Расчет коэффициентов интенсивности напряжений в вершине сквозной трещины по данным тензометрии Текст научной статьи по специальности «Физика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XVIII 1987

№ &

УДК 624.073—419 539.219.2

РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ В ВЕРШИНЕ СКВОЗНОЙ ТРЕЩИНЫ ПО ДАННЫМ ТЕНЗОМЕТРИИ

А. Д. Дементьев

Предложена методика расчета коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) по данным тензометрии для анизотропной и изотропной пластины на основе метода аппроксимирующих функций, неизвестные параметры которых определяются методом коллокаций. С помощью вычислительной программы, реализующей предложенный алгоритм, проведены численные эксперименты по оценке точности расчета КИН, исследовано влияние погрешности измерения деформаций на точность расчета КИН. Оценена точность разработанной методики по результатам натурного эксперимента на образцах с центральной трещиной.

Разработка эффективных методов расчета коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) в вершине усталостной трещины по данным натурного эксперимента является в настоящее время актуальной задачей. Такие методы существенно упростили бы расчет КИН в сложных элементах авиаконструкций, их возможно использовать также для уточнения расчетных математических моделей элементов с трещинами. Одна из попыток разработки такого метода предпринята в работе [1]. Авторы этой работы применили вариационный метод расчета КИН для трещины в изотропной пластине, который использует показания мало-базных тензорозеток, расположенных вдоль охватывающей кончик трещины окружности. Такой подход имеет ряд существенных недостатков, делающих его непригодным во многих случаях для сложных натурных конструкций:

— на расположение тензодатчиков и форму линии, вдоль которой они располагаются, накладываются жесткие ограничения, причем линия должна обязательно охватывать кончик трещины;

— датчики должны иметь малые размеры с тем, чтобы давать напряжения в точке;

—■ для обеспечения необходимой точности расчета КИН количество тензорозеток должно быть не менее девяти.

В данной статье использован метод аппроксимирующих функций [2], который при высокой точности позволил устранить неречислепные выше недостатки. В качестве аппроксимирующих функций взято решение задачи о полубесконечной трещине в анизотропной пластине.

1. Решение задачи о полубесконечной трещине в анизотропной пластине. Для случая плоской задачи напряжения ох, оу, хху в анизотропной пластине, материал которой имеет в каждой точке плоскость упругой симметрии, параллельную плоскости хоу (ось х направлена вдоль трещины), выражаются через две функции усложненных комплексных аргументов ги=х + \1иУ, к=1,2, при (Х1=й=ц2 следующим об-

разом [3]:

Комплексные параметры ць, &=1, 2 анизотропного материала определяются как корни характеристического уравнения [3]:

е —вектор деформаций; е* = [ел еу 7^] (индекс * означает операцию транспонирования); а — вектор напряжений; и* = [охоу^ху\, Е — матрица упругих постоянных;

Условие отсутствия нагрузок на берегах трещины имеет вид [3]:

Возьмем гк = С|, С* = Н- к = 1,2, тогда, выбирая Ф^) аналитической на всей плоскости С1; а

где N — удерживаемое число членов ряда, из уравнения (4) получим:

N

ах = 2І*е [ц» Ф' (2,) + |і| у (г2)]; в, = 2Не[Ф'(г1) + Ф/ (га)];

Чху = — 2 Ие [н-1 Ф' (г,) + ц2<|>' («,)].

(1)

[А 2б)з [I8 “I- (2б]2 б33) (А2 - 2(?23 Н' “I- ^22 —

где втп—упругие постоянные закона Гука;

8 =Е<3,

(2)

еп е\ч е13 Е — £]2 652 ^23 І Є\% б23 ^зз

(1 + ^(*і) Ф (гі) + (1 + ^2) Ф (^2) +

+ (1 +/[і-і)Ф(г1) + (1 + /|»*)ф(г2) = 0, а^2*=±те. (3)

Ш = -вФ(-С,) + СФ(С2),

(4)

удовлетворим условию (3) при [4]:

д 1*а—Н-1 (2 _ Р*2 — Нч

1*2 ^2 ’ И*2 1*2

Полагая

N

(5)

(6)

a, = Re ^А{[^С?-2 + !х2(С + (- 1)*S)C2*-2W + к = 1

+ ф?С?-а + [*l(C-(-l)^)C^]a2ft}; (7)

ау = Re £ k {[Cf-2 + (С + (- 1)*S)C*-2] alft +

k—l

+ *[C*-2 + (C-(-l)*5)C*-2]a2ft};

т,у = - Re 2 k {[^ C*~2 + jx2 (C + (- 1 fB) CJ-2 ] alft +

k = l

+ Ф1 Cf-2 + (C - (- 1 )* Я) C* -2 ] a2*}.

В матричной форме уравнения (7) имеют вид:

« = /4, (8)

где вектор р составлен- из величин ak-

КИН первого рода Ki и КИН второго рода Кц для сквозной трещины в анизотропной пластине определяются выражением [5]:

*/ + £' = V^^a, (9)

2. Расчет коэффициентов интенсивности напряжений. Полученное решение [уравнения (7)] используется в качестве аппроксимирующей функции при решении задачи о расчете КИН по данным тензометрии. Решение для изотропной пластины, как показали численные эксперименты, получается путем задания слабо анизотропного материала, что достигается изменением модуля сдвига на 0,1%. Вид используемых аппроксимирующих функций позволяет учесть размеры тензодатчиков, что, как установлено в ходе численных экспериментов, значительно увеличивает точность расчета КИН.

Деформация тензодатчика ет, нити которого расположены под углом а ко оси Ох определяется выражением:

S-7-j L*idt, (10)

t

где

L* = [COS2 a sin2 a COS a sin a];

t — общая длина рабочей части нити тензодатчика.

С учетом (2) и (8) из уравнения (10) получим:

ет=1( [г.Я/’л)?. (11)

"t

Вектор р вычисляется методом коллокаций [2] по экспериментально замеренным деформациям. Изложенный выше алгоритм реализован в вычислительной программе для ЭВМ. Кроме расчета КИН, по данным тензометрии в ней предусмотрена возможность математического моделирования условий в бесконечной пластине с трещиной, нагружаемой растяжением со сдвигом и изгибом в плоскости пластины (рис. 1, а, б соответственно), что позволяет оценить точность расчета КИН для данного нагружения и расположения датчиков.

м

а—растяжение со сдвигом; б—изгиб в плоскости пластины

Рис. 1

3. Точность расчета коэффициентов интенсивности напряжений.

С помощью составленной программы проведен ряд расчетов по оценке точности вычисления КИН путем математического моделирования условий нагружения (рис. 1). В ходе этих исследований вырьировалось расположение и тип тензодатчиков, длина трещины, условия нагружения.

, */-*/ л

Графики относительных погрешностей КИН Кп-К],

К]

V/

где Кх, /Си — вычисленные значения КИН первого и

второго рода, К], К),— теоретически точные значения КИН первого и второго рода соответственно для наиболее выгодных с практической точки зрения конфигураций приводятся на рис. 2, 3. Следует отметить, что погрешности слабо зависят от отношения /4/й и базы датчиков в диапазоне 1—10 мм.

Погрешность расчета КИН по показаниям тензорозеток (рис. 2) не зависит от степени двухосности напряжений т для нагружения, приведенного на рис. 1 ,а. Погрешность расчета КИН по показаниям одиночных тензодатчиков, расположенных нормально к трещине, существенно зависит от величины т (при 7 = 0), принимая приемлемые с практической точки зрения значения при т= 1 (рис. 3). Поскольку КИН не зависит от величины напряжений, действующих вдоль трещины, то с помощью принципа суперпозиции случай тф\ можно свести к случаю с т=\ и оценить, таким образом, КИН. При этом коэффициент а12 [см. уравнение (5)], соответствующий постоянным напряжениям Ох, исключается из вектора р. Данная коллокационная схема привлекает малой чувствительностью к погрешностям замера деформаций при вычислении Кь о чем подробнее будет сказано ниже.

На точность расчета КИН большое влияние оказывает точность замера деформаций. Это влияние можно оценить следующим образом.

В результате решения уравнений (11) получим:

Р = (12>

где О—матрица размером А/'ХЛ/'; N — число тензодатчиков; 5 — вектор, составленный из деформаций тензодатчиков ет.

ь ь

А

Тензодатчик

Рис. 2. Погрешности расчета коэффициентов интенсивности напряжений по деформациям тензорозеток 6/^=2,

6=20 мм, 64 = 15 мм, изотропный материал, 0=—ЭО3 для розеток, расположенных под трещиной, ■0,=9О° — для остальных

■) растяжение со сдвигом, «=),т = 1,^ = 90°,

т-1;

— изгиб пластины в плоскости, М = 1

оо

-~1

Рис. 3. Погрешности расчета коэффициентов интенсивности напряжений К|, Кц по деформациям одиночных тензодатчиков, Ь/1^1, 6=10 мм, изотропный материал

----------- Д^ 1 растяжение со сдвигом, о=1( т—1,

---------Д11 | 7=90°. т = 1;

-------- _ изгиб пластины в плоскости, М = 1

Согласно уравнениям (9) и (12) максимально возможные абсолютные погрешности расчета КИН АЛъ ЛДп для данной погрешности деформаций определяются выражением

ДК'+ 2 (I Gy | +i|Gft/1). I AS, I,

2 / = i

где GJJt GkJ —элементы матрицы G\ ASj —абсолютная погрешность элемента Sj вектора деформаций S, которую можно определить как Д Sj = AS, либо ASj = bSj, AS, о — максимальная абсолютная и максимальная относительная . погрешность элемента вектора S.

В вычислительной программе предусмотрена возможность расчета погрешностей КИН. Как показали параметрические исследования, абсолютные погрешности КИН сильно зависят от расположения тензо-датчиков. На основании проведенных исследований определены схемы расположения датчиков, дающие максимально возможные абсолютные погрешности КИН порядка 3—6 МПа Ум при AS=14-10~5 и максимально возможные относительные погрешности КИН порядка 10—15% при 6 = 5%. Эти схемы приведены на рис. 2, 3.

4. Экспериментальная проверка. Экспериментальная проверка предложенной методики проведена на трех образцах из сплава Д16чТ с центральной трещиной под действием одноосного растяжения. Размеры образцов составляли 2X160X600 мм. На двух образцах были наклеены тензорозетки по схеме 1 с базой датчиков 5 мм, на третьем — одиночные тензодатчики по схеме 4 с базой датчиков 10 мм.

На первых двух образцах измерение деформаций проводилось при брутто-напряжениях в 69 МПа, на третьем—при напряжениях в 98 МПа.

На каждом образце измерения проводились при длинах трещин 50 и 70 мм. Вычисленные по деформациям тензодатчиков значения КИН сравнивались с теоретическими, общее число расчетных вариантов составило около 20, погрешность вычисления КИН Ai при этом находилась в пределах ±10—15%. Полученная погрешность КИН обусловлена погрешностью измерения деформаций, так как в случае их точных значений погрешность Ai не превышает 1 % для схемы 1 расположения датчиков и 2% для схемы 4 согласно рис. 2 и 3.

Проведенные расчетно-экспериментальные исследования показали эффективность предложенной методики, что дает возможность рекомендовать ее для расчета КИН в работающих в условиях обобщенного плоского напряженного состояния элементах авиаконструкций со сквозными трещинами по данным натурного эксперимента.

ЛИТЕРАТУРА

1. Kitagawa Н., Ishikawa Н. Determination of stress intensities of through — cracks in a plate structure under uncertain boundary conditions by means of strain gages. — ASTM STP 631, 1977.

2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1970.

3. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. —

М.: Наука, 1977.

4. Tong P. A hybrid crack element for rectilinear anisotropic material. — International Journal for numerical methods in engineering, vol. 11,

1977.

5. Парис П., Си Дж. Анализ напряженного состояния около трещин.— В кн.: Прикладные вопросы вязкости разрушения. — М.: Мир,

1968.

Рукопись поступила 2/VII 1986 г.