Исследование коэффициентов интенсивности напряжений в элементах авиационных конструкций с несквознымй трещинами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ Том XVII 1986

№ 2

УДК 539.4.42.620.18

ИССЛЕДОВАНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ В ЭЛЕМЕНТАХ АВИАЦИОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ С НЕСКВОЗНЫМИ

ТРЕЩИНАМИ

Т. К■ Бегеев, В. И. Гришин

Приводится метод определения коэффициентов интенсивности напряжений в объемных элементах конструкций с несквозными трещинами произвольного вида. Метод основан на моделировании вершин трещин сингулярными элементами серендипова семейства и реализован в комплексе вычислительных программ СКП ФИТИНГ. Получены решения для ряда задач теории упругости, результаты которых сравниваются с известными аналитическими и численными решениями.

Применение высокопрочных материалов и новых технологических методов изготовления конструкций, эксплуатация авиационной техники в районах Сибири и Крайнего Севера выдвинули задачу расчета прочности конструкций, связанную с возникновением хрупких разрушений. Существенное значение для решения этой задачи имеют разработка математических основ и широкие экспериментальные исследования в области линейной и нелинейной механики разрушения, а также распространение методологии исследования статического разрушения на анализ циклического разрушения при упругом и неупругом деформировании конструкций.

При заданном нагружении проблема исследования предельного равновесия и разрушения упруго-пластических пространственных тел при наличии поверхностных и внутренних трещин [1] требует предварительного определения полей упругих напряжений в окрестности вершин трещин. Решения подобных задач представляют интерес как для установления оценок влияния подобного типа дефектов на несущую способность конструкции, так и для определения эффектов разупрочнения (или упрочнения) при увеличении в конструкции числа дефектов заданной ориентации. Однако, несмотря на важность Определения упругого равновесия трехмерных тел с трещинами, прикладных решений подобного рода задач сравнительно мало ввиду сложности проблемы. Наряду с использованием приближенных методов [2] с повыше-

нием возможностей ЭВМ акцент в исследованиях переносится на численные методы [2], в частности, метод конечных элементов (МК.Э) [3, 4].

В линейной механике разрушения идеализация физической природы задачи о трещинах производится по трем основным направлениям: поверхность трещины принимается плоской, трещина предполагается достаточно большой, чтобы материал (имеющий локальную микроструктуру) можно было описать как непрерывный; считается, что эффекты, связанные с поведением материала у вершины трещины (в частности, пластичность), ограничены областью малого объема, так что ими можно пренебречь.

При идеализации работы плоских конструкций (обшивок крыла и фюзеляжа, стенок лонжеронов и нервюр), содержащих сквозные трещины, поля напряжений и деформаций с практически приемлемой степенью точности описываются двумерными моделями. Анализ точности существующих методов расчета коэффициентов интенсивности напряжений в окрестности трещин, выполненный в работе [5] на примерах плоских задач линейной механики разрушения, свидетельствует об эффективности применения сингулярных элементов (изопараметри-ческих восьмиузловых элементов с вырожденной стороной) при моделировании разрушения. В настоящей работе метод сингулярных элементов развивается для решения объемных задач теории упругости на основе его реализации в вычислительном комплексе программ СКП ФИТИНГ.

1. Так как перемещение произвольной точки объемного тела имеет три степени свободы, то при построении упругой модели области трещины должны учитываться три составляющие перемещения — и, V, ш соответственно в направлении осей ОХ, О У и 01. В работе [6] показано, что для пространственной трещины связь между коэффициентами интенсивности в вершине трещины и перемещениями в полярных координатах (г, 0) записывается в виде:

В выражении (1) К1 — коэффициент интенсивности напряжений в вершине трещины при нормальном отрыве ее поверхностей, ки — коэффициент интенсивности напряжений при поперечном сдвиге поверхностей трещины в направлении оси ОХ (рис. 1), Кш — коэффициент интенсивности напряжений при продольном сдвиге поверхностей трещины в направлении оси 01, Е — модуль упругости, V — коэффициент Пуассона. Выражение О (г) обозначает члены, пропорциональные неотрицательным степеням г.

Из выражений (1) можно определить компоненты перемещений на поверхности трещины (0=180°)

и = —8*)со5-^-9 — соБ-^-б] +

+ К„ [(9 — 8^) в!!! 0 Ч- з1п в | + 0 (г);

*-=1ж- V-т- {*/ [<7 -з1п 4-6 -8Ш 4-9]

— К„ [(3 — 8>) сов ~ 6 + СОБ е|| + О (г);

(1)

а)

л,и

е)

Рис. 1

V =

2(1 - уз)

У^К,+ О (г);

■гг;

_ 2(1 + ,)

У-

2г

^/// + 0(г).

(2)

При моделировании полей перемещений в объемном теле воспользуемся шестигранной призмой с двадцатью узлами, расположенными по серединам сторон и углам призмы (рис. 1,а). Функции формы подобной призмы определяются выражениями [7]: для угловых точек (узлов)

К = х-О + ^ <1 + ^ + а, - 2);

для средних точек

1

(3)

N1 =х (1 + «,) (:1 + щ) (1 + К,) (1 - 5* Ч* % - Ч* Е* с* - с2 5? ф. (4)

При вырождении шестигранной призмы в пятигранную (рис. 1 , а) функции формы (3) и (4) должны быть модифицированы. В случае стягивания грани 13—14—15—16—17—18—19—20 в линию 13—20—19 модифицируются следующие члены выражений (3, 4) [8]:

Мз = А^и + Л^14 + Л^15, А^20= А^20 + Л^16,

. М* = Л^, + АД/,,

л£= А^-гдл^, ^з = А/3 + 2ДуУ1,

Мэ = Л^19 + ЛГ18 + N17,

л£=л/5 +длг„

г>

Л^б = А^6 — 2ДЛ/.

Л/;=Л/7 + ДАГ2,

Д7У1==(1--^)(1-т1)(1-С2)/16, д^2 = (1-Е2)(1-С2)(1’ + 7))/16.

Полагая, что поверхность трещины аппроксимируется гранью 1—9— 13—20—19—12—7—8 (| = — 1), запишем значения перемещений V на этой грани, следуя работе [4]:

V — А^1з'У]3 + Л/20 х»2о Ч- Мд х>1д + А^11}х + N9 г>д -(- А^8 г>8 +

+ N^v7N12V12. (6)

Подставляя в это выражение значения функций форм из выражения (5) и учитывая обозначения рис. 1,6, получим

® - ч) 0 - С2) фа- V,) + 4- (1 + 7]) (1 - с2) (2®е - *„) +

+ -^(^-rf)(\-qvc+^rl(\-^)[(l+^fl)vd-(\-n)vb]. (7)

Учитывая, что на поверхности трещины, характеризуемой углом 0= 180°, справедливо соотношение [9]

г~4-( 1-С)2

из (7) получим выражение для определения перемещений V на поверхности трещины 0=180°:

V = |2®в — + 2ve — + «е +. -5" Ч (- 4®. + ’иь + — ®«г) +

+ -\г-П*{Ра + Ъь-<*ъс)\ У-ТГ~

- [(1 - т|) (2ъа - ю„) + (1 + 71) (2уе - Vа)\ . (8)

Аналогично можно получить компоненты перемещений и и хю на поверхности трещины

и-

■ \^иа — иъ 4* 2ие — На + ис ~$~ ~2тУ) (— 4ив + йй + 4иг — иа) + + 4“ ^ ^ + и* — 2йс)] —

— [О - П) (2и„ — и„) + (1 + п) (2ие — я*)1-£-;

■М

— [(1 — т)) (2и>0 _ «д + (1 + т)) (2тюе — чвл)\ •

и

(10)

Сравнивая выражения (2) и (8) — (10), получим значения коэффициентов интенсивности:

Е

К,-

2(1 — м2)

где

2(1 — ч2) У 2^1

/х {и) =2иа - иь + 2ие — иа + ис + Т) (— 4ий + иь+ 4ие— и„) +

(И)

+ "2-Ч* (иа + и„ — 2ис).

Выражения (11) справедливы для случая симметричной геометрии и симметричной нагрузки. В случае несимметричной геометрии и (или) несимметричной нагрузки с учетом обозначений рис. 1,6 выражения (11) принимают следующий вид:

Кц —

4(1

а) У 2Ц ^ з) У ИГ /г (ы);

= Т(ГПУ/ж Л<»>,

(12)

где

/2 (и) = 2«а — иь + 2ие — + и-с — 2м«’ + и*' — 2ме- + — «с' +

+ ~2М—^иа + и„ + 4пе + ~п~ 712 (и(1 + иь '

— ид -}- 4и.а’ — Иь’ — 4ие' Ий') -(-2мс — иа> — иу + 2 иС').

Следует отметить, что выражения (11) и (12) совпадают с выражениями для коэффициентов интенсивности, полученными в работе [4], однако ввиду отличия форм, принятых для аппроксимации полей перемещений сингулярных элементов [см. (5)], результаты решения задач механики разрушения должны отличаться от результатов работы [4].

2. Методика определения коэффициентов интенсивности в объемных элементах конструкций реализована в специализированном комплексе программ СКП ФИТИНГ. При реализации вырожденного объемного элемента (рис. 1 ,а) использована методика учета кинематических ограничений перемещений узлов, предложенная в работе [11], позволяющая присваивать некоторым узлам элементов перемещения заранее выбираемых узлов. Применение этой методики позволило оставить в прежнем виде структуру комплекса, целиком сохранить

библиотеки типовых подконструкций и конечных элементов, приведенных в работе [10]. Основные добавления касались лишь программирования функций форм [выражения (5)] и вычисления коэффициентов интенсивности напряжений по выражениям (11) и (12).

3. Для исследования точности метода решен ряд типовых задач. На рис. 2 приводятся результаты расчета коэффициентов интенсивности для растягиваемого бруса с двумя боковыми трещинами, фронт (линия пересечения поверхностей) которых параллелен оси ОЁ. На рис. 3 показана конечно-элементная схема бруса. В расчете функции формы модифицировались согласно выражениям (5) (функции формы с коррекцией — 2 и 3 результаты), а также принимались без модификации (4 и 5 рез!ультаты), как это принято в работе [4]. Отличие в результатах составляет не более 2,5%. Наибольшие коэффициенты интенсивности соответствуют центральному сечению бруса (г = 2,0), а наименьшие располагаются по его кромкам (2 = 0 и 4,0), чем и объясняется тот факт, что поверхностные трещины, как правило, принимают в процессе повторных нагружений эллиптическую форму.

В центре бруса коэффициенты интенсивности напряжений несколько превышают значения результатов, полученных Бови (кривая 1) для пластины, находящейся в обобщенном плоском напряженном состоя-

К^нг/мм

-решение Во5и{Иля пластины) [ У] -расчет МКЗ{Зт.и.)\

’т.и.)1

(Зт.и.) |

функции формы с коррекцией ’• •• Вез коррекции

1. г.

I

5.--ь~

8 • « ВШКБЦЯЫа и НЕИЕЫа [,7]

7.- »•-параболическая аппроксимация решения 2

8.-0- .. „ „ £

1 элемент | 2 | 3 , 4

о *1\-1 о +/;-/ о о

ль

0,5

ю

15

2,0 2,5

Рис. 2

3,0

3,5

40 г,мм

нии, в то время как на кромках эти значения принимают несколько меньшие значения по сравнению с аналитическим решением. Исследование точности решения в зависимости от количества точек интегрирования, выбираемых при построении матрицы жесткости элементов, свидетельствуют о хорошем совпадении результатов при двухточечном и трехточечном интегрировании (кривые 3, 2) в центрах тяжести элемента (т] = 0) —расхождение составляет не более чем 0,1%', в то время как на границах элемента (г|=±1) это несовпадение достигает 3%. Так как время счета при двухточечном интегрировании примерно в 2 раза меньше по сравнению с трехточечным интегрированием, то в практических расчетах целесообразно использовать двухточечное интегрирование с вычислением коэффициентов интенсивности в центрах тяжести элемента. Эффективным приемом улучшения результатов расчета может явиться коррекция результатов расчета МКЭ с помощью линейной либо квадратичной экстраполяции, как это принято при вычислении концентрации напряжений на контурах отверстий [12].

На рис. 2 показан пример использования подобного подхода (кривые 7, 8). Значения коэффициентов интенсивности напряжений в двух центральных точках элементов (г=0,5; 1,5) аппроксимировались параболой. При этом в сечении 2=2,0 (середина бруса) выполнялось условие параллельности оси 02, касательной к параболе. Результаты этого решения практически совпадают с расчетом [3] (кривая 6), полученным по методу виртуального роста трещин в совокупности с использованием сингулярных элементов.

На рис. 4 приводятся результаты решения задачи о растяжении куба с круговой трещиной. По условиям симметрии в расчете рассматривалась одна восьмая часть куба, которая моделировалась 63 элементами. Фронт трещины аппроксимировался двенадцатью сингулярными элементами по четыре элемента на дуге в 30 градусов. Сравнение с методом граничных интегральных уравнений [13] свидетельствует

о хорошем совпадении результатов —3—5%. Следует отметить, что в случае поверхностной (рис. 4, б) трещины максимальные коэффициенты интенсивности имеют место на поверхности бруса, что свидетельствует о трансформации исходной формы круговой трещины в дискообразную (эллиптическую) под действием повторных нагрузок.

На рис. 5 приводится пример расчета плиты с поверхностной эллиптической трещиной, моделируемой 60 сингулярными и стандартными изопараметрическими элементами. Результаты сравниваются с аналити-

У

15

Свободная

лоёерхность

Свободная

поверхность

10

Рис. 4. Сравнение результатов решения задач об угловой и поверхностной трещинах круглой формы Д—метод ГИУ; О—метод конечных элементов

Z 6=0,Sкг/мм2

2 -----мет off Ирвина

■ Кобаяши

ь» расчет Muecu и Маямото

Кобаяши

1

О 15 30 45 SO 90 А

б =0,3 кг/мм

Рис. 5

ческими значениями коэффициентов интенсивности, полученными Ирвином и Кобаяши [14] для точек, характеризуемых координатой 0 = 90°. Отличие в результатах составляет 3—4%'. Там же приводятся одни из первых результатов, полученных с применением МКЭ Миеси и Миямото [14], на сетке из 793 симплексных (с линейной аппроксимацией перемещений) элементов. Следует отметить, что численный метод [14] включал поэтапное вычисление перемещений вначале на границе, близко расположенной к трещине, а затем с использованием полученных граничных условий определялись перемещения непосредственно на поверхности трещины. Учитывая, что точность подобного подхода авторами работы [14] не контролировалась, результаты аналитических методов, используемых при сравнении, являются более достоверными.

1. П а р т о н В. 3., М о р о з о в Е. М. Механика упруго-пластического разрушения. — М.: Наука, 1974.

2. Андрейкив А. Е. Пространственные задачи теории трещин. — Киев, Наукова Думка, 1984.

3. Blackburn W. S., Hellen Т. К. Calculation of stress intensity factors in three dimensions by finite element methods, — Int. J. Num. Met. in Eng., vol. 11, 1977.

4. Ingraffea A. R., Many C. Stress-intensity factor computation in three dimensions with quarter-point elements. — Int. J. Num. Met. in Eng., vol. 15, 1980.

5. Морозов E. М., Никишков Г. П. Метод конечных элементов в механике разрушения. — М.: Наука, 1980.

6. S i h G. С., L i е b о w i t z H. Mathematical theories of brittle fracture, — Fracture, vol. 2, Academic Press, 1968.

7. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. — М.: Мир,

1975.

8. Newton R. Е. Degeneration of brick—type isoparametric elements.— Int. J. Num. Met. in Eng., 1973, vol. 7, N 4.

9. Bar sou m R. S. Triangular quarter point-elements as elastic and perfectly plastic crack tip elements, — Int. J. Num. Met. in Eng., vol. 11, 1977.

10. Барышников В. И., Г p и ш и н В. И., Дончеико В. Ю., Тихонов Ю. В. Применение метода конечных элементов к исследованию местной прочности элементов авиационных конструкций. — Ученые записки ЦАГИ, 1983, т. 14,. № 1.

ЛИТЕРАТУРА

11. ,N c>9 r Av К э m е 1 Ц., Fulton R. S.ubskucturipg techniques-status and projectrohs. — Irit. J. Comp, and Struct.,' 1978, vol._ 8, N 5.

' 12. Herr m a n n I.. Improved stress calculations for simple quadri-

lateral elements, — Int. J. Comp, and Struct. 1976, vol. 6, N 2.

13. Круз Г. Метод граничных интегральных уравнений в механике разрушения. — В сб.: Метод граничных интегральных уравнений.— М.: Мир, 1978.

14. Ми ям ото X., Миеси Т. Определение коэффициента интенсивности напряжений для растягиваемой пластины с трещиной, выходящей на поверхность. — В сб. Расчет конструкций с использованием ЭВМ, т. 1. — Л., — Судостроение, 1974.

Рукопись поступила 1/Х 1984