Моделирование дифференциальных уравнений при расчете на поперечный и продольно-поперечный изгиб стержневых систем без учета и с учетом вязкоупругих свойств материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3:624.04

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ РАСЧЕТЕ НА ПОПЕРЕЧНЫЙ И ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ БЕЗ УЧЕТА И С УЧЕТОМ ВЯЗКОУПРУГИХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ

Канд. техн. наук, доц. ОВСЯНКО В. М.

Белорусский национальный технический университет

1. В данной статье получены алгебраические уравнения, которые точно соответствуют дифференциальным уравнениям при расчете стержневых систем на поперечный и продольно-поперечный изгиб. Учтены также вязкоупругие свойства материалов исследуемой системы.

Для дальнейшего решения полученных уравнений синтезированы их электронные модели на основе разработанного автором метода активного инверсного одно- и двукратного дублирования неизвестных [1]. Их дальнейший анализ выполняется не на специализированной аналоговой вычислительной машине, а с помощью пакета программ для расчета электронных цепей на ПЭВМ. Это новое направление в моделировании применено автором для расчета сложных линейных, а также физически, геометрически и конструктивно нелинейных стержневых и континуальных систем на статическое, динамическое действие нагрузок и на устойчивость [2-6].

2. Рассмотрим новый подход для получения точных уравнений, эквивалентных дифференциальным уравнениям изгибаемых стержней при действии на них произвольной поперечной нагрузки с учетом только упругих свойств материала (они могут быть также применены для материала с вязкоупругими характеристиками).

Стандартные дифференциальные уравнения, характеризующие изгибаемый стержень, на который действует равномерно распределенная нагрузка д, направленная вниз, имеют вид:

d 2M

dx

= -q;

d25 _ M dx2 Е^т J

(i)

Перемещения 5, направленные вверх, считаются положительными; изгибающие моменты М считаются положительными, если они

растягивают нижние волокна; Ест/ - жесткость стержня при изгибе.

В стандартных конечных разностях для стержня, разбитого на два участка, длина каждого из которых равна И, с сечениями (узлами) 1, 2, 3 уравнения (1) записываются так:

-М + 2М2 - М3 - h2q = 0; -5! + 282 - 83 + M2h2/ECT J = 0.

(2)

Рассмотрим несколько иной способ получения уравнений, эквивалентных (1). При произвольной нагрузке (рис. 1а) для стержня с сечениями 1, 2, 3 поперечные силы слева и справа от сечения 2 равны:

Мч — М Мэ — Мч

йл = Ол + ; йп = Оп + (3)

h

h

где О, и ОЛ - поперечные силы слева и справа от сечения для шарнирно опертых балок с пролетом И: О0л = -А; Оп = В.

Учитывая равновесие узла 2 по поперечным силам (О2л — О2п = 0), получаем

-М + ТМ2 -М3 -(А + В)h = 0.

(4)

ИНГИ

, 2,

Г\ в ©

А 1

I. ' ■ I i t

I 2

1 * 1

Г^ 8

±1

дш

4

R*

к:

Рис. 1

Наука итехника, № 4, 2012

а

б

Углы поворота сечений ф на основании выражения 1§ф = = ф для рассматриваемого случая, когда положительные направления перемещений 5 приняты вверх, определяются по следующим формулам:

ф2л = ф2л +

§2

h '

ф2п =«

+

§3 - §2 h '

(5)

где ф2л и ф2п - углы поворота сечения 2 для шарнирно опертых балок 1-2 и 2-3 при совместном действии на них изгибающих моментов по концам стержней (М\ и М2 - для балки 1-2, Мг и Мз - для балки 2-3) и поперечной нагрузки.

Эти углы поворота (их положительные направления приняты против часовой стрелки) определяются просто путем перемножения окончательной эпюры изгибающих моментов, построенной от поперечной нагрузки, направленной вниз, на нижних растянутых волокнах (со знаком «плюс»), на эпюры от единичных моментов, приложенных в сечении 2 справа для балки 1-2 и слева для балки 2-3 против часовой стрелки в соответствии с принятым положительным направлением углов поворота. Таким образом:

ф2л =

ф2п =

1 (h._ h

-\ — M1 + — M2

ECT J ^ 6 3

—\-м3 + -м21 + Ф2П Ест JI 6 3

(6)

где ф2л и ф2п - углы поворота сечения 2 шарнирно опертых балок 1-2 и 2-3 только от действия любой поперечной нагрузки, приложенной к ним.

Учитывая, что фл = фп, на основании выражений (5) получим:

-§ + 252 -53 + « -ф2п)h = 0.

(7)

C учетом выражений (6) имеем

-§ + 2§2 - §3 + h2

M1

2M2

м3

6ЕСт J 3ЕСт J 6Ет J

+(

(ф& + Ф2П) h = о.

Из(4)определим

_ (A + B) h М 2М М,

М? ---— = —L +-- + —3

6 6 3 6

(8)

(9)

Подставив выражение (9) в уравнение (8), окончательно получим

-5j + 252 - 5 + h

M2 h (A + B)

+

Ест J 6Ест J

(ф20л+ф2П ) h = 0.

(10)

В уравнении (10), например, если шарнирно опертая балка 1-2 загружена по всему пролету только равномерно распределенной нагрузкой д, угол поворота

дИ3

ф2Л =

24ЕСт J

Если в сечении (узле) 2 приложена только сосредоточенная сила P, направленная вниз, то (А + В) = Р при отсутствии поперечной нагрузки на участках 1-2 и 2-3 (тогда ф00 = = ф2п = 0). Для аналогичного случая, но при узловой силе P, направленной вверх, в уравнении (10) (А + В) = -Р.

Как видим, (10) является точным в отличие от второго уравнения (2). Точные выражения (4) и (10) при произвольной поперечной нагрузке подлежат моделированию. Для них синтезированы электронные модели, анализируемые далее на ПЭВМ.

В качестве примера, демонстрирующего возможности полученных точных выражений (4) и (10), рассмотрим балку с двумя защемленными концами (рис. 2) длиной 8 м при действии на половине ее равномерно распределенной нагрузки q = 3 кН/м. Разобьем стержень на восемь участков. Длина каждого из них h = 1 м. Жесткость стержня EJ = const.

Рассмотрим реализацию граничных условий. Для левого защемления в соответствии с формулами (5) и (6)

п §1 - §0

Фоп = ф°п +—;—

1 (h._ h._ ^ —\ - Mx +- Mq -

EJ 16 3 J

§i - §0 h '

(11)

В формуле (11) используются уравнения (5) и (6) для сечения, расположенного справа от защемления. Учитывая, что фоп = 0 и 50 = 0, имеем:

М =- — -ф00

3EJ 3§yEJ

h

h2

(12)

2

2

■■ Наука итехника, № 4, 2012

Рис. 2

Сечение 8 расположено слева от защемления, поэтому для него используются формулы (5), (6) и (11) как для левого сечения:

„ 5§ - 5у 1 (h h

+—:— = —I -Mi +~M*

h EJ ^ 6 3

, 00 , - ^

h

Ф8л = °; 58 = 0;

M7 3EJ Збу EJ

M8 =--- - ф°°-+ —--.

8 2 h h2

(13)

В связи с тем, что на участке 7-8 нет поперечной нагрузки, = 0, поэтому

М =-

М7 3b,EJ

2

h2

(14)

Граничные условия (12) и (14) моделируются при помощи управляемых источников напряжения [3], суммирующих слагаемые в соответствии с выражениями (12) и (14). Приведенные на рис. 2 результаты расчета являются совершенно точными.

Если еще необходимо построить эпюры поперечных и продольных сил (при расчете рам с использованием выражений (4) и (10)), то для них синтезируются дополнительные электронные модели.

В случае, когда изгибаемая стержневая система выполнена из вязкоупругого материала, жесткость стержня Ест/ в выражении (10) изменяется во времени.

На рис. 3 а показана шарнирно опертая балка, выполненная из вязкоупругого материала в соответствии с моделью Кельвина, разбитая на четыре участка и подвергнутая действию сосредоточенной силы Р = 3 кН, прикладываемой и снимаемой мгновенно в соответствии с приведенным рядом графиком. Известное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки в этом случае имеет вид: иЕ2/х + Е/х =

=М + пМ, где Е = Е1Е2/(Е1+Е2); л = к/(Е1+Е_).

Здесь величины Ег и Е - мгновенный и длительный модули упругости материала; п - время релаксации; к - коэффициент вязкости; X - кривизна. Тогда М = % Ест J, где Ест/ - фиктивная жесткость балки, изменяющаяся во времени. В явном виде приведенное дифференциальное уравнение для балки из вязкоупругого материала решать не будем.

Для решения поставленной задачи используем уравнения: (10) - для отработки узловых моментов типа Мг и переменной во времени фиктивной жесткости стержня Ест/; (3) - для отработки концевых поперечных сил и вертикальных перемещений заданных сечений балки; для отработки угловых перемещений сечений стержня - уравнения для изгибающих моментов, приведенные в [3, с. 22]. Синтезированная для этих целей электронная модель, анализируемая далее на ПЭВМ, выполняется в соответствии с принципами, изложенными в [3].

Для конкретного примера (рис. 3а) с реологической моделью Кельвина примем Е1 = Ео, Е = 2Е • Тогда пружины электронной схемы-аналога с характеристиками Е1 и Ег моделируются резисторами Л1 и Яг с проводимостями

= Е^/Е0 J = 1 и g2 = 2Е0 J/E0 J = 2, поэтому Я1 = 1,0 Ом, Яг = 0,5 Ом. Зададимся временем релаксации п = 0,4/3 с. Тогда емкость конденсатора, который моделирует вязкость материала (цилиндр с вязкой жидкостью), будет равна

Ск = к/ЕJ = п(Е + Е2 )/Е> = 0,4Ф. Здесь Ео/ -масштабный коэффициент напряжений (примем уи = Ео/ = 1; уg = 1/ Ео/ = 1; у, = 1; где уи, уя, у, - масштабные коэффициенты напряжений, проводимостей и токов).

Результаты компьютерного анализа синтезированной электронной модели балки, показанной на рис. 3а, на действие импульсно при-

Наука итехника, № 4, 2012

кладываемой сосредоточенной силы Р = 3 кН приведены на рис. 3б. Здесь на графиках: токи I(Г2 )=М, I(Г4 ) = М2; напряжения V(14) = ^, V(17) = 52; ^1) = ф0, ^3)=ф; V(60) = a, где параметр а характеризует переменную во времени жесткость стержня Eст J = aEa J; М\ и М2 -изгибающие моменты в сечениях 1 и 2; 5\ и 62 -вертикальные перемещения сечений 1 и 2; фо и ф\ - угловые перемещения сечения на левой опоре балки и сечения 1.

3. Рассмотрим моделирование дифференциального уравнения

d4 5/ dx4 = (-q + p )/Ест J

(15)

для балки, расположенной на упругом винкле-ровском основании или упругих опорах (рис. 1б). В уравнении (15) р = сЬ8 - равномерно распределенная реакция основания (отпор основания), где с - коэффициент постели; Ь - ширина балки. Собранная с участка длиной И под упругой опорой реакция упругого основания рг дает реакцию этой опоры. R = сЬ8гh = к8гh = plh

(к = сЬ). В этом случае в выражении (4) будет добавлено одно слагаемое (+Я2Н).

>P

= 3 кН P

А 1 2 3 [/.■(и [ ft | h J h [

1,5 2 4 t, c

6,0

-3,5

3

Рис. 3

Если стержень не расположен на упругом основании и загружен по всей длине нагруз-

кой д, то уравнение (15), как известно, в конечных разностях (или метод сеток [7]) записывается так:

8 -482 + 683 -484 + 85 + qh4/EстJ = 0. (\6)

В этом случае конечно-разностная аппроксимация (16) дифференциального уравнения будет точной. При произвольной нагрузке она не является точной и зависит, в частности, от числа участков, на которые разбивается стержень.

Получим точное выражение, подобное уравнению (16) при произвольной нагрузке и любом числе участков, на которые разбивается стержень, с учетом, кроме того, реакций упругих опор Яг.

Для сечений 2, 3 и 4 запишем уравнение (10). К каждому из них будет добавлено одно слагаемое, учитывающее реакцию упругой опоры (R■h3/6E^т J), где г = 2, 3, 4. Далее полученные уравнения (10) для сечений 2 и 4 умножим на (-1), а такое же уравнение (10) для сечения 3 умножим на 2. Просуммируем эти три уравнения. Их сумма тоже равна нулю. В полученное выражение войдет слагаемое (—М2 + + 2М3 — М4), которое определим из уравнения (4) для сечения 3 с учетом реакции упругой опоры Яз:

—М + 2М3 — М =(<? + G)h — Я3К (\7)

Подставим выражение (17) в сумму трех уравнений. Окончательно получим

5- 452 + 65з - 454 + 5s +

h3

бЕ^т J

(A + B - Я2 + 4S + 4G - 4R3 + H + T - R4 )-

(18)

-h « + < ) + 2A « + < ) - h (С + С ) = 0.

Это и есть точный математический аналог дифференциального уравнения (15). Электронная модель уравнения (18), которая синтезируется для каждого узла рассчитываемого стержня, состоит из резисторов, моделирующих пять первых слагаемых уравнения (18), и источников тока (для каждого узла модели по одному источнику тока). Если стержень содержит упругие опоры, на которых возникают реакции Яг,

Наука итехника, № 4, 2012

а

б

4,0

X

X

2,0

0

2,0

0

2

5

6

то в соответствии с выражением & = к5гИ источники тока будут управляемыми (напряжениями, моделирующими перемещения опор 5г).

При моделировании с использованием уравнения (18) изгибаемых стержней из вязкоупру-гого материала переменной во времени будет фиктивная жесткость стержней ЕстJ, которая, например, в случае, когда материал характеризуется моделью Кельвина, зависит от мгновенного и длительного модулей упругости материала. Соответствующая электронная модель для ее анализа на ПЭВМ синтезируется на основе [3].

4. В случае, когда кроме поперечной нагрузки стержень длиной И находится под действием сжимающей продольной силы N = = у2Е;т J|h1, формулы типа (3), как известно, записываются так (с учетом обозначений на рис. 1а):

йл = а + ^^ + * ^

„ „„ Мз -М2 ЛГ5з - S йп = Q2n +—,—2+N^^2

(19)

Как и при поперечном изгибе, учитывая равновесие узла 2 (Оп - Оп = 0), получаем

-Mi + 2М2 - M3 + N (-Si + 282 - 83 )-- (A + B ) h = 0,

(20)

где А и В — поперечные силы по концам шар-нирно опертых балок пролетом И от поперечной нагрузки (рис. 1а) на этих участках.

Углы поворота узла 2 (рис. 1а) определяются по формулам (5), но величины ф0л и ф0п, кроме указанных выше факторов, учитывают влияние продольной сжимающей силы, действие которой выражается через функции Жуковского 5 и t [8]:

Е- 16Ms+3 M='l+«;

ec, j у 6 M3s+3 Mt '+«

(21)

где 5 и t - известные функции Жуковского:

s =-

81И V

- i

t = -

i--

tgv

(22)

Учитывая, что фгл = фгп, получаем уравнение (7). Подставим в него выражения (21)

(-8+ 282 - 83) Е, J+h2 ^ Mf-

2w M3 s —M2t + 3 2 6

+E, J « + Ф2П ) h = 0.

(23)

Выражение (23) по смыслу подобно уравнению, приведенному в [8, с. 133]. Здесь углы поворота ф2л и ф2п в узле 2 для шарнирно опертых балок 1-2 и 2-3 под действием поперечных нагрузок Рп и q и сжимающей силы N определяются по известным формулам [8, с. 132]:

0Л-

=1 X Рп

N X

0П-

=1 X Рп

N ^

N

sin (van/h) а„_ sin v h

sin (vbnl h ) bn

qh3

4ECT J Tv

Sln V

h

(24)

qh3

4ECT JTv

где ап и Ьп - расстояния от левой и правой

опоры до сосредоточенной силы Рп.

В формулах (23) и (24) принято правило знаков, приведенное выше в данной статье. Коэффициент ^ определяется по формуле

Yv =

2 [2tg (v/ 2)-v]

(25)

в соответствии с таблицей, приведенной в [8].

Преобразуем выражение (23). Из уравнения (20) получаем

М -2М2 + М3 +(А + В)А

-8 + 252 - 5 = —-2-^-, (26)

1 2 3 v2£¿т Ш

где v2Ecт Ш = N.

Подставим выражение (26) в уравнение (23) и после некоторых преобразований получаем новое уравнение для продольно-поперечного изгиба

v2 s

-Mi| 1 + —J + M21 2 - з

2v21

-M3 ^ 1 + J-(A + B)h -v2

-Ест J « + Ф2П )- = 0.

(27)

Наука итехника, № 4, 2012

n=1.2

3

v

л

п

Дальнейший анализ полученных уравнений выполняется с помощью синтезированных для этих целей электронных моделей, расчет которых производится с использованием пакета программ для анализа электронных цепей на ПЭВМ. Здесь возможны два варианта: первый -для отработки изгибающих моментов используется уравнение (27), а для отработки поперечных перемещений - (20); второй - для отработки изгибающих моментов используется уравнение (20), а для отработки в электронной модели поперечных перемещений - (23).

Выполним дальнейшее преобразование полученных уравнений. Из формулы (20) определим

М - + M3 — = 2M2 - + 'б 36 26

+N-(-Si + 252 -5)-h—(A + B).

6 6

(28)

Выражение (28) подставим в формулу (23) и после несложных преобразований с учетом

того, что N =-, получим еще одно урав-

Н2

нение, характеризующее продольно-поперечный изгиб:

(-5+ 252 -5з)| 1 +|EJ + h2

- h-(A + B) 6

м7\зt+3-1-

(29)

+ ECT J « + ф2П ) h = о.

Преобразуем и это уравнение. Разделим его на параметр Ф, который равен:

2 1 2 f 1 - cos v Ф = -1 + - - = -I-

3 3 vl sin v

(30)

где t и 5 определяются по формулам (22).

Определим элементы, входящие в уравнение (29):

1 +

1 +

v-б

б

v sin v

Sin v

.2

v

2 (1 -cosv) 2(1 -cosv)'

3 3 v sin v

(31)

(32)

s б

v2 l sin v

-1

2 1 2 f 1 - cosv

—t +—s —I-

3 3 v l sin v

1--sin v

v_

2(1 - cosv)

(33)

Итак, разделив уравнение (29) на (30), полу-

чаем:

(-5 + 252 - 5) Ест J

+h2

M2 - h

f , 1 . ^ 1 — sin v v_

2(1 - cos v)

2(1 - cos v) (A + B )

+

(34)

+Ест J (Ф20 +Ф2П) h vsin v = 0.

2(1 - cos v)

Разложим слагаемые, содержащие sinv и cosv в (34), в ряды, обозначив:

R = 2(1 - cosv) = 2

d=v2=т

R (

2! 4! 6! ..

1

2

1 v2 v4

---+--.

2 4! 6!

(35)

к 1 1 • v2 v4 v6

K = 1--sin v =----1---...;

v 3! 5! 7!

n, • , V4 V6 V8

С = vsinv = v2---1-----b____

3! 5! 7!

Подставив выражения (35) в уравнение (34), получим:

(-5+ 25 - 5 )Ест JD + h2

M2 - h K (A + B)

C

+Е;т J (ф00 +Ф2П) hc = 0.

R

36)

Так как универсальный американский пакет программ для анализа электронных цепей не содержит функций для синуса и косинуса, пришлось использовать при моделировании соглашения (35).

При расчете на продольно-поперечный изгиб очень удобным, особенно при учете вязко-упругого характера работы материала, оказыва-

■■ Наука итехника, № 4, 2012

1

V

2

V

V

ется следующий вариант уравнения (36). Из выражений (35) имеем:

K KD

K 1 v2 v4

= ZD; Z = — = _-_ + _-„.; (37)

v2 3! 5! 7!

г C

C = — = v

v sin v v v

= -ctg- = 1

R 2 (1 - cos v) 2 2 22 • 3

v4 2v6 v8

24 • 45 26 • 945 28 • 4725

Тогда уравнение (36) имеет вид

(38)

(-8 + 28 - 8)ЕСтJD + h2 [M2 - hZD(A + B)] -

+ЕСт J (С + Ф2П ) hC = 0.

(39)

И еще один простой вариант. Разделим уравнение (39) на О и, учитывая, что R = V2/D:

/9 V2 V4 V6

С' RD = С'V2 = 1 — — + — — — +... = а;

3! 5! 7!

1 = R = 2

D v2

v! v!

2 4! 6! 8! '

Л

=р,

в узле приложена только сосредоточенная сила Р, а на участках, на которые разбит стержень, слева и справа от узловой силы Р другой поперечной нагрузки нет, то А + В = Р (в формуле (41) и других аналогичных формулах), если сила Р направлена вниз. Для случая, когда эта сила направлена вверх, А + В = -Р. Тогда же при отсутствии на соседних участках слева и справа от силы Р поперечной нагрузки в формуле (41) и других аналогичных выражениях < =Ф0Оп = 0.

Итак, окончательно: для моделирования продольно-поперечного изгиба целесообразно использовать совместно уравнения (20) и (40). Если поперечная нагрузка отсутствует, в частности при расчете на устойчивость, полученные выражения приобретают простой вид:

(-8 + 252 - 83) Ест J + h2M2e = 0;

(42)

-м1 + 2М2 - м3 + v2 Е:J (-8 + 28 - 8) = о,

h2

где

в = 1D = R v2 = 2

1_

2 4! 6! 8! ..

окончательно получим

(-8 + 28 - 8 )ЕСт J + h2 [M2p - hZ(A + B)] +

+ЕСт J « + Ф2П) ha = 0.

(40)

Вариант записи уравнения (39) удобен тогда, когда необходимо выделить только один узловой момент типа М2 (особенно в случае, когда расчет на продольно-поперечный изгиб производится с учетом вязкоупругого характера работы материала стержней):

1

M2 = —( 8 - 28г + 85) Ест JD + hZD ( A + B) -

h2

-ЕСт J (Ф2л + Ф2П)1C = 0.

(41)

В выражении (41), как и в других аналогичных уравнениях, где присутствует слагаемое (А + В), перед произведением ИZDI(А + В) стоит знак «плюс» для случая, когда поперечная нагрузка направлена вниз. Если такая нагрузка направлена вверх, то перед этим произведением будет стоять знак «минус». В случае, когда

Наука

итехника, № 4, 2012_

В качестве простого примера, демонстрирующего возможности полученных уравнений (например, типа (20) и (40)), на рис. 4 показан расчет шарнирно опертой балки на совместное действие поперечной нагрузки д = 3 кН/м и сжимающей силы N = 0,1Е/ кН. Убедиться в правильности построенных эпюр для Ми 5 можно, например, с помощью уравнений (20) и (27) или на основании совершенно простой формулы: М = Мч + N5, где Мд - эпюра изгибающих моментов только от нагрузки д. Электронные модели уравнений (20) и (40) в данной статье не приводятся. Они синтезированы на основе методики, приведенной в [3], и с их помощью можно решать уравнения типа (20) и (40), создавая электронную схему-аналог для всей исследуемой стержневой системы.

Кстати, если продольная сила N отсутствует

(V2 = 0), то О = 1, Z = 1 = 1, С = 1 и уравнение

(40) превращается в (10) для обычного поперечного изгиба.

5. Рассмотрим в качестве примера расчет балки из вязкоупругого материала на совмест-

2

v

ное действие поперечной узловой нагрузки Р = 3 кН и продольной сжимающей силы N =

и/ дт V2 Ест J V2 аЕ J = 0,25 кН (рис. 5а), где N =-=-.

к2 к2

Здесь а - параметр, изменяющийся во времени, поэтому, если для рассматриваемого примера принять Ео/ = 1 (эта величина выступает как масштабный коэффициент напряжений уи), v2 = = 0,25/а (к = 1 м). Тогда v2 будет также переменной величиной. Параметр а реализуется при помощи электронной схемы, приведенной в [3]. Переменный во времени параметр v2 отрабатывается с помощью простой схемы [3, с. 144] для решения линейного уравнения (-Nк2 + v2a = = 0). Моделирование рассматриваемой задачи базируется, в частности, на использовании уравнений (19) и (39). Учитывая специфику данного журнала, анализируемые на ПЭВМ электронные модели рассматриваемого объекта из вяз-коупругого материала в данной статье не приводятся. Они синтезируются в соответствии с [3].

q = 3 кН/м

N = -

v2 EJ

0,1EJ кН

о i5 h = 2 м

1

28,744

21,580

167,74 EJ

©

0

©

228,11 EJ

155,80 EJ

Рис. 4

Реологической моделью вязкоупругого материала балки, как и для случая на рис. 3, является модель Кельвина. Принятые для расчета параметры этой модели - те же, что и рассмотренные в п. 2 данной статьи. Первое слагаемое для узловых изгибающих моментов типа (41) отрабатывается в соответствии с принципами, изложенными в [3]. Электронная модель для реализации поперечных сил синтезируется на основе формул (19), где при определении поперечных сил, возникающих слева и справа от узла 2, в формуле для момента Мг (для рассматриваемого примера) учитывается второе слагаемое (-к2Б(А + В)). Здесь знак «минус»

соответствует случаю, когда сила Р направлена вверх и равна (А + В). Отработка параметров 2 и В базируется на использовании простых схем типа тех, что имеются в [3, с. 36].

На рис. 5б показаны графики, демонстрирующие результаты компьютерного анализа электронной модели балки из вязкоупругого материала (характеризуемого реологической моделью Кельвина) при действии на нее им-пульсно прикладываемых и снимаемых нагрузок Р и N (рис. 5а). Как видно из рис. 5а, продольная сила N через время 4 с снимается с балки, а поперечная сила Р продолжает действовать.

а

| Р = 3 кН N = 0,25 кН

-ДГ

1 h = 1 м 2

г

' P = 3 кН -1

N = 0,25EoJ/h2 ~| ; (EoJ =1, h = 1)

0,5

2,0

- V(17) ■ V(14) ' V(40)-5 I(V12) I(V11) I(V15) I(V16)-I(V101)

Рис. 5

На приведенных графиках (рис. 5): токи 1(У15) = М1, [/(Г16) - /(Г101)] = М2, 1(У11) = = 02Л, I (Г12) = &п; напряжения ^14) = ^, V(17) = 52, V(40)- 5 = 5а (график параметра а, характеризующего переменную во времени жесткость стержня Е^ = аЕ J, показан увеличенным в 5 раз). Здесь М1 и Мг - изгибающие моменты в сечениях 1 и 2; 61 и 5г - вертикальные перемещения сечений 1 и 2. Масштабные коэффициенты напряжений, проводимо-

■■ Наука итехника, № 4, 2012

3

р

N

1,5

t, c

б

5

8 м

0

5

34,811

t, c

0

5

стей и токов для электронной модели приняты как и для примера, приведенного на рис. 3, равными единице (уи = ЕоJ = 1, Уё = 1, У, = 1).

Элементарный анализ полученных графиков ввиду их наглядности читатель может выполнить сам.

Следует отметить, что период действия каждой из нагрузок Р и N может быть различным. Число периодов, а также время действия и снятия любой из этих нагрузок могут быть также произвольными.

В Ы В О Д Ы

В данной статье приведены простые примеры, но с помощью разработанной методики моделирования легко анализируются стержневые системы с любым числом стержней как на поперечный, так и на продольно-поперечный изгиб с учетом вязкоупругих свойств материала, характеризуемых не только реологической моделью Кельвина, как это сделано в данной статье, но и любыми другими моделями (Фойгта, Максвелла), а также их различными комбинациями. Кроме того, предлагаемая методика моделирования позволяет решать еще более сложные задачи, когда каждая из упругих характеристик пружин и характеристика коэффициента вязкости (например, в модели типа Кельвина) имеют нелинейный характер, реализуемый полиноминальными управляемыми источниками тока [3], моделирующими любую нелинейную зависимость, в том числе когда упругая характеристика одной из пружин и коэффициента вязкости параллельно присоединенного к ней цилиндра с вязкой жидкостью имеют отрицательные значения.

В работе [5] описана схема, когда дополнительно к вязкоупругим свойствам материала можно учитывать и его жесткопластический характер работы, т. е. моделировать сухое трение. На основе методики моделирования продольно-поперечного изгиба стержня автором

выполнено исследование динамическим методом устойчивости стержневых систем из вязко-упругого материала, когда по характеру колебаний можно судить о величине сжимающей силы и ее критическом значении.

Упомянутый выше универсальный пакет для расчета всевозможных электронных цепей, с помощью которого автор в соответствии с предложенным им направлением в моделировании производит расчет объектов строительной механики и прикладной теории упругости, позволил просто реализовать и резистор, и конденсатор с отрицательными значениями их величин.

Л И Т Е Р А Т У Р А

\. Овсянко, В. М. Синтез электронных моделей деформируемых объектов / В. М. Овсянко. - Минск: Наука и техника, 1982. - 336 с.

2. Овсянко, В. М. Следящая сила и вокруг нее: компьютерный анализ электронных моделей деформируемых объектов / В. М. Овсянко. - Минск: Полымя, 1999. - 272 с.

3. Овсянко, В. М. Компьютерный анализ электронных моделей деформируемых объектов на примере одной неконсервативной системы / В. М. Овсянко // Известия вузов. Строительство. - \995. - № 7-8. - С. 27-32.

4. Овсянко, В. М. Параметрические колебания системы со следящей силой / В. М. Овсянко // Пространственные конструкции в Красноярском крае: сб. науч. тр. / Красноярский инженерно-строительный институт, 1994. -С.156-\7\.

5. Овсянко, В. М. Компьютерный анализ электронных моделей объектов реологии / В. М. Овсянко // Известия вузов. Строительство. - 2оо3. - № 4. - С. 26-34.

6. Устройство для моделирования изгибаемого стержня с односторонними шарнирами: а. с. № 1815659 / В. М. Овсянко; зарегистрировано в Государственном регистре изобретений СССР 11 октября 1992 г. по заявке № 4872298 от 14 августа 1990 г.

7. Варвак, П. М. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций / П. М. Варвак, Л. П. Варвак. - М.: Стройиздат, 1977. - 160 с.

8. Корноухов, Н. В. Прочность и устойчивость стержневых систем / Н. В. Корноухов. - М.: Стройиздат, \949. - 376 с.

Поступила 02.12.201 \

Наука итехника, № 4, 2012