Научная статья на тему 'Расчет гибких стержней на продольно-поперечный изгиб'

Расчет гибких стержней на продольно-поперечный изгиб Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
148
6
Поделиться
Ключевые слова
ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ / РАСЧЕТ ПО ДЕФОРМИРОВАННОЙ СХЕМЕ / CALCULATION BY DEFORMED SCHEME / ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ / DIFFERENTIAL EQUATION / ИЗОГНУТАЯ ОСЬ / CURVED AXIS / ДЕФОРМАЦИОННЫЙ МОМЕНТ / DEFORMATION MOMENT / РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ / CROSS-CUT CURVE / EXPANSION OF THE FUNCTION

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Семёнов В.В., Уламбаяр Хухуудэй

ЦЕЛЬ. Рассматриваются вопросы обеспечения устойчивости и несущей способности стержней в области упругой работы материала при одновременном действии изгибающего момента и продольной сжимающей силы в случаях, когда принцип независимости действия сил не может быть распространен вследствие их гибкости, а все расчеты проводятся по так называемой деформированной схеме. МЕТОДЫ. Исследования работоспособности сжатых гибких стержней проводились с применением дифференциального уравнения упругой линии стержня с произвольными условиями закрепления концов и метода начальных условий. РЕЗУЛЬТАТЫ. Получено общее уравнение прогибов сжато-изогнутого стержня в начальных параметрах. Рассмотрение на конкретных примерах аналитических выражений на его основе показало, что предлагаемый прием успешно применим при расчетах для балок при любых сочетаниях поперечных нагрузок с продольной силой, а также для внецентренно-сжатых гибких стержней, защемленных одним концом. На основе анализа результатов расчетов максимальных прогибов, выполненных авторами, и сравнения их с итогами расчетов точными методами теории упругости дана оценка возможности использования разработанных аналитических выражений на практике. ВЫВОДЫ. Практическое применение дифференциального уравнения продольно-поперечного изгиба весьма актуально в связи с широким внедрением высокопрочных материалов в элементах стальных рам, предварительно напряженных балок, стрел кранов, стальных опор канатно-подвесных дорог, свай мостовых переходов. Надежность этих и других конструкций может гарантироваться только при успешном решении задач устойчивости и прочности, базирующихся на разработанном авторами уравнении сжато-изогнутого стержня.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Семёнов В.В., Уламбаяр Хухуудэй

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

LONGITUDINAL AND TRANSVERSE BENDING OF FLEXIBLE RODS

AIM. This paper addresses issues involved with the stability and load-carrying capacity of rods in the elastic work of a material under the simultaneous action of the bending moment and the longitudinal compressive force. Those cases are considered where the independent principle of forces does not hold; therefore, all the calculations are performed following the so-called deformed scheme. METHODS. The investigation of compressed flexible rod performance is carried out using the differential equation of the elastic rod line under the arbitrary conditions of fixing the ends and the method of initial conditions. RESULTS. The general equation of deflections for a compressed-bent rod is obtained in the initial parameters. Its verification using the actual examples of analytical expressions shows that the proposed method can be successfully applied in calculations for beams under any combination of transverse loads with a longitudinal force, as well as for eccentrically-compressed flexible rods clamped at one end. Based on the calculations of maximum deflections and their comparison with the results obtained by the precise elasticity theory methods, the possibility of using the developed analytical expressions in practice is proven. CONCLUSIONS. The differential equation of longitudinal and transverse bending is highly relevant due to the increased application of high-strength materials in the elements of steel frames, pre-stressed beams, crane arms, steel poles for rope-hanging roads, piles of bridge crossings. The reliability of these and other structures can be guaranteed only if the problems of stability and strength are successfully solved, which can be facilitated by the proposed equation of the compressed-curved rod.

Текст научной работы на тему «Расчет гибких стержней на продольно-поперечный изгиб»

Оригинальная статья / Original article УДК 539.384.4

DOI: http://dx.d0i.0rg/l 0.21285/2227-2917-2018-2-148-158

РАСЧЕТ ГИБКИХ СТЕРЖНЕЙ НА ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ © В.В. Семёнов9, Хухуудэй Уламбаярь

эИркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Российская Федерация, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83. ьМонгольский университет науки и технологии,

14191, Монгольская Народная Республика, г. Улан-Батор, подрайон 8, ул. Бага Тойру, 34.

РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. Рассматриваются вопросы обеспечения устойчивости и несущей способности стержней в области упругой работы материала при одновременном действии изгибающего момента и продольной сжимающей силы в случаях, когда принцип независимости действия сил не может быть распространен вследствие их гибкости, а все расчеты проводятся по так называемой деформированной схеме. МЕТОДЫ. Исследования работоспособности сжатых гибких стержней проводились с применением дифференциального уравнения упругой линии стержня с произвольными условиями закрепления концов и метода начальных условий. РЕЗУЛЬТАТЫ. Получено общее уравнение прогибов сжато-изогнутого стержня в начальных параметрах. Рассмотрение на конкретных примерах аналитических выражений на его основе показало, что предлагаемый прием успешно применим при расчетах для балок при любых сочетаниях поперечных нагрузок с продольной силой, а также для внецентренно-сжатых гибких стержней, защемленных одним концом. На основе анализа результатов расчетов максимальных прогибов, выполненных авторами, и сравнения их с итогами расчетов точными методами теории упругости дана оценка возможности использования разработанных аналитических выражений на практике. ВЫВОДЫ. Практическое применение дифференциального уравнения продольно-поперечного изгиба весьма актуально в связи с широким внедрением высокопрочных материалов в элементах стальных рам, предварительно напряженных балок, стрел кранов, стальных опор канатно-подвесных дорог, свай мостовых переходов. Надежность этих и других конструкций может гарантироваться только при успешном решении задач устойчивости и прочности, базирующихся на разработанном авторами уравнении сжато-изогнутого стержня.

Ключевые слова: продольно-поперечный изгиб, расчет по деформированной схеме, дифференциальное уравнение, изогнутая ось, деформационный момент, разложение функции.

Информация о статье. Дата поступления 27 апреля 2018 г.; дата принятия к печати 20 мая 2018 г.; дата онлайн-размещения 26 июня 2018 г.

Формат цитирования. Семёнов В.В., Хухуудэй Уламбаяр. Расчет гибких стержней на продольно-поперечный изгиб // Известия вузов. Инвестиции. Строительство. Недвижимость. 2018. Т. 8, № 2. С. 148-158. DOI: 10.21285/2227-2917-2018-2-148-158

LONGITUDINAL AND TRANSVERSE BENDING OF FLEXIBLE RODS

V.V. Semenov, Khukhudei Ulambayar

Irkutsk National Research Technical University,

83, Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russian Federation

Mongolian University of Science and Technology,

34, Baga toiruu, 8th Khoroo, Sukhbaatar district, Ulaanbaatar, 14191, Mongolia

ABSTRACT. AIM. This paper addresses issues involved with the stability and load-carrying capacity of rods in the elastic work of a material under the simultaneous action of the bending moment and the longi-

эСемёнов Валерий Васильевич, кандидат технических наук, профессор кафедры теоретической механики и сопротивления материалов, e-mail: 665057@mail.ru

Valery V. Semenov, Candidate of Technical Sciences, Professor of the Department of Theoretical Mechanics and Resistance of Materials, e-mail: 665057@mail.ru ьХухуудэй Уламбаяр, аспирант, e-mail: ulambayar_kh@yahoo.com Ulambayar Khukhudei, Postgraduate, e-mail: ulambayar_kh@yahoo.com

tudinal compressive force. Those cases are considered where the independent principle of forces does not hold; therefore, all the calculations are performed following the so-called deformed scheme. METHODS. The investigation of compressed flexible rod performance is carried out using the differential equation of the elastic rod line under the arbitrary conditions of fixing the ends and the method of initial conditions. RESULTS. The general equation of deflections for a compressed-bent rod is obtained in the initial parameters. Its verification using the actual examples of analytical expressions shows that the proposed method can be successfully applied in calculations for beams under any combination of transverse loads with a longitudinal force, as well as for eccentrically-compressed flexible rods clamped at one end. Based on the calculations of maximum deflections and their comparison with the results obtained by the precise elasticity theory methods, the possibility of using the developed analytical expressions in practice is proven. CONCLUSIONS. The differential equation of longitudinal and transverse bending is highly relevant due to the increased application of high-strength materials in the elements of steel frames, pre-stressed beams, crane arms, steel poles for rope-hanging roads, piles of bridge crossings. The reliability of these and other structures can be guaranteed only if the problems of stability and strength are successfully solved, which can be facilitated by the proposed equation of the compressed-curved rod. Keywords: cross-cut curve, calculation by deformed scheme, differential equation, curved axis, deformation moment, expansion of the function

Information about the article. Received April 27, 2018; accepted for publication May 20, 2018; avail-ableonline June 26, 2018.

For citation. Semenov V.V., Khukhudei Ulambajar. Longitudinal and transverse bending of flexible rods. Izvestiya vuzov. Investitsii. Stroitel'stvo. Nedvizhimost' = Proceedings of Universities. Investment. Construction. Realestate. 2018. T. 8, № 2. C. 148-158. DOI: 10.21285/2227-2917-2018-2-148-158

Введение

Среди задач раздела сопротивления материалов особое положение занимает случай одновременного действия на брус продольных (сжимающих) и поперечных (изгибающих) сил, известный под названием продольно-поперечного изгиба. В этом случае зависимость между внешними силами и напряжениями не выражается прямой линией и, значит, неприменим принцип независимости действия сил.

В сказанном легко убедиться на примере стержня, нагруженного произвольной поперечной нагрузкой и сжимающими силами N (рис. 1).

Рис. 1. Продольно-поперечный изгиб стержня Fig. 1. Cross-cut curve of the axis

Предполагая одновременное и постепенное возрастание всех нагрузок, видим, что в произвольном поперечном сечении изгибающий момент будет вызываться не только поперечной нагрузкой, но также и силой N, которая вследствие прогиба стержня получает плечо v относительно центра тяжести сечения. Тогда для суммарного изгибающего момента получим выражение:

M* =MB + MD , где M * - обобщенный изгибающий момент; MB - изгибающий момент от некоторой поперечной (вызывающей изгиб) нагрузки q(z), в составе которой могут быть

сосредоточенные силы F , внешние изгибающие моменты (пары сил) М и равномерно распределенные нагрузки q . Мв определяют по обычной недеформиро-

ванной схеме стержня («балочный» момент). М° - изгибающий момент от продольных сил - вычисляют по деформированной схеме стержня, показанной на рисунке пунктирной линией («деформационный» момент).

Для стержня, изображенного на рис. 1, деформационный момент

N ■ V.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Мв

Очевидно, что при малых прогибах деформационным моментом можно пренебречь (обычные балки).

Влияние деформационного момента существенно для гибких сжато-изогнутых элементов конструкций [1] (стрелы кранов, радиомачты, фахверковые колонны, сваи и т.п.).

Характерно, что между моментом м * и сжимающим усилием N имеется нелинейная связь, иллюстрируемая рисунком 2.

Рис. 2. Асимтотический рост изгибающего момента Fig. 2. Asymptotic bending moment growth

В процессе естественного увеличения нагрузки прогибы сжато-изогнутого стержня неограниченно возрастают по мере приближения сжимающей силы к критическому значению Мсг в эйлеровом смысле, т.е. первичные равновесные состояния определяют асимтотическое поведение стержня, момент м * чрезвычайно быстро растет.

Методы

Точное решение задачи на продольно-поперечный изгиб [2], соответствующее действительному очертанию изогнутой оси бруса, можно заменить приближенным решением, задавшись заранее какой-либо формой изгиба бруса. Принимаемая без расчета форма изгиба должна удовлетворять основным требованиям задачи: 1) должны быть соблюдены условия на опорах и 2) местоположение наибольшего прогиба должно соответствовать расчетной схеме балки (рис. 3-5).

Ограничимся в дальнейшем рассмотрением двухопорной бесконсольной балки с произвольно направленной поперечной нагрузкой (см. рис. 1). Для такой схемы с большой степенью точности можно считать, что максимальный прогиб имеет место в среднем сечении балки [3]. В таком случае для этой схемы можно принять изгиб по синусоиде.

Выделим из сжато-изогнутого стержня элемент длиной dz (рис. 3а) и напишем для него два уравнения равновесия, рассматривая его деформированное состояние (рис. 3с).

dz a

b

Рис. 3. К выводу дифференциального уравнения продольно-поперечного изгиба Fig. 3. To the conclusion of differential equation of a cross-cut curve

Уравнение, выражающее равенство нулю суммы проекций всех сил на ось y , будет следующим:

Q - Q - dQ + qdz = 0, откуда dQ = qdz ,

dQ dz

= q.

Приравняем нулю сумму моментов всех сил относительно точки С - центра тяжести правого сечения деформированного элемента:

Qdz +M* - M* - dM* + — dz2 - Ndv = 0,

2

откуда, пренебрегая величиной 2-го порядка малости, получим:

dM = Qdz - Ndv,

M = Q-NdV = Q*. (1) dz dz

*

бе.

Здесь Q - обобщенная поперечная сила при продольно-поперечном изги-Взяв производную от обеих частей равенства (1), получим:

d2M* dz2

= q - N

d2v

dz

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

*

= q ,

где q* - обобщенная интенсивность нагрузки при продольно-поперечном изгибе.

Воспользуемся приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси балки:

EJ

d2v dz2

= M

*

Дифференцируя дважды это уравнение по z , получим:

d4v

d2v

d4v ..d2v

EJ—- = q - N-, откуда EJ :L-Lr + N

dz4 dz2 dz4 dz

= q.

c

2

N k2 .

Вводя обозначение Ej ■ окончательно будем иметь

v'V + k2v'' =

2.. II

q

EJ

(2)

Уравнение (2) является основным дифференциальным уравнением продольно-поперечного изгиба.

Общее решение неоднородного уравнения (2):

у = A■sin■kz +В-о ■kz+Cz +D +учл (3)

где V ч р - частное решение, которое примем в виде

qZ

v

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ч. р.

2EJk

Разумеется, общее решение (3) должно удовлетворять дифференциальному уравнению (2). Проверим это. Для чего составим выражения для производных:

v' = Ak cos kz - B sin kz + C +

qz

EJk

= q(z),

v'' = -Ak 2 sin kz - Bk2 cos kz +

EJk2

M(z) EJ

v''' = - Ak 3 coskz + Bk 3 sinkz =

Q(z)

(4)

v'V = Ak4 sin kz + Bk4 cos kz =

EJ

q(z)

EJ

Легко убедиться в тождественном удовлетворении уравнения (2) при подстановке в него выражений (4).

Придадим общему решению (3) форму начальных параметров. При расчете сжато-изогнутых стержней типичной является следующая формулировка начальных условий:

при 2 = 0, у = ^ = q0, М* = М*^* = QB -N 60. (5)

Рис. 4. Поперечная сила при повороте сечения в начале координат Fig. 4. Cross-cut force at the turn of the section at the beginning of coordinates

Рис. 5. К проверке устойчивости сжато-изогнутого стержня в плоскости

наименьшей жесткости Fig. 5. To the check of stability of a compressed-bent rod in the plane least rigidity

По поводу четвертого начального условия можно дать следующее пояснение. Как следует из рис. 5, при повороте начального сечения на угол fy начальная

поперечная сила, направленная перпендикулярно деформированной оси балки, равна

Q00 = QBcos 60 - Nsin 60 « QB - N 60 .

Реализация граничных условий (5) приводит к выражениям:

1.z = 0,B + D = v0,

2. z = 0, Ak +C = 60,

3. z = 0,- Bk2 q -M*0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

EJk2 EJ Ов

4. z = 0,-Ak3 = ^ - k2 60.

EJ

Из 4-го и 3-го условий следует:

+ ÉL. в =-M*T +

EJk3 k EJk2 EJk4

Далее находим из 2-го и 1-го условий:

*

Qo n_„ о_„ , M* q

C = ^ - Ak = , D = vn - B = vn +

EJk2' 0 0 EJk2 EJk4'

Подставляя найденные значения для постоянных интегрирования A, B, C, D в общее решение (3) и объединяя члены с одинаковыми параметрами, получаем уравнение прогибов сжато-изгибаемого стержня в начальных параметрах [4]:

6 M* QB

v = v0 + —sin kz +-0—(1 - cos kz) + —0—(kz - sin kz) +

0 k EJk2 EJk3 (6)

9 / * k2z2 , ,

+ —( - 1 +-+ coskz).

EJk4 2

Результаты и их обсуждение

Учет прерывности нагрузки (учет скачков в эпюрах усилий М В и Q В) производится совершенно аналогично случаю действия только поперечной нагрузки.

Если в уравнении (6) положить к =0 (сжимающая сила отсутствует, N = 0 ), то получим случай поперечного изгиба балки, при этом формулы в правой части

уравнения получают неопределенный вид 0. Эту неопределенность легко раскрыть, пользуясь известными разложениями в степенной ряд Маклорена:

sinkz 1„ k3z3 k5z5 . k2z3 k4z5

-= -(kz--+--...) = z--+--...,

к k 3! 5! 3! 5!

1-coskz 1 1 п k2z2 k4z4 , z2 k2z4

-2— = ^ —21--+--...) =---+...

k2 k2 k2 2! 4! 2! 4!

Отсюда следует, что при k =0-= z ,

sin kz 1 -cos kz z

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2

k k2 2! '

kz - sin kz z3 1 , „ k2z2 . . z4

-3-= — , —тГ-1+-+cos kz)= —,

k3 3! k4 2 4!'

и уравнение (6) обращается в обычное уравнение прогибов балки при поперечном изгибе:

6 MB z2 QB z3 q z4

v = v0 + tLz +—0--+ —0--+--.

0 ^ EJ 2! EJ 3! EJ 4!

Дифференцируя (6), получаем уравнения для угла поворота, изгибающего момента и поперечной силы в сжато-изогнутом стержне:

M* Q в

6= 60 coskz + —— sinkz +—0—(1 - coskz) +—kz - sinkz), 0 EJk EJk2 EJk

M* = EJv" = -EJq 0ksinkz + M*coskz + QB Sinkkz + -^41 - coskz), (7)

k k

* """ 2 * в q

Q = EJv =-EJq 0k coskz - Mо ksinkz + Q0 coskz + sinkz.

Уравнения (6) и (7) служат для расчета гибких сжато-изогнутых стержней на прочность и жесткость при N<0.6N{r, где Ncr- некоторое «критическое» значение

сжимающей продольной силы в плоскости продольно-поперечного изгиба.

Уместно здесь подчеркнуть, что неизвестные начальные параметры определяются, как обычно, из граничных условий.

После нахождения максимального изгибающего момента определяют наибольшие нормальные напряжения в крайних волокнах

N . M*

sj _ _i_ max

max, min

А

При проектировании гибких сжато-изгибаемых элементов строительных конструкций [1, 5, 6] следует производить расчет балок не только на продольно-поперечный изгиб, обычно возникающий в плоскости наибольшей жесткости, но и предусмотреть мероприятия по предотвращению потери устойчивости балки в плоскости наименьшей жесткости. Например, для балки, изображенной на рис. 6, необходимо знать не только соотношение действующей сжимающей силы N и

пЕХ

критической эйлеровской силы / t £ (в предположении потери устойчивости в

плоскости ZOY), но и наименьшую критическую силу потери устойчивости в плоскости XOZ).

п EJ y

TVL)2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(в предположении

Рис. 6. Расчетная схема балки при продольно-поперечном изгибе Fig. 6. The design scheme of a beam with longitudinal-transverse bending

Практическое применение аналитических выражений весьма обширно, поскольку все основные решения задач устойчивости и расчета сжато-изогнутых систем базируются на выведенных уравнениях (7). Ниже рассмотрен пример определения наибольшего значения прогиба и изгибающего момента для простой (шарнирно опертой) сжатой балки при действии сосредоточенной силы F в середине пролета (рис. 6).

На левой опоре, при z = 0, имеются следующие начальные параметры:

^ = 0 вФ 0, М* = 0, Q0 = 2F .

Для I участка сжато-изогнутого стержня уравнение прогиба, угла поворота и изгибающего момента принимает вид:

1

F

% -z

v, = —°sinkz + „

' k 2EJk 3

(kz - sinkz),

01 = 60coskz +

F

2EJk

(1 - coskz),

М* = -EJ вksinkz + sinkz. ' 0 2к

Ввиду симметрии изогнутой оси (пунктирная линия на рис. 6) целесообразно для определения неизвестного начального угла поворота использовать условие: при г = — ; в= 0. 2

Это дает следующий результат:

kL

a kL e0c°s 2 +

с Ii с 1 - cos

-^-fl - cos —) = 0 % =--^-L

2EJk 2 2 0 2EJk 2 kL

cos —

2

Подставляя найденное значение в0 в уравнение для прогиба и изгибающе-

го момента, получаем при z = у:

1 - L

F 1 COS 2 . kL F , kL . kL ,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

- Sin--1--(--sin -) —

max 2EJk3 kL ""' 2 2EJk33 2 ' 2

cos — (8)

2

F , kL kL ,

=--:—(tg---),

2EJk 3 2 2

1- kL

F 1 cos 2 . kL F . kL F kL

Mmax =--7i — sin— +-sin— =-tg— . (9)

max 2k kL 2 2k 2 2k 2 cos —

2

Формулы (8) и (9) можно представить в несколько ином виде:

kL kL

v

F L24(tg kL-kL)-- FL tg 2 2

— .. Я , о Л л А А / , , о . о

max 2EJk 3 L3 24 2 2 48E J k3 L3

24

B tgU -U _ _ M kL

x

3

- Va —-, ГД U --,

max -i ' ' д t

U

max i t-m

1 ii3 2

kL_

M*x, --FL2tgkL--FLtg2-mm tgU-U

2k 2 2 4 kL max U 2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Итак, получили формулы:

и = tgU -и м* = Ms *и-и

max max i ' max max , , v '

-U3 U

3

В этих формулах первый множитель - расчетный фактор (максимальный прогиб, максимальный момент), вызванный действием одной лишь поперечной («балочной») нагрузки. Второй множитель является коэффициентом увеличения, оценивающим влияние продольной сжимающей силы на прогиб и момент.

При приближении величины U к значению п/2 второй множитель обеих формул (10) неограниченно увеличивается, прогиб и изгибающий момент весьма

быстро растут (см. рис. 2). Это происходит при и = kcL = П или k l = п откуда

2 2 cr

можно найти соответствующее «критическое» значение сжимающей силы. Так как

,2 Ncr П П EJ

kcr =^г, то Nr =

EJ 2 cr iL

При k = 0 вторая формула (10) должна дать значение —, однако для по-

4

лучения такого результата необходимо раскрыть неопределенность типа 0. Воспользуемся с этой целью правилом Лопиталя:

1

limtgU = limtgU- = lim coslu = 1 .

u ^0 U u ^0 U ' u ^0 1

Тогда получим искомый результат: M Bax = —.

4

В практике проектирования строительных конструкций применяется формула С.П. Тимошенко [7] для максимального прогиба сжато-изогнутых стержней. Изложим здесь вариант вывода этой формулы, основанный на анализе степенных разложений.

Разложение функции tgU, входящей в формулы (10), в степенной ряд Мак-лорена, имеет вид [8]:

tgU = и + -и3 + 2и5 + —и7 и9 +...

3 15 315 2835

С учетом этого второй множитель формулы (10) для Утах можно преобразо-

вать:

tgU-U

1 3

U

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2

= 1 + _U2 + 5

17 105

U 4 +

62 945

U6 +... =1 +

2(kL) 2 TT2

5 2_ Л

+

+

17 (kL) 4 Л4 62 (kL) 6 П

+ -

105 24 Л 945 26 Л

+... =1 + 0.1

NL_

Л EJ

Л +

+ 0.01

Л EJ

Л + 0.001

с NL2 ^3

+ 1.0

f N ^ _

, N ,

V cr J

Л EJ + 1.0

Л +... +0.1

f N ^

К Ncr J

+

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

f N ^3

, N .

cr

+... .

Вводя обозначение

N N _

а получаем геометрическую прогрессию, являю-

щуюся разложением бинома 1 - аУ в степенной ряд:

tgU - U

1 ..3

= 1 + а+ а_ + а3 +... =

3

U

1 - а

Вместо первой формулы (10) получаем известную «точную» формулу Тимошенко:

1

v = v

max max

1 - а

Выводы

Для балок с шарнирно-опертыми концами изложенный здесь прием дает вполне достаточную точность для практических расчетов и может быть распространен на любые комбинации поперечных нагрузок, если эти силы действуют в одном направлении. Подобные вычисления применимы и для балок, защемленных одним концом.

Практическое применение дифференциального уравнения продольно-поперечного изгиба весьма актуально в связи с широким внедрением высокопрочных материалов в элементах стальных рам, предварительно напряженных балок, стрел кранов, стальных опор канатно-подвесных дорог, свай мостовых переходов. Надежность этих и других конструкций может гарантироваться только при успешном решении задач устойчивости и прочности, базирующихся на разработанном авторами уравнении сжато-изогнутого стержня.

2

/

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. СП 16.13330.2017. Стальные конструкции. Актуализированная редакция СНиП II-23-81*. М.: Минстрой России, 2017. 148 с.

2. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1979. 560 с.

3. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов, т. 2. М.: Наука, 1965. 480 с.

4. Снитко Н.К. Сопротивление материалов. Л.: Изд-во ЛГУ, 1975. 368 с.

5. Пиковский А.А. Статика стержневых систем со сжатыми элементами. М.: Физматгиз, 1961. 394 с.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

6. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки. М.: Наука, 1987. 352 с.

7. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, 1955. 532 с.

8. Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984. 831 с.

1. SP 16.13330.2017. Stal'nye konstrukcii. Aktualizirovannaya redakciya SNiP II-23-81* [SP 16.13330.2017. Steel structures. Updated version of SNiP 11-23-81*], Moscow, Minstroj Rossii Publ., 2017, 148 p. (In Russian).

2. Timoshenko S.P., Gudier J. Teoriya uprugosti [Theory of elasticity], Moscow, Nauka Publ., 1979, 560 p. (In Russian).

3. Timoshenko S.P. Soprotivlenie materialov, t. 2 [Resistance of materials, vol. 2], Moscow, Nauka Publ., 1965, 480 p. (In Russian).

4. Snitko N.K. Soprotivlenie materialov [Resistance of materials], Leningrad, Publishing House LGU, 1975, 368 p. (In Russian).

5. Pikovskij A.A. Statika sterzhnevyh sistem so szhatymi ehlementami [Statics of rod systems with compressed elements], Moscow, Fizmatgiz Publ., 1961, 394 p. (In Russian).

6. Panovko Y.G., Gubanova I.I. Ustojchivost' i kolebaniya uprugih sistem. Sovremennye koncep-cii, paradoksy i oshibki [Stability and oscillations of elastic systems. Modern concepts, paradoxes and mistakes], Moscow, Nauka Publ., 1987, 352 p. (In Russian).

7. Timoshenko S.P. Ustojchivost' uprugih sistem [Stability of elastic systems], Moscow, Gostehiz-dat Publ., 1955, 532 p. (In Russian).

8. Korn G. and Korn T. Spravochnik po matematike dlya nauchnyh rabotnikov i inzhenerov [Mathematical Handbook for Scientists and Engineers], Moscow, Nauka Publ., 1984, 831 p. (In Russian).

REFERENCES

Критерии авторства

Contribution

Семёнов В.В., Хухуудэй Уламбаяр имеют равные авторские права. Семёнов В.В. несет ответственность за плагиат.

Semenov V.V., Khukhudei Ulambayar have equal authors' rights. Semenov V.V. bears the responsibility for plagiarism.

Конфликт интересов

Conflict of interests

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

The authors declare no conflict of interests regarding the publication of this article.