CC BY
22
2. Чумаченко Е.Н, Смирнов О.М., Цепин М. А. Сверхпластичность: материалы, теория, технологии. М.: КомКнига, 2005. 320 с.
3. Курс высшей математики: учеб. пособие / В .Г. Зубков [и др.] Ч 2 / под. ред. В.Б. Миносцева. М.: МГИУ, 2007. 527 с.
4. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / под ред. Б.Е. Победри. М.: МИР, 1975. 539 с.
D. Alekseev, A. Pasko, M. Gryazev
3D Finite element model rigid tool of deformation of elastic-plastic workpiece
material
On the basis of the finite element method the main relations describing the process of deformation of workpiece rigid tool are presented.
Key words: finite element method, stiffness matrix, elastoplastic material, rigid tool, contact interaction.
Получено 28.12.10 г.
УДК 539.214
В. Д. Кухарь, д-р техн. наук., проф., (4872)35-18-32, Vladimir.D.Kuchar@tsu.tula.ru,
Е.М. Селедкин, д-р техн. наук., проф., (4872)35-18-32, tm@tsu.tula.ru,
А.Е. Киреева, канд. техн. наук, доц., (4872)35-18-32, kirealena@yandex.ru (Россия, Тула, ТулГУ)
РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
ПРИ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОМ АНАЛИЗЕ ПРОЦЕССОВ
ПЛАСТИЧЕСКОГО ФОРМОИЗМЕНЕНИЯ
Предложена методика расчета напряжений, возникающих в пластической области деформируемого тела, по известному деформированному состоянию, определенному методом конечных элементов. Приведены соотношения, позволяющие определять величину среднего напряжения для случая плоского деформированного состояния в любой точке пластической области.
Ключевые слова: обработка металлов давлением, формоизменение, метод конечных элементов, напряжения.
При конечно-элементном анализе процессов пластического формоизменения на первом этапе, как правило, определяются поле скоростей перемещений во всем пространстве деформируемого тела, представленного сеткой конечных элементов. Покажем, как по известному полю скоростей перемещений можно определить напряженное состояние в любой точке конечно-элементной сетки.
Использование определяющих уравнений Леви - Мизеса
3 X
Ху=3 ^ (1)
2 <*и
позволяет вычислить компоненты девиатора напряжений по зависимостям
^ = 3 Ху. (2)
и
Для определения компонентов тензора напряжений Оу необходимо
вычислить распределение среднего напряжения о в пределах расчетной области.
При решении этой задачи будем использовать ту же пространственную дискретизацию конечными элементами (КЭ), что и при расчете де-
формированного состояния. В этом случае вычисление средних напряжений осуществляется в тех же точках области, в которых уже известно деформированное состояние [2].
После того, как компоненты узловых скоростей перемещений определены, компоненты девиатора напряжений внутри КЭ находятся через скорости перемещений в узлах элемента с помощью (2) и (3).
=к у+у)/2 (3)
С каждым узлом связано несколько элементов, внутри которых компоненты девиатора напряжений различны. Поэтому узловые значения Sjj вычислим как среднее значение по элементам, примыкающим к данному узлу.
При анализе технологических процессов, протекающих в условиях плоской деформации, для определения напряженного состояния в теле достаточно определить три компоненты тензора напряжений - ох, Оу,
тху. Компоненту тензора напряжений о2 можно вычислить, зная ох и Оу.
Допустим, что известны компоненты девиатора напряжений sx, Sy, тху в
КЭ. Запишем компоненты напряжения в виде
О х _ sx + О;
О У = sy + О; т ху = т ху
и продифференцируем их по х и у:
ЭоЛ
Эх
Эо
Эях Эо —- +—; Эх Эх
ЭУ
Эх
у _ Эяу + Эо,
ЭУ ЭУ
Эх Эх Эх
ху _ и 1ху и 1ху _ и 1ху
Эх Эх ’ Эу
Используя уравнения равновесия
Эу
(4)
Эох Эх
ху
Эх
Эх
ху
Эу
Эо
0;
У
_ 0,
Эх Эу
исключим из (4) компоненты напряжения. Получим
Эо
Эх
Эо
ЭУ
Эх
ху
Эх
Эя
у
Эу
Эх
ху
(5)
Эу Эх
Изменение величины о в плоскости ху при движении от точки а к точке Ь представим в виде линейного интеграла. Таким образом, если известна величина О в точке а, то в точке Ь ее можно вычислить с помощью выражения
Ъ
оЬ _ оа + | йо,
(6)
а
где а и Ъ - точки, определяемые координатами в плоскости ху.
Величину йо запишем как полный дифференциал функции
1 Эо 7 Эо 1
ао _ — ах +-----ау.
Эх Эу
Используя выражения (5) и (7), перепишем выражение (6) в виде
оЪ _о а + |
а
Эях Эх
ху
йх +
Эя
У
Эх хуЛ
Эу Эх
йу
у
(7)
(8)
Эх Эу
Рассмотрим далее выражение (8) в плоскости ху , ограниченной сторонами треугольного КЭ с узлами Iук. Пусть точки а и Ь совпадают с узлами I и у. Изменение величины о , таким образом, рассматриваем вдоль стороны I у КЭ. Для выполнения расчетов по формуле (8) необходимо вычислить величины вида Э/Эх, Э/Эу, йх и йу.
При вычислении среднего напряжения в пределах треугольного КЭ используется локальная система Ь -координат, которая связана с КЭ. В качестве координат выбираются относительные величины Ь\, Ьі, Ьз . По определению, каждая из этих координат представляет собой отношение расстояния от выбранной точки внутри треугольника до одной из его сторон к высоте, опущенной на эту сторону из противоположной вершины (рис.1) [1]. Таким образом, каждая из Ь -координат треугольника изменяется в пределах 0 £ Ь £ 1. Причем, Ьі = 0 на стороне, противолежащей узлу і и Ьі = 1 в узле і. Точно так же Ь и Ьз соотносятся с узлами у и к соответственно. Между Ь -координатами существует зависимость Ь1 + Ьі + Ьз = 1, поэтому в качестве независимых выберем координаты Ь1 и Ьі.
Рис. 1. Ь-координаты для треугольника
С учетом выбранной системы координат искомые величины, выраженные через локальные координаты, примут вид
1 дх 1Т дх 1Т
ах = -— ОЬ1 +-----------------аЬі'.
дЬ
1
дЬ
2
ау = -дуаЬ1 + — аЬі.
дЬ1
дЬі
(9)
где
и і-1=
ду ду
дЬі дЬ1
дх дх
дЬі дЬ
Гд] 3 1
дх д = [и Г1- дЬ[ д
дЬі
1
(10)
дх ду дх ду
дЬ1 дЬі дЬі дЬ1
При вычислении величин, входящих в (9), применим формулы преобразования координат внутри треугольного элемента, которые можно записать в виде
х - Ь\х1 + ^2Х/ + Ь3 Хк•
У — ад +1^7+ЬзУк,
где X,, X7,..., Ук - координаты вершин КЭ.
Тогда с учетом зависимой координаты Ьз получим
(11)
дх — х _ х . _дх — Х1 Хк;
д/4
ду
дЬ
У _ Ук;
дЬ2
дУ
дЬ2
х, _ Хк;
У/ _ Ук
(12)
и
(13)
*—(X _ Хк + (X/ _ Хк ^
4у — (У, _УкУЬ + (У/ _Ук)ъ>.
Определим члены д£х /дх, дsy|ду, дтху Iдх, дтху Iду, входящие в
выражение (8). Используя линейную аппроксимацию искомой величины внутри КЭ, запишем компоненты девиатора напряжений в произвольной точке элемента через значения в узлах , , 7 , к этого элемента в следующем виде:
^х — + Ь2 ^Зс + Ь3 ;
^у — Ь1^у + Ь2 ^у + ^у;
т ху — Ь1тху + Ь2т ху + Ь3тху.
Принимая во внимание, что Ьз — Ь1 _ Ь2, дифференцируя (14), по-
(14)
лучим
дзч
д*
дЬ|
дЬ
х — Л _ гк • хх
2
д*
дЬ
д*
дт
ху
дЬ2
дт
у — Л _ Д •
•>у Лу,
дЬт
т
ху тху
ху
дЬ
т
тх
2
ху ху
Подставляя в (12) и (13) последние выражения, найдем
х
дх
д$
У
дУ
дт
А
А
Ь - Ук %х - 4 )-(у - Ук Рх
ХУ
дх
дт
ХУ
дУ
А
А
(Хі - Хк )(*У - 4)- (х, - Хк ру - 4) Ь, - Ук %Ху - тХу)- (у - Ук )(т'4 - тку))
(Хі - Хк )(тХу -тХу)- (хі - Хк )4 - тку )
(16)
где
А = шф ] = 1 [(Хі - Хк )(У, - Ук )-(Х,- - Хк )Уі - Хк)].
7 ±к> Уч
Подстановка найденных значений в выражение (8) позволяет получить последнее применительно к стороне элемента с узлами , 7 в следующем виде:
і і
а і = а + Рі І <і£і + Р 21 dL2 , і і
(17)
где
X т
Р1 = {а[(Уі - Ук Р - 4)- (у, - Ук Ьх - 4)+ (х, - Хк )х
(тХу -ткху)- (Хі - Хк )(тху - тку)] }(Х - Хк)+
Хі - Хк - 4)- (Хі - Хк ру - ^)+ (Уі - Ук )х х (т- т)- (У, - Ук \тХу - тХу)] }(Уі - Ук )
Р2 = {а[(Уі - Ук )(*Х - 4)- (У, - Ук Ух - 4)+ (х, - Хк )х х (тХу - тку)- (Хі - Хк )(і - т*у)] }х, - Хк)+
)-(Хі - Хк р - sky )+(у - Уі )х
ху ху
Iх, - хк д*у -
х (тХу - тку)- (у, - Уі )(тХу - тХу)] }у, - Ук )
Принимая во внимание определение Ь -координат, преобразуем интегралы в выражении (17) следующим образом:
р11^Ь1 + р2 І^Ь2 = р1 (ь1 - Ь1)+ Р2 (ь2 - Ь2 )= Р2 - р1,
после чего он примет следующий вид:
а/ =а; +р2 -01- (18)
Выражение (18) справедливо, если путь интегрирования рассматривается от узла I к узлу /, в противном случае в нем необходимо поменять местами пределы интегрирования и индексы I, /.
Таким образом, полученное выражение (18) позволяет на основании известных величин компонентов девиатора напряжений в узлах КЭ и величины среднего напряжения в каком-либо одном узле КЭ вычислить величины среднего напряжения в остальных узлах КЭ. Поскольку два соседних элемента имеют общие узлы, то, зная величины средних напряжений в узлах первого элемента, можно вычислить значения этих величин в узлах другого элемента и т.д.
Чтобы начать вычисление средних напряжений во всей области расчета по формуле (18), необходимо знать величину а в каком-либо одном узле. Как правило, в задачах высокоскоростного деформирования известно давление /* на поверхности 8у. В этом случае среднее напряжение в узлах КЭ, расположенных на участках границы, где приложена внешняя сила, можно легко определить. Предположим, что направление действующего поверхностного напряжения совпадает с координатной осью х. Тогда
у* 2 ам ^
Ух =а + 7Ти
Из этого соотношения следует, что
а = У*- -
3 Хи
Если граница деформируемого тела свободна от напряжений, то, поступая аналогичным образом, можно записать
з Х
х
х
Далее, опираясь на известное значение величины среднего напряжения в одном узле КЭ, можно вычислить распределение величины а во всем объеме пластической области, двигаясь от узла к узлу вдоль сторон элементов.
Список литературы
1. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. 392 с.
2. Селедкин Е.М., Селедкин С.Е., Кухарь В.Д. Формовка листовых заготовок в состоянии сверхпластичности: монография. Тула:
Изд-во ТулГУ, 2009. 116 с.
V. Kuchar, E. Seledkin, A. Kireeva
Calculation of the stress state in fea process ofplastic forming
A method of calculating the stresses arising in the plastic region of a deformable body, the known strain state, a particular finite element method is proposed. The relations that allow to determine the value of the average voltage for the case of plane strain state at any point in the plastic region are shown.
Key words: metal forming, forming, finite element method, stress.
Получено 28.12.10 г.
УДК 539.214
В.Д. Кухарь, д-р техн. наук, проф., (4872)35-18-32, Vladimir.D.Kuchar@tsu.tula.ru,
Е.М. Селедкин, д-р техн. наук, проф., (4872)35-18-32, tm@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ)
КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ МОДЕЛЬ ПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТОНКОСЛОЙНОЙ ЗАГОТОВКИ ПРИ СЖАТИИ МЕЖДУ ШЕРОХОВАТЫМИ ПЛИТАМИ
Представлена конечно-элементная модель пластического сжатия тонкого металлического слоя между плоскопараллельными шероховатыми плитами. Для анализа напряженно-деформированного состояния технологического процесса статического осаживания тонкослойных заготовок с учетом трения на контактных поверхностях приведена соответствующая система алгебраических уравнений.
Ключевые слова: обработка металлов давлением, напряженно-
деформированное состояние, метод конечных элементов, напряжения.
Ряд технологических процессов (штамповка тонкостенных панелей, прокатка тонкого листа и т.п.) можно рассматривать как задачи пластического сжатия тонкого слоя металла, толщина которого значительно меньше двух других его размеров и который заключен между жесткими поверхностями инструмента пресса, прокатного стана и других машин для обработки давлением.
Ниже предложен подход к расчету напряженно-деформированного состояния при осадке тонких листовых заготовок на основе метода конечных элементов [2].
