Специализированный гибридный конечный элемент для расчета многосрезных соединений в двумерной постановке Текст научной статьи по специальности «Физика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XVII 19 8 6

М 5

УДК 539.4:013.3:624.023

СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ гибридный конечный ЭЛЕМЕНТ ДЛЯ РАСЧЕТА МНОГОСРЕЗНЫХ СОЕДИНЕНИЙ В ДВУМЕРНОЙ ПОСТАНОВКЕ

Н. С. Погодина, В. Д. Чубань

Рассматривается новый тип гибридного конечного элемента, моделирующего совместные деформации болта и прилегающей окрестности листа в двумерной постановке. Принимается набор гипотез, позволяющий сформулировать специализированный гибридный элемент с лагранжевой аппроксимацией поля перемещений вдоль внешней границы элемента, что позволяет легко включать этот гЭлемент в ансамбль изопараметрических элементов. Наличие цилиндрического болта, контактирующего с листом по раствору угла 180°, учитывается дополнительным полем напряжений.

Для нахождения величин и направлений действия сил взаимодействия болтов с листами строится итерационный процесс последовательных приближений.

Применение элемента иллюстрируется на решении простой задачи о распределении усилий в двусрезном соединении.

В [1] были предложены теоретические принципы построения новых типов конечных элементов, получивших название гибридных. Эти элементы занимают промежуточное положение между классическими, основанными на методе сил и методе перемещений.

Соответствующий вариационный принцип для плоской задачи теории упругости

J =----]-h j" Сф-,5 а*? ais dQ -f h J з*!3 щ uadF,

^ 2 Г

где ил — заданное поле перемещений на границе элемента Г,

о“Р — заданное равновесное поле напряжений внутри области Q, позволяет строить специализированные конечные элементы с полем напряжений о“Р, удовлетворяющим заданным условиям.

Этот подход успешно применялся для разработки конечных элементов, содержащих трещину [2], свободное отверстие [3], нагруженное отверстие [4].

Использование этих элементов по сравнению с общепринятыми, базирующимися на предположениях о простых полях пере-

мещений и напряжений [5], позволяет в задачах местной прочности с указанными концентраторами напряжений достичь высокого уровня эффективности вычислений за счет изменения сразу нескольких критических параметров, связанных с применением метода конечных элементов (МКЭ):

— уменьшение числа конечных элементов;

— уменьшение числа обобщенных степеней свободы;

— увеличение точности расчетов, особенно в зонах больших градиентов напряжений.

Попытки применения МКЭ к решению задачи о распределении усилий в многосрезных соединениях [6, 7] первоначально опирались на следующие основные гипотезы:

1) работа соединения рассматривается в двумерной постановке в предположениях линейной теории упругости;

2) наличие крепежного элемента — болта —моделируется сосредоточенной изотропной упругой связью заданной жесткости, соединяющей соосные точки листов соединения.

Практическое применение этого подхода показало определенные трудности, связанные с внутренним противоречием гипотезы 2), поскольку неограниченное сгущение сетки в зоне болта приводит к неограниченному увеличению податливости болтового соединения* .

Гибридная постановка позволяет создать специализированный конечный элемент для расчета многосрезных соединений, базирующийся на новой, более корректной совокупности гипотез:

I) совпадает с гипотезой 1,

II) попёречное сечение болта остается неизменным в процессе нагружения, так что сечение болта по толщине листа можно заменять абсолютно жестким диском;

III) взаимодействие болта с листом (рис. 1) осуществляется без тангенциальных сил трения, для нормальных сил справедлив закон „косинуса":

* Это связано с тем обстоятельством, что сосредоточенная сила, приложен-

/

Ог? (Г, <Р) |Г=Л = 0, 9 00, 2тс],

о,г(Г, <р)|,=я =

ная к точке листа, дает особенность О

полю перемещений.

104

по полю напряжений и О (1п г) по

где 0 — угол направления действия силы надавливания болта на лист; Рь — величина силы надавливания; Л — толщина листа; /?— радиус отверстия; Г2 —часть контура отверстия, на которой про-, исходит надавливание болта на лист.

Отметим, что в случае статически неопределимой задачи распределение величин сил Ре и углов их действия 9 для многоболтового многосрезного соединения неизвестно. В делом эта задача является нелинейной.

Следуя общей схеме [1] построения гибридных элементов, введем в рассмотрение следующие поля перемещений и напряжений.

Аппроксимация поля перемещений по внешней границе элемента Г! выбирается в виде

где (£) — функции формы конечно-элементной аппроксимации границы полиномы Лагранжа; и*. — перемещения узлов границы; N—число узлов элемента.

Аппроксимация (2) должна быть совместной с прилегающими конечными элементами.

Аппроксимация поля перемещений по части внутренней границы элемента Г2 выбирается в виде (в силу гипотезы II)

где —перемещения центра жесткого диска в плоскости листа.

Законы аппроксимации для поля перемещений на внешней границе Г, и на части внутренней границы Г2 можно представить в матричном виде

где Ьх, — интерполирующие матрицы, иг—лектор перемещений узлов на внешней границе элемента, и2 — вектор перемещений центрального узла элемента.

Аппроксимация равновесного поля напряжений в О выбирается путем удержания конечного числа первых М — 1 членов рядов о“Р, а“Р (см. Приложение) и может быть представлена в матричном виде

где сг — вектор напряжений, составленный из компонент тензора напряжений а“Р; 5 — ЗХ-М — матрица, составленная из первых членов рядов (столбцы с 1 по М — 1) и конечных сумм М — 1 членов рядов (столбец М); §т = [р15 р2, ..., $м_ 1, Р0] — вектор внут-

ренних параметров элемента, составленный из неопределенных

(2)

ряда о||Р (компоненты с

1 по

коэффициентов при первых членах М — 1) и значения силы Ре.

Подчеркнем, что параметр 6, который входит в выражение для матрицы 5, рассматривается как внешний и уточняется в ходе итерационного процесса.

Матрица жесткости конечного элемента получается в виде [И

к= от Я-1 в,

где

С =

1

Е

1 —

• V

О

1 (ад о“

о

2(1 +»)

(3)

(4)

о

я2

п2

«1

— матрица упругих коэффициентов для изотропного материала, Е — модуль упругости, V — коэффициент Пуассона;

— матрица внешней нормали к границе Г1 или Г2.

Численное квадратурным границ Г! и Г2

интегрирование выражений (4) осуществляется по формулам Гаусса с предварительным разбиением на криволинейные отрезки и области 2 на четырехугольные подобласти.

Полученная матрица жесткости (3) вырождена четыре раза: три раза по условиям движения твердого тела и один раз по смещению центрального узла в направлении 0 + -^-. Последний факт

связан с тем обстоятельством, что контактные напряжения (1) не совершают работу при поперечных смещениях центрального узла. Это дополнительное вырождение можно устранить путем введения дополнительной жесткости для центрального узла в направлении

0 + :

Ал, (•

+ *(К|. I + К1+1,1+1)

э1п2 0

1 Кг+1, /+1_

— вш 20

1_ 2

э1п 20 соэ2©

где *— малый параметр, х~10—5; г, г+1—номера степеней свободы центрального узла в направлениях х и у соответственно.

Величина * должна быть малой, чтобы возмущение жесткости было мало, и одновременно она не должна быть слишком малой относительно разрядной сетки ЭВМ. Для вычислений с двойной точностью оптимальным является значение х=10-5. Для одинарной точности можно рекомендовать выбор х=10—Л

Физически приведенная коррекция соответствует введению для

центрального узла дополнительной связи в направлении 0 +

жесткостью в х раз меньшей, чем жесткость этого узла в направлении 6.

Внутренние параметры элемента определены [1]

после того, как решена прямая задача и стали известны перемещения узлов элемента

Отметим, что М — размерность вектора должна удовлетворять условию М^-Б — 3, где И — размерность вектора и. Увеличение размерности М способствует повышению точности аппроксимации поля напряжений внутри элемента, но требует большего объема памяти и времени построения матрицы жесткости.

Конечно-элементная идеализация многоерезного болтового соединения создается при помощи описанного элемента в комбинации с обычными изопараметрическими элементами (рис. 2). Если все центральные узлы, относящиеся к одному болту, имеют общий

номер, то такая модель соответствует гипотезе абсолютно жесткого болта. Можно при создании конечно-элементной модели центральные узлы соединять через переходный элемент, моделирующий изотропную сосредоточенную жесткость болта, учитывая тем самым приближенно влияние сдвига, изгиба и поворота болта на работу многосрезного соединения.

Итерационная схема решения задачи состоит из следующих этапов:

1. Подготавливаются конечно-элементная идеализация, вектора нагрузок и кинематические граничные условия.

2. Задается начальное приближение углов 6 для всех гибридных конечных элементов с центральными узлами.

3. Осуществляется прямое решение задачи, при этом матрицы жесткости гибридных конечных элементов строятся с учетом текущих значений углов 0.

4. Для каждого гибридного элемента определяются значения компонент силы, действующей на центральный узел:

Рис. 2

где Рх, Ру — значения компонент вектора сил Р = КЧ для центрального узла.

Если для всех элементов выполняются соотношения

<е*| А |,

(5)

где е ж Ю"-3 — малый параметр, то осуществляется выход из итерационного процесса, что соответствует совпадению равнодействующих сил контактных усилий (1) и внешних сил, действующих на центральные узлы со стороны других элементов.

Иначе для элементов, в которых условия (5) не выполняются, вводится новое значение угла

Далее переходим к пункту 3.

Применение элемента. Описанный специализированный гибридный конечный элемент был включен в библиотеку конечных элементов Многоцелевой Автоматизированной Расчетной Системы (МАРС). Ниже обсуждаются некоторые результаты численных экспериментов, проведенных с использованием этого элемента.

На рис. 3 представлены результаты расчета квадратного листа толщины /г со стороной \Ш, защемленного по периметру, с отверстием диаметра На лист от болта действует сила Р в направлении оси л:. Показаны эпюры напряжений, возникающих на контуре отверстия и на окружности диаметром 2с?. Напряжения построены в относительных значениях — оар /осм, где напряжения

Как и следовало ожидать, распределение контактных усилий на контуре отверстия полностью соответствует распределению (1). Конечно-элементная модель для этой задачи состояла из одного специализированного конечного элемента.

На рис. 4, а показан простой пример двухболтового двусрезного соединения, моделирующего работу листа с двумя симметричными накладками. Основные параметры конструкции: с1 — диаметр болтов, 2Л2 — толщина накладки и листа соответственно, а — ширина листа и накладки, а = Ъй, Ь — расстояние между болтами.

Исследовалось включение накладки в работу соединения при его растяжении продольной силой 2Р. На рис. 4, б показаны эпюры распределения продольных нормальных напряжений = где °о = Р/(аЬ2), возникающих в листе при й1 = 2Л2, Ь = 10й. На рис. 4, в показаны аналогичные эпюры напряжений, возникающих в накладке. Можно отметить хорошее выполнение граничных условий на контуре отверстия и внешних границах.

На рис. 5 показано изменение силы Рн, воспринимаемой накладкой, в зависимости от расстояния между болтами. Видно, что

если Ре > 0;

6

ТГ

если Рв = 0, Р К фо.

~2

2 ’

Рис.

при расстоянии между болтами влияние накладки на пере-

распределение сил незначительно.

Отметим, что эта задача с учетом плоскостей симметрии моделировалась очень простой конечно-элементной схемой, состоящей всего из трех конечных элементов: из специализированного гибридного конечного элемента (накладка) и специализированного и изопараметрического конечного элемента (лист). При применении обычных конечных элементов, обеспечивающих ту же точность определения распределения напряжений, потребовалась бы сложная модель, включающая сотни конечных элементов.

В заключение подчеркнем, что создание специализированных конечных элементов, учитывающих локальные особенности местного или общего напряженного состояния агрегатов и элементов авиационных конструкций, может существенно повысить эффективность применения автоматизированных систем, базирующихся на МКЭ.

Основой для широкого введения подобных элементов в автоматизированные системы являются два фактора:

— появление новых, связанных с развитием МКЭ вариационных принципов в механике упругого тела, в том числе различных гибридных и смешанных формулировок-

— наличие большого числа классических, хорошо разработанных методов решения в аналитической форме задач о локальных особенностях напряженно-деформированного состояния, в том числе аппарат ТФКП, метод функций напряжений Эри, метод граничных интегральных уравнений и др.

Можно надеяться, что развитие этого направления в МКЭ уже в ближайшее время приведет к созданию библиотеки специализированных конечных элементов, достаточно полно удовлетворяющей требованиям создания эффективных и точных конечно-эле-ментных моделей авиационных конструкций.

Для определения равновесного лоля напряжений в области 2 (см. рис. 1) методами ТФКП [8] решается задача в следующей постановке:

где ла — внешняя нормаль к контуру отверстия, рР — значения контактных усилий на границе Г2.

На внешней границе области граничные условия не определены. Контактные усилия на контуре отверстия выражаются в виде распределения (1)

ПРИЛОЖЕНИЕ

= 0 — уравнения равновесия в Области й; а“^ иа = р® —граничные условия II рода на части границы Г2,

(6)

Р*=АР» Р = 1, 2,

где

Ре (?) =

Ре(?) = °> [0. 2”].

— значение силы взаимодействия листа с болтом по направлению 6.

Поскольку граничные условия на внешней границе и значение коэффициента Р9 не определены, решение задачи (6) получается в виде ряда с неопределенными коэффициентами. Решение может быть представлено в виде

0“Р (г, ?) = °$(г. <р) + а^(г, <р) рв,

(7)

где — ряд с неопределенными коэффициентами, дающий общее решение задачи для ненагруженного отверстия; о$— ряд с известными коэффициентами, дающий частное решение задачи (6) для нагруженного отверстия.

Выражения для ряда записываются для физических компонент тензора напряжений в полярной системе координат (1 — направление г, 2— направление <р) в виде

«о1 = Р1 (1 - + ?а[г-~}г)405 ф (г _ тг)5|п ф +

+ 2 {?4л—4 (Г) С0* + ?4л-3 Вл (О с0!3 И) + К-2Лп (г) 81п(иф) +

+ Р4л-1 ВП (г) ЯШ (иф)};

л=2

'о* - М 1 + г2 )'+ Ра ( Зг + гг

сое ф + Рз + ■

гЗ

+ 2 ^4л-4 А2п (г) сов Н) + Ьп-З В*п (г) с08 («Ф) + К-2 А% (г) (яф) +

п = 2

+ кп-1 в2*{г)$ 1'п («+)};

00

з1п ф — % (г — сое ф + 2 { ^4л—4 К3 (г) ИО +

п = 2

+ Р4Л-3В^ (Г) в‘п И) - ?4п-2 (Г) С0!; (ЯФ) - р4«-1 С05 И»,

12,

где

А" (г) = - Гп~2 — -£-±Д_ + п + 2 - •

ф = <р -+1 г«+2

(8)

(я — 1)(я + 2)

Л22 (г) = г" 2 +

я /-п+2

л-2 , я + 1 я — 2

яг‘

,-п 'Г^ ,-я

р22 /гч _ Я + 2 г„ ^ я (и — 1)(я - 2) . я ' гп+2 яг»

412 /гч _ п-2 Я+1 , Я

я у) - Г

+

гп + 2 гл

(г) = Гл - —+ ” 1

о

.22

в

а,(1 - v)

4

Ml — •»

1 \ П I 1 1 \

тг)sin+ + Z й« т )sin (яф)>

где

4 1

и = 2, 4, ...

О, и = 3, 5, ...

Непосредственной подстановко'й (8) и (9) в (7) и далее в (6) можно убедиться в правильности приведенных выражений.

1. Pi ап Т. Н. Н., Tong P. Basis of finite element methods for solid continue. — Int. J. Num. Meth. Engng. 1, 1969.

2. Labry S. J., Pi an Т. H. H., Tong P. ’A hubrid element approach to crack problems in plane elasticity’. — Int. J. Num. Meth. Engng, 7, 1973.

3. Robinson J. Stress elements with holes. — Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 11. 1977.

4. О r r i n g e г O., S t a 1 k G. A hubrid finite element of stress analysis of fastener details. — Engineering fracture Mechanics. 1976, 8.

5. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. — М.; Мир, 1975.

6. Кудряшов А. Б., Чубань В. Д., Шевченко Ю. А. Применение метода конечного элемента к расчету болтовых и заклепочных соединений. — Ученые записки ЦАГИ, 1974, т. V, № 5.

7. Галкина Н. С., Гришин В. И. Приближенный расчет коэффициента концентрации напряжений в соединениях авиационных конструкций. — Ученые записки ЦАГИ, 1983, т. XIV, № 1.

8. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. — М.: Наука, 1966.

ЛИТЕРАТУРА

Рукопись поступила 10\ VI 1985 г.