Расчет круглых пластин по уточненным теориям Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1. Вып. 6. 2006

УДК 539.3

РАСЧЕТ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН ПО УТОЧНЕННЫМ

ТЕОРИЯМ

A.B. Ермоленко

Используя уравнения типа Кармана-Тимошенко-Нагди, решена задача о расчете напряженно-деформированного состояния круглой нормально нагруженной жестко защемленной пластины. Решение получено без введения дополнительного условия о равенстве нулю поперечных сдвигов на краю пластины.

Как известно, классическая теория пластин строится на основе гипотез Кирхгофа, одна из которых (геометрическая) предполагает отсутствие поперечных сдвигов и поперечного обжатия. Но тогда в соответствии с соотношениями закона Гука следовало бы принять, что перерезывающие силы равны нулю, что привело бы к невозможности уравновесить нормальную поверхностную нагрузку. В этом и заключается основное формальное противоречие кирхгофовской теории пластин.

На необходимость учета деформаций поперечного сдвига при колебаниях балок указал С.П.Тимошенко в монографии [1], Что же касается поперечного обжатия, то его учет в теории оболочек впервые, видимо, осуществил П.Нагди [2], который постулировал линейный закон изменения тангенциальных перемещений и напряжений по толщине пластины, а прогиб задавал квадратичной параболой.

К.Ф.Черныхом в работе [3] построена квазикирхгофовская теория оболочек, учитывающая поперечное обжатие путем ввода функций Ag и Kg, Принципиальное различие между неизвестны ми функциями Ag, Kg и искомыми функциями ui, u2 . w заключается в том, что функции второй группы имеют независимые вариации, через которые могут быть выражены вариации функций первой группы. Иными словами, функ-Ag Kg

© Ермоленко A.B., 2006.

к увеличению числа уравнений, и, следовательно, порядка разрешающей системы.

Заметим, что предложенный К.Ф.Черныхом вариант квазикирхго-фовской теории оболочек не лишен противоречий. Так подход к выводу уравнений статики оболочки из условий равновесия ее бесконечно малого элемента, в значительной мере обесценивает заявленный учет параметров Л^ и так как их влияние проявляется в основном через работу внешних сил и может быть эффективно учтено лишь при использовании вариационных методов вывода уравнений,

В работе [4] на основе вариационного уравнения Лагранжа построена теория пластин типа Кармана-Тимошенко-Нагди, уточняющая ква-зикирхгофовскую теорию К.Ф.Черныха за счет учета поперечных сдвигов по линейной теории и вариаций параметров поперечного обжатия. Приведем основные положения теории типа Кармана-Тимошенко-Нагди, Во-первых, тангенциальные перемещения по толщине пластины изменяются линейно, а прогиб Ш по квадратичной параболе:

и(х ,Х2) = щ(х 1 , Х2) + £$г(Х1 ,Ж2),$г = -Ш,г + (¿г,% = 1, 2,

Ш(Х1 ,Х2) = т(х1,х2) + (Л? - 1)£ + 1/2^2Л€к. (1)

Здесь = ^, щ — поперечные сдвиги, функции Л^, щ характеризуют поперечное обжатие.

Далее, для описания деформации пластины используются компоненты тензора Грина-Лагранжа при следующих допущениях: г) поперечная деформация описывается компонентами тензора деформации Коши:

И) в тангенциальных компонентах тензора Грина из квадратичных слагаемых учитываются лишь связанные с нормальными перемещениями ш.

Ш) слагаемыми, содержащими производные от функций Л^, к, можно пренебречь,

С учетом сделанных допущений компоненты тензора Грина-Лагранжа записываются в виде

= 1/2^1, г = 1 2,7зз = Л — 1 + СЛ?к>

71/ = 1/2 (иг,/ + uj,i + ) + 1/2^ ( — 2ш,г/ + (2)

В качестве закона упругости используются соотношения, по форме совпадающие с соотношениями Гука и имеющие следующий вид:

Зо% = 2^7/ + Л1г5г/. (3)

Здесь о/а|/ — компонеты тензора Пиолы-Кирхгофа, 5/ — символ Кроне-кера, 1Г — первый инвариант тензора Пиолы-Кирхгофа, Л, ц — упругие константы Ламе,

Усилия и моменты вводятся следующим образом:

(■Ь,/2 л

, , А

-ij

/П/2 д

JH -

и имеют вид

/•h/2 д

Щ = (Mj ~ х , 9,

J-h/2 Д + 2^

T11 = B(Y11 + VY22),T22 = (1 ^ 2)Tn,

T12 = (1 - V)By12,B = Eh/(1 - v2); (4)1

Mij = MT + M^, MK = -D(w,11 + vw,22), M& = (1 ^ 2)MK,

MK2 = -(1 - V)Dw,12, D = Eh3/12(1 - v2); (4)2

Mjz1 = D(^1,1 + v^2,2), M2t2 = (1 ^ 2)M1t1,

Mt = 1/2(1 - V)D(w1,2 + ^2,1)- (4)3

Здесь E, v - модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала пластины.

По найденным усилиям и моментам напряжения у лицевых поверхностей пластины вычисляются по формулам (i = 1, 2)

т h/2 _ Tii 6Mii v + -h/2 _ Tii 6Mii . v -

— 1----1---TÓ---^ 1------Qn ’ ~ “7-----Г9---^ 1----Qn >

ii h h2 1 - v ii h h2 1 - v

7 ±V2 ^12 6M12 t N

J<T‘2 <5)

где q+, q- - нагрузки на верхней и нижней лицевой поверхностях пла-

стины.

Полевые и граничные уравнения выводятся из вариационного уравнения Лагранжа, имеющего вид

Г í'h/2

/ / (J^e Ыз + 2J^3¿yÍ3 + JYl3^YÍ3)d€d^ =

,/П J-h/2

= /'(qr+5wh/2 — qn5w h/2)dH. (6)

Jo

Здесь по повторяющимся в одночлене греческим индексам следует суммировать от 1-го до 2-х,

Заменяя в уравнении (6) компоненты тензора Пиолы-Кирхгофа компонентами тензора Грина-Лагранжа при помощи соотношений (3) и записывая компоненты последнего тензора через соотношения (2) в сочетании с интегрированием по частям, полевые уравнения типа Кармана-Тимошенко-Нагди можно записать в виде

DA2w = qn — (h2 — h2)Aqn + (I — h2 Д)£(Ф, w), (7)i

ikA4 = ikAm’'-\L{w’w)- {Th

Ua,a=----r(,Qn + L^,w)). (7)з

Здесь I — тождественный оператор, A— оператор Лапласа,

L^,w) = Ф,11 W,22 — 2Ф112Ш,12 + ф,22 W,ii,

, 2 h2 , 2 vh2 + _ h . +

h» = 6(1-г/)’ hx = 8(1 _ t/) ’ Qn = ~ Qn ’ = 2 + ^

Применим уравнения типа Кармана-Тимошенко-Нагдп к решению задачи о расчете напряженно-деформированного состояния круглой нормально нагруженной жестко защемленной пластины. Постановка задачи следующая. Пусть имеется круглая пластина радиуса R, толщи-h

осесимметричный изгиб. Пластина испытывает действие равномерной нормальной нагрузки интенсивности qn = const. Получим уравнения, описывающие напряженно-деформированное состояние этой пластины. Переходя к полярным координатам и учитывая осесимметричность задачи, оператор Лапласа и операторы L(w, w), £(Ф, w) (см, (7)) можно записать в виде

т.ж 1 d АФ dw. 1 d .dw. 2

^ ,w^ = 7dr^~dr~dr^ (W,W^=rdr(~dr^ ’

.1 d , d . 1 1 d(rwr)

Д — , (г , )) &а,а — — . (8)

r dr dr r r dr

Вводя переменную р = г/Я, где уже р е [0,1], перейдем в системе уравнений (7) к безразмерным величинам, В результате получаем, что система уравнений (7) принимает вид

1 Л2

А2ю = -[ДЧ - (Д2 - к2х)Н2Адп + (I - ^А)Ь(Ф,ю)],

Д2Ф = иН2Атп — -Е}ъЬ(ъи, т),

1-^^ = -^\Яп + ^Ь(Ф,ю)]. (9)

Граничные условия жёстко защемлённого тангенциально свободного края выражаются равенствами (см, [4])

ю(1) = 0, ~^югР(1) + шр(1) = 0, К

Ф(1) = 0, Ф,р(1) = 0. (10)

Для того чтобы решить краевую задачу (9) —(10) в некоторых работах (см,, например, [5]) граничные условия (10) заменяли однородными, вводя дополнительное предположение вида "Будем рассматривать такие условия типа жесткого защемления, при которых можно считать, что ^р(1) = 0", После этого предположения граничные условия (10) становились однородными, уравнение (9)3 нигде не использовалось, а поперечные сдвиги учитывались лишь наличием слагаемого Л,2 в уравнении (9)і.

В данной статье покажем, как, не вводя дополнительное условие о*р(1) = 0, можно решить краевую задачу (9) —(10), Для этого сделаем замену

т = т + КСОрр21п р, (11)

где и)р = ^р(1).

Учитывая, что р21п р является фундаментальным решением бигар-монического уравнения, систему (8) можно представить в виде

1 Л2

А2т = —[КАд„ - (/і2 - к\)Е2Д<?„ + (I - -^А)Ь(Ф, т + Кшрр21пр)],

А2Ф = ¡/і?2Ашп — -ЕНЬ(ьо + ЕОрр21п р,т + ЕОрр21п р),

= ~й[""+ <12>

Граничные условия с учетом замены (11) принимают следующий вид:

т(1) = 0, шр(1) = 0, Ф(1) = 0, Ф,р(1) = 0.

Заметим, что функции Грина для вычисления т и функции напряжений Ф совпадают и имеют вид

С(р, О = СчДр, С) = Сф(р, £) = -^[(С2 + Р2) 1П ^ + (С2 — Р2)\Н(р — £)+

+^е[2 (р2 + е2) 1пе + (1 + р2)( 1 - е2)]- (13)

Здесь Н(р, С) — функция Хевисайда,

Учитывая, что функция шр находится одним интегрированием, и используя найденную функцию Грина, решение системы (12) записывается в виде следующих интегро-дифференциальных уравнений:

1 С1

ы(р) = -^1 [КАдп~ R2{hl-ti{)/\qn+

+{I -Д)Ь(Ф, й + т,

'Л 1

?2 д _ ЕЬЬ(и) + НсОрС21п т + И&Р£2

11

Ф(р) = [иЯ2 Атп —-ЕНЬ(т + Яйр^2\п^,т + Ей)р^2\п^)\С(р,^)<1^,

Л 2

Я /*1 1

^ у р(<?„ + ^¿(Ф^ + Яа^рЧпр))^. (14)

Заметим, что в последнем выражении вычисляется значение только в одной точке.

Теперь в системе (14) делаем обратную замену и получаем

1 ('1

и)(р) = —Ки)рр21пр + — [Я4<?п - Я2(Л,2 - /12)Д(?П+

^ J о

Л2

+(1 - ^АЩФ,ю)]С(р,0<1£,

11 Ф(р) = [г/Я2Дш„ — -ЕНЬ(т, т)\С(р, £)е?£,

./о 2

Я ^1 1

р(?п+ Д4^(ф>^))йр. (15)

Решение системы (15) ищем на основе следующей итерационной схе-

мы:

юк = (1 - т)г^_і-тЕШрр21пр+^ ! [Д4дп - Д2(/і2 - /і2)Лд„+

где

Л2

+(/ - ^А)Ь(Фк, ш*_1 )]С(р, СН, г > 0, (16)

(1 1

Фк= [иН2Атп - -ЕЬ,Ь(гик-Ъгик-{)]0(р,£№,

./о 2

^Р = ~~ь/о Р(<1п + -^Ь{§к,и)к-1))(1р,

Д4 /* 1

w0 = —J дпС(р,£,)(!£,. (16')

Итерационная схема (16) предложена для решения поставленной задачи в рамках теории типа Кармана-Тимошенко-Нагди, Для того чтобы получить решение задачи по традиционной теории Кармана, необходимо положить € = Лл = 0 и не учитывать в схеме (16) подчеркнутое слагаемое. Если же требуется получить решение по теории типа Кармана-Нагди (учет только поперечного обжатия), то полагаем Л2 = 0 и также не учитываем в схеме (16) подчеркнутое слагаемое, И наконец для решения задачи по теории типа Кармана-Тимошенко (учет только поперечных сдвигов) требуется положить Л Л = 0.

Используя итерационную схему (16), проводился численный эксперимент, который показал, что учёт трансверсальных деформаций при выбранных физических и геометрических параметрах пластины оказывается несущественным, т.е. прогибы и функции напряжений, вычисленные по теории Кармана и по уточнённым теориям, практически не отличаются друг от друга. Также получено, что в случае учета поперечных сдвигов подчеркнутое в схеме (16) слагаемое практически не сказывается на напряженно-деформированном состоянии пластины.

Литература

1, Тимошенко С.П. Курс теории упругости, ч.ІІ, Стержни и пластинки, Петроград: Изд-во ин-та инж, путей сообщения, 1916, Изд. 2-е, Киев: Наукова думка, 1972, 507 с.

2, Naghdi P.M. On the theory of thin elastic shells // Quarterly of Applied Mathematics. 1957. Ц. Щ. P. 369-380.

3, Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л,: Машиностроение, 1986, 336 с,

4, Михайловский Е.И., Бадокин К.В., Ермоленко А.В. Теория изгиба пластин типа Кармана без гипотез Кирхгофа // Вестник Сыктывкарск. ун-та. Сер.1: Мат. Мех. Инф. 1999. Вып.З. С. 181-202.

5, Михайловский Е.И. Лекции по вариационным методам механики упругих тел: Учебн, пособие, Сыктывкар: Изд-во Сыктывкарского ун-та, 2002, 256 с.

Summary

Yermolenko A.V. The calculation of round plates with refined theories

The Karman-Timoshenko-Naghdi type equations are used for the calculation of round plates with rigid boundary. The problem is solved not using additional condition about transversal shears on boudary.

Сыктывкарский университет

Поступила 20.03.2006