Выбор базовой поверхности в контактных задачах со свободной границей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1. Вып. 18.2013

УДК 539.3

Выбор базовой поверхности в контактных задачах со

свободной границей Ермоленко A.B.

На примере контактной задачи для круглой осесимметрич-ной пластины сравниваются значения параметров напряженно-деформированного состояния, полученные с использованием как уравнений типа Кармана-Тимошенко-Нагди, приведенных к нижней лицевой поверхности, так и традиционных уравнений относительно срединной поверхности.

Ключевые слова: теория пластин, контактная задача, базовая поверхность.

1. Уравнения типа Кармана-Тимошенко-Нагди, приведенные к нижней лицевой поверхности

В работе [1] получены уравнения типа Кармана-Тимошенко-Нагди, приведенные к произвольной базовой поверхности. Если в качестве базовой поверхности взять нижнюю лицевую поверхность, то уравнения изгиба плоских пластин можно записать в виде

DД2w = q„ - hlAqn + (I - hl А)Ь(Ф, w), (1.1),

жд2ф = Wh Дт- 2L(wW (1ЛЬ

+ ^2,2 = —\-(qn + w)). (1.1)3 ßh

Здесь h — толщина пластины до деформации, qn = q+ — q- — нормальная нагрузка, mn = hq+, E и v — модуль Юнга и коэффициент Пуассона;

n _ Eh3 h2 _ E

D = 12(1 - V2)' hl = 6(1—V)= 2(TTV); (1-2)l

© Ермоленко A.B., 2013.

Ь(Ф, и) = Ф, 11^,22 - 2Ф,12и) 12 + Ф,22^,11; (1.2)2

Д ди

Аи = и 11 + и ,22, и л = .

дХг

Особенностью уравнений (1.1) является то5 что при внешней СХОжести с уравнениями типа Кармана Тимошенко Нагдп неизвестные функции и (прогиб), Ф (функция напряжения), фг, I = 1, 2 (поперечные сдвиги) ЯВЛЯЮТСЯ функциями нижней лицевой плоскости.

Использование величин относительно нижней лицевой поверхности является полезным при решении контактных задач со свободной границей, так как именно в терминах этих величин формулируются условия сопряжения контактирующих частей (см., например, [2, 3]).

Отметим положения, используемые при выводе уравнений (1.1) и отличающиеся от изпользуемых при выводе уравнений относительно срединной поверхности.

Во-первых, под пластиной будем понимать трехмерное тело, занимающее область V = {(х1,х2,х3) : (х1}х2) Е П,х3 = £ Е [0, к\}.

Во-вторых, усилия и моменты вводим по следующим формулам:

' А

А

Мгз = I (З^ - ^^Мг^№, (1.3)

где А, ^ — параметры Ламе, ё^ — символ Кронекера, — компоненты тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа, связанные с компонентами сопряженного тензора Грина-Лагранжа при помощи стандартного упругого потенциала второго порядка [4].

В-третьих, несимметричность формул (1.3) приводит к тому, что усилия и моменты зависят как от компонент тензора Грина-Лагранжа, так и от поперечных сдвигов и компонент тензора кривизны. Вывод уравнений (1.1) происходит на основе вариационного уравнения Лагранжа.

2. Контактное взаимодействие круглой пластины с основанием

На примере решения задачи о контактном взаимодействии круглой пластины с основанием сравним параметры напряженно-деформированного состояния, полученные при использовании уравнений, приведенных к срединной поверхности и к нижней лицевой поверхности.

Пусть круглая пластина радиуса Я и толщины к расположена параллельно абсолютно жесткому идеально гладкому основанию на расстоя-А

нормальной нагрузки q+ = q0 = const и жестко закреплена по контуру так, что реализуется осесимметричный изгиб.

Переходя к безразмерным полярным координатам (р, ф) по формулам

x1 = Rp cos ф, х2 = Rp sin ф;

л д д 1 д г, д д 1 д

R— = — cosф--— sin= — sinф + -— cosф, (2.1)

дх1 др р дф дх2 др р дф

где р Е [0,1], и учитывая осесимметричность задачи, уравнения (1.1) принимают вид

h2

DA2w = RV - hiR2Aqn + (I - Rf А)Ь(Ф, w), (2.2)i

Здссь

1 4 o vR^ A 1 .

ЖА2ф= жA"n - 2L(w-w). (2 2)f

R1

^1,1 + Ф2,2 = - Jh (qn + R L(®,w)). (2.2)з

1 d (dФ dw\ T . . 1 d (dw\ 2 hT7^7 ,L(w,w) = тзтЬг: '

( ' ) р dp\ dp dp), ( ' ) pdp\dp)

Д = 11 + = 1 ^ ■ (2.2')

рар\ ар/ р ар

Граничные условия типа жестко защемленного тангенциально свободного края запишем в виде равенств

ш(1) = 0,шр(1) = 0, Ф(1) = 0, Фр (1) = 0, (2.3)

т.е. рассматриваем такие условия типа жесткого защемления, при которых можно считать, что фр(1) = 0.

Используя граничные условия в виде (2.3), поперечные сдвиги учитываются только наличием в системе (2.2) множителя Нф. Поэтому уравнение (2.2)3 в дальнейшем не используется. Пример решение краевой задачи с граничными условиями жестко защемленного тангенциально свободного края в строгом виде приведен в работе [2].

Учитывая, что граничные условия для прогиба и функции напряжений одинаковы, функция Грина для вычисления ш и Ф имеет вид

С(р, £) = 4£[(£2 + р2) 1п р + (£2 - р2)]Я(р - £) +

+8£[2(р2 + £2)1п£ + (1 + Р2)(1 - £2)\. (2.4)

Здесь Н — функция Хевисайда.

Учитывая, что в данной задаче имеется два вида нагрузок (активная постоянная = д0 и реакция основания д- = г(р)), и используя функцию Грина (2.4) решение краевой задачи {(2.2), (2.3)} записывается в виде следующих интегро-дифференциальных уравнений:

и(р) = 1 Ля4(Фо - г(£)) + ЯкАг(£)+

В

о

К

+(1 - А)Ь(Ф,и)\0(р,£)с1£ = Л(р,г(р), Ф(р)), 1 Г1

Ф(р) = -2Ек Уо Ь(и, Ф)С(р,£)Н£ = ^(р,г(р)). (2.5)

Для решения поставленной контактной задачи используем метод обобщенной реакции [5]. Для этого учтем, что функции г(р) и и(р) должны удовлетворять следующим естественным условиям:

• односторонности связи:

г(р) > 0; (2.6)1

и < А; (2.6)2

г(р)(и - А) = 0. (2.6)з

Равенство (2.6)3 связывает неравенства (2.6)1 и (2.6)2: если г > 0 (имеется сила контактного взаимодействия), то и = А (элементы соприкасаются), если и < А (элементы не соприкасаются), то г = 0. Условия (2.6) эквивалентны одному нелинейному уравнению

г = [г + в (и - А)\ + , в > 0, (2.7)

где ф+ - положительная срезка функции: ф+ = 1 (ф + \ф\).

Для решения контактной задачи используем итерационные методы. При этом для прогиба используется стационарная схема Ричардсона:

ии = (1 - т)ии-1 + гЕ1(р,ги-1,ии-1, Фк),т Е (0,1),

(2.8)1

где

Фк = ^2 (р,Гк-1 ), а для реакций — метод простых итераций:

Гк = [гк-1 + в(ии - А)\+. (2.8)2

Используя итерационную схему (2.8), проводился численный эксперимент. При этом для сравнения кроме схемы (2.8) проводился расчет по теории относительно срединной поверхности [4].

На рисунке 1 приведен пример расчета для пластины, имеющей следующие физические и геометрические параметры:

до = 0, 03 кГ/см2, V = 0,49, Е = 100 кГ/см2,

Я = 100 см, к = 5 см, А = 1 см.

Сплошной линией показано решение с использованием уравнений (1.1). Пунктирной линией показано решение по теории типа Кармана-Тимошенко-Нагди относительно срединной поверхности.

Рис. 1. Прогиб (эд), контактные реакции (г) и функция напряжений (Ф)

Для вычисления относительной разницы между функциями, полученными по различным теориям, использовалось выражение

(2.9)

где \ \ • \\ — норма функции, /, /2 — функции, вычисленные по теориям, приведенным к срединной поверхности и к нижней лицевой.

Получено, при использовании указанных подходов прогибы нижней лицевой поверхности и контактные реакции практически совпадают,

- /2\\

\\/1 \\

* 100%,

1

разница по формуле (2.9) для прогибов нб превышает 0,4%, для реакций составляет примерно 2%. Что касается функций напряжения, то они могут отличаться на 25%. Это обусловлено тем, что функции напряжений вычисляются по разным формулам (см. [1, 4]). При этом значения функции напряжений отличаются тем больше, чем больше

ТОЛТДИНЯ ПЛсХСТИНЫ.

Литература

1. Ермоленко А.В. Теория плоских пластин типа Кармана Тпмошенко-Нагдп относительно произвольной базовой плоскости //В мире научных открытий. Красноярск: НИЦ, 2011. №8.1 (20). С. 336-347.

2. Ермоленко А.В. Об одном варианте уточненной теории плоских пластин для решения контактных задач // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1. Мат. Мех. Инф. № 14. 2011. С. 105-110.

3. Ермоленко А.В. Аналитическое решение контактной задачи для жестко закрепленной пластины и основания //В мире научных открытий. Красноярск: НИЦ, 2011. С.11-17.

4. Михайловский Е.И., Ермоленко А.В., Миронов В.В., Ту-лубенская Е.В. Уточненные нелинейные уравнения в неклассических задачах механики оболочек. Сыктывкар: Изд-во Сыктывкарского ун-та, 2009. 141 с.

5. Михайловский Е.И., Тарасов В.Н. О сходимости метода обобщенной реакции в контактных задачах со свободной границей // Российская АН. ПММ. 1993. Т. 57. Выпуск 1. С. 128-136.

Summary

Yermolenko A.V. Selecting a base surface in contact problems with a free boundary

The contact problem for circular axisymmetric plates is considered. Values of stress-strain state are compared using equations of Karman-Timoshenko-Naghdi reduced as to the lower face and to the middle surface.

Keywords: theory of plates, contact problem, base surface.

Сыктывкарский государственный университет, Поступила 11.11.2013