CC BY
16УДК 529.17.06
Расчет максимальных значений инерционных моментов в гироскопических стабилизаторах для маневренных объектов
В.Д. Арсеньев 1, Е.Р. Рахтеенко 1 1 МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
Рассмотрены инерционные моменты, парируемые двигателями ота-билизации гиростабилизатора, которые возникают при движении высокоманевренного объекта с угловыми скоростями и ускорениями, а также при наличии угловых колебаний основания. Получены расчетные соотношения, описана методика определения максимальных величин инерционных моментов для двух- и трехосного гиростабили-заторов. Приведены результаты анализа и примеры расчета.
E-mail: arsv@inbox.ru
Ключевые слова: гироскопический стабилизатор, инерционные моменты, моменты двигателей стабилизации.
В инерциальных системах ориентации и навигации, построенных на базе двух- и трехосных гиростабилизаторов (ГС), выбор приводов стабилизации и оценка динамических погрешностей в значительной степени определяются величиной инерционных моментов [1, 2]. Особенно актуальна задача определения максимальных величин инерционных моментов, парируемых приводами стабилизации, для ГС высокоманевренных подвижных объектов, характеризующихся большими угловыми скоростями (до сотен градусов в секунду) и угловыми ускорениями (до сотен град/c2), а также наличием угловых колебаний объекта со значительными угловыми скоростями и ускорениями.
В силовых гиростабилизаторах моменты внешних сил, изменяющиеся с высокой частотой, уравновешиваются как двигателями стабилизации, так и гироскопическими и инерционными моментами. В индикаторных же гиростабилизаторах уравновешивание постоянных и знакопеременных моментов должно полностью обеспечиваться приводами стабилизации. Поэтому расчет максимальных величин инерционных моментов в случае комплексных внешних воздействиях, заданных траекторным движением подвижного объекта, необходим при проектировании ГС.
Данная работа посвящена анализу величин инерционных моментов в ГС. Вывод аналитических выражений приведен для расчета инерционных моментов в двухосном и трехосном гиростабилизаторах в зависимости от параметров движения объекта, также рассмотрена методика определения максимальных величин инерционных моментов при комплексных воздействиях угловых скоростей, угловых ускорений и при качке объекта вокруг произвольно заданной оси.
Рассмотрим возникновение инерционного момента в двухосном ГС (рис. 1). Введем системы координат (СК) (см. рис. 1, 2): Охсу^с — СК, связанная с подвижным объектом; Ох\у\2\ — СК, связанная с наружной рамой; Ох2у2^2 — СК, связанная с платформой.
Рис. 1. Карданов подвес двухос- Рис. 2. Системы координат двухосного ГС ного ГС
Уравнения Эйлера, движения наружной рамы и платформы ГС соответственно имеют вид:
y! + (Jxi - Jzi= M7 + М-;
Jx2Юx2 + (Jz2 - Jy2 )Юy2®z2 = -MX2 ; (1)
Jy2®y2 + (Jx2 - Jz2 К2®z2 = -M>
где J — моменты инерции; ю — угловые скорости и со — угловые ускорения вокруг соответствующих осей имеют индексы этих осей; Mпр — момент сил реакций со стороны платформы на наружную
раму в проекции на соответствующую ось; Мдс — момент, создаваемый двигателем стабилизации вокруг оси Oy i.
Из уравнений (1) следует, что момент реакции со стороны платформы на наружную раму вокруг оси наружной рамы определяется следующим соотношением:
MT =--Jx2®x2 + (Jz2 - Jy2 )%2®z2 ]sin Р -[Jy2®y2 + (Jx2 - Jz2 )%2®z2 ]С°Р-
Тогда момент, развиваемый приводом стабилизации вокруг оси наружной рамы,
м;р = у1 + (Jxl - Jzl )юх1юzl + Jx2 2 sin P + J2 éy2 COS P +
+ (Jz2 - Jy2 )éy2 éz2 sin P + (Jx2 - Jz2 )éx2 éz2 COS P- (2)
Отметим, что инерционный момент вокруг оси наружной рамы численно равен моменту, развиваемому приводом стабилизации, но противоположен ему по знаку:
м;н = -м.
Кинематические уравнения для двухосного ГС, соответствующие системам координат на рис. 1, имеют вид
wx1 = wxc cosa - w7c sin a; wy1 = w+ a; w7l = wxc sin a + w7c cosa;
. 7c y1 У 7i 7c (3)
w72 = w71 + P; Wx2 = wxl COsP + wyl sinP; wy2 = wy1 COsP - Wx1 sinP-
Из уравнений (3) следует, что
ш y 2
Шy! = Шx1 tg Р + . (4)
cos в
Полагая, что собственные скорости дрейфа гиростабилизатора малы по сравнению с угловыми скоростями основания ray2 ^ 0,
roz2 ^ 0, юу2 ^ 0, Ъюу2 ^ 0, юz2 ^ 0, получаем
®x2 =Юу2 tg Р +-г; <0у1 = ®xi tg Р--тт; юх2 =-г--• (
cos p ' cos2 в cos P cos2 P
Тогда из (2), (3) и (5) инерционный момент вокруг оси наружной рамы
м;г =-( jyl + jx 2 )ю tg ß-
—xl - J 1 ~—21ß - Jx 2 tg2 ß
^ cos ß
®x1®z1 • (6)
Инерционный момент вокруг оси платформы определяется соотношением
MzT = -Jz 2 ®z 2 - (Jy 2 - Jx 2 )Юу 2 ®x 2 •
Пренебрегая малыми величинами второго порядка относительно шУ2 и полагая юz2 = 0, инерционный момент вокруг оси Ozi определяем соотношением
Mин --(J - J ) x1 у2
M z1 - (J у 2 J x2 ) с '
cos в
где юу 2 — угловая скорость дрейфа (или управления) платформы.
Выражая угловое ускорение ю x1 и угловые скорости ю x1, ю z1 через угловые скорости объекта в связанных с ним осях, получаем следующее соотношение для инерционного момента вокруг оси наружной рамы:
=-B te ß [®xc C0s a - zc sin a + 0 yc (®xc sin a + ®zc C0s a)] +
yc \ xc
A 2 2
+ y[(®xc -®zc)sm2a + 2®xc®zc C0s2a], (7)
где В = Jvi + J2; A = J, +
J
yi
+ tg2 ß(B + Jx2 ) - Jx 1.
y1 " X Z' " Z1 П
cos в
Из соотношения (7) видно, что максимальное значение инерционного момента зависит не только от величин моментов инерции рамы и платформы, угловых скоростей и ускорений объекта, но и от величин углов а и в и может иметь выраженный максимум.
Рассмотрим методику расчета максимального значения инерционного момента вокруг оси наружной рамы при движении объекта с постоянными угловыми скоростями и ускорениями на примере двухосного ГС при следующих исходных данных:
параметры движения объекта — угловые скорости в проекциях на оси объекта шхс = -24 град/c, шус = 30 град/c, ш2С = 30 град/c; модуль вектора угловой скорости объекта при этом составляет 48,7 град/c. Угловые ускорения (о = 50 град/c2, со zc = 80 град/c2;
параметры двухосного гиростабилизатора — моменты инерции Jxi = 1610-3 кг-м2, Jyi = 28-10-3 кг-м2, Jzi = 1710-3 кг-м2, JX2 =
—3 2
= 12-10 кг-м ; углы прокачки amax =70°, pmax = 60°.
На рис. 3, 4 представлены зависимости инерционного момента при положительных и отрицательных значениях углов а и р.
На кривых рис. 3 видно, что максимальное значение инерционного момента имеет место при угле а = -16,2° (M™ )max = -1502 сН-см, при этом угол р = pmax = 60°. На рис. 4 максимальное значение инерционного момента имеет место при угле р = pmax = 60° (M™ )max = = -1502 сН-см, при этом угол а = -16,2°.
g -Miplus(ü.)
- Mimiiiust с.1
1502
--
70
180
Рис. 3. Зависимость значения инерционного момента от угла а
Следует отметить, что вклад в суммарный момент составляющих инерционного момента, зависящих от угловых ускорений, меньше, чем от угловых скоростей основания.
Таким образом, максимальное значение инерционного момента при указанных исходных данных определяется соотношением (7) в случае, если а = -16,2° и в = pmax = 60°.
Значительную величину инерционного момента имеет составляющая, определяемая малыми колебаниями объекта с высокой частотой, ввиду больших значений амплитуд угловых скоростей и ускорений.
Получим соотношения для определения инерционного момента при малых угловых колебаниях объекта вокруг произвольным образом расположенной оси. Зададим угловые колебания объекта вокруг трех осей:
a= a sin vt; а^ = b sin vt; аzc = c sin vt,
где a, b, c — амплитуды угловых колебаний вокруг соответствующих осей; V — круговая частота колебаний объекта.
Тогда выражения для угловых скоростей и угловых ускорений примут вид
= av cos vt; m = bv cos vt; m = cv cos vt;
лс ус ¿с /Q\
2 • . 2 • (8) солс = -av sin vt; соzc = -cv sin vt.
Подставляя соотношения (8) в (7), получим выражения для постоянной и переменной составляющих инерционного момента при малых угловых колебаниях подвижного объекта:
2 2 мг b tg Р(а srn a+c cos а) )sin2a + 2ac cos2a];
M™' = -Bv2 b tg ß(c sin а - а cos а) sin vt - -2 {Bv2 b tg ß(a sin a + c cos а) - (9)
Av2 „ 2 2
[(а - c ) sin 2a + 2ac cos 2a]} cos 2vt,
где М™ , М™: — постоянная и переменная составляющие инерционного момента соответственно.
Сумма постоянной и переменной составляющих момента образуют суммарный инерционный момент
м;; = м;н= + (10)
Рассмотрим методику расчета максимального значения инерционного момента вокруг оси наружной рамы при колебаниях объекта на примере двухосного ГС при следующих исходных данных.
Параметры движения объекта. Амплитуды колебаний вокруг осей объекта a = 0,4°, c = 0,2° на частоте 4 Гц (V = 25,1 1/с), что соответствует амплитуде угловой скорости при качке ~ 11,2 град/с, амплитуде углового ускорения ~282,5 град/с2. Модуль амплитуды угла колебаний объекта при этом составляет 0,45°. Параметры гиростабилизатора используем те же, что и ранее.
Зависимости постоянной составляющей инерционного момента, возникающей при угловых колебаниях объекта для положительных и отрицательных значений углов а и в соответственно, представлены на рис. 5, 6.
Проведем расчет величины инерционного момента (10), возникающего при угловых колебаниях объекта. Расчет включает постоянную составляющую и составляющие, изменяющиеся с двойной и одинарной частотами колебаний.
На рис. 7, 8 приведены зависимости амплитуды суммарного значения инерционного момента, возникающего при угловых колебаниях объекта, для положительных и отрицательных значений углов а, р. При этом амплитуда колебаний инерционного момента определяется в основном амплитудой изменения первой гармоники колебаний объекта.
На рис. 7 видно, что инерционный момент достигает максимального значения при угле а = -26,7° и составляет М^Х у1 = 3416 сН-см, при этом постоянная составляющая инерционного момента всего лишь мт=У1 = 18,4 сНхм.
2
£ Mconstpl'tt1 'S McDnstmin(a)
"1В4
1(5.9
- 1S-J
30 40
180
70 180
Рис. 5. Зависимость постоянной составляющей инерционного момента от угла а
S Mconstpl1 ß)
—------
\
- 18.4\
30
180 ß — тигр ад
№ ßm--
Рис. 6. Зависимость постоянной составляющей инерционного момента от угла в
S Mplus'a.1 u Ivlminus1 д
3000
3416
■ .'г:
30 40
180
70 180
Рис. 7. Зависимость значения инерционного момента от угла а
I rajp'iuE (ß i 'S Mminus(ß)
-4200
341
30 180
180 ßm--
Рис. 8. Зависимость значения инерционного момента от угла в
Следует также отметить, что для реальных конструкций ГС амплитуда составляющей инерционного момента, изменяющаяся с удвоенной частотой колебаний, и постоянная составляющая момента значительно меньше амплитуды составляющей, изменяющейся с частотой колебаний объекта.
Для высокоманевренных объектов соотношение значений составляющих инерционного момента можно привести в соответствии с соотношением (9).
Таким образом, приближенный расчет амплитудного значения инерционного момента при угловых колебаниях объекта может быть проведен по формуле
Мин 1
max y 1
= -BV tg ßmax (I C SÍn a- a C0S a l)m
где B = Jyl + Jx2; a, c — амплитуды колебаний объекта вокруг осей Oxc, Ozc соответственно; (| c sin a - a cos a |)max — максимальное значение модуля функции f (а) = (| c sin a- a cos а |) в диапазоне углов
±amax-
С
Для ап
>
arctg-
— (| c sin а- a cos а |) мальный инерционный момент определяется формулой
= -(Jvi + Jx2 )v2 tg Pmax^
= yj a2 + c 2.
Мин 1
max y 1
,2,2 la + c .
макси-
(11)
Отметим, что угловые колебания объекта вокруг оси наружной рамы непосредственно не оказывают влияния на значение инерционного момента, что физически объяснимо, так как эти колебания вызывают лишь периодически изменяющиеся моменты, действующие на платформу (момент сухого трения, диссипативный и инерционный
моменты привода и др.). Отсюда, в частности, следует, что для снижения величины инерционного момента ось наружной рамы лучше располагать по направлению оси максимальных амплитуд угловых колебаний объекта.
Соотношение (11) соответствует исходному уравнению
м;н =-о> х! tg р( зуХ + зх 2), которое имеет вполне конкретную физическую интерпретацию (рис. 9).
У1
Рис. 9. Инерционные моменты в двухосном гиростабилизаторе
При наличии углового ускорения юx1 вокруг осей Oy1 и Ox2 возникают угловые ускорения юx1 tg в и Юх1 (см. уравнения (4), (5)) и
cos в
соответствующие им инерционные моменты Jy1cbx1 tg в и Jx2 °)л| .
cos в
Составляющая инерционного момента - Jy1 со x1 уравновешивается реакцией опор наружной рамы, а составляющая Jx2 (оx1 tg в действует вокруг оси Oy 1.
Таким образом, суммарный инерционный момент вокруг оси Oy1
м;н = x! tg в( jyl + Jx 2).
Рассмотрим инерционные моменты в трехосном ГС. Для трехосного ГС (рис. 10) инерционный момент вокруг оси наружной рамы Oz1, определенный при условии малости дрейфов платформы стабилизатора, вычисляют по формуле, аналогичной (6) [1]:
M™ =-( JzX + J y 2 )® tg ß
Jyl Jx1
J
z^ - Jy 2 tg2 ß
cos2 ß
®xl®yl >
где шx1 = шхс cos a + wyc sin a; wyl = wyc cos a - Qxc sin a — моменты
инерции J; угловые скорости ш и ускорения о имеют индексы, соответствующие обозначению осей на рис. 10, 11.
Рис. 10. Карданов подвес трехосного ГС
Рис. 11. Системы координат трехосного ГС
С учетом кинематических соотношений для трехосного ГС инерционный момент вокруг оси наружной рамы трехосного ГС в зависимости от угловых скоростей и ускорений объекта в связанных с ним осях определяется формулой
M7 = -B tg ß [ю^ cos а - <хс sin а + юж (ю^ sin а + ю^ cos а)] +
A 2 2
+ у [(ю^c - <xc ) sin 2а + 2ю^c<xc COs 2а],
где B = Jzl + J2; A = Jxl + tg2 P(B + Jy2 ) - Jyl.
cos в
Максимальную величину (амплитуду колебаний) инерционного момента при угловых колебаниях основания приближенно устанавливают соотношением
M2xz1 = -2 tg Pmax (I a sin a - b COS tt |)max ,
или
MZx zl = J + Jy2 )v2 tg PmaxVa2 + b2.
Таким образом, получены аналитические выражения для расчета инерционных моментов в двух- и трехосном ГС при комплексных воздействиях угловых скоростей, угловых ускорений и при качке объекта вокруг произвольно заданной оси. Проведен анализ постоянных составляющих инерционного момента и амплитудных значений переменных составляющих, рассмотрена физика возникновения инерционных моментов, приведены примеры расчета.
Полученные соотношения позволяют проводить расчет величин инерционных моментов, необходимых для проектирования, расчета динамических погрешностей и синтеза параметров двух- и трехосных ГС высокоманевренных объектов при заданных параметрах движения объекта.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Колосов Ю.А., Ляховецкий Ю.Г., Рахтеенко Е.Р. Гироскопические системы: Проектирование гироскопических систем. Ч. II: Гироскопические стабилизаторы / под ред. Д.С. Пельпора. М.: Высш. шк., 1977. 223 с.
2. Пельпор Д.С. Гироскопические системы: Теория гироскопических стабилизаторов. М.: Высш. шк., 1986. 423 с.
Статья поступила в редакцию 25.10.2012
