналогии между ними.

К примеру, уравнения Лагранжа второго рода для электрической системы (уравнения Ла-гранжа-Максвелла) по аналогии «сила-напряжение» выражают второй закон Кирхгофа, а по аналогии «сила-ток» - первый. Поэтому выводы, полученные при исследовании уравнений одной системы, могут быть распространены на другие динамически аналогичные системы.

B. Ю. Бобыльченко, П. М. Чеголин [45] использовали метод электромеханических аналогий для определения собственных изгибных колебаний балок с сосредоточенными регулярными массами. Электрическая схема замещения колеблющейся балки представлена в виде четырехполюсника, а динамические уравнения - в форме метода начальных параметров, содержащие в качестве неизвестных либо углы поворота и изгибающие моменты, либо линейные перемещения и перерезывающие силы. В статье С. В. Кудинова [46] показана возможность электрического моделирования связанных изгибно-крутильных и поперечно-продольных колебаний простой балки. Проведены аналогии между уравнениями в электромагнитных цепях и дифференциальными уравнениями, полученными для механических систем. В работе Г. Крона [33] упругая балка рассматривается как шестифазная линия передачи. При этом линейные и угловые смещения балки возникают под действием приложенных сил точно так же, как и электрические токи в трехфазной линии передачи под действием приложенных напряжений.

В свою очередь, анализ электрических цепей удобно проводить с помощью теории графов [10, 12]. В этом случае соотношения между токами и напряжениями на элементах цепи вытекают из законов Кирхгофа и отношения ортогональности между цикломатической матрицей и матрицей сечений соответствующего ориентированного графа. Излагаемые в работах Ю. Г. Минкина, К. Ю. Красносельского [1, 2] методы исследования колебаний некоторых механических систем обобщают результаты, полученные в теории электрических цепей. Стержень представляется в виде двухполюсника, соединенных дугой графа. Составление дифференциальных уравнений производится по методу интегральных координат. Однако следует отметить сложность формирования разрешающей системы уравнений даже для простых конструкций, а также большой порядок получаемых матриц, включающий до нескольких тысяч строк (столбцов).

Дальнейшее развитие этого направления предложено O. Shai [47] для решения задач проектирования с помощью дискретных математических моделей. Когда различные технические системы представляются в виде одного и того же графа, существует возможность обмена информацией между ними через каналы связи. Это свойство автор использует для преобразования задач по проектированию из одной области в другую с последующим поиском решения в этой вторичной области. Как только решение найдено, оно трансформируется обратно в первоначальную задачу и возвращается в исходную область.

Как известно [33], разработанная математиками фундаментальная наука о структурах (комбинаторная топология) послужила мощным толчком в развитии теории электрических цепей. В связи с этим можно ожидать, что использование основных понятий комбинаторной топологии для анализа и расчета механических систем также будет служить развитию существующих и созданию новых более мощных методов их исследования.

Имеющийся опыт позволяет предположить, что интеграция топологических и автоматных методов наиболее перспективна по отношению к методам решения краевых задач на базе граничных интегральных уравнений [48]. В числе работ, использующих модели стержневых систем с распределенными параметрами, все чаще применяется метод граничных элементов [4, 48 - 51], который превосходит многие методы по точности получаемых результатов, про-

стоте алгоритма, экономичности использования ресурсов ЭВМ, времени подготовки данных и времени счета и т.д. Среди упомянутых обращают на себя внимание работы отечественных ученых В. А. Баженова, В. Ф. Оробея и др. [4, 51], в которых основные соотношения метода начальных параметров используются в задачах динамики стержневых систем на качественно более высоком уровне. Дальнейшее развитие МГЭ возможно за счет решения некоторых проблем, связанных с точным учетом сосредоточенных масс и сил инерции подвижных элементов, исключением из матриц нулевых ведущих элементов, раскрытием определителей высоких порядков, а также с детальной проработкой вопросов расчета совместных колебаний двух- и трехмерных стержневых систем, учетом различных факторов реальных конструкций и других.

По результатам краткого анализа научной литературы можно отметить, что многие стержневые конструкции могут быть представлены в виде графов и автоматов, однако лишь небольшое число публикаций посвящено использованию понятий комбинаторной топологии в решении инженерных задач, возникающих при изучении сложных механических систем. Тем не менее, ряд научных исследований показывает, что используемые в теориях графов и автоматов теоремы и алгоритмы могут служить основой для уточнения и развития общепринятых теорий и методов в механике стержневых систем.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Красносельский, К. Ю. Новый алгоритм исследования динамики сложных пространственных конструкций [Текст] / К. Ю. Красносельский, Ю. Г. Минкин // Пробл. прочн. матер. и сооруж. на трансп. - 1989. - С. 49-59.

2. Минкин, Ю. Г. Топологические методы исследования колебаний некоторых механических систем [Текст] / Ю. Г. Минкин // 3-й Всесоюзн. съезд по теор. и прикл. механике: Сб. аннотац. докл. (Москва - 1968). - Изд-во АН СССР, 1968. - С. 16-20.

3. Осолотков, И. П. Матричный метод расчета динамических характеристик систем с упругими звеньями [Текст] / И. П. Осолотков, Е. К. Резников // Сб. науч. тр. Челяб. политехн. ин-та. -1981. - № 254. - С. 74-78.

4. Строительная механика. Применение метода граничных элементов: [спец. курс] [Текст] / под ред. В. А. Баженова. - Одесса: Астропринт, 2001. - 288 с.

5. Karnopp, D. An approach to derivative causality in bond graph models of mechanical systems [Text] /

D. Karnopp // J. of the Franklin Institute. - 1992. -vol. 329, № 1. - Р. 65-75.

6. Ma, Zh.-D. Topological optimization technique for free vibration problems [Text] / Zh.-D. Ma [et al.] // Trans. ASME J. Appl. Mech. - 1995. - vol. 62, № 1. - P. 200-207.

7. McPhee, J. J. On the use of linear graph-theory in multibody system dynamics [Text] / J. J. McPhee // Nonlinear Dynamics. - 1996. - vol. 9, № 1-2. -P. 73-90.

8. Ta'aseh, N. Graph theoretical duality perspective on conjugate structures and its applications [Text] / N. Ta'aseh, O. Shai // Eur. J. Mech. A. - 2005. -vol. 24, № 6. - P. 974-986.

9. Montbrun-Di Filippo, J. A survey of bond graphs: theory, applications and programs [Text] / J. Mont-brun-Di Filippo, M. Delgado // J. of the Franklin Institute. - 1991. - vol. 328, № 5-6. - P. 565-606.

10. Свами, М. Графы, сети и алгоритмы [Текст] / М. Свами, К. Тхуласираман. - М.: Мир, 1984. -455 с.

11. Сигорский, В. П. Математический аппарат инженера [Текст] / В. П. Сигорский. - К.: Техника, 1975. - 768 с.

12. Басакер, Р. Конечные графы и сети [Текст] / Р. Басакер, Т. Саати. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. - 368 с.

13. Горбатов, В. А. Фундаментальные основы дискретной математики. Информационная математика [Текст] / В. А. Горбатов. - М.: Наука, Физ-матлит, 2000. - 544 с.

14. Tsai, F.-F. Real-time multibody system dynamic simulation. P. I. A modified recursive formulation and topological analysis [Text] / F.-F. Tsai,

E. J. Huag // Mech. Struct. and Mach. - 1991. -vol. 19, № 1. - Р. 99-127.

15. Tsai, F.-F. Real-time multibody system dynamic simulation. P. II. A parallel algorithm and numerical results [Text] / F.-F. Tsai, E. J. Huag // Mech. Struct. and Mach. - 1991. - vol. 19, № 2. -Р. 129-162.

16. Watanuki, K. Automation to mechanical vibration systems [Text] / K. Watanuki [et al.] // Nihon kikai gakkai ronbunshu. C. = Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. C. - 1993. - vol. 59, № 562. - P. 1960-1965.

17. Shai, O. Graph theory representations of engineering systems and their embedded knowledge [Text] / O. Shai, K. Preiss // Artificial Intelligence in Engineering. - 1999. - № 13. - P. 273-285.

18. Shai, O. Isomorphic representations and Well-Formedness of engineering systems [Text] / O. Shai, K. Preiss // Engineering with computers. - 1999. -№ 15. - P. 303-314.

19. Алгоритмы построения разрешающих уравнений механики стержневых систем [Текст] / под ред. А. П. Филина. - Л.: Стройиздат, 1983. -232 с.

20. Dong, Y. The optimization of topology of the frame construction through the approximation of suspension points and the genetic algorithm [Text] / Y. Dong, H. Huang // Jisuan lixue xuebao = Chin.

J. Comput. Mech. - 2004. - vol. 21, № 6. -P. 746-751.

21. Guo, G. Optimum dynamic design of planar linkage using genetic algorithms [Text] / G. Guo, N. Mo-rita, T. Torii // JSME Int. J. C. - 2000. - vol. 43, № 2. - P. 372-377.

22. Shea, K. A shape annealing approach to optimal truss design with dynamic grouping of members [Text] / K. Shea, J. Cagan, S. J. Fenves // Trans. ASME. J. Mech. Des. [Trans. ASME. J. Mech., Transmiss., and Autom. Des.] - 1997. - vol. 119, № 3. - P. 388-394.

23. Arczewski, K. P. Determination of angular velocities within a multibody system by means of graphs [Text] / K. P. Arczewski, F. A. Dul // Z. angew. Math. Und Mech. - 1995. - vol. 75, Suppl. № 1. -P. 105-106.

24. Bojadziev, G. Dynamics of multicomponent systems based on the orthogonality principle [Text] / G. Bojadziev, L. Lilov // 1st Eur. Solid Mech. Conf. «EUROMECH» : Abstr. (München, 09-13 Sept. 1991). - 1991. - Sec. 1. - P. 33-34.

25. Brown, F. T. Hamiltonian and Lagrangian bond graphs [Text] / F. T. Brown // J. of the Franklin Institute. - 1991. - vol. 328, № 5-6. - P. 809-831.

26. Татт, У. Теория графов [Текст] / У. Татт. - М.: Мир, 1988. - 424 с.

27. Харари, Ф. Теория графов [Текст] / Ф. Харари. -М.: Едиториал УРСС, 2003. - 296 с.

28. Хопкрофт, Дж. Э. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений [Текст] / Дж. Э. Хопкрофт., Р. Мотвани, Дж. Д. Ульман. - М.: Изд. дом «Вильямс», 2002. - 528 с.

29. Брауэр, В. В. Введение в теорию конечных автоматов [Текст] / В. В. Брауэр. - М.: Радио и связь, 1987. - 392 с.

30. Гилл, А. Введение в теорию конечных автоматов [Текст] / А. Гилл. - М.: Наука, 1966. - 272 с.

31. Кудрявцев, В. Б. Введение в теорию автоматов [Текст] / В. Б. Кудрявцев, С. В. Алешин, А. С. Подколзин. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985. - 320 с.

32. Кузовков, Е. Г. Графовая модель упругой ортотропной среды [Текст] / Е. Г. Кузовков, А. А. Тырымов // 2-я Межресп. конф. «Мех. и технол. изделий из мет. и металлокерам. компо-зиц. матер.» : Мат. конф. (Волгоград, 25.0901.10.1995 г.). - 1996. - С. 95-101.

33. Крон, Г. Исследование сложных систем по частям (диакоптика) [Текст] / Г. Крон. - М.: Наука, 1972. - 544 с.

34. McPhee, J. J. Modeling multibody systems with indirect coordinates [Text] / J. J. McPhee, S. M. Redmond // Computer methods in app. mech. and eng. - 2006. - vol. 195, № 50-51. -P. 6942-6957.

35. Shi, P. Dynamics of flexible multibody systems using virtual work and linear graph theory [Text] / P. Shi, J. J. McPhee // Multibody System Dynamics. - 2000. - vol. 4, № 4. - P. 355-381.

36. Hsu, Ch.-H. Topological Code of Graphs [Text] / Ch.-H. Hsu, K.-T. Lam // J. of the Franklin Institute. - 1992. - № 329. - P. 99-109.

37. Телегин, А. И. Системы твердых тел. Математическое обеспечение решения задач механики и управления [Текст] / А. И. Телегин. - Челябинск: ЧГТУ, 1995. - 202 с.

38. Maschke, B. Geometrical formulation of bond graph dynamics with application to mechanism [Text] / B. Maschke // J. of the Franklin Institute. -1991. - vol. 328, № 5-6. - P. 723-740.

39. Абдульмаджид, М. О спектре разрывной задачи Дирихле на графе [Текст] / М. Абдульмаджид,

B. Л. Прядиев // Воронеж. ун-т. - 1992. - 10 с. -Деп. в ВИНИТИ 27.07.92, № 2473-В92.

40. Рвачев, В. Л. Геометрические приложения алгебры логики [Текст] / В. Л. Рвачев. - К.: Техника, 1967. - 212 с.

41. Эйхе, Г. Н. Особенности структуры уравнений частот и форм установившихся колебаний рамных мостов и других плоских ортогональных стержневых систем [Текст] / Г. Н. Эйхе // Вопросы статики и динамики мостов: Межвуз. сб. науч. тр. - 1987. - С. 83-94.

42. Галиуллин, А. С. Симметрия и основные задачи динамики [Текст] / А. С. Галиуллин // Вестник Рос. ун-та дружбы народов. - 1999. - № 1. -

C. 6-11.

43. Вибрации в технике : Справочник в 6 т. - Т. 1: Колебания линейных систем [Текст] / под ред. В. В. Болотина. - М.: Машиностроение, 1978. -352 с.

44. Яблонский, А. А. Курс теории колебаний [Текст] / А. А. Яблонский, С. С. Норейко. - М.: Высш. шк., 1975. - 248 с.

45. Бобыльченко, В. Ю. Определение собственных колебаний балок с сосредоточенными регулярными массами методом электромеханических аналогий [Текст] / В. Ю. Бобыльченко,

П. М. Чеголин // Рост. гос. акад. стр-ва. -1996. - 12 с. - Деп. в ВИНИТИ 09.08.96, № 2652-В96.

46. Кудинов, С. В. Электрическое моделирование связанных колебаний стержневых конструкций [Текст] / С. В. Кудинов // III Междунар. науч.-практ. конф. «Моделирование. Теория, методы и средства»: Мат. конф. (Новочеркасск, 11 апр. 2003 г.) - ЮРГТУ, 2003. - Ч. 5. - С. 43-45.

47. Shai, O. Design through common graph representations [Text] / O. Shai // "Design Engineering Technical Conf." and "Computers and Information in Engineering Conf.": DETC'03 ASME 2003: Proc. (Chicago, Illinois, USA. Sept. 02-06, 2003). - 2003. - P. 1-10.

48. Бенерджи, П. Метод граничных элементов в прикладных науках [Текст] / П. Бенерджи, Р. Баттерфилд. - М.: Мир, 1984. - 494 с.

49. Барановская, Л. В. Расчет балки непрямым методом граничных элементов [Текст] / Л. В. Барановская // Проблемы прочности и надежности строительных и машиностроительных конструкций: Межвуз. сб. науч. тр. - Саратов: Изд-во СГТУ, 2005. - С. 63-67.

50. Давидчак, О. Р. Динашчний розрахунок пере-хресно-ребристо! системи на основi дискретно-неперервно! моделi [Текст] / О. Р. Давидчак, Р. М. Тацш // Мехашка i фiзика руйнування будiвельних матерiалiв та конструкцш. -2007. - Вип. 7. - С. 17-22.

51. Оробей, В. Ф. Расчет неразрезной балки на устойчивость и динамику численными методами [Текст] / В. Ф. Оробей, Н. Г. Сурьянинов, Д. В. Лазарева // Тр. Одес. политехн. ун-та. -2005. - № 1. - С. 14-16.

Поступила в редколлегию 11.05.2010.

Принята к печати 20.05.2010.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.