Метод расчета коэффициентов интенсивности напряжений в элементах конструкций с криволинейными трещинами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIV 1983

№ 2

УДК 629.735.33.015.4.023

МЕТОД РАСЧЕТА КОЭФФИЦИЕНТОВ ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ В ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИЙ С КРИВОЛИНЕЙНЫМИ ТРЕЩИНАМИ

В. И. Гришин, В. Ю. Донченко

Предлагается энергетический метод определения коэффициентов интенсивности напряжений в тонкостенных конструкциях с многоочаговыми криволинейными трещинами. Исследуется точность метода и приводятся примеры расчета коэффициентов интенсивности и траекторий трещин, полученные с помощью специализированного комплекса программ ФИТИНГ.

Повреждения тонкостенных элементов авиационных конструкций, представляющие собой сквозные трещины, являются, как правило, следствием условий эксплуатации или несовершенства технологического процесса.

Задача определения прочности при наличии трещин в настоящее время сводится к решению вопросов, связанных с развитием повреждений и установлением их критических размеров, что возможно лишь с привлечением активно развивающейся в последние годы механики хрупкого разрушения [1]. Основными расчетными характеристиками в механике разрушения являются коэффициенты интенсивности напряжений, контролирующие асимптотический характер распределения напряжений в вершины трещины и используемые в критериях как развития трещин, так и оценки остаточной прочности поврежденной конструкции. Определение коэффициентов интенсивности для реальных деталей с произвольными трещинами является сложной математической проблемой.

Аналитические решения получены для простейших случаев, пригодных лишь на стадиях раннего проектирования. Однако для поверочных расчетов, связанных с поиском рациональных ремонтных вариантов, необходимо применять численные методы расчета, учитывающие особенности реальной геометрии разнообразных элементов конструкций, в частности, соединений, при произвольном сложном нагружении. Эффективным методом решения задач механики деформируемого тела в настоящее время является метод конечных элементов (МКЭ), который позволяет наиболее полно учесть как

геометрические и механические особенности конструкции, так и произвольные статические и кинематические граничные условия. В данной работе предлагается метод расчета коэффициентов интенсивности напряжений, реализованный в специализированном комплексе программ ФИТИНГ, предназначенном для расчета местной прочности элементов авиационных конструкций.

Методы определения коэффициентов интенсивности с помощью МКЭ можно разделить на прямые методы, метод специальных конечных элементов и энергетические методы [1]. Прямые методы [2] опираются на сравнение решений МКЭ с сингулярными формулами, описывающими распределение компонента перемещений в области вершины трещины. Естественно, что при этом необходимо хорошо' моделировать характер напряжений в районе трещины, а следовательно, применять конечные элементы повышенной точности со значительным их дроблением в окрестности вершины трещины.

Вторая группа методов, использующих специальные конечные элементы, учитывающие сингулярный характер в распределении напряжений [3], имеет преимущества по сравнению с прямыми методами по точности решений,однако недостатки, связанные с перестройкой расчетных дискретных схем неповрежденных конструкций для моделирования в них трещин, слишком значительны, чтобы использовать эти методы в практических расчетах. Наибольшее распространение в вычислительной практике получили энергетические методы, а именно—метод податливости [4]. Энергетические методы основаны на использовании зависимости между производной потенциальной энергии тела V/ по длине трещины и интенсивностью энергии освобождения О и позволяют получать достаточную для практики точность решения на относительно грубых сетках.

Запишем выражение потока энергии в вершину криволинейной трещины 5 при ее росте под углом 0 к направлению кончика [5]:

0 =—17 “ -^[(*1 +КнНовв-2^1 ап 8], (1>

о5 Е\

где Е1 = Е—модуль упругости в случае плоского напряженного состояния и Ех = Е/( 1 —V) в условиях плоской деформации; К\ и Ки— коэффициенты интенсивности соответственно при отрыве и сдвиге берегов трещины.

Применяя обозначения метода конечных элементов, запишем величину полной потенциальной энергии [5]

и7^2-{й}т[К]{8}_{3)т{/?}, (2>

где {8} — вектор перемещений узлов конечно-элементной модели,. [К]—матрица жесткости конструкции.

Для случая нормального отрыва (Ки — 0, 5 = /) из выражений (1) и (2) с учетом уравнения равновесия

[К] {3} = {/?} (3).

получим определяющее уравнение метода податливости

= (4>

Недостаток данного метода, как видно из (4), заключается в

необходимости вычисления Производной от узловых смещений, ЧТО'

приводит как минимум к двукратному определению вектора перемещений узлов при ИСХОДНОМ (/) И НОВОМ (/+д/) состояниях вершины трещины.

Другим энергетическим методом, в котором исключается Повторный поиск вектора перемещений, является метод виртуального роста трещины, предложенный в [7] для решения симметричных задач (/Си = 0).

Используя выражение (2) с учетом уравнения равновесия (3), можно получить

=т*г(ДО (81 - ) + ~г ^ I5) = + !8); (5>

/У

//

/у

\

чЛ

- И ~\\

/

//

ч\

—■ а Л

а] б)

здесь _ производная матрицы жесткости при увеличении трещины под углом б к исходной траектории.

Из сравнения (1) и (5) следует

-к(*1+Яп)со8 0-2*, Ки вше] =-4- {§} • (6)

Е 5 2 (/о

Очевидно, что из (6) можно получить значения К] и Ки, записывая это выражение для двух виртуальных, а не действительных положений кончика трещины при известном деформируемом состоянии конструкции, характеризуемом вектором (2}. Способы реализации метода могут быть разными. При наличии элементов с переменным количеством узлов [4], например, изопараметрических, которые могут вырождаться в треугольные, эта схема показана на рис. 1, а и б’. Для сеток, состоящих из простейших треугольных и четырехугольных элементов, можно предложить следующие варианты продвижения трещины: вначале сместить вершину вдоль траектории на величину с!1 (рис. 1, в) и из (6), полагая 0 — 0, получить первое уравнение

К\ + К\\ =- 41 (3}т > (7>

1 01ь = о

а затем отклонить вершин}^ исходной трещины на угол

(рис. 1,2).

При отклонении вершины исходной трещины Д5 на угол с16 (рис. 1, г) из выражения (1) нетрудно найти приращение потенцаль-ной энергии

Приравнивая это выражение приращению потенциальной энергии, вытекающему из (5)

(здесь д [/С]е=д в — изменение матрицы жесткости при сдвиге вершины трещины Д 5 на угол йб), получим

и решая систему уравнения (7) и (8) относительно неизвестных К\ и Л'п, получим

Зная К\ и Км, можно найти направление дальнейшего распространения трещины согласно критерию максимального потока выделения упругой энергии, предложенному Г. П. Черепановым [5]:

Приведенная методика определения коэффициентов интенсивности напряжений криволинейных трещин реализована в специализированном комплексе программ ФИТИНГ (СКП ФИТИНГ). В комплексе применяется метод конечных элементов в перемещениях в сочетании с методом подконструкций. Развитая библиотека одномерных, двумерных и объемных конечных элементов позволяет решать задачи поиска напряженного состояния с учетом деформационной теории пластичности. Комплекс представляет собой совокупность отдельных сервисных программ и рабочих модулей, написанных на языке ФОРТРАН-4. Обмен информации между модулями происходит через общий банк данных, что позволяет вести раздельный счет задач и в значительной степени обеспечивает устойчивость против сбоев ЭВМ. Мобильность комплекса, его простота и удобство в эксплуатации определяются наличием двух режимов работы: пакетного и диалогового „человек — ЭВМ“, возможностью вывода информации на графический дисплей и графопостроители.

Для удобства реализации метода виртуального роста трещины в рамках специализированного комплекса разработан новый тип обобщенного конечного элемента, учитывающего геометрию вершины трещины и позволяющего ей в ходе решения продвигаться на (И и разворачиваться на <1Ь. Наличие этого элемента позволяет

(с1№в=<1 в - <ДГ0=о) Д 5 = 2Кг Ки <16 .

Д {3}т д[АГ]9=де {§}

(8)

Вводя обозначения

(9)

(10)

довольно просто получить величину изменения матрицы жесткости всей конструкции, содержащей трещину, так как он включает в себя все узлы, окружающие вершину, коэффициенты жесткости которых меняются при продвижении трещины. Учитывая, что остальные коэффициенты остаются постоянными и их разность равна нулю, изменение матрицы жесткости конструкции при продвижении трещины можно записать, как

д [К] = [К], - [Кк = [КЦ-3 - [К\1 \ (И)

где[АГ]°'э — матрица жесткости обобщенного элемента— полу-длина трещины.

Производную матрицу жесткости по й1 запишем в виде

ад а [/С]°-э [К]?;э-[^,э

д1 М к-к

Аналогичным образом записывается производная матрицы жесткости по с? 6

а [/С] Д[К]°-Э [к]е°;э-[к]е°;э 13

д 0 Д 0 01 - 02 '

Очевидно, что для уменьшения вычислительных погрешностей, обусловленных заменой выражений (7) и (8) соответствующими им разностными (12) и (13), необходимо, чтобы Д / и Дб были малыми величинами и, кроме того, выполнялось условие Д 5 С/, которое подразумевалось при выводе уравнения (8).

Перемещения для узлов обобщенного элемента выбираются из расчета деформированного состояния поврежденной конструкции. Используя (12) и (13) и значения перемещений, с помощью (1) определяется величина интенсивности освобождения упругой энергии, выделяющейся при продвижении трещины, и затем согласно (9) вычисляются коэффициенты интенсивности напряжений. По выражению (10) определяется направление движения трещины.

Алгоритм определения траектории движения трещины, реализованный в СКП-ФИТИНГ, основан на следующих допущениях:

— трещина и ее траектория могут проходить только по границе двух подконструкций;

— подконструкции в области предполагаемого движения трещины связаны между собой практически абсолютно жесткими но отношению к материалу конструкции связями;

— движение трещины осуществляется путем обрыва связей вдоль ее траектории;

— условие движения записывается в виде | б -)•- бк |<р, где б — угол между направлением кончика трещины и направлением траектории с максимальной интенсивностью освобождения энергии; бк — угол между направлением кончика трещины и дальнейшей возможной траекторией; р — максимально допускаемая ошибка по углу при движении.

Остановка движения происходит в одном из трех случаев:

— ошибка по углу превысила допускаемую,

— коэффициент интенсивности или интенсивность освобождения энергии превысила критические значения,

— трещина дошла до конца указанной траектории.

При вводе дополнительных данных существует возможность учета пластической поправки Ирвина при определении коэффициентов интенсивности, а также оценке скорости роста трещины

при пульсирующем нагружении согласно эмпирической зависимости Формана.

В таблице приводится сравнение коэффициента интенсивности К\ задачи о растяжении прямоугольной пластины а X 6 = 20x15, имеющей центральную трещину длиной 21, с аналитическим реше-

6

и . . 0,1 і 0,2 і 03 1/6 -I

1/Ь к і б/т ?, ГЛ> нД1б VпТ 1г (%/

Тени и я Var.4e.rn Теапия Расчет

0,1 о,п 0,65 12,3 0,36 0,31 13,9

0,2 0,79 0,70 11,к 0,1/0 0,3 к 15,0

V» 1,00 0,90 10,0 0,50 ОЬЗ иі,о

Рис. 2

т.Д т.В т. С тП

6\,Н мм2 Ц9 25,1 18,8

тА-место наиболее Вероятного появлении трещины

Зона %

Д а\1 *1 К\ к\-к\ к; х хюо%

0,1 4,49 4,34 3,2

0,05 4,49 4,44 1.1

0,025 4,49 4,50 -0,2

У і бу=8//г/мм

- Направление дальнейшего распространения трещины \

-------экспериментальная траентория трещины

а---— расчетная траектория трещины

\ 46'--ЮН/ммг

Рис. 4

нием Kl [5j. Шаг сетки Дав окрестности вершины трещины варьировался Да// = 0,1 ч-0,025, величина приращения трещины Д/ принималась 0,1. Как видно из таблицы, значения получаемого из расчета коэффициента К\ довольно хорошо совпадают с теоретическим даже для сравнительно большого шага аппроксимирующей сетки Д а/1—0,\.

На рис. 2 приводится пример решения задачи о растяжении пластины 20X15 с односторонней трещиной, расположенной под углом к границе. В силу малости трещины конечные элементы при аппроксимации ее вершины принимались относительно большими А а/1 = 0,2 ч-0,15, чем и объясняется больший процент отклонения в решении.

Возможность применения СКП-ФИТИНГ к исследованию коэффициентов интенсивности и траекторий трещин элементов авиационных конструкций иллюстрируется на рис. 3 и 4.

На рис. 3 приводится пример исследования коэффициентов интенсивности в панели, моделирующей часть отсека фюзеляжа, имеющей в углах вырезов трещины, обнаруженные в процессе испытаний. Как видно из рис. 3, накладка, поставленная поверх трещины, значительно снижает коэффициент интенсивности К\, который остается неизменным практически до момента выхода трещины из-под накладки.

На рис. 4 приводится исследование траектории трещины в модели языка крепления закрылка лонжерона с целью оценки ее возникновения в эксперименте.

На первом этапе исследования определялось напряженно-де-формированное состояние участка панели вблизи трещины. На втором этапе подробно рассматривалась зона первоначального появления трещины с граничными условиями в перемещениях из предыдущего расчета. Анализ напряженно-деформированного состояния показал, что максимальные напряжения наблюдаются в точке А на контуре первого от края отверстия. Следовательно, эта точка является местом наиболее вероятного появления усталостной трещины.

Решение этой задачи при наличии двух трещин одинаковой длины, расположенных в точках А и В, позволяет сделать вывод, что даже при одновременном возникновении трещина в точке А будет развиваться быстрее (Ga/Gb = 1,15). После выхода ее на контур начнется интенсивное развитие трещины из точки В в направлении второго отверстия.

На третьем этапе расчета считалось, что трещина уже вышла на контур и прошла оба отверстия. Расчет коэффициентов интенсивности и направления ее дальнейшего развития осуществлялся на первой конечно-элементной модели. Расчетная траектория при /-<2/36 (Ь — ширина рассматриваемой зоны) достаточно хорошо совпадает с экспериментальной (см. рис. 4). Наблюдаемое расхождение в траектории и значительное повышение коэффициента интенсивности напряжений при дальнейшем продвижении трещины связано с ограниченностью рассматриваемой зоны.

ЛИТЕРАТУРА

1. Партон В. 3., Морозов Е. М. Механика упруго-пластического разрушения. М., .Наука*, 1974.

2. Chan S. К., Т у b а 1. S., Wilson W. К. On the finite element method in linear fracture mechanics. .Eng. Fract. mech.“, 1970, vol. 2. N 1.

3. В у s к о v Е. The calculation of stress intensity factors using the finite element method with cracked element, intern. ,,J. Fracture mechanics', vol. 6, N 2, 1970.

4. Морозов E. М., Никишков Г. П. Метод конечных элементов в механике разрушения. М., .Наука", 1980.

5. Черепанов Г. П. Маханика хрупкого разрушения. М., „Наука”, 1974.

6. 3 и н к е в и ч О. К. Метод конечных элементов в технике. М., „Мир", 1975.

7. Н е 11 е n Т. К. On the method of virtual crack extentions. „Int. J. Numer. Meth. Eng.“, 1975. vol. 9, N 1.

8. Bowil O. L. Solutions of plane crack problems by mapping technique, In: methods of analysis and solutions of crack problems. Leyden: Noordhotf, 1973.

Рукопись поступила 18/VI 1981