Интегральные конечные элементы новая разновидность двумерных гибридных элементов, основанная на использовании метода граничных интегральных уравнений Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ II АГ И Том XXI 1990

УДК 629.7.015.4.023

№ 4

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ— НОВАЯ РАЗНОВИДНОСТЬ ДВУМЕРНЫХ ГИБРИДНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ, ОСНОВАННАЯ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В. Н. Максименко, Н. С. Погодина, В. Д. Чубань

Рассмотрена новая разновидность двумерных гибридных конечных элементов, названных интегральными элементами и базирующихся на построении внтуренних полей напряжений и перемещений методом граничных уравнений (ГИУ). Предлагаемый подход позволяет создавать конечные элементы со сложной внутренней структурой (отверстия, трещины, подкрепления и т. п.) для анизотропной среды. Эти элементы являются совместными с обычными изо-параметрическими элементами метода перемещений и позволяют в рамках общего расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) авиационных тонкостенных конструкций эффективно вычислять концентрацию напряжений й коэффициенты интенсивности напряжений отрыва и сдвига в вершинах внутренних и краевых трещин у' отверстий. Даны общие теоретические соотношения, рассмотрен частный конечный элемент: интегральный элемент с эллиптическим отверстием, и системой внутренних и краевых трещин для расчета плоского напряженного состояния. Приведены результаты тестовых исследований.

После опубликования известной работы [1] в 1969 году и ряда последующих работ [2, 3, 7), в которых был предложен новый класс конечных элементов, названных гибридными, это направление метода конечных элементов получило широкое развитие, и многими авторами [4—10] исследовались различные типы гибридных конечных элементов. При этом можно выделить два направления исследований:

1) Сплошные дву- и трехмерные конечные элементы, для которых гибридная формулировка позволила увеличить точность вычислений; например, четырехугольный гибридный элемент [20] обладает лучшими характеристиками сходимости по сравнению с аналогичными изопараметрическим. Характерным для таких элементов является применение заданных полей внутренних равновесных напряжений простой структуры, как правило, в виде полиномов.

2) Двумерные конечные элементы с трещиной [3, 9], отверстием [4, 9], с нагруженным отверстием для расчета болтовых соединений [10]. Для этого направления характерным является использование равновесных полей напряжений и, возможно, перемещений, дополнительно удовлетворяющих граничным условиям на берегах трещины, контуре отверстия и т.п. Такие решения можно получать в виде бесконечных рядов, методами теории функций комплексного переменного (ТФКП) для плоскости с отверстием или трещиной

с последующим удержанием конечного числа членов ряда. Число удержанных членов ряда (каждый член ряда представляет равновесное поле напряжений) определяет точность полученной аппроксимации. Следует отметить, что любое решение, полученное методами ТФКП, можно использовать для создания других подобных элементов.

Характеризуя в целом направления развития гибридных конечных элементов, отметим, что появление новых типов этих элементов связанно с существованием явных аналитических выражений для аппроксимации внутренних равновесны* полей напряжений.

Однако, это обстоятельство не является принципиальным для общей формулировки гибридных элементов. В данной работе предлагается практически расширить второе направление развития гибридных элементов, выделив новую разновидность, для которой характерно прямое вычисление внутренних равновесных полей напряжений каким-либо эффективным численным методом, например, методом ГИУ.

Основная идея предлагаемого подхода заключается в том, что значения элементов матрицы [Б], аппроксимирующей допустимые внутренние поля напряжений, и, если необходимо, матрицы [II], аппроксимирующей соответствующие поля перемещений, вычисляются в интересующих точках внутри конечного элемента или на его границе методом ГИУ, который учитывает все особенности внутренней структуры конечного элемента.

Современное состояние методов ГИУ позволяет в двумерной постановке определять НДС конечных областей произвольной формы с весьма сложной системой внутренних вырезов, трещин, подкреплений и т. п. [13, 14].

Предлагаемый интегральный элемент, обладая возможностью составлять ансамбль с обычными конечными элементами в модели для расчета общего НДС, позволяет после определения перемещения узлов найти точную картину местного НДС с учетом концентрации напряжений и коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах трещин. То есть в рамках одной расчетной модели удается провести эффективный сквозной расчет общего и местного НДС. Элементы такого типа перспективны для решения задач развития трещин, определения остаточной прочности поврежденных панелей и др. задач. Для этих задач применение метода ГИУ является очень удобным, так как избавляет от необходимости разрабатывать МКЗ с адаптивными сетками.

Приведем основные теоретические соотношения, используемые при построении интегрального элемента. Отметим, что выбран известный вариант теории построения гибридных конечных элементов, который рассматривает поля перемещений и усилий на границе элементов.

Рассмотрим случай плоского напряженного состояния.

Пусть Я— область, ограниченная конечным элементом; Г = ГеиГ,—

граница конечного элемента; Ге—внешняя (межэлементная) граница элемента; Г = внутренняя граница элемента, состоящая из N связных ком-

понент (г = 1, ./V), т. е. Я в общем случае многосвязна.

Выпишем основные уравнения линейной теории упругости:

1) Уравнения равновесия при отсутствии объемных сил

[ Б] та = 0 в Я;

(1)

[д/дх О “І О д/ду д/ду д/дх\

матричный дифференциальный оператор.

2) Закон Гука

. . о = [С]евй (2)

[С] — матрица 3 X3 упругих констант материала;

гуу г — поле деформаций в Я.

Уху)

3) Соотношения между деформациями и перемещениями

г — [ В] и в Я ; (3)

где и = | ^ | — поле перемещений в Я ;

4) Усилия на границе ,

Т = [ N1 <т на Г; (4)

(3

вектор усилий на. Г;

[пх 0 п "I

п —матрица направляющих косинусов внешней нормали

V ■ Пу Пдг _]

границе Г.

Для решения задачи используем вторую расширенную форму потенциальной энергии [11]

. л; = -^ ([ р] и)т[С] ([ О] ц) */Я — ^ итТ^Г ^ Тт(й — и) с?Г,

12 , , Г,- ‘ Ге

и = | -^заданное поле перемещений на Ге; ,Т— заданные внешние усилия на границе Г,, которая при выполнении соотношений (1) — (4) и при

удовлетворении однородным граничным условиям на внутренней границе

элемента

Т = Т = 0 на Г„ (5)

примет вид

Я= --±-$итТ^Г + $ТТ^Г. (6)

г* г<

Пусть внешняя граница элементов Ге (рис. 1) определена совокупностью криволинейных ребер. Для каждого ребра г аппроксимация поля перемещений выбирается в виде

Г* °1

где т|г = [ц?, Т12. • • •. Л*]—вектор-строка базисных функций аппроксимации компонент поля перемещений на Ге; к — число узлов ребра г, т], = г],(5) — полином Лагранжа степени /е— 1 для узла I, (I = 1, /г); |— криволинейная координата — 1 ^ 1; 11* — век-

тор, составленный для ребра г из обобщенных перемещений, узлов элемента 1)е = [и\,...,ит, 1»|, . . . , Уту относящихся к ребру Г, и,, У, — перемещения г-го узла.

Аппроксимация геометрии ребра строится аналогично.

Аппроксимация равновесного поля напряжений а и соответствующего ему поля перемещений и могут быть представлены в виде

а = [8] р в £2, и = [V] р в Я,

Т = [N1 [8]р= [Т]р на Г,

с

(8)

(9)

(Ю)

где р = [рь р2, . . . , Р, М]т — вектор внутренних параметров элемента; т — число узлов элемента; М — число внутренних параметров элемента, М^2т — 3; [Б] — матрица ЗХМ аппроксимации поля напряжений с в Л, [11] = [^'] —

т у

матрица 2Х.М аппроксимации поля перемещений и в Я, [Т] = [ '] — матрица 2ХМ аппроксимации усилий на Г; 9

Заметим, что аппроксимирующие матрицы [в] И [Щ таковы, что каждая пара столбцов этих матриц с одинаковым номером удовлетворяет соотношениям (1) — (5).

Подставляя введенные аппроксимации (7) — (10) в (6), получим

л =

где

Рт [Н] 0 + Рт [Ц Уе,

Н1

^[иГГ^ + Т^+и^ + Т^Ц,] (1Т,

г,

щ = ^т*л^.

(11)

(12)

(13)

Минимизируя функционал (11) по вектору внутренних параметров р, нахо-

дим

и, следовательно,

дл

= - [Н]р+ Ш и.

Р= [Н][Ц Не,

откуда матрица жесткости [к] элемента

[К] = [ЬПН-1] [Ь]

(14)

(15)

Таким образом, для практического построения элемента достаточно знать величины компонент матриц [и] и [Т] в точках интегрирования на внешней границе элемента.

Как было отмечено ранее, пара столбцов (г'-й столбец матрицы [и] и /-Й столбец матрицы [Т] соответствует НДС области элемента (1-е состояние), удовлетворяющему уравнениям равновесия и граничным условиям на внутренней границе элемента, и для его определения предлагается применять метод ГИУ. При этом можно использовать разные постановки задачи. Остановимся на двух, представляющих наибольший интерес.

1. Известно поле усилий 1-го состояния на границе области, найти перемещения и напряжения 1-го состояния. Это первая основная краевая задача (задача Неймана), ее решение определяется с точностью до перемещений области как твердого тела и существует при выполнении, кроме обычных условий непрерывности, условия равновесия заданных на границе полей усилий.

2. Известны перемещения 1-го состояния на внешней границе Ге области и усилия на внутренней границе Г„ найти перемещения и напряжения 1-го состояния. Это основная смешанная краевая задача, ее единственное решение существует при выполнении обычных условий непрерывности.

Обе формулировки равноправны и пригодны для наших целей, поскольку дают пару усилия-перемещения, которые соответствуют 1-ому состоянию.

Отметим, что в большинстве случаев конкретные реализации метода ГИУ направлены на решение задачи Неймана. В этом случае необходимо формировать совокупность векторов граничных усилий, удовлетворяющих уравнениям равновесия (совокупность равновесных состояний).

Рассмотрим вопрос более подробно. Как известно, произвольное равновесное поле напряжений может быть найдено из решения уравнения

ДЛф = с,

(16)

где ф — определяет поле напряжении

дхду3

д4Ф

дх?ду

д4Ф

дх2ду2

+

2(1+у)

(17)

Выбирая последовательность ф*, удовлетворяющих бигармоническому уравнению, например, в виде степенных рядов

Ф = 2 Ца1;х‘у'

I /

и используя (17), можно получить последовательность равновесных полей напряжений [12]. В данной работе рассматривались следующие поля напряжений:

при

Фі

= Ж.

ог

х^и

Фй ® XX ^ ® ии ---- 1 ^

ху '

0;

1 —V 2 2 г\ г\ і

4>з=~-х2у\ охх= О, ауу = 0, оху — I;

ф4= (5х*у—у5)/120, ахх = 0, ауу = х, аху = 0; Ф5= (5ху* — х5)/120, ахх = у, ауу= 0, о = О,

_ 2 (1 + у)

(18)

Далее, используя соотношение (4); можно построить искомые поля равновесных усилий Т на границе Ге. Эти поля не определяют напряженное состояние внутри области, т. е. не могут использоваться для построения

аппроксимирующей матрицы [Э] в соотношении (8), так как они не удовлетворяют граничным условиям на внутренней границе (5), но, являясь равновесными, позволяют задать граничные условия для решения задачи Неймана методом ГИУ.

Отметим, что уравнение (16) имеет бесконечное множество решений, и последовательность (18) далеко не единственная.

При выборе последовательности решений следует руководствоваться тем соображением, что, как это следует из выражений (14), (15), должна существовать обратная матрица [Н]~ .

Условия невырожденности матрицы [Н] выполняется, если вектора базиса Т, линейно независимы. Последовательность решений (18) определяет линейно-независимый базис Т„

Построим решение внутренней задачи.

Пусть прямолинейно-анизотропная пластина постоянной толщины А занимает область Я, ограниченную замкнутым контуром Ге. Пластина ослаблена системой сквозных гладких внутренних разрезов (трещин) Гч, (/=1,Л^1) и отверстием А = ГШ (эллипс с полуосями а и Ь). Совместим оси симметрии эллипса с осями декартовой системы координат хоу. В качестве положительного направления на Ге выберем направление, оставляющее область Я, занятую пластиной, слева, а на

Л/-1

г;= и

/=1

произвольно.

Пусть пластина находится в плоском напряженном состоянии от действия заданной самоуравновешенной нагрузки хп(() + уп(/)> приложенной к Ге, а берега разрезов Г, и отверстие А свободны от внешних усилий, т. е. выполняется условие (5).

Напряжения и перемещения (с точностью до перемещения тела как жесткого целого) в пластине выражаются через две аналитические функции

ОДгц) [15]

(и, о) = 2/?е| 2 (рУ, д.) ,

(19)

Рч= Сич1 + С12—С16Ц„,

Яу = С12М^ + ------С26>

ф*(20 = ' 2У = Х + ^У,

где — корни характеристического многочлена, сі; — упругие константы из закона Гука.

Искомые функции Ф„(гу) разыскиваем в форме обобщенных интегралов типа Коши [13, 14]

А / ч Го • ч м —* Г / . /,й,(т)Л, л„ £22(т) <*т2 Ї

Qa(0 = - а (О Я,(<) - (- 1 fb(t) Q,(0 ,ttL= Геиг;,

где Qi(t) — неизвестная комплексная функция на L: А = 0(1) при t £ Г£(Ге). Здесь и далее использованы обозначения работы [14].

Так, построенные потенциалы <Dv(zv) автоматически удовлетворяют краевым условиям на Л.

Для определения Яі(^) имеем, с учетом (14), смешанную систему сингулярных (на Г^) и регулярных (на Ге) интегральных уравнений:

2А*(/) Q,(0+J {*,(/, tJQjW + k2(t, т)Щт)} ds = f(t)- (21)

L

t, (,. t) ds - .AJ ') +

™“>i(ei) L Лі — Si Є, (1 — Є1Л2) J I b(t) Г lidTi n,a(T)di2

(?i) L gi (! Si Пі,

i) Si(l—Є1Л2)

_______1 Г Д W dr2 ^ (— 1)Лп26(т) dxj\

".“2(62) L ’'г — S2 S2 С1 — 52Лг) J

Ь (t r)dc~ a(t) Г /Лі І П’^Т"2 1 -2(’ ; w(Sl)LSl(Slri,-i) + Si(i-e,4’oJ

b(t)

Г _|_ (~ ')A”i*(T) ^та1 _ L Лі —Si Si(1— S1TI2) J

ra ші (її)

_______1____Г (— l)Aft(T)dr2 l2dx 1_______n2 a(t) di2 1

«“2(52) L Лг — Єг €2 (l —Є2Л1) Є2 (l — ЕгЛг)]

№ = 2 {AF(t)-а(0Ф?(/,) -ь(t) Ф?(*,) - Ф®(<2)} ;

5 О.МА^О, (/= 1, N-1). (22)

гч

Используя, как это сделано в [13, 14], квадратурные формулы Гаусса-Чебышева для интегралов по Г,' и формулы прямоугольников для интегралов по Ге, сводим решение системы интегральных уравнений (21), (22) к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно приближенных значений искомых функций Я((/) в узловых точках.

Если значения Я^) в узлах определены, то с помощью потенциалов

(20) и формул работы [14] находим распределение напряжений в пластине, коэффициенты интенсивности напряжений отрыва и сдвига

К\ = Нш ап л/2яг, /С„ = Игл т„л/2яг

(-*-С 1-*-С

в вершине с трещины (г = — с| , с — точка, лежащая на продолжении

трещины за конец «с» по касательной).

Если трещина Г,р выходит концом ар на контур отверстия А, то условие (22) при /' = р нужно отбросить, а потенциалы (20) и интегральные уравнения (21) уточнить известным образом [14].

При отсутствии трещин (N=1) (19) — (22) дают решение задачи о конечной пластине с эллиптическим отверстием или прямолинейной трещиной (6 = 0 или а = 0).

В случае симметрии задачи относительно оси х, у или осей х и у количество линейных алгебраических уравнений, к которым сводится система интегральных уравнений задачи, можно уменьшить, соответственно, вдвое или вчетверо.

Рассмотрим алгоритм решения задачи, расчетная модель которой содержит интегральные элементы.

1. После задания исходных данных о расчетной модели, которая может состоять из элементов различного типа, осуществляется формирование матрицы системы уравнений, состоящей из матриц жесткости отдельных элементов. Матрицы жесткости изопараметрических элементов на основе данных о топологии, геометрии и физических свойств материала вычисляются обычным образом. При формировании матрицы жесткости интегрального элемента необходим дополнительная информация о его внутренней структуре. В нашем частном случае элемента с эллиптическим отверстием и системой прямолинейных трещин к такой информации относятся координаты центра и полуоси эллиптического отверстия, количество трещин, их тип (выходит на контур отверстия или нет), полудлина, координаты вершины, угол наклона трещины и т. п. На основе этих данных, формируется расчетная модель внутренней задачи, которая решается методом ГИУ. Для формирования матриц [Н], [Ц и, следовательно, [К] необходимо вычислить значения подынтегральных выражений (12), (13) в точках интегрирования. Назначаются точки интегрирования (например, для метода интегрирования Гаусса достаточно 3—4 точки на ребре границы с одним промежуточным узлом) и выбирается число М внутренних параметров элемента, для плоской задачи удовлетворяющее известному соотношению

М > 2т — 3

связывающему число степеней свободы элемента (2т), число его степеней свободы как твердого тела (3) и число внтуренних параметров (М). Затем, согласно (18), строится последовательность М внешних усилий Т, которые формируют правые части системы уравнений метода ГИУ.

Например, для элемента с 8 узлами необходимо не менее 13 типов внешних усилий, и последовательность (18) можно продолжить следующим образом (12):

ф6 = (5х2у3 — у5)/60, охх = х, оуу = 0, оху = — у,

ф7 = (5х3у2 — х5)/60, охх = 0, Оуу = у, оху = — х;

ф8 = (хьу — хуъ)/60, охх = — у2, Оуу = х2, оху = 0;

ф9 = (3х5у — 10х3у3 + Злгг/5)/180, охх = у2 — х2, оуу = х2 — у2, оху = 2ху\

фю = (15*У — 2х6 — у6)/360, охх = 0, Оуу = 2ху, оху = — х2; фп = (15*У — 2у6 — *6)/360, охх = 21у, Оуу = 0, оху = - у2;

Ф12 = (2х7 — 21 х5у2 + 7хуб)/840, охх = у3 оуу = — 3х2у, оху = х3\

ф!з = (2у7 — 2\х2у5 + 7х6г/)/840, охх = — 3ху2, оуу = х3, оху = у3.

В результате решения системы уравнений ГИУ определяется М векторов обобщенных неизвестных — значений функции ^2l(^) в узлах

сети ГИУ, с помощью которых вычисляются компоненты (20) и компоненты напряжений и перемещений в любой точке области Я. Таким образом, для заданных координат точек интегрирования на основе полученных М векторов обобщенных неизвестных можно сформировать М столбцов матриц [Б], [11] и, следовательно, [Т], вычислив их значения в точках интегрирования, провести численное интегрирование матриц [Н] и [Ь]. Сформированная на основе (15) матрица [К] интегрального элемента заносится в общую матрицу системы уравнений конечно-элементной модели в целом.

І 1 І і III N

Рис. 2

2. Решается система уравнений метода конечных элементов в перемещениях для заданных величин нагрузок при соответствующих кинематических ограничениях. Результатом является вектор обобщенных перемещений узлов расчетной модели.

3. Для интегральных конечных элементов через обобщенные перемещения узлов элемента определяются значения внутренних параметров (14) и компоненты напряжений и перемещений (8), (9) в интересующих точках области £2, в том числе на контуре отверстия, а также коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах трещин.

В качестве тестового примера рассмотрим прямоугольную пластину шириной 2 ИР, длиной 2Н с расположением в центре пластины круговым отверстием радиуса Я. Область смоделируем одним восьмиузловым интегральным элементом с четырьмя ребрами по три узла на каждом ребре (рис. 2). Рассмотрим случай, когда на границе области действуют растягивающие напряжения о£ и о° = Ка у.

В таблице приведены результаты расчета для X = 0 и к = 1 в виде

Р{1/Н) =

К,

для случая двух одинаковых трещин длиной Ь, расположенных у отверстия. Полученные результаты сравниваются с результатами, полученными другими авторами [16—19]. Для случая №/Я= 10, #/№= 1 результаты Сравниваются с данными работы [16], полученными для бесконечной области.

/.//? ЧГ/Я Н/Ф = ю, = 1 Г//? = 4, Я/й? = 2 = 2, Н/У'= 2

Х = 0 X = 1 Х = 0 А.= 1 >. = 0 к= 1

2.462 1.858 2.683 1.898 3.727 2.259 *)

2.41 1.83 — — — — [16]

0.2 — — 2.641 — 3.682 — [171

— — 2.712 — 3.72 — [18]

— — 2.661 2.109 3.790 3.329 [19]

2.028 1.665 2.241 1.739 3.438 2.441 *)

1.96 1.61 — — — — [16]

0.4 — — 2.203 — 3.413 — [17]

— — 2.23 — 3.35 — [18]

— — 2.207 1.900 3.456 3.276 [19]

1.794 1.555 2.018 1.660 3.485 2.801 *)

0.6 1.71 1.52 — — — — [16]

— — 1.986 — — — [17]

— — 1.98 — — — [18]

— — 1.973 1.788 — — [19]

1.564 1.438 1.847 1.622 _ _ *)

1.0 1.45 1.38 — — — — [16]

— — 1.817 — — — [17]

— — 1.81 — — — [18]

— — 1.789 1.711 — — [19]

Предлагаемый элемент

Заметим, что при формировании матрицы жесткости интегрального эле-мента интегрирование проводилось по 4 точкам на каждом ребре. При решении методом ГИУ внутренней задачи, каждое ребро внешней границы и каждая трещина аппроксимировалась 8 узлами.

ЛИТЕРАТУРА

1. Pi an Т. Н. Н., Tong P. Basis of finite element methods for solid

continue.— Int. J. Num. Meth. Engng. 1, 1969.

2. T о n g P. New displacement hybrid finite element model for solid

continua. — Int. J. Num. Meth. Engng., 2, 1970.

3. T о n g P., P i a n Т. H. H., Lasry S. J. A hybrid-element approach

for crack problems in plane elasticity. — Int. J. Num. Meth. Eng., 7, 1973.

4. Robinson J. Stress elements with holes. — Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 11, 1977.

5. Orringer O., Stalk G. A hybrid finite element of stress analysis of fastener details. — Engineering Fracture Mechanics, 8, 1976.

6. Rhee H. C., Atluri S. N. Hybrid stress finite element analysis

of bending of a plate with a through flaw.— Int. J. Num. Meth. Eng.,

18, 1982.

7. Pi an Т. H. H., Chen D., Kang D. A new formulation of hybrid/mixed finite element.—Computer and Structures, 1983, vol. 16, 1—4.

8. T i г о u s e k J., G u e x L. The hybrid treffts finite element model and its application to plate bending.— Int. J. Num. Meth. Eng., 23, 1986.

9. P i I t n e r R. Special finite elements with holes and internal cracks. — Int. J. Num. Meth. Eng., 21, 1985.

10. Погодина H. С., Чубань В. Д. Специализированный гибридный конечный элемент для расчета многоорезных соединений в двумерной постановке. — Ученые записки ЦАГИ, 1986, т. 18, № 5.

11. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. — М.: Мир, 1987.

12. Доннел Л. Г. Балки, пластины и, оболочки. — М.: Наука, 1982.

13. М а к с и м е и к о В. Н., Павшок В. Н., Хан Ю. Н., Ценд-ровский А. В. Влияние подкрепляющегося набора на развитие трещин у отверстия в конечной анизотропной пластине. — Труды XVI Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. Т. 2. — Изд-во Тбил. ун-та, 1987.

14. М а к с и м е н к о В. Н. Влияние подкрепляющих элементов на развитие трещин у отверстия в пластине. — Прикладная механика, 1988, т. 24, II.

15. Л е х н и ц к и й С. Г. Анизотропные пластинки. — М.: Гостехиздат,

1957.

16. В о w i е О. L. Analysis of an infinite plate containing radial cracks originating from the boundary of an internal circular hole. — T. Math. Phys. 35, 1956.

17. Newman Т. C. An improved method of collocation for the stress analysis of cracked plates with warious shaped boundaries. — NASA TN D-6376, 1971.

18. T a d a H„ Paris P. C., Irwin G. R. The stress analysis of cracks handbook. — Del Research Corporation, Hellertown, Pensylvania, 1973.

19. Xiao S. Т., Brown M. W., Miller K. J. Stress intensity factors for cracks in natched finite plates subjected to biaxial loading. — Fatigue Fract. Eng., Mater. Struct., vol. 8, N 4, 1985.

20. Галл агер П. Метод конечных элементов: основы. — М.: Мир,

1984.

Рукопись поступила 23/VI 1989 г.