CC BY
98
ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
УДК 336.7 М.Ю. Ермаков
РАСЧЕТ ЛИЗИНГОВЫХ ПЛАТЕЖЕЙ НА ОСНОВЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПЛАВАЮЩЕЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
Рассмотрен расчет лизинговых платежей в случае фиксированной и плавающей процентной ставки по кредиту, привлекаемому лизингодателем. На основе случайного блуждания в марковской случайной среде построена математическая модель динамики MosPrime за последние пять лет, получены оценки основных параметров модели.
Ключевые слова: лизинг, лизинговые платежи, ставка удорожания лизинга, плавающая процентная ставка, случайное блуждание в марковской случайной среде.
Прошедший 2009 г. стал одним из самых сложных для российского лизингового рынка. Самый быстроразвивающийся из финансовых рынков он резко прекратил рост. Множество лизинговых компаний столкнулось с лавинообразным ростом просроченных лизинговых платежей и последовавшим за ним изъятием «никому не нужных в период кризиса» предметов лизинга у должников. Как следствие, ряд лизинговых компаний, в том числе одна из крупнейших «Г лобус-Лизинг», были вынуждены заявить о своем банкротстве. Помимо ухудшения общей конъюнктуры рынка, вызванного затяжным падением российской экономики, негативно сказались на развитии лизинговой отрасли последовавшие ужесточение требований банков к лизинговым компаниям, а затем и практически полное прекращение их финансирования, рост эффективных ставок по договорам лизинга, девальвация рубля и финансовая нестабильность потенциальных и уже существующих лизингополучателей.
Первые признаки выздоровления российского лизингового рынка стали появляться уже в 3-4-м кварталах 2009 г. Впервые с начала кризиса снизился объем просроченной задолженности, стали заключаться новые сделки. В 2010 г. тенденция к восстановлению к докризисному уровню сохранилась. По прогнозу экспертов [2] объем рынка лизинга вырастет в 2010 г. на 10-15%. В 2011 г. при благоприятных условиях можно ожидать роста рынка на уровне 30-40%. При этом окончательное восстановление рынка до уровня 2007 г. произойдет в 2012 г.
Одним из основных движущих факторов роста рынка лизинга в 2010 г. стало снижение стоимости финансирования. Уже во 2-м квартале 2010 г. крупнейшие банки страны стали кредитовать на условиях, аналогичных тем, которые были в конце 2007 г. По мнению многих экспертов, потенциал снижения ставок еще не исчерпан. Дальнейшее снижение стоимости финансирования, привлекаемого лизинговыми компаниями, возможно также за счет применения кредитных продуктов с плавающей процентной ставкой. Такая схема позволяет лизинговой компании не только застраховаться от риска переплаты процентов за кредит, поскольку ставка по кредиту всегда будет «в рынке», но и гарантирует ему существенное снижение расходов по обслуживанию кредита при улучшении экономической конъюнктуры. Однако при этой схеме весь риск роста процентных ставок при ухудшении экономической конъюнктуры полностью перекладывается с кредитора на лизингодателя.
Следует заметить, что применение плавающих процентных ставок накладывает определенную специфику в работе лизингодателя, появляется так называемый фактор случайности. Расчет общей суммы лизинговых платежей при этом будет несколько отличен от случая с фиксированной ставкой.
Формы лизинговых платежей
Прежде чем перейти к непосредственным расчетам лизинговых платежей, рассмотрим возможные формы их построения. В зависимости от характера распределения лизинговых платежей во времени на практике выделяются три основных формы: регрессивная; регрессивно-ступенчатая; аннуитетная [4] (см. рис. 1).
Регрессивная форма лизинговых платежей является наиболее простой, но при этом наравне с аннуитетной одной из наиболее распространенных. В этой форме «погашение» стоимости предмета лизинга происходит равномерно в течение всего срока действия договора. Регрессивный же характер объясняется тем, что затраты на уплату процентов по кредиту и на налог на имущество в течение срока действия договора постепенно снижаются. Такая форма лизинговых платежей в большинстве
случаев удобна и для лизингополучателя, так как эксплуатационные затраты на оборудование, как правило, с течением времени растут, тем самым снижение лизинговых платежей позволяет сохранить положительный денежный баланс при неизменной выручке.
регрессивная......аннуитетная-------регрессиво-ступенчатая
Рис. 1. Формы лизинговых платежей
Регрессивно-ступенчатая форма лизинговых платежей характеризуется ускоренным «погашением» стоимости предмета лизинга на начальных этапах действия договора. Для лизингодателя это позволяет снизить возможные потери в случае досрочного возврата предмета лизинга, а также затраты на уплату процентов по кредиту, который при этой форме можно гасить быстрее, чем в обычной регрессивной форме. В качестве минуса для лизингодателя можно отнести смещение уплачиваемого налога на прибыль в сторону начала действия договора лизинга.
В случае аннуитетного лизингового платежа погашение стоимости предмета лизинга подбирается таким образом, чтобы ее прогрессивный характер компенсировал регрессивный характер затрат на проценты и на налог на имущество. Данный лизинговый платеж достаточно часто применяется в зарубежной практике и является наиболее простым для финансового планирования на предприятии лизингополучателя. Однако при этой форме для лизингодателя существенно возрастают возможные потери в случае досрочного возврата предмета лизинга. Вероятность изъятия имущества при регрессивно-ступенчатых платежах, продажа имущества по которым может быть связана с получением прибыли, ниже вероятности неплатежей по договорам с аннуитетным лизинговым расчетом, реализация имущества которых связана с убытками.
Далее рассмотрены наиболее распространенные формы лизинговых платежей - регрессивные.
Расчет лизинговых платежей в случае регрессивной формы
Рассмотрим расчет лизинговых платежей в случае регрессивной формы по j -му договору, обеспечивающих заданную нормы рентабельности для лизингодателя. Для этого введем следующие обозначения:
Т= {0,1,...} - множество моментов времени, когда происходит приобретение имущества, выплата лизинговых платежей и другие значимые события. Будем считать, что дискретизация множества Т соответствует месячной разбивке;
Т1 - срок j -го договора лизинга;
Т0] - период начала действия 1 -го договора лизинга;
- стоимость лизингового имущества в I -й момент времени (без учета НДС), при этом / = То1 ,....(Т1 + То1);
Расчет лизинговых платежей на основе динамической модели.
47
ЭКОНОМИКА И ПРАВО 2011. Вып. 1
ТНдС , ТНИ - ставка налога на добавленную стоимость и налога на имущество соответственно;
да/ - годовая маржа лизинговой компании, исчисляется в процентах от задолженности по кредиту;
df - дополнительные расходы лизингодателя, исчисляются в процентах от первоначальной стоимости имущества S0 ;
К! - остаток задолженности по кредиту в і -й момент времени, взятого под финансирование І -го договора лизинга;
т. - эффективная «простая» процентная ставка по кредиту, действующая за [і — 1, і]-й период времени;
АВ - размер вносимого лизингополучателем аванса.
Для простоты дальнейших построений будем считать, что приобретение имущества осуществляется в Т/ -й момент времени, а выплата первого лизингового платежа в (Т0] +1) . Срок полезного
использования имущества с учетом коэффициента ускорения, применяемого лизингодателем для целей бухгалтерского учета, соответствует сроку действия договора лизинга (случай финансового лизинга). Выкупную стоимость по окончании срока действия договора будем считать минимальной и поэтому исключим ее из расчетов.
Кредит гасится равными частями в течение срока действия договора, при этом первоначальная
сумма кредита составляет КО = SІІ (1 + ТНДС ) • (1 — АВ]) .
Исходя из этого лизинговый платеж Ц| (без НДС) по І -му договору в і -й момент времени должен рассчитываться следующим образом:
1 d ^ Т ^ + Т ^ — і +1 Т Т ^ + Т ^ — і +1
Ц і і і = s]i [—+—+т----------------(1+тндс )(1—лв1)-------^^---------------------------].
і, гє[Т0І ,Т0І +ТІ ] Т01Т] 12 12 С Т} 12 Т}
Сумма лизинговых платежей Ц (без НДС) за весь период действия І -го договора будет составлять:
dІ Т ТІ +1 тІ ТІ +1 Т1 І Т1 Іk
Ц = S1І [1 + —Т1 + ^ (^1 + (1 + ТНДС )(1 — ЛВ1 )[— (^1 + (Т1 +1) (-^)— (^°-)], Т01 12 12 2 НД 12 2 12 12
kє[1,TІ ] kє[1,TІ ]
где
( к+То ) „
^ 22 ) средняя процентная ставка по кредиту в период действия і -го лизингового договора кє[1,ТІ ] (в пересчете на месяц);
Г1+Т1^- корректирует сумму процентов по кредиту с учетом того, что начисление происходит
( 12 ) только на остаток ссудной задолженности, которая равномерно уменьшается в течение щи1 ] действия договора лизинга.
Удорожание предмета лизинга, или так называемая ставка удорожания (в годовых процентах), в этом случае составит:
П 12 Т 1 т1 1
Ставка удорожания1 = —----------- -1 = d] + -Н^ (1 н-- ) н--------(1 + ТНДС )(1 - ЛВ1 )(1 н- ) +
31 Т1 2 Т1 2 Т1
і т1 і і г1 к
1 к+Т1 1 к+Т1
+(1 + Тндс )(1 — ЛВ1 )[(1 + —) (-^Ц— — (^)].
кє[1,ТІ ] кє[1,ТІ ]
Как видно, удорожание складывается из 4 составляющих:
1)
2) процентов по кредиту;
лизинга на своем балансе;
4) дополнительных расходов на содержание предмета лизинга на балансе лизингодателя d1.
Таким образом, прямое сравнение ставки удорожания с процентной ставкой по кредиту, которым бы воспользовался лизингополучатель, если бы купил предмет лизинга не через лизинг, а по «обычной» схеме, невозможно из-за наличия 3-й и 4-й составляющих. При этом следует отметить, что при обычной схеме, как правило, начисленный налог на имущество оказался бы больше за счет применения ускоренной амортизации в лизинговой компании
В случае если ставка по кредиту зафиксирована и равняется т1, то сумму лизинговых платежей по 1 -му договору и соответствующую им ставку удорожания можно будет рассчитать по следующим формулам:
Моделирование плавающих процентных ставок
Несмотря на широкую распространенность в отечественной практике кредитов с фиксированной ставкой, при долгосрочном финансировании лизинговых сделок как для самого лизингодателя, так и для его кредитора (кредитной организации) становится актуальным вопрос применения плавающих (переменных) ставок по кредитным ресурсам. Такая схема позволяет лизинговой компании не только застраховаться от риска переплаты процентов за кредит, поскольку ставка по кредиту всегда будет «в рынке», но и гарантирует ему существенное снижение расходов по обслуживанию кредита при улучшении экономической конъюнктуры. Однако при этой схеме весь риск роста процентных ставок при ухудшении экономической конъюнктуры полностью перекладывается с кредитора на лизингодателя, что является безусловным преимуществом для кредитора, поскольку ставки привлечения средств и ставки размещения у последнего, как правило, «плавают» относительно друг друга.
При финансировании лизинговых сделок с помощью кредитов с «плавающей» процентной ставкой, особенно в случае, когда величина лизинговых платежей является жестко фиксированной, лизингодателю важно уметь прогнозировать динамику основных рыночных индикаторов, влияющих на деятельность лизинговой компании. Чтобы не действовать вслепую, требуются эффективные инструменты, позволяющие проводить глубокий экономический анализ финансового рынка и прогнозировать динамику его развития. Очевидно, что такого рода прогнозы должны иметь под собой определенную научную основу, сформированную из построения соответствующей математической модели финансовых временных рядов.
Широкое распространение в области моделирования финансовых временных рядов получила модель простого случайного блуждания. Такая модель имеет желательные характеристики для математических расчетов. Статистика может быть оценена с большой точностью, и могут быть рассчитаны вероятности. Однако, несмотря на вышеперечисленное, множество проведенных статистических исследований показали, что существуют эмпирически подтвержденные феномены, которые не свойственны данной модели. В качестве примера можно привести так называемые эффекты кластеризации и асимметричности реакции на негативные и положительные импульсы.
Более того, вполне очевидно, что динамика финансовых временных рядов, в частности рыночных индикаторов стоимости заемных средств, зависит от общего состояния экономической системы.
В качестве примера математической модели, учитывающей зависимость временного ряда от состояния внешней среды (системы), можно привести случайное блуждание в марковской случайной среде, которая подробно изучена в работе [1]. Основные моменты указанной модели для случая, когда число состояний экономической системы равно двум (состояние спада и подъема) приведены ниже:
рост или снижения значения финансового временного ряда в следующий момент времени зависит лишь от состояния среды (системы). Если система пребывает в состоянии «1», вероятность подъема составляет т1, вероятность снижения 1 — т1. В случае состояния «2» вероятности равны соответственно т2 и 1 — т2;
в среднем за единичный промежуток времени значение временного ряда может либо увеличиться в и раз, либо уменьшиться во столько же раз;
смена состояний среды происходит согласно одномерной цепи Маркова с матрицей вероятно- Л 0 I 0 0\ т
стей перехода А и начальным распределением р = (р1 ; р2) :
А =
{а а Л
“11 12
V а21 а22 У
Рассмотрим динамику основного рыночного индикатора стоимости рублевых заемных средств . _0
MosPrime за последние 5 лет. Для оценки параметров (р , А, т1, т2) случайного блуждания в марковской случайной среде для данного временного ряда воспользуемся методами, разработанными в рамках теории скрытых марковских цепей, а именно методами Баум-Велша и Витерби (более подробно см.[3; 5]). В результате использования указанных методов получены следующие оценки параметров для временного ряда MosPrime с интервалом наблюдения один день (см. рис. 2):
-0 (1 ^ р =
, А =
V 0 У
(0,88 0,12 ^ V0,10 0,90у
т1 = 0,70 , т2 = 0,35 , и = 1,0127
Рис. 2. Динамика MosPrime и состояния среды (экономической системы): --------------MosPrime, % -------состояние системы (1 или 2)
Состоянию «1» соответствует стадия роста процентных ставок, состоянию «2» - снижения. Ярчайшим примером этих двух состояний является финансовый кризис, начавшийся в России в 2-м полугодии 2008 г. С началом банкротства крупнейших банков, инвестиционных и страховых компаний США, а затем и Европы, межбанковский рынок кредитования в России дестабилизировался. Заимствования для российских банков и компаний на западных рынках стали почти невозможны. В результате этого российские банки стали испытывать проблемы с ликвидностью, единственным источником привлечения средств остались аукционы РЕПО. Как следствие ставка MosPrime выросла до рекордной отметки за последние 5 лет - 29%. Большинство банков прекратило практику перекредитовки коротких кредитов, взятых предприятиями реального сектора, в том числе для финансирования долгосрочных инвестиционных проектов. В результате по стране прокатилась волна корпоративных дефолтов.
Для стабилизации ситуации Правительство РФ и ЦБ стало предпринимать все меры, чтобы предоставить банкам необходимый объем ликвидности. Была снижена норма обязательного резервирования, началась практика «прямого» кредитования крупнейших банков. В результате стоимость рублевых средств, начиная с 2009 г., стала постепенно снижаться. Платежеспособный спрос стал постепенно восстанавливаться. Объемы производства в конце 4-го квартала 2009 г. в ряде отраслей стали выходит на докризисные уровни.
Расчет лизинговых платежей в случае плавающей процентной ставки по кредиту
Рассмотрим применение указанной модели в работе лизинговой компании с кредитами с плавающими процентными ставками.
Плавающая процентная ставка состоит из двух составляющих. Первая составляющая называется база В (именно она изменяется во времени). В качестве базы по рублевым средствам можно использовать все тот же MosPrime. Вторая составляющая - надбавка к базе N , так называемая маржа кредитной организации, которая включает в себя премию за риск. Предположим, что величина базы определяется на начало периода. Таким образом, размер плавающей ставки за период [/' — 1; /'] по j -му договору будет соответствовать следующему выражению:
г/ = Вг—! + N .
Согласно [1] ожидаемое среднее значение величины Ві—1 в момент времени Ї будет определяться следующей формулой:
где
т_В0 • (^^),
_ р0(01 — Ql + '1№ ) — 2р1°«21(1 + т1(и 2 — 1)) ( 0,1 — 02 — '1№ + 1 .
2 =---------------------і=--------------------(--------------о-----+ 1) .
1 2у1Ж 2а12(1 + т1 (и2 — 1))
2 _ — р0 (01 — °1 — ) + 2 Р0а21 (1 + т1(и 2 — 1)) ^ ( °1 — 02 + + 1) .
2 2у/ж 2а12(1 + т1 (и2 — 1)) .
01 _ ап(1 + т1(и 2 —1)) .
02 _ а22(1 + т2(и 2 — 1))) .
, 00
№ _ (01 + 02 ) + 4(а21 — а11)_
^11^22
Исходя из этого при использовании финансирования с плавающей процентной ставкой нижний предел размера лизинговых регрессивных платежей по j -й сделке, обеспечивающих в среднем заданный лизингодателем уровень маржи т , будет определяться, опуская математические выкладки, как
у = [1+Ц_Т, + ТИ(ТЛ1)+(1+Тщс)(1 _лв,гил)+^(1 + +
тл 12 2 } У НДСА Я 12 ^ 2 ' 12 ^ 14 Л-1
+га О-1 -1)-а Т- 1)0-та-1 +1 + (т^-1)яГ-(т^)яГ-1^)11
2^ О, -1 12Г А (а-1)2 (Л2 -1)2
Ставка удорожания предмета лизинга в этом случае составит:
Т1 12 Т 1 1
Ставка удорожания1 = (—-— 1) —- = d1 + —^ (1 н--------------- ) н--------(1 + ТНДС )(1 - AB1 )(1 н------ ) +
S1 Т1 2 Т1 2 Т1
TJ
Т 0
B ■ ^-1 - 1 лТ1 -1 -1
+(1 + Тндс )(1 - AB1) Т1[1 + + Z2^^^^zr -
-_^(. (Т1 - 1)\Т -(Т1А-1+1 + (Т1 -щТ'-(Т1X1 -1 +1
Т1 (А (Л,-1)2 ^ (А, -1)2
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ермаков М.Ю. Случайное блуждание в марковской случайной среде // Математические методы и интеллектуальные системы в экономике и образовании: материалы Всерос. заоч. науч.-практ. конф. / под ред. А.В. Летчикова. Ижевск, 2010.
2. Бродская Е. Лизинговые компании при банках получат преимущество // Банковское обозрение. 2010. № 1 (132).
3. Rabiner L. R. A Tutorial on Hidden Markov Models and Selected Applications in Speech Recognition // Proceed-
ings of the IEEE. 1989. Vol. 77, №2. Р. 257-285.
4. Шевченко С.В., Шевченко М.М. Повышение эффективности деятельности лизинговой компании на основе управления структурой лизингового портфеля // Проблемы современной экономики. 1989. № 4(32).
5. Мерков А.Б. Основные методы, применяемые для распознавания рукописного текста. URL: http://www.recognition.mccme.ru/pub/RecognitionLab.html/methods.html
Поступила в редакцию 19.11.10
M. Yu. Ermakov
The calculation of lease payments based on the dynamic model of floating rate of interest
This paper deals with the calculation of lease payments in case of fixed and floating interest rates on credit attracted by
the lessor. We made the math model of MosPrime dynamics over the period of last 5 years on the basis of a chance
path in Markov random environment and obtained estimated parameters of this model.
Keywords: leasing, lease payments, the rate of rise in cost of leasing, floating rate of interest, a chance path in Markov
random environment.
Ермаков Михаил Юрьевич, аспирант ГОУВПО «Удмуртский государственный университет» 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1 (корп. 6) E-mail: [email protected]
Ermakov M.Yu., postgraduate student Udmurt State University
462034, Russia, Izhevsk, Universitetskaya str., 1/6 E-mail: [email protected].
