Определение коэффициентов интенсивности напряжений в вершине сквозной трещины по полям перемещений Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XIX 1 988 Мб

УДК 624.073—419 539.219.2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ В ВЕРШИНЕ СКВОЗНОЙ ТРЕЩИНЫ ПО ПОЛЯМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

В. И. Городншенко, А. Д. Дементьев

Предложена методика расчета коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) первого и второго рода в вершине сквозной трещины для анизотропной и изотропной пластины, находящейся в условиях плоского напряженного состояния, по перемещениям, полученным с помощью методов когерентной оптики. Для расчета КИН используется метод аппроксимирующих функций, неизвестные параметры которых определяются методом наименьших квадратов. Предложенная методика позволяет оценить КИН по отдельным либо по обеим плоским компонентам перемещения, а также по раскрытию трещины. Разработана простая методика учета влияния погрешностей определения перемещений. Точность предложенной методики оценена по результатам математического моделирования и экспериментов, выполненных на изотропных пластинах.

В работе [1] предложена методика расчета коэффициента интенсивности напряжений (КИН) первого рода в вершине сквозной трещины для изотропной пластины, находящейся в условиях плоского напряженного состояния, по полям перемещений, полученным методами когерентной оптики. В этой работе для расчета КИН используется метод аппроксимирующих функций, неизвестные параметры которых вычисляются методом наименьших квадратов. Путем статистического моделирования в ней оценивается влияние на точность расчета КИН первого рода случайных погрешностей определения перемещений. Однако, предложенный алгоритм оценки влияния случайных погрешностей является слишком громоздким. Приведенные результаты оценки соответствуют частному случаю расположения точек, перемещения которых используются в расчете, и сильно зависят, как будет показано ниже, от расположения и количества используемых точек, а также от количества членов аппроксимирующего ряда.

В данной работе метод аппроксимирующих функций обобщается на случай анизотропной пластины со сквозной трещиной, находящейся в условиях деформаций первого и второго рода, предлагается простой метод учета погрешностей определения перемещений. Кроме того, предлагается методика оценки КИН по перемещениям нескольких точек, а также по раскрытию трещины. Следует отметить, что в предлагаемой работе получена достаточно высокая точность расчета КИН, хотя использованный для определения перемещений метод муара имел меньшую чувствительность, чем метод, примененный в статье [1].

1. Аппроксимация полей перемещений в области у вершины трещины. Для расчета КИН по полям перемещений, определенным с помощью методов когерентной оптики, предлагается использовать метод аппроксимирующих функций, неизвестные параметры которых вычисляются методом наименьших квадратов [2]. В качестве аппроксимирующей функции используется решение задачи о полубесконечной сквозной трещине в анизотропной пластине [3]. Выберем начало координат в вершине трещины, а ось абсцисс направим вдоль трещины.

Тогда, согласно этому решёнию, выражения для перемещений имеют вид [3]:

и1 = 2Ие 12 \Р\ + р2 {С -Ь (— \у В) (,$>] Я)у +

1/=1

л?2 1

+ * 2 [А С{ + Р2 (С - (- I)7 В) Й] а2,\; (1)

/-1 I

(

и2 = 2Ие £ № Ц{ + й2 (С + (- 1У В) Щ а1} +

и=1

л/2 ■>

+ IX [<*, + й2 (С - (- 1/ В) й] а2} , (2)

/=1 ’

где щ, и2 — перемещения вдоль осей х и у соответственно;

— число коэффициентов а1у- и а2} соответственно;

Н-2. ^2 — корни характеристического уравнения:

(А4 2е13 |13 -)- (2е12 -)- £33) (А2 2<?23 + ^22 — О,

С = гп, гп = х + ?пу, п=\, 2,

И2 — (М /о_ Е*2 — Iх!

в = -^—£!_, С =

1*2 — !*2 ,и2 ~ 1*2 Рп = «11 Р* + «12 - «13 Л,, !

,, _ е12 И» + е22 — «23 (*Л и __ , 0

ап — - , п — 1, /,

гя

величины &, л = 1, 2, 3 — элементы матрицы упругих постоянных Е\

«11 «12 «13

Е ~ «12 «22 «23 >

«13 «23 «83

г = Еа,е — вектор деформаций, е* = [в, г2 г12] (знак и* “ означает операцию транспонирования матрицы), а — вектор напряжений, а*—

= [а1 о2 а12].

Приведенное решение справедливо для случая Решение

для изотропного материала получается путем задания слабо анизотропного материала [3].

КИН первого и второго рода связаны с коэффициентами аи и а21 соотношением [3]:

Ki + /C2/iv= V2k (a + toll)>

F2

где Kb Kz — КИН первого и второго рода соответственно.

Выражения (1) и (2) в матричной форме можно записать в виде:

и = 0р, (4)

где и — вектор перемещений, а* = [и, и2]; £ — вектор неизвестных коэффициентов, составленный из величин аХ}, a2j за исключением а22, который как и ап соответствует постоянным напряжениям ох для анизотропного материала и не дает вклада в напряженное состояние для ортотропного и изотропного материалов [3].

Для аппроксимации перемещений в области у вершины трещины удерживается примерно одинаковое число членов ряда, соответствующих коэффициентам a4 j и а2 у.

Л/, = А^2 при четном N, где N=N1 + N2;

Nx = Nt -J- 1 при нечетном N.

Уравнение (4) можно использовать для аппроксимации перемещений в области у вершины трещины, если на это поле не накладываются жесткие перемещения тела как целого. Причем, уравнение (4) аппроксимирует перемещения точек относительно вершины трещины. В противном случае указанное уравнение приведет к большим погрешностям. На практике часто возможна ситуация, когда замеренные поля помимо упругих перемещений включают также жесткие перемещения тела как целого, либо, когда перемещения точек относительно вершины трещины невозможно определить. Для расчета КИН в таких случаях можно использовать прием, который применялся при построении некоторых типов специализированных конечных элементов для решения задачи о трещине [4]. Этот прием заключается во введении в уравнение (4) членов, соответствующих жестким перемещениям тела как целого. Жесткие перемещения тела как целого ui0, м2о (поступательные перемещения и вращение тела в плоскости на произвольный угол) описываются уравнениями:

и10^А + А2х — А9у; |

И20 =-^4 + А 3Х + А2 У, J

где Аи А2, Аа, Л4 — постоянные величины для данного поля перемещений; х, j; — координаты точки.

Складывая уравнения (4) и (5), получим:

(6)

где Pi = [Р* А ] А2 А3 Л4].

Перемещения «ос вдоль направления, составляющего угол а с положительным направлением оси Ох, определяются выражением:

ыя — й, cos a -f и2 sin a. (7)

Подставляя уравнения (4) и (6) в (7) будем иметь соответственно:

иа — и% Р; (8)

иа=иыР2, (9)

где Р*2 = №*А,А2А3].

2. Расчет неизвестных коэффициентов. Пусть имеется Ыт точек

(Ыт> N{1, где —общее число неизвестных коэффициентов), перемещения которых известны. При этом возможны следующие случаи:

1) в каждой точке заданы перемещения щ и ы2;

2) в каждой точке задано перемещение иа .

Тогда, используя уравнение (4) для первого случая и уравнение (8) для второго случая, получим систему уравнений следующего вида:

где <7 — вектор заданных перемещений точек.

Аналогичное уравнение получим и в случае аппроксимации перемещений уравнениями (6) или (9), которые учитывают жесткие смещения тела как целого. Согласно методу наименьших квадратов (2];, неизвестный вектор Р определяется выражением:

Р=«2*<г)-г«*Аг (ш)

или р = вд, где <5 = (С?'1' С?)—1

Имея решение (10) по выражению (3) можно оценить КИН первого и второго рода. На величину КИН существенное влияние оказывают погрешности определения перемещений. Их влияние можно оценить следующим образом. Согласно уравнениям (3) и (10) максимально возможные абсолютные погрешности расчета КИН первого и второго рода Д/Сі и Д/С2 для данной абсолютной погрешности замера перемещений определяются выражением:

лгг

Д К, + А *2/[і, = і/2Їс X (| Сі;-1 + і і Оа) І) І Д Чі І, (11)

п /=і

где вхі, (5„;-— элементы матрицы б; А <7;. — абсолютная погрешность элемента <7;- вектора ц.

Получив с помощью методов когерентной оптики поля перемещений в виде системы полос равных перемещений, можно оценить величины Л*7з и по уравнению (11) вычислить погрешности КИН.

3. Результаты физических и численных экспериментов. Изложенный выше алгоритм был реализован В' вычислительной программе для ЭВМ. Точность предложенного алгоритма оценена по результатам математического моделирования и экспериментов, проведенных на образцах с центральным надрезом и надрезом, расположенным под углом 42,5° к направлению растяжения. Надрезы наносились электро-эрози-онным способом, ширина надреза составляла 0,3 мм. По концам надреза в образце с центральным надрезом под действием регулярного нагружения были выращены усталостные трещины длиной 1 мм. Размеры образца с центральным надрезом (трещиной) составляли 4,1 X X60x255, длина трещины 21 = 22 мм, материал образца В95Т1. Обра-

зец с наклонной трещиной имел размеры 4,15X60X225, длина трещины 21 = 30 мм, материал образца Д16чТ.

Определение плоских компонент вектора перемещений щ, и2 проводилось методом голографического муара [5]. Для этого на исследуемый участок образца с трещиной наносился скрещенный металлизированный растр с частотой 200 линий на 1 мм по технологии, описанной в работе [6]. Одно из направлений линий растра совпадало с направлением растяжения. Регистрация муаровой картины производилась на фотопластинку ПЭ-2, закрепленную на образце. Голографическая интерферограмма записывалась во встречных пучках методом двух экспозиций при различных уровнях нагружения. Оба образца нагружались с помощью электро-гидравлической испытательной машины, первый образец — до напряжений 0=58,9 МПа, второй — до напряже-

ний 0=59,6 МПа. Нагрузка на образец отслеживалась с погрешностью 3%.

Поля перемещений и4 и и%, полученные при наблюдении голографической интерферограммы на просвет, для образца с центральной трещиной приводятся на рис. 1 ,а, б соответственно. Цена полосы для этих полей равна 1,25- 10~3 мм и 2,5- 10~3 мм соответственно. КИН первого и второго рода оценивались отдельно по перемещениям щ и ы2-Для расчета КИН по полю щ вдоль линий равных перемещений было выбрано 50 точек, по 10 точек на каждой линии. Погрешность расчета

- К] „ т

КИН Д! = -------5— , где Кх, К\ — расчетное и теоретическое значения

^1 ________________________

КИН первого рода [К]= 11,95 МПа |/М [7]) в функции числа членов ряда Щ, используемых для аппроксимации перемещений, приводится на рис. 2, а. Аппроксимация перемещений осуществлялась с помощью уравнений (8) и (9). Следует отметить, что по полученной картине полос нельзя было получить перемещение кончика трещины, необходимое при аппроксимации перемещений уравнением (8). Поэтому, величина этого перемещения была предварительно вычислена в ходе расчёта, в котором использовалось аппроксимирующее уравнение (9).

Кроме того, на рис. 2, а приводятся значения АК1, ДЛг, соответствующие Д(7з=10-3 мм, /= 1, 2,..., А1т, в функции Л^. На этом же

рисунке представлены также результаты расчета КИН, полученные путем математического моделирования перемещений тех же точек в бесконечной пластине с трещиной, нагружаемой на бесконечности сдвигом и растяжением (рис. 2,6). Точное решение этой задачи было

Рис. 2. Результаты расчетов по перемещениям И! для образца с центральной трещиной:

А А I = ИГ8 мм, аппрок-

® ® А^2 симируюшее уравне-

ние (8);

Л Л 1 дд. = 10-3мм, аппрок-

0 а АК- ' симируюшее уравне-

ние (9)

ОБРАЗЕЦ

•-—• Д. 1

I — аппроксимирующее

▼-------ж Д ) уравнение (8);

О--------О I - аппроксимирующее

у_______у д I уравнение (9)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ (21= 20 мм. я = 1, -[ = 90°):

•---------• А,

♦---------♦ 4

О-------------О *1

ф--------

з--о Д1 ) _

>-------од/

- аппроксимирующее уравнение (8);

аппроксимирующее уравнение (9)

получено с помощью функций напряжений Вестергаарда [7]. В ходе математического моделирования проверена также точность предложенной методики в условиях наложения на упругие перемещения жестких смещений тела как целого. Как показали численные эксперименты, с использованием аппроксимирующих уравнений (6) и (9) наложение даже очень больших по величине по сравнению с упругими перемещениями компонент жесткого смещения тела как целого (например, смещений по обеим осям координат на 10 мм и поворот в плоскости на 10°) практически не меняет погрешность расчета КИН. Следует подчеркнуть, что на погрешность КИН, полученную при математическом моделировании, не оказывали влияние погрешности исходных данных, поэтому полученный результат для данной задачи характеризует только погрешность расчетной схемы. Выполненный расчет показал сильную зависимость величин АКи Д/С2 от числа членов ряда Л/р; причем, добавление в аппроксимирующее уравнение членов, описывающих жесткие перемещения тела как целого, увеличивает чувствительность решения к погрешностям определения перемещений, особенно для КИН второго рода.

Исходя из погрешности определения центра полосы, абсолютная погрешность определения перемещений для использованного в расчете поля перемещений «1 оценена величиной 0,1... 0,2-10_3 мм.

На рис. 2, б приводится зависимость параметра Д =

ЛГГ

Лгг

/=1

4}

от где ^ — экспериментально замеренное

перемещение точки у; <7? — расчетное значение перемещения точки у, полученное в результате аппроксимации поля перемещений.

Этот параметр предложен в работе [1] для определения требуемого числа членов аппроксимующего ряда. Из анализа представленных на рис. 2 а, б результатов можно заключить, что для данной задачи и использованной системы точек достаточно положить N=9, независимо от использованного аппроксимирующего уравнения. Погрешность расчета КИН слабо менялась в диапазоне N$=9... 18 для уравнения (8) и в диапазоне Л/’э = 10... 18 для уравнения (9). Средняя погрешность при этом составила около 5%. Следует напомнить, что погрешность нагружения в испытаниях составляла 3%. Расчетное значение КИН второго рода для данного образца не превышало величины 0,12 МПа|/М для уравнения (8) и 0,78 МПа/М для уравнения (9).

В расчете КИН по перемещениям и2 использовалось несколько совокупностей точек, которые выбирались вдоль линий равных перемещений. Расстояние точек от кончика трещины для выбранных совокупностей менялось в диапазоне 2... 17 мм, а количество их — в диапазоне 30...80 точек. Результаты расчетов для случая 80 точек приводятся на рис. 3, а, б. Эти результаты аналогичны результатам, полученным по перемещениям щ. Абсолютная погрешность определения перемещений для использованного в расчете поля м2 оценена величиной 0,25-10-3... 0,4-10™3 мм. Средняя погрешность расчета составила около 6,5% и для различных совокупностей точек слабо менялась. Расчетное значение КИН второго рода не превысило 0,23 МПа^М для уравнения (8) и 1,3 МПа]/М для уравнения (9). Величины АКи

А Кг для случая Д^—Ю-3 мм, /=1, 2....... Ыт существенно зависят от

расположения и количества использованных в расчете точек, что ил-

Рис. 3. Результаты расчетов по перемещениям «2 для образца с центральной трещиной:

А--Л 4 Кг

•-------■

: 10 3 мм, аппрок-

Д--------Д Д К\

□---------□ Д^2

} А^= симир ние (о

| Д(?у= Ю“3 мм, аппрок-

(

I

ОЕ

• *1 1 ▼ А /

симирующее уравнение (8)-,

симирующее уравнение (9)

ОБРАЗЕЦ

аппррксимирующее уравнение (8);

О------О дх аппроксимирующее урав-

нение (9) МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ (2/=20 мм, ? = 1, ? 90°):

•-----ф Д, )

I — аппроксимирующее

#-----# А ] уравнение (8);

О------О Д1 _ аппроксимирующее урав-

нение (9)

люстрируется на рис. 4, а, б. Данные результаты получены в расчете КИН по перемещениям ы2.

На расчетную величину КИН, кроме погрешностей замера перемещений, влияет также погрешность определения координат вершины трещины. Влияние этой погрешности зависит от расположения точек. Для поля «1 при использовании в расчете 50 точек и N=9 изменение абсциссы вершины трещины на ±0,2 мм привело к изменению величины К1 на ±2,2% для уравнения (8) и на ±4,3% для уравнения (9); а изменение ординаты на ту же величину — к изменению на ±0,2... 0,4% для уравнения (8) и до 2% для уравнения (9). Для тюля ы2 при использовании в расчете 80 точек и Л^=9 изменение абсциссы вершины трещины на ±0,2 мм привело к изменению величины на ±7%, а изменение ординаты на ту же величину — к изменению /С1 до 1,0% в случае аппроксимации перемещений уравнением (8) либо (9).

Из сказанного следует, что с достаточной для инженерных целей точностью можно ойределить КИН по какому-то одному полю перемещений щ или щ. В случае, если известны одновременно оба поля перемещений, КИН можно оценить по перемещениям нескольких точек. Для этой цели выберем 9 точек вдоль контура, близкого к квадрату со стороной 20 мм (см. рис. 1 ,а). КИН в этом случае можно оценить по уравнению (10), аппроксимируя перемещения и1 и ы2 в выбранных точках уравнением (4) либо (6), или рассчитать с помощью специализированного гибридного конечного элемента [8], используя линейную аппроксимацию перемещений по границе элемента между узлами. "По-

Рис. 4. Влияние числа использованных в расчете точек и числа членов аппроксимирующего ряда на абсолютную погрешность определения КИН, обусловленную погрешностями замера перемещений:

1 > = 10-3 мм. 'аппрокси-

^ 1 ! мирующее уравнение (8);

Д 1 Д9у = 10-3 мм, аппроксими-□ ЬК:2 ) рующее уравнение (9)

грешность расчета этими методами не превысила 2...3%. Данные алгоритмы расчета КИН, использующие одновременно перемещения щ и ы2, обладают малой чувствительностью к погрешностям замера перемещений (величины АК1 и Л/Сг для Ас/] = 10_3 мм, / = 1, 2, ..., 18 изменялись в пределах 1,0...2,5 МПа]/М) л к погрешностям определения координат вершины трещины (изменение их на ±0,5 мм приводит к изменению /(1 на ±2,5%).

Поле перемещений «2 (см. рис. 1,6) позволяет оценить раскрытие трещины в функции расстояния от вершины трещины. По раскрытию трещины в нескольких точках на ее поверхности можно вычислить КИН первого рода следующим образом. Используя уравнение (2) и учитывая, что для изотропного материала коэффициенты а2п, ац / = 2 пу п= 1, 2... не оказывают влияния на раскрытие трещины, будем иметь:

N р

8 = Ие X [<*, + й2 (С + (-1)2 /-1 В) & '-1] а1}, (12)

/=1

где б — раскрытие трещины.

Неизвестные коэффициенты 013 можно определить методом кол-локаций [4].

Результаты расчета КИН первого рода для образца с центральной трещиной, а также результаты математического моделирования для трех совокупностей точек приводятся в табл. 1. Согласно рекомендациям работы {1] не следует в расчете использовать перемещения то-

№ X, мм 3, мм а;, ■■% ДАТі при Дду = 10—3 мм МПа УМ дГ. %

1 -5 0,035 5,4 3,08 0,59

—3,1 0,029

2 -5 0,035 6,2 2,1 0,39

—2,1 0,0245

-5 0,035

3 -3,1 0,029 7,8 9,92 —0,034

-2,1 0,0245

* Погрешность КИН для образца.

** Погрешность КИН, полученная в расчете по математическим значениям раскрытия для трещины в бесконечной пластине:

2/ = 20 мм, о = 1, 7 = 90°

чек, расстояние которых от вершины трещины меньше, чем половина толщины пластины. Это ограничение связано с неравномерностью распределения перемещений по толщине пластины в этих точках и с пластическими деформациями у вершины. Результаты расчета КИН для первого образца по раскрытию трещины подтверждают эти рекомендации. На погрешность расчета КИН по раскрытию трещины оказывает также влияние погрешность определения абсциссы вершины трещины. Согласно результатам расчетов КИН по раскрытию трещины

Таблица 2

№ Д, % Кг МПа УМ К* МПа УМ ДАТі при Д(7;- = = 10-з мм МПа УМ д/с2 при Aqj = = 10—3 мм МПа УМ а;, % д;. %

1 9 2,21 6,058 —6,840 0,373 0,257 -1,1 —6,4

2 11 0,86 6,900 —6,744 1,188 1,117 4,8 -1,7

3 12 0,77 6,520 —6,973 2,020 1,959 8,2 0,23

4 16 0,41 6,189 —6,890 3,480 4,610 3.1 2,5

5 17 0,36 6,412 —6,610 3,726 5,385 0,71 —0,24

6 18 0,28 6,316 / —6,700 3,936 5,717 0,74 -0,22

* Погрешность КИН, полученная в расчете по математическим перемещениям точек в бесконечной пластине с трещиной:

21 = 20 мм, и = 1, 7 = 42,5°

; ^ Щ ш ' ■; '

Рис. 5. Интерферограмма уровней равных перемещений для образца с наклонной трещиной

в двух точках изменение абсциссы вершины на ±0,1 мм и ±0,2 мм приводит к изменению КИН на ±2...3%! и ±5... 6% соответственно.

Поле перемещений в направлении растяжения для образца с наклонной трещиной приведено на рис. 5. Цена полосы составляет 5 -10-3 мм. Абсолютная погрешность определения перемещений для использованного в расчете поля оценена величиной 0,4-10-3...

- . ,0,5-10~3 мм. Для данного поля неизвестен абсолютный порядок полос, неизвестно также, содержит ли оно жесткие перемещения тела как целого. В силу этого для аппроксимации перемещений использовано уравнение (9). Расчет КИН первого и второго рода проведен по перемещениям 50 точек, расположенных вдоль линий равных перемещений. Результаты расчетов приведены в табл. 2. Учитывая характер

Д". _

изменения величин Kj, & j — ——— , A/Cj, / = 1, 2, где Kj, К] —рас-

четное и теоретическое значение КИН первого или второго рода, значения КИН при = 17... 18 приняты за действующие.

Проведенные расчетно-экспериментальные исследования показали высокую точность предлагаемых методик, которые можно рекомендовать для решения практически важных задач. В силу вида использованной аппроксимирующей функции предлагаемая методика применима для области, которая не содержит внутри себя вырезы и сосредоточенные или распределенные нагрузки; участок трещины, находящийся в этой области должен быть прямолинейным.

ЛИТЕРАТУРА

1. В а г к е г D. В., Sanford R. J., С h о n a R. Determining К and related stress-field parameters from displacement fields. — Experimental Mechanics, vol. 25, N 4, 1985.

2. К о р н Г., К о р н Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.; Наука, 1970.

3. Дементьев А. Д. Расчет коэффициентов интенсивности напряжений в вершине сквозной трещины по данным тензометрии. — Ученые записки ЦАГИ, 1987, т. 18, № 5.

4. В у s к о v Е. The calculation of stress intensity factors using the finite element method with cracked elements. — International Journal of Fracture Mechanics, 1970, vol. 6, N 2.

5. Жилкин В. А., Попов А. М. Голографический муаровый метод.— Заводская лаборатория, 1979, № 11.

6. Ж и л к и н В. А., Попов А. М. Исследование деформированного состояния плоских образцов методом голографического муара. — Изв. ВУЗов, Строительство и архитектура, 1979, № 9.

7. Т a d а Н., Paris Р. С., Irwin G. R. The stress analysis of cracks handbook. Del reserch corporation, 1973.

8. Дементьев А. Д. Расчет коэффициентов интенсивности напряжений в вершине сквозной трещины с помощью специализированного гибридного конечного элемента.—Ученые записки ЦАГИ, 1987, т. 18, № 6.

Рукопись поступила 20/V 1987