Об одном варианте уточненной теории плоских пластин для решения контактных задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1. Вып.Ц-2011

УДК 539.3

ОБ ОДНОМ ВАРИАНТЕ УТОЧНЕННОЙ ТЕОРИИ ПЛОСКИХ ПЛАСТИН ДЛЯ РЕШЕНИЯ КОНТАКТНЫХ

ЗАДАЧ1

А. В. Ермоленко

Используя уравнения типа Кармана-Тимошенко-Нагди, приведенные к произвольной базовой поверхности, получено при помощи метода обобщенной реакции решение контактной задачи для круглой осесимметричной пластины с абсолютно жестким основанием.

Ключевые слова: теория пластин, контактная задача, метод обобщенной реакции.

1. Уравнения типа Кармана-Тимошенко-Нагди, приведенные к нижней лицевой поверхности

В работе [1] построена теория плоских пластин на основе подхода, используемого при выводе уравнений типа Кармана-Тимошенко-Нагди [2]. Особенностью построенной теории является то, что все неизвестные функции полевых уравнений приведены к произвольной базовой поверхности, а не к срединной поверхности, как это обычно делается.

Если в качестве базовой поверхности взять нижнюю лицевую поверхность, то уравнения изгиба плоских пластин принимают вид [1]

£>Д2и) = qn — Н1 А^п + (I - Щ,А)Ь(Ф, ъи), (1.1)1

Жд2ф = ЖДт“-^(ш’”’)' (1'1)2

1 Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП ’’Научные и научно-

педагогпческпе кадры инновационной России” на 2009-2013 годы, ГК

№ 02.740.11.0618.

© Ермоленко А. В., 2011.

Фа,а = -JJ^(qn + Ц V,w)). (1.1)3

Здесь h — толщина пластины, qn = — Яй ~ нормальная нагрузка;

тп = hq+ ; Е и v — модуль Юнга и коэффициент Пуассона; по повто-

ряющемуся в одночлене греческому индексу а следует суммировать от 1-го до 2-х;

Eh3 ,2 ,2 h2 Е

- 12(1 — и2) ’ h^-h*~ 6(1-1/)’ ^ - 2(1 + ^ ^

1/(Ф, w) — Ф,11^,22 — 2Фд2^512 + Ф,22^,1Ъ (1-2)2

Л a dw

Aw = ги п + W 221 Wj = —.

Заметим, что система (1.1) по внешнему виду совпадает с уравнениями типа Кармана-Тимошенко-Нагди. Однако следует помнить, что неизвестные функции w (прогиб), Ф (функция напряжения), i — 1,2 (поперечные сдвиги) являются функциями нижней лицевой плоскости. Кроме этого изменяются выражения для фиктивного момента тп и константы h%.

В данной статье показывается, что использование системы (1.1) упрощает решение контактных задач со свободной границей.

2. Осесимметричное контактное взаимодействие

круглой пластины с абсолютно жестким основанием

Рассмотрим круглую пластину радиуса R и толщины /г, которая расположена параллельно абсолютно жесткому идеально гладкому основанию с зазором А. Считаем, что пластина, испытывающая действие равномерной нормальной нагрузки q+ = qQ = const, жестко закреплена по контуру таким образом, что реализуется осесимметричный изгиб. Также предполагаем, что пластина выстилается по основанию без зазоров.

Переходим к безразмерным полярным координатам (р, ф) по формулам

х\ — Rpcos(p,X2 = Rpsimp;

i„ д д 19. д д . 19 , Л

Л—- = — cos (р —sm<p,R— = — sin<p + - —cos<p, (2.1)

OX 1 Op p Oip 0X2 op p Oip

где p e [0,1].

Учитывая осесимметричность задачи, уравнения (1.1) с учетом (2.1) принимают вид

DA2w = R^qn - h2R2Aqn + (/ - ^Д)£(Ф, w), (2.2)х

1 и 1

-А^ = —Ашп--Ц< (2.2),

л

фа,а =--^(дп +Ц^,ги)). (2.2)з

Здесь

г , ч 1 с/ /с?Ф с?гу\ . . 1 (I /<1га\2

ц*'№) = рТр\^)’Цю’ш) = -рТ„\Тр) '

Ь = = (2.2-)

рар\ ар/ р ар

Граничные условия жестко защемленного тангенциально свободного края выражаются равенствами

гл(1) = 0, + Фр( 1) = 0, Ф(1) = 0, Ф,р(1) = 0. (2.3)

Для того чтобы условия (2.3) стали однородными, сделаем замену

ги = гй + Щрр2\пр, (2.4)

где фр = фр( 1).

Учитывая, что р2Ыр является фундаментальным решением бигар-моиического уравнения, систему (2.2) можно представить в виде

А2й = ^дп - ^Д2Д9п + (/ - ^Д)Ь(Ф, ю + Щрр21пр)],

Д2Ф = и1{2Атп — -ЕНЬ(и) + Щ)р(? 1п р,гй + Щ)рр21п р),

2

1Г^ = -^ + Ьь^+а^^) ]■ (2'5>

Граничные условия с учетом замены (2.4) принимают вид

ад = о, ад) = о, ф(1) = о, ф,р(1) = о. (2.6)

Функции Грина для вычисления уо и Ф совпадают и имеют вид

О(р,0 = <зФ(р, о = ем, О = ^[к2 + р2) 1п | + к2 - р2)\н(р - 0+ +^[2(/+?2)111?+(1+р2)(1-{2)]- (2.7)

Здесь Н — функция Хевисайда.

Учитывая, что в данной задаче имеется два вида нагрузки (активная постоянная нормальная нагрузка qo и реакция основания r(p) = q^ip)), и используя функцию Грина (2.7), решение краевой задачи (2.5), (2.6) записывается в виде следующих интегро-дифференциальных уравнений:

w{p) = J [R4(qo ~ r(0) + R2hlAr(£) + h2

+(/ - J Д)Ь(Ф, w + Ri>pe lnO]G(p,

Cl 1 -

Щр)= / [vR2Amn - -EhL(w + R-ф^2 lnf,to + R-ф^2 In £)]G(p, 0^,

Jo 2

Д pi 1

= p(<ln ++ R$pp2\np))dp. (2.8)

Заметим, что в последнем выражении вычисляется значение только в одной точке.

Теперь в системе (2.8) делаем обратную замену и окончательно получаем

1 Г1

w(p) = Rippp2 \пр + — J [R4(q0 - r(p)) + R2hlAr(p)+

+(I- ^Л)£(Ф, w)]G(p, {) й Fi(p, r(p),w(p), Ф(р), </v),

ФМ = I [i'R2&mn -^EhL('w,w)}G(p,£)d£ = F2(p,r(p),w(p)), (2.9)

где

$p = p(Qn + JPL№’w))dp- (2'9')

Для решения поставленной контактной задачи используем метод обобщенной реакции [3], для применения которого учтем, что функция г(р) должна удовлетворять следующим естественным условиям:

г(р) >0, w < A, r(p)(w — А) = 0. (2.10)

Неравенство (2.10)i указывает на односторонность связи. Условие (2.10)2 выражает условие непроникновения пластины через основание. Равенство (2.10)з называется условием дополняющей нежесткости и

связывает неравенства (2.10)і и (2.10)2: если г > 0 (имеется сила контактного взаимодействия), то ъо = А (элементы соприкасаются), если ъо < 0 (элементы не соприкасаются), то г = 0.

Замечание. Если использовать теорию пластин, в которой все величины приведены К срединной поверхности, ТО вместо условия (2.10)2 следует использовать условие ион/2 < 0, в котором прогиб нижней лицевой поверхности ион/2 выражается через функции срединной поверхности по формуле [2]

где (р+ - положительная срезка функции: (р+ = \{ф + \<р\).

Решение сформулированной контактной задачи получим на основе итерационной схемы. При этом для прогиба используется стационарная схема Ричардсона:

Если при этом прогиб нижней лицевой поверхности окажется меньше, чем зазор А, то контактная задача не состоялась и процесс (2.12) на этом прекращается.

На рисунке 1 приведен результат расчета для круглой пластины со следующими геометрическими и физическими параметрами:

£о_+_Ф) 1 2 Е і

Условия (2.10) эквивалентны одному нелинейному уравнению

г = [г + /3(и) - А)]+, /5 > 0,

(2.11)

У}к = ( 1 - т)ги*-1 +тЕ1(р,Гк-1, ЪИк-ь'&ь'фрк), (2.12)і

где

а для реакции — метод простых итерации:

Гк = [Гк-1 + /3(ы - Д)]+.

Начальное приближение определяем следующим образом:

(2.12)3

4о = Ю5 Па, г/ = 0, 34, Е = 7, 3 • Ю10 Па, Я = 0,4 м, И = 0,01 м, Д = 0,001 м.

Рис. 1. Прогиб (w) и реакции (г)

Литература

1. Ермоленко А.В. Теория плоских пластин типа Кармана-Тимошенко-Нагди относительно произвольной базовой плоскости П В мире научных открытий. Красноярск: НИЦ, 2011. №8.1 (20). С. 336-347.

2. Михайловский Е.И., Бадокин К.В., Ермоленко А.В. Теория изгиба пластин типа Кармана без гипотез Кирхгофа // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1. Мат. Мех. Инф. Вып. 3. 1999. С. 181-202.

3. Михайловский Е.И., Тарасов В.Н. О сходимости метода обобщенной реакции в контактных задачах со свободной границей // РАН. ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 1. С. 128-136.

Summary

Yermolenko А. V. A variant of the refined theory of flat plates for the solution of contact problems

Using the method of generalized reaction it was obtained the solution of contact problem for an axisymmetric circular plate and an absolutely rigid base. In addition the solution was obtained with using the Karman-Timoshenko-Naghdi type equations, which were given to the lower surface of the plate.

Keywords: theory of plates, contact problem, method of generalized

reaction.

Сыктывкарский государственный университет

Поступила 01.10.2011