Применение метода конечных элементов к исследованию местной прочности элементов авиационных конструкций Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIV 1 983 № I

I

УДК 629.735.33,015.4.023

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ К ИССЛЕДОВАНИЮ МЕСТНОЙ ПРОЧНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ АВИАЦИОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

В. И. Барышников, В. И. Гришин, В. Ю. Дотенко,

Ю. В. Тихонов

Описываются алгоритмы расчета, положенные в основу специализированного комплекса программ „ФИТИНГ“, предназначенного для исследования упругого и физически нелинейного напряженно-деформированного состояния и для оценки коэффициентов интенсивности напряжений в элементах авиационных конструкций с эксплуатационными повреждениями.

С созданием качественно нового поколения пассажирских самолетов, в частости широкофюзеляжных, принцип проектирования на основе безопасного повреждения приобретает все большее применение в конструкторских бюро авиационной промышленности. Современная трактовка этого принципа заключается в том, что с половины назначенного ресурса в конструкции допускается появление усталостных трещин, а полная долговечнасть обеспечивается экономически целесообразными ремонтами. Вот почему важным в прикладном отношении становится вопрос создания коми-' лексов программ, с помощью которых можно одновременно оценить как местную прочность узлов авиационных конструкций на стадии поверочного расчета, так и получить коэффициенты интенсивности напряжений в элементах авиационной конструкции с повреждением в виде трещин для определения остаточной прочности.

В отечественной [1, 2] и зарубежной [3] литературе описан ряд вычислительных комплексов расчета авиационных конструкций, однако их применение ограничивается либо расчетом общей прочности тонкостенных конструкций [1], либо пределом применимости закона Гука [2]. Что касается вопросов механики разрушения, то они, несмотря на значительное сходство с методами определения напряженно-деформированного состояния, как правило, рассматриваются отдельно [4]. Это приводит к снижению эффективности применения вычислительных комплексов к практическим расчетам. В даннной работе на единой методологической основе

рассматриваются вопросы исследования местной прочности элементов конструкций, включающие в себя расчет напряженно-деформированного состояния, определение величины пластических дефомаций, вычисление коэффициентов интенсивности напряжений в вершинах трещин, реализованные в специализированном комплексе программ СКП-ФИТИНГ.

1. Разобьем область решения на ряд конечных элементов плоских либо объемных, в зависимости от типа решаемой задачи, вектор перемещений узлов которых обозначим через 8. Запишем выражение для потенциальной энергии т в виде [5]

1Г(8)=-^-8т[/С]8 — 8ТР, (1)

где 8 — вектор узловых перемещений, „т“ — индекс транспонирования.

Применяя условие стационарности функционала к выражению (1), получим разрешающую систему уравнений равновесия метода перемещений

[К] 8 = Л (2)

в которой [ЛТ] — матрица жесткости рассматриваемой конструкции, а Т7—вектор величин нагрузок, приведенных к узлам дискретной сетки.

2. Для описания поведения тел за пределом упругости при монотонном нагружении удобно воспользоваться деформационной теорией пластичности [6]. Тогда в случае сложного напряженного состояния зависимости между полными компонентами напряжений и деформаций можно представить в виде

ех £* [ах ^ (ау "Ь аг)Ь 1ху ~ ~о*~ ’

гу = -^*1ау — ^(^ + ^)1 Ъ*=Ж’’

вж=^г1в1 — **(°г + вД Тм=-^Г»

(3)

где Е*, в*, V* — механические характеристики материала в точке. Для сжимаемого материала они имеют следующий вид:

Р*__ аіІеі ґ±*_ Ь* * _ 0'5 ЮІЧ (Л\

с — 1+КФі' зс’" 1 + К°ІІЧ ’ '>

где <зі и з;—соответственно интенсивности напряжений и деформаций, а К—объемный модуль упругости:

а1 — Щ VіК — ау)2 + (ау - + («* - °х)г + 6 ^ + 122х),

\Вх — гу)2 + ^у-Ч)2+^г-&х?+-^-^ху + 'ІІг + ЧІх')’

К ^

3(1-2ч) ’

Е — модуль упругости, V — коэффициент Пуассона.

Как видно из (4), величины Е*, б*, V* зависят от отношения интенсивности напряжений и интенсивности деформации в точке. В реальных материалах при высоких уровнях деформирования эти отношения переменны, а следовательно, переменны и коэффициенты матрицы [АТ] в выражениях (2), которые являются уже функциями перемещений узлов дискретной сетки. Поэтому уравнения равновесия конструкции в задачах пластичности нелинейны относительно смещений

{К(Ъ)] 8 = Е. (5)

Эффективным методом решения системы (5) является метод переменных параметров упругости [7] с ускорением сходимости по схеме, описанной в работе [8].

3. Для вычисления коэффициентов интенсивности напряжений в вершине трещины целесообразно применять энергетические методы [4], использующие зависимость между производной полной потенциальной энергии тела 1У по длине трещины I и коэффициентами К\, К и, характеризующими интенсивность напряжений в вершине трещины. При росте криволинейной трещины под углом 9 к ее траектории выражение потока энергии в вершину трещины имеет вид [4]

1 г,тЛ , 1,2

# №+ т С08 0— 2/С, Кпвшв], (6)

где Ех — Е— в случае плоского напряженного состояния и Е1 =

= Е/( 1 — V2) — в условиях плоской деформации, К\ и К и — соответ-

ственно коэффициенты интенсивности при отрыве и сдвиге берегов трещины.

Для трещины нормального отрыва (6 = 0, Кп =0) из (6) следует:

(7)

д1 1-1 ' V'

Дифференцируя выражение полной потенциальной энергии (1) и учитывая уравнения равнов- сия (2), получим

= (8)

61 2 01 у !

Из сравнения (7) и (8)

«= у

4-£.8-^18. (9)

Из (9) следует, что для определения коэффициента интенсивности напряжений необходимо по известному деформированному состоянию, определяемому вектором 8, вычислить производную матрицы жесткости конструкции при варьировании сетки у вершины трещины на величину й.1. Аппроксимируя производную разностями

и учитывая, что вклад в приращение матрицы жесткости конструк-

ции вносят лишь те элементы, одна из вершин которых переходит из состояния I в состояние / + А/, можно записать

в [К 1 Д-*/_ V к1+ы-*1 /ШЧ

д1 — А М —^ М ’

/=1 /=1

где п - число элементов в вершине трещины, а к1+м—матрица жесткости 1-го элемента при длине трещины I + АI-

Таким образом процесс вычисления коэффициентов интенсивности напряжений в основном повторяет все моменты, присущие определению напряженно-деформированного состояния с дополнительным вычислением выражений (10) и (9).

4. Приведенные алгоритмы реализованы в виде специализированного комплекса программ ФИТИНГ (СКП „ФИТИНГ"), прообразом которого явился ряд АЛГОЛ-программ, предназначенных для решения отдельных задач теории упругости и пластичности при расчетах элементов авиационных конструкций и их соединений [9, 10, 11]. Функциональные возможности комплекса значительно расширены и помимо перечисленных проблем с его помощью в рамках теории упругости можно решать задачи по определению коэффициентов интенсивности элементов конструкций с одиночными и многоочаговыми повреждениями. В комплексе используется метод конечных элементов в сочетании с методом подконструкций, что позволяет рассматривать широкий круг задач по оценке местной прочности, учитывать сложные формы, разнообразные кинематические и статические граничные условия. Моделирование конструкции осуществляется на основе одномерных, двумерных и объемных конечных элементов, позволяющих решать задачи в рамках теории упругости или строительной механики (рис. 1) с автоматической генерацией топологии и узловых величин для различных типов подконструкций (рис. 2). В качестве базовой ЭВМ принята БЭСМ-6, математическое обеспечение комплекса составлено на алгоритмическом языке БЭСМ—ФОРТРАН в рамках языка ФОРТРАН-4. Оно может быть адаптировано на другие типы ЭВМ (типа ЕС), содержащие трансляторы с этого языка.

Комплекс представляет собой совокупность отдельных сервисных программ и рабочих модулей, спроектированных по нисходящей схеме. Такая структура комлекса обеспечила независимость друг от друга программистов как в програмировании, так и в отладке. Модульное строение СКП-ФИТИНГ позволило реализовать автономную работу его отдельных блоков и предусмотреть дальнейшее его развитие посредством подключения новых модулей. Мобильность комплекса, простота и удобство в эксплуатации определяются наличием двух режимов работы — пакетного и диалога „человек—ЭВМ“, возможностью вывода информации на графический дисплей и графопостроители. Обмен информацией между модулями осуществляется посредством банка данных, который содержит всю необходимую для работы каждого модуля информацию. В него же после окончания работы модуля помещается выходная информация. Наличие банка данных позволяет вести раздельный счет задач, обеспечивает устойчивость ЭВМ против сбоев и длительное хранение информации в состоянии готовности к счету. Исключение составляет первый модуль, который выбирает информацию из архива данных — постоянного хранителя входной информации о конструкции.

К настоящему времени с помощью СКП-ФИТИНГ выполнено большое количество параметрических расчетов напряженно-деформированного состояния, несущей способности и остатоточной прочности элементов конструкций сложных геометрических форм. Проведенный анализ результатов позволил рекомендовать конструктивные способы снижения концентрации, выбрать рациональные варианты силовых схем разнообразных соединений и провести оценку прочности реальных узлов конструкций.

Номер конечн... эл-та Тип конечного элемента Число степеней свободы

1 и и пояс в плоскости, работает на растяжение -сжатие 2

2 О > ш и пояс в пространстве, работает на растяжение -сжатие 3

3 УЫ'г пластина в плоскости, работающая на растяжение, сжатие, сдвиг - • 2

-4 пластина в пространстве, работающая на растяжение, сжатие, сдвиг ’-3

5 /Ч?.. -пластина в плоскости, работающая на изгиб из плоскости 3

7 / пластина в пространстве, работающая на растяжение, сжатие, сдвиг, изгиб 6

8 осесимметричная пластина 2

9 4 объемный элемент . . . -і - - . .... , 3

10* /\у I И анизотропная пластина в плоскости, работающая на растяжение, сжатие, сдвиг 2

11* /X и» ш анизотропная пластина в пространстве, работающая на растяжение, сжатие, сдвиг 3

12 У г/ балка в плоскости, работающая на растяжение, сжатие, изгиб 3

13 0 У і 4'и балка в пространстве, работающая на растяжение, сжатие, изгиб ,6

14 изопараметрический элемент в плоскости 2

.15* с 1 изопараметрический объемный элемент 3

Рис. 1

На рис. 3 приводится сравнение расчета напряженного состояния узла крепления лонжерона с экспериментом, выполненным на натурной модели. Конечно-элементная схема состояла из объемных тетраэдров.

а) Расчетная модель и напряженное состояние узла крепления лонтерона

1-1 ь 1+1

. ' ' и_

Тип Ц-

Рис. 2

• -\*ходермЯент

Расчетная точка

,б) Максимальные касательные. напряжения Ц_ стенках. Рис. 3

в, о г а, 01 о

I J S 7 9 11 1J 15 17

Рис. 5

19 №-ІЇолта

' бх=8У Н/мм$

Рис. 4

Болт №1

Kj; Н/см3/2-

болт N°?

Кинетика образования зон пластических деформаций при двухосном нагружении подкрепленной панели с прямоугольным вырезом приводится на рис. 4. При этом отношение между интенсивностями напряжений и деформаций, входящее в выражение (13), получено на основе диаграммы растяжения образца из материала панели, обработанной по уравнениям [6]

где о и е — напряжения и деформации точек диаграммы одноосного растяжения.

На рис. 5 приводятся результаты исследования распределения усилий среза рь по болтам крепления стрингеров, возникающих при повреждении панели трещиной нормального отрыва. Там же приводятся величины коэффициентов интенсивности напряжений в вершине трещины в зависимости от длины трещины. Зная критический коэффициент интенсивности К\с, непосредственно по этому графику можно определить как значение критической длины трещины, так и величину остаточной прочности панели [12]. Методика, принятая для моделирования болтов, описана в работе [11].

ЛИТЕРАТУРА

1. Иванов Ю. И., Мазур В. В. Специализированная система программирования расчетов на прочнотсь методом конечного элемента (ССП МКЭ), версия 1. Труды ЦАГИ, вып. 1731, 1975.

2. К у д р я ш о в А. Б., Чу бань В. Д., Шевченко Ю. А. Некоторые вопросы реализации метода конечного элемента на ЭВМ. М., „Программирование*, № 6, 1976.

3. М е с N е а 1 R. М. The NASTRAN theoretical manual. NASA SP-221, Sept., 1970.

4. Морозов E. М., Никишков Г. П. Метод конечных элементов в механике разрушения. М., „Наука*, 1980.

5. Зенкевич О. К. Метод конечных элементов в технике. М., .Мир*, 1975.

6. Малинин И. И. Прикладная теория пластичности и ползучести. М., „Машиностроение*, 1975.

7. Биргер И. А. Круглые пластинки и оболочки вращения. М., Оборонгиз, 1961.

8. Гришин В. И. Применение итерационного метода при решении задач методом дискретных элементов. Труды ЦАГИ, вып. 1381, 1972.

9. Гришин В. И., Г а л к и н а Н. С., Д о н ч е н к о В. Ю. Перераспределение напряжений в панелях с отверстиями при неупругом поведении материала панелей. Труды ЦАГИ, вып. 1825, 1977.

10. Гришин В. И. Метод и программа расчета напряженного состояния в объемных элементах конструкций. Труды ЦАГИ, вып. 1622, 1974.

11. Галкина Н. С., Гришин В. И., Донченко В.Ю. Исследование напряженно-деформированного состояния элементов авиационных конструкций и их соединений. Труды ЦАГИ, вып. 2012, 1979.

12. П а р т о н В. 3., М о р о з о в Е. М. Механика упруго-пласти-ческого разрушения. М., „Наука", 1974.

Рукопись поступила 2jVl 1981 г.