К решению обратных задач с использованием теории пластин типа Кармана-Тимошенко-Нагди Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер Л. Вып.12.2010

УДК 539.3

К РЕШЕНИЮ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕОРИИ ПЛАСТИН ТИПА КАРМАНА-ТИМОШЕНКО-НАГДИ1

А.В. Ермоленко

С использованием уравнений типа Кармана-Тимошенко-Нагди получено решение двух обратных задач - для цилиндрически изгибаемой пластины и для оссесиметрично деформируемой круглой пластины.

Введение

В работе [1] построена теория типа Кармана-Тимошенко-Нагди, уточняющая известную теорию Кармана [2] за счет учета поперечных сдвигов по линейной теории и учета вариаций параметров поперечного обжатия. Полевые уравнения теории типа Кармана-Тимошенко-Нагди можно записать в следующем виде:

Здесь и) - прогиб (перемещение по нормали к срединной поверхности пластины), Ф - функция напряжения, ^ - поперечные сдвиги; Е1, у -модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала пластины, к - тол-

щина пластины, О — ЕЬ?/У1{\ — у2\ = /г2/6(1 — г/), к\ — уН2/8(1 — у),

КІ = к% - /!2д; / - тождественный оператор, А - оператор Лапласа;

1 Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП ’’Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” на 2009-2013 годы, ГК № 02.740.11.0618

ДД2м> = <!„- А2д<г„ + (/ - /$Д)Л(Ф,то),

(0.1)

(0.2)!

© Ермоленко А.В., 2010.

h

Qn = Qn - 9Й> тп = 2 (9n + 9n )> (0.2)2

gn — нормальная нагрузка на срединную поверхность; тп - нагрузочный (или фиктивный) момент нормальной поверхностной нагрузки; </+, q~ - нагрузки, действующие на лицевые поверхности пластины.

Одной из особенностей системы (0.1) является наличие подчеркнутого слагаемого. Следует отметить, что нагрузочный момент тп входит не только в систему (0.1), но и в формулы для вычисления параметров напряженно-деформированного состояния [1].

С использованием системы (0.1) решен ряд задач по определению напряженно-деформированного состояния пластины (см., напри-мер, [3]). В данной статье показана роль нагрузочного момента и при решении обратных задач [4] для пластин. В обратных задачах известны конфигурации до и после деформации, и необходимо определить нагрузку, под действием которой достигается соответствующая конфигурация. Следует отметить, что при использовании системы (0.1) можно получить не только нормальную нагрузку на срединную поверхность, но и нагрузки </+, действующие на лицевые поверхности пластины.

1. Обратная задача для цилиндрической панели

Пусть под действием некоторой нагрузки q~ срединная поверхность плоской незакрепленной на краях пластины толщиной h переходит в часть круговой цилиндрической оболочки (рис. 1).

Что касается протяженности вдоль оси #i, то её будем считать либо бесконечной, либо конечной, но нагруженной на концах Х\ — const так, чтобы в пластине реализовывался чисто цилиндрический изгиб без растяжения. Рис. 1

Для решения поставленной задачи вместо уравнения (0.1)2 удобнее воспользоваться следующими соотношениями2:

ец =«1,1 = ^д(ф.22 - ^Ф,11 - vmn) - е22 = (1 ^ 2)ец,

2ПрИ подстановке ЭТИХ соотношений В тождество 6ц522 + 622,11 — 2в12,12 — 0 получается уравнение (0.1)2.

А 1/ ч 1 + 1

в!2 = 2 (Ul,2 + “2,l) =-^“Ф>12 “ 2W,lW’2’ ^ ^

где щ - перемещения точек срединной поверхности в направлении Х{. Учитывая одномерность задачи, введем обозначения

, dw

X — .Х*2, u — U21 W = —--.

(Ух 2

Для того чтобы воспользоваться уравнениями (0.1)i и (1.1), необходимо определить прогиб w и тангенциальное перемещение и. Рассмотрим произвольную точку А(х, 0) исходной конфигурации. В результате деформации она переходит в некоторую точку С актуальной конфигурации.

Учитывая, что уравнение пластины после деформации имеет вид z(x) — л/R2 — х2 — R cos 0О, (1.2)

длина дуги КС вычисляется по формуле (см. рис. 1)

р х с ______ j.

КС = / л/1 + zf2dx = R arcsin —

J о R

Отсюда, учитывая выражение (1.2), получаем, что вектор АС можно представить следующим образом:

АС = (i? sin — х)ех + R(cos — cos во)еу,

R R

где ех, еу — орты декартовой системы координат. Окончательно получаем

w — R{cos—— cos0О), u — Rsin — — х. (1.3)

R R

Учитывая выражения (1.3), уравнения (0.1)i и (1.1) принимают вид

DwIV = qn~ hlq",

Ф" — итп = 0,

и' = - vrrin) - ^w'2. (1.4)

Подставляя выражение для wIV из (1.3) i в (1.4) i, получаем дифференциальное уравнение

„1 D х

qn-J^qn = -J^C0S^

общее решение которого имеет следующий вид:

3" = С‘сЬ^ + С281Ч + Д(Д2%)СЮ1 (1'5)

Учитывая симметрию конструкции, следует ПОЛОЖИТЬ С2 — 0. Постоянную интегрирования С\ определим из условия, что в состоянии равновесия полная нагрузка на верхнюю лицевую поверхность изогнутой пластины должна быть равна полной нагрузке на нижнюю лицевую поверхность, т.е.

гЯзтво гЯзтво

/ (х) сое 9с1х = / (ж) соэ 9<1х,

J о ^о

где в - угол наклона нормали к срединной поверхности пластины после деформации. Учитывая, что со ев = х/11, получаем

гЯзт во

/ хдп(х)<1х = 0. (1.6)

</о

Используя условие (1.6), константу С\ находим по формуле

ИЩсоэ^т во) + вт во во))

1_ г пи ■ П 1 /-Кэтб'оч ,2 , , 1.2ч

(ЯК Вт во эЬ (—-----)—/г^сЦ—----------))(Д +Л,)

Исключая из уравнений (1.4)2, (1-4)з функцию напряжения Ф, получаем следующее выражение для нагрузочного момента тп:

ЕН -(и' + V2)- (1-7)

г/(1 + и) 2

Используя найденные и тп, вычисляем нагрузки на лицевых поверхностях пластины следующим образом (см. (0.2)2):

12 12 дп = 2 {лтп + дп), Яй = 2 {-^п-Яп)-

Па рис. 2 показаны результаты расчета для цилиндрической пластины со следующими физическими и геометрическими параметрами:

Е — 2 • 106 кг/см2, у — 0, 3, К — 100 см, во = 0,1, к — 2 см. (1-8)

/77

п\ 120 кг/с

60 кг/см2

0

х

7?sin0o

Рис. 2

3. Обратная задача для сферического сегмента

Рассмотрим теперь круглую пластину радиусом R sin 0О и толщиной /г, срединная поверхность которой под действием нормальной осесимметричной нагрузки переходит в часть сферы. Для решения

поставленной задачи удобно перейти к полярным координатам (р,(р). Считая, что Х2 = р, центральный разрез исходной и актуальной конфигурации показан на рис. 1.

Уравнения (1.1) в полярных координатах с учетом осесимметрично-сти задачи принимают вид [2]

0 Р^ттіп]

(2.1)

где (см. (1.3))

w = R(cos — cos в0), up = Rsin pR — p.

(2-І')

Исключая из системы (2.1) нагрузочный момент тп , получаем следующее уравнение для определения функции напряжения:

Используя известные формулы

“ (-1 )кр2к+1 _^(-1 ?Р2к

ЕГ1 и

(2* + 1)! > со8р = ^. ,

к=О у 7 к=0 у 7

функцию д(р) можно записать в следующем виде (см. также (2.1')):

М = (2-3)

Рассматривая Ф^р как неизвестную функцию, а также учитывая условие симметричности Ф,р(0) = 0, решение уравнения (2.2) с правой частью в виде (2.3) можно записать так:

Ф

" 2(1 + V) ^ к(2к)

Шк (2-4>

С учетом найденной функции Ф>р нагрузочный момент вычисляется по формуле (см. (2.1)2)

тп = -^(рф,рр- ^Ф,Р- ЕЫр). (2.5)

Для определения нормальной нагрузки необходимо учесть, что оператор Лапласа и билинейная форма Кармана А(Ф, ио) (см. уравнение (0.1)1) в полярных координатах с учетом осесимметричности задачи имеют вид

1 6 / А ч . у ч 1 (1 / ЙФ С1П] ч

<2-б)

Запишем уравнение (0.1)1 в следующем виде:

АЯп-<^ = /(р), (2.7)

где

Др) = 1[(/ - Л$Д)Л(Ф, п) - ЯД2Ч (2.7')

С учетом соотношений (2.1') и (2.4), а также правил произведения рядов разложение функции /(р) в ряд Маклорена имеет вид

т = «[ ~ (ТТТУй+11 (§>№№-21 + 1))(д)2‘+

ЕЩ 00 'к+1

(1+,)Я. Е(-ч*(2*++2)(Ег(2г),(2;:2г+з);) Ф“-

4-Р ( — 1)к(к2 + Зк + 2) ,р\2к-1 А у- , / р \2к , ч

Д3 ^ (2/с + 1)!(2А; + 3) V ] ’ 1 ]

/с—0 /с—О

где

а = [----------——і- 22*-2].

г 1 2г + 1 ]

Решение уравнения (2.7) с учетом условия симметрии д^(0) = 0 записывается в виде

оо

Чп = Х>(1)“ (2-9)

к=О

где коэффициенты находятся итерационно (см. (2.8))

Як+1 = 4(к + 1)2^к + її)' ^'9/')

Условие (1.6) в случае полярных координат записывается так:

«Явт во

Яп(р)р2(1р = 0. (2.10)

'0

Используя выражения (2.9) и (2.10) условие для определения д0 можно переписать в следующем виде:

оо к=0

На рис. 3 показаны результаты расчета для круглой пластины с параметрами (1.8).

Литература

1. Михайловский Е.И. Полудеформационный вариант граничных условий в нелинейной теории пологих оболочек / Е.И.Михайловский, А.В.Ермоленко // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела: Тр. научн. школы акад. В.В.Новожилова. - СПб.: СПбГУ, 2000. - Вып. 3. -С. 60- 76.

2. Михайловский Е.И. Математические модели теории упругости / Е.И.Михайловский, А.В.Торопов. - Сыктывкар: Изд-во Сыктывкарского ун-та, 1995. - 251 с.

3. Ермоленко А.В. О контактном взаимодействии цилиндрически изгибаемой пластины с абсолютно жестким основанием / А.В.Ермоленко // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела: Тр. научн. школы акад. В.В.Новожилова. - СПб.: СПбГУ, 2000. - Вып. 2. - С. 79- 95.

4. Ватульян А.О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела / А.О.Ватульян - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 224 с.

Summary

Yermolenko A.V. On the solution of inverse problems using the Karman-Timoshenko-Naghdi type theory

The aim of this paper is to prove the role of the Karman-Timoshenko-Naghdi type theory on the solution of inverse problems. Inverse problems are considered for cylindrical plates and round axis-symmetric paltes.

Сыктывкарский университет

Поступила 18.08.2010