К аналитическому решению одной контактной задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. С ер Л. Вып. 15.2012

УДК 539.3

К АНАЛИТИЧЕСКОМУ РЕШЕНИЮ ОДНОЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ1

А. В. Ермоленко

Используя уравнения типа Кармана-Тпмошенко-Нагдп, приведенные к нижней лицевой поверхности, получено аналитическое решение для цилиндрически изгибаемой жестко закрепленной пластины и абсолютно твердого основания.

Ключевые слова: теория пластин, контактная задача, аналитическое решение.

1. Уравнения типа Кармана—Тимошенко—Наг ди,

приведенные к нижней лицевой поверхности

В работе [1] получены уравнения типа Кармана-Тимошенко-Нагди [2], приведенные к произвольной базовой поверхности.

Если в качестве базовой поверхности взять нижнюю лицевую поверхность, то уравнения изгиба плоских пластин принимают вид [1]

Здесь Н — толщина пластины до деформации, — нормальная нагрузка; тп — Е и и — модуль Юнга и коэффициент

Пуассона;

1 Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП ’’Научные и научнопедагогические кадры инновационной России” на 2009-2013 годы, ГК № 02.740.11.0618.

ВД2ю = дп- + (I - Л5,Д)1(Ф, ш),

(1-1)2

(1-1)з

(с) Ермоленко А. В., 2012.

Ь(Ф, U)) — Ф,11^,22 — 2Фд2^,12 + Ф,22^,11?

л f)in

(1-2)2

В уравнениях (1.1) неизвестные функции w (прогиб), Ф (функция напряжения), i — 1,2 (поперечные сдвиги) являются функциями нижней лицевой плоскости.

2. Аналитическое решение для цилиндрически изгибаемой пластины и жесткого основания

Пусть прямоугольная пластина, расположеная параллельно абсолютно жесткому идеально гладкому основанию с зазором А << /г, находится под действием равномерной нормальной нагрузки Чп — Я.о — const. Предполагаем, что краями х\ — 0 и х\ — 21 пластина шарнирно оперта, а два других ее края бесконечно удалены или загружены (подкреплены) так, что реализуется цилиндрический изгиб. Считаем, что пластиина выстилается по основанию, образуя непрерывную область контакта (#о,21 ~ Хо)- Учитывая одномерность задачи, будем указывать лишь одну координату х = Х\.

Уравнения типа Кармана-Тимошенко-Нагди (1.1) в случае цилиндрического изгиба принимают вид

где рп = д„/£>.

Граничные условия жестко закрепленного края с учетом симметричности задачи относительно х = I выражаются равенствами

Краевые задачи для определения ио и чрх не зависят от краевой задачи на Ф, поэтому ограничимся только решением краевой задачи относительно прогиба и поперечных сдвигов.

Для того чтобы граничные условия на функцию ио стали однородными, сделаем замену

m,v = рп - h\pn",

Ф1 =

Ф"' = г*т",

(2.1)2

(2.1)з

w = О, — w' + ipi = О, Ф = О, Ф' = 0 при х = 0, (2-2)i

w' = 0, —w"' = О, Ф' = О, Ф"' = 0, -01 = 0 при х = I. (2.2)2

(2.3)

С учетом замены (2.3) получаем следующую краевую задачу относительно гп:

™1У =Рп-Щ,р”, (2.4)1

#(0) = 0, #'(0) = О, = 0, = 0. (2.4)з

На участке выстилания [х0,/] будем требовать выполнение условий:

I) выстилания

ио{х) — А при х Е [х0, /]; (2.5)

II) отсутствия излома нижней лицевой поверхности при X — Хо

ги\х0 — 0) = 0; (2.6)

III) сопряжения по нижней лицевой поверхности частей пластины

и)(х0 - о) = и)(х0 + о),

—хи'^хо — 0) + — 0) = —хи'^хо + 0) + 0). (2-7)

Учитывая условие (2.5) и выражение (2.3), на отрезке [хо, I] функция ги имеет вид

ги = А — ^ф-{21х — х2). (2.8)

Подставляя выражение (2.8) в уравнение (2.4)1, получим следующее диференциальное уравнение:

Рп ^фРп 0? решение которого с учетом симметрии имеет вид

Рп{х) = СхсЪ.^—^. (2.9)

Пф

Учитывая теперь, что на лицевые поверхности пластины действует активная нагрузка р0 = /В и реакция основания г{х) — д“(х)/£), из (2.9) получим следующее выражение для реакции основания в области контакта:

х — I

г(х) = ро — с\ сЬ ——. (2.Ю)

Пф

На основе (2.10) общее выражение для контактной реакции имеет вид

х — I

г(х) = Ш(х — х0) + (ро — с\ сЬ ——)Н(х — Хо). (2-11)

Нф

Здесь 5(х) — дельта-функция Дирака, Н(х) — функция Хевисайда, R — возможная сосредоточенная контактная реакция.

Функция Грина для краевой задачи (2.4) имеет вид

G(x, С) = ^{х - ifH{x - 0 + 21^41 ^ х2 ~ у- (2-12)

Используя функцию Грина (2.12) и выражение (2.11), решение задачи (2.4) можно записать так:

\ ( РО / \2 і . Xq — I

w{x) = ( - —[X - Хо) + -jPo-------\х - хо) sh —-----

-Ц-^ ch —-)(x-xo)2H(x-x0) + R[(h^(x-xo)-^-(x-xo)3)H(x-xo) +

f іф О

X3 , , Xі 2lxn — In 9П /Ж4 XnX3 ЗІХп — In 9 l0Xn — l 9ч

+T -h*Tl--------4T^ +p»<24 - — + ~42^X - h*—X ^ +

/ 2 I %0 і ^0 ^ 2 7 2/Xq Xq , Xq I 2

+ci{K——ch—~—X -Пф------------- ----sh ——x +

Zi Гіф 41 Гіф

sh^-—~). (2.13)

Гіф 0

Интегрируя уравнение (2.1)2 с учетом выражения (2.11) и условия симметрии, получим следующее выражение для поперечных сдвигов:

фі(х) = ЬфРо(х — xq)H(xq — х) + НфЯН(х — £о) —

-ЬфСі sh ^Я(х - х0) - /г^Сі sh ^—-Н(х0 — х). (2-14)

Используя выражения (2.13), (2.14), получаем, что условия (2.7) выполняются, если

Д = 0. (2.15)

Подставляя далее выражение (2.13) в условие (2.5) с учетом замены (2.8), учитывая (2.15) и приравнивая коэффициенты слева и справа при одинаковых степенях х, получим следующие уравнения относительно

Х0 ч .

(2.16)

Определяя из уравнений (2.16) неизвестные Хо, С\ и подставляя их в уравнения (2.11), (2.13), получаем выражения для прогиба и контакных реакций.

Замечание 1. Условие (2.6) в данной задаче выполняется автоматически. Тем не менее в данной статье оно выписано, чтобы показать, что функция прогиба является непрерывно дифференцируемой функцией на отрезке [0, /].

Замечание 2. Использование уравнений, приведенных к нижней лицевой поверхности, позволило записать условие выстилания более компактным образом. Например, в работах [2,4] условие выстилания принимается в виде

цией от прогиба и его второй производной. ■

На рисунке 1 приведен пример расчета прогиба и контактных реакций для пластины, имеющей следующие физические и геометрические параметры:

5о = 0, 04 кг/см2, у — 0, 3, Е — 2 • 106 кг/см2,

I = 100 см, 1) — 1 см, А = 0,1 см.

г

I

Рис. 1. Прогиб (ги) и контактные реакции (г)

При любых параметрах пластины контактные реакции имеют следующий характерный вид — в средней части реакции равны действующей нормальной нагрузке, а на краях области контакта имеются пиковые значения. При этом контактные реакции описываются квадратично суммируемой функцией (см. (2.11), (2.15)).

Литература

1. Ермоленко А.В. Теория плоских пластин типа Кармана-Тимошенко-Нагди относительно произвольной базовой плоскости //В мире научных открытий. Красноярск: НИЦ, 2011. №8.1 (20). С. 336-347.

2. Михайловский Е.И., Бадокин К.В., Ермоленко А.В. Теория изгиба пластин типа Кармана без гипотез Кирхгофа // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1. Мат. Мех. Инф. Вып. 3. 1999. С. 181-202.

3. Ермоленко А.В. О контактном взаимодействии цилиндрически изгибаемой пластины с абсолютно жестким основанием // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела: Тр. научн. школы акад. В.В.Новожилова. СПб.: СПбГУ, 2000. Вып. 2. С. 79-95.

4. Михайловский Е.И. Элементы конструктивно-нелинейной механики. Сыктывкар: Изд-во Сыктывкарского университета, 2011. 212 с.

Summary

Yermolenko А. V. On analitical solution of the contact problem

Analytical solution for a cylindrically bending plate and a rigid foundation was obtained with using the Karman-Timoshenko-Naghdi type equations, which were given to the lower surface of the plate.

Keywords: theory of plates, contact problem, analitical solution.

Сыктывкарский государственный университет Поступила 11.05.2012