CC BY
26
ТЕХНОЛОГИИ И ОБОРУДОВАНИЕ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ
УДК 539.37; 621.7
М.В. Грязев, д-р техн. наук, проф., ректор (4872) 35-18-32, [email protected],
Д. А. Алексеев, асп. (4872) 35-18-32, [email protected],
А.Н. Пасько, д-р техн. наук, доц. (4872) 35-18-32, а[email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
ТРЕХМЕРНАЯ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ЗАГОТОВКИ ИЗ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА ЖЕСТКИМ ИНСТРУМЕНТОМ
На базе метода конечных элементов представлены основные соотношения, описывающие процесс деформирования заготовки жестким инструментом.
Ключевые слова: метод конечных элементов, матрица жесткости, упругопластический материал, жесткий инструмент, контактное взаимодействие.
Ряд процессов холодной штамповки характеризуется трехмерным напряженно-деформированным состоянием заготовки. В этих условиях особенно актуальным является решение задач пластического формообразования в трехмерной постановке.
Математическую модель процесса деформирования заготовки будем основывать на конечно-элементной аппроксимации упругопластической области, при этом решение поставленной задачи будет базироваться на следующем соотношении:
К • (и = (Ш, (1)
где (и - вектор-столбец приращений перемещений; К = ^ Ке - глобаль-
е
ная матрица жесткости; (¥ - вектор-столбец приращений внешних сил.
В качестве конечного элемента будет использоваться шестигранный восьмиузловой элемент [1], для которого матрица жесткости запишется в виде
1 1 1
I | |ВТ • Бе^ • В • det ,
-1-1-1
(2)
где В - матрица дифференциального оператора; Бе^ - матрица связи приращений компонент тензора напряжений и деформаций; J - матрица Якоби; X, Л, С - оси нормализованной системы координат.
Интеграл, входящий в соотношение (2), будет находиться методом численного интегрирования Г аусса - Лежандра [1]:
п п
п
х, Л /, С кН/ • Н7 • Нк ,
= I I IВТ • Бе^ • В • det J
/ =1 / =1 к=1
где X/, Л /, С к - точки интегрирования Гаусса; п - порядок интегрирования; Н/, Н/, Нк - весовые коэффициенты.
При контакте заготовки с инструментом необходимо наложить условие непроницаемости. Для обеспечения данного условия удобно перейти в локальную систему координат х', у', 2' [2]. Также для решения задачи контактного взаимодействия примем, что все элементы деформирующего инструмента являются абсолютно жесткими телами, поверхность которых аппроксимируем треугольными элементами.
Предлагается производить модификацию матрицы жесткости конечного элемента по следующей формуле:
где Н - матрица преобразования.
Матрицу преобразования Н запишем в виде блочной матрицы
Н
Е1 0 0
0
0
т
0
0
Е2
где Е1, Е2 - единичные матрицы, размерности которых зависят от номера контактирующего узла конечного элемента в локальной нумерации;
Т =
Ъх % ^1г
т2х т2у т2г
п
х
п
у
п
где Т1х, т^у , Tlz, Т2х, т2у , Т2z - направляющие косинусы единичных ортогональных векторов Т1, т 2, лежащих в плоскости, касательной к поверхности инструмента в точке контакта P (рис. 1); nx, Пу , п2 - направляющие косинусы вектора единичной внешней нормали п в точке P.
Узел КЭ сетки
Рис. 1. Схема контакта узла конечно-элементной сетки с треугольным элементом инструмента
Так как матрица Н является ортогональной [4], то обратное преобразование для найденных приращений перемещений dUе' будем осуществлять по формуле
Лие = Н-1 • Лие' = НТ • Лие'.
Условие непроницаемости для I -го узла при контакте с неподвижным инструментом запишется в виде
Лип = Лиг' = 0, (3)
где Лип - приращение нормального перемещения.
При контакте с подвижным инструментом условие непроницаемости для I узла будет иметь вид
Лип = Л¥п = ЛУТ • п, (4)
где Л¥п - приращение нормального перемещения инструмента;
ЛУТ = {л¥х ЛУу ЛУ2} - вектор приращения перемещения инструмента,
для поступательного движения инструмента вектор можно представить как ЛУТ ={0 0 ЛУ2}, т.е. в этом случае задано перемещение относительно
оси z.
Для реализации условия (4) соответствующий диагональный элемент глобальной матрицы жесткости будет умножаться на некоторое
большое число А, а элемент вектора <¥ , соответствующий диагональному элементу, заменяться на [4]
<^п = <ип • кц •А,
где <Еп - приращение нормальной силы; кц' - диагональный элемент.
В полученном решении <ип » <Уп.
На рис. 2 представлен результат расчета тестовой задачи, который показывает работоспособность и адекватность приведенной выше математической модели. Моделировалась осадка заготовки двумя абсолютно гладкими плитами, при этом рассматривалась четверть заготовки из упругого материала, перемещение плиты 1 было задано У2 = -15 мм .
;ние иг, мм 1.1921Е-7
I.1538 2.3076 3.4615 4.6153 5.7692 6.923 8.0769 9.2307 10.384
II.538 12.692 13.846 15
Рис. 2. Результат решения тестовой задачи:
1 - подвижная плита; 2 - заготовка; 3 - неподвижная плита
Таким образом, представленная конечно-элементная модель позволяет описывать трехмерное течение заготовки из упругопластического материала при деформировании ее жестким инструментом.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №10-01-97507.
Список литературы
1. Клованич С.Ф. Метод конечных элементов в нелинейных задачах инженерной механики // Библиотека журнала «Свет геотехники». Вып. 9. Запорожье: ООО «ИПО «Запорожье», 2009. 400 с.
2. Чумаченко Е.Н, Смирнов О.М., Цепин М. А. Сверхпластичность: материалы, теория, технологии. М.: КомКнига, 2005. 320 с.
3. Курс высшей математики: учеб. пособие / В .Г. Зубков [и др.] Ч 2 / под. ред. В.Б. Миносцева. М.: МГИУ, 2007. 527 с.
4. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / под ред. Б.Е. Победри. М.: МИР, 1975. 539 с.
D. Alekseev, A. Pasko, M. Gryazev
3D Finite element model rigid tool of deformation of elastic-plastic workpiece
material
On the basis of the finite element method the main relations describing the process of deformation of workpiece rigid tool are presented.
Key words: finite element method, stiffness matrix, elastoplastic material, rigid tool, contact interaction.
Получено 28.12.10 г.
УДК 539.214
В. Д. Кухарь, д-р техн. наук., проф., (4872)35-18-32, [email protected],
Е.М. Селедкин, д-р техн. наук., проф., (4872)35-18-32, [email protected],
А.Е. Киреева, канд. техн. наук, доц., (4872)35-18-32, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
ПРИ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОМ АНАЛИЗЕ ПРОЦЕССОВ
ПЛАСТИЧЕСКОГО ФОРМОИЗМЕНЕНИЯ
Предложена методика расчета напряжений, возникающих в пластической области деформируемого тела, по известному деформированному состоянию, определенному методом конечных элементов. Приведены соотношения, позволяющие определять величину среднего напряжения для случая плоского деформированного состояния в любой точке пластической области.
Ключевые слова: обработка металлов давлением, формоизменение, метод конечных элементов, напряжения.
При конечно-элементном анализе процессов пластического формоизменения на первом этапе, как правило, определяются поле скоростей перемещений во всем пространстве деформируемого тела, представленного сеткой конечных элементов. Покажем, как по известному полю скоростей перемещений можно определить напряженное состояние в любой точке конечно-элементной сетки.
