CC BY
29
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XXIV 1993 № 4
УДК 629.7.015.4.023:62—419.8 629.7.015.4.023.8:624.078.2
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ТРЕНИЯ НА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ И НЕСУЩУЮ СПОСОБНОСТЬ ТРЕХМЕРНЫХ СОЕДИНЕНИЙ, ИЗГОТОВЛЕННЫХ С ПРИМЕНЕНИЕМ КОМПОЗИТОВ
Т. К. Бегеев, В. И. Гришин, В. Б. Литвинов, К. Н. Малышкина
Приводится методика расчета и исследование напряженно-деформированного состояния и несущей способности соединений элементов конструкций, изготовленных с применением ортотропных материалов, в трехмерной постановке. Обосновывается точность предлагаемого метода и рассматриваются примеры расчета соединений, предназначенных для передачи сосредоточенных сил.
Одной из важных проблем проектирования силовых агрегатов является создание эффективных соединений элементов конструкции, выполненных с применением композиционных материалов. В настоящее время [1] прочность наиболее распространенных соединений из металлических элементов значительно превосходит прочность аналогичных соединений из композитов. В частности, из-за невысокой прочности на смятие и срез выигрыш в массе композитных конструкций может быть в значительной степени сведен на нет. Целью настоящей работы является реализация в вычислительном комплексе программ ФИТИНГ [2] метода расчета напряженно-деформированного состояния трехмерных соединений, элементы которых могут состоять как из металла, так и из многослойных композитов.
Использование метода конечных элементов для подобных задач требует, во-первых, разработки методики учета контактного взаимодействия и, во-вторых, построения эффективного алгоритма для ортотроп-ного объемного элемента. Первая часть этой проблемы методически решена в работе [3]. Вторая часть — построение алгоритма вычисления матрицы жесткости объемного элемента приводится в настоящей работе.
1. Рассмотрим тетраэдр і)тр в общей системе координат хуг, модули упругости которого 2?!, £2, Е3 заданы в местной системе координат х ,у ,1 • Местная система координат связана с общей системой соотношением
ш[Х]
(1)
где
[я] =
«і Р\ п
а2 Рг Гг
«з Рг Гз
(2)
В (2), например, а1, ух обозначают косинусы направления оси Ох’ относительно осей общей системы координат, т. е.
ах = ««(х'.х), Р1=соь(х ,у), п =соз(х',г).
Матрица жесткости тетраэдра получается из стандартного выражения [4]:
г,
(3)
где
[5]т=[5,., віі Вт> Вр),
О о
О ь, </,•
о
Ьі
(4)
а В], Вт, Вр получаются из (4) заменой индекса / соответственно на У. Р\
1 У} Ч
Ь,- = -беї 1 Ут
1 Ур
Х] 1 *7
_с> н і а со хт 1
хр 1 *Р
Ху У) 1
сЦ = -det хт Ут 1
хр Ур 1
(5)
а УТ— объем тетраэдра.
Так как упругое характеристики ортотропного материала удобно задавать в локальной системе координат, то, полагая, что [і)’]— матрица упругости Гука в локальной системе координат, можно получить значение матрицы Гука в общей системе координат хуі по выражению [4]:
где
[г] =
[О] = [Г][і)’][Г]Т і (6)
% л 2Ап 2 пах 2«іА 1
а2 р\ А 2Д2 гг 2У2<*2 2 «2 А
а\ Р\ у\ 2Агз 2уъаз 2«зА
"2«з А А пп А/з + А/2 У2а3 + Г3«2 «2А + «зА
аъа і ДА УзУі Ап + А/з Гз«1 + XI «3 а3А + «іА
«і«2 АА ЇІЇ2 Р\П + РгП Па2 + У 2^1 «іА + а2А _
Г л /2 /з 0 0 0 '
/2 /4 /5 0 0 0
и 1 = /о /з 0 /5 0 /б 0 0 0 /о<?12'0 0 0 5 (8)
0 0 0 0 /0^23 0
о 0 0 0 0 /0<?31.
//о /2 = = ^2 ( у12 + /’г Чз ^гз) / /о!
/з=^з (Пз + У12 у2з) //о; /4 = ^2(!-Л Пз)/ /о;
/5 = Еъ{ у23 Р\.у\гу\ з) / /о; /б = ^з(1_ ЛЧг) / /<ъ
/о = •Рі у12 " Р у23 - Рз у13 ~ ІРЗ 42 «^зЧз) >
Р\ = Е г/Еі •ьеР II сч /Ег-> />3 = ^3/ ^1,
т
где Е{ и уі] — модули упругости и коэффициенты Пуассона материала в направлениях осей ортотропии. По известным перемещениям тетраэдра в местной системе координат
{5-} = [8і,8],8т,5р\ (9)
где 8( = [и,-, и,-, ], а м,-, и,-, — соответственно перемещения узла / в
системе координат х'у'і',
можно определить деформации
М = [*]{*’}. (Ю)
а по ним и напряжения в элементе
М=№')- <п)
2. Тетраэдр, моделирующий объемные детали конструкций, изготовленные с применением ортотропного материала, был включен в библиотеку элементов специализированного комплекса программ ФИТИНГ. Так как при построении разрешающей системы уравнений метода перемещений
№ЬШ, (и)
где {<5}, {Л}—соответственно векторы неизвестных перемещений и
известных узловых нагрузок, матрица жесткости [ЛГ] набирается по узлам, то вычислять матрицу жесткости тетраэдра по соотношению (3) нет необходимости. Достаточно вычислить лишь элементы верхних строк, относящихся к узлу /, по выражению
[*<.] = [<№1Л- <13>
где 5 последовательно принимает значения
Отметим, что один и тот же конечный элемент может быть использован как для решения задач по расчету конструкций, оси ортотропии которых совпадают с общей системой координат, так и для расчета конструкций, оси ортотропии которых совпадают с основными направлениями нумерации расчетной сетки метода конечных элементов (/,/,К). Во втором случае «следящих осей ортотропии» начало местной системы координат выбирается в текущем узле / расчетной сетки, а направление осей связано с направлениями нумерации узлов сетки / • /. К так, как это показано на рис. 1.
Рис. 1. Общая и местная система координат
3. Рассмотрим ряд примеров использования ортотропного элемента в решении прикладных задач.
Нагружение полого цилиндра наружным давлением. Пусть полый цилиндр закреплен неподвижно по концам и нагружен внешним давлением. В таком случае цилиндр находится в состоянии обобщенной плоской деформации и тангенциальные напряжения на внутренней и внешней поверхностях, характеризующихся радиусами г = Rn г = 2R, определятся по выражениям [5]:
= 1(с2кРгк~1 +Рк~1), (14)
где с = 1/2, р = гЦ2К),
£2 VfZVZr Eg
1 - vez vze Er ’ а ось z направлена по оси цилиндра.
По условиям симметрии дискретная модель включала лишь часть цилиндра, расположенную в первом октанте декартовой системы координат с общим количеством узлов расчетной сетки — 245.
На рис. 2 приводится сравнение наибольших нормальных напряжений сг0 по сечению цилиндра с данными аналитического решения (14) В зависимости ОТ отношения модулей упругости Eg/Ej. .
Расчет модели узла, предназначенного для передачи сосредоточенной нагрузки. Рассмотрим растяжение пластины двумя сосредоточенными
нагрузками Р, передаваемыми на пластину через два болта (рис. 3, а). Натурный образец состоит' из пластины размером 180 х 48 мм, толщиной 2 мм и изготовлен из материала КМУ-4Э с укладкой по слоям
Рис. 2. Распределение тангенциальных напряжений ав по радиусу трубы
сш
Р/2
№
а)
Рис. 3. Деформирование 1/8 части соединения от действия силы Р : !
— исходная геометрия;------деформированная геометрия
(О / +45 /90). В отверстие пластины диаметром 12 мм вставлены два стальных болта, к которым прикладываются внешние силы Р, нагружающие пластину.
Болты с помощью гаек через шайбу стягиваются до момента затяжки Мзат, вызывающего внутреннее усилие затяжки О. При экспериментальной отработке рассматривались три случая разрушения образца от силы Р в зависимости от усилия затяжки: 6 = 1750 и 3500 кгс. Материал болтов — сталь 30ХГСА с модулем упругости Е - 2 • 105 МПа и коэффициентом Пуассона //=0,3. Материал пластины — композит с модулями упругости Ех =6-104 МПа, Е2 = 6 • 104 МПа, Е3 = 6 • 103 МПа, (712 = 1,4 • 104 МПа, (723 = 1,4 • 104 МПа, (?3] = = 1,4 Ю4 МПа и коэффициентами Пуассона ^12 =0,35, //23 = 0,35, Мз1 = 0,15.
Расчетная модель по условиям симметрии включала 1/8 часть полного соединения и состояла, из трех подконструкций, одна из которых моделировала болт, шайбу и гайку, а две другие моделировали композитную пластину. Модель включала 800 узлов, 2400 неизвестных перемещений, в контактном взаимодействии находилось 204 узла. На рис. 3, б показаны исходная модель (сплошные линии) и деформированная модель (пунктирные линии) от силы Р. Сила р заменялась
Рис. 4. Зависимость максимальных растягива-юхцих напряжений св от силы Р
Рис. 5. Зависимость разрушающей силы [р] от усилия затяжки
Рис. 6. Зависимость максимальных нормальных напряжений ад от коэффициента трения
эквивалентной равномерно распределенной нагрузкой, которая прикладывалась по поверхности цилиндрического тела, моделирующего головку и шайбу болта. Как видно из рис. 3, б, композитная пластина деформируется неравномерно. Наибольшие смещения соответствуют правому концу пластины и находятся в ее центре. Левая верхняя кромка согласно закону Пуассона на левом конце приближается к центру (растяжение), а на правом конце вследствие продольного сжатия от болта увеличивает свой поперечный размер.
На рис. 4 показана зависимость максимальных тангенциальных напряжений ад в пластине от силы Р при значении коэффициента трения к = 0,15. Нетрудно заметить, что с увеличением силы затяжки {2 уровень напряжений а0 снижается. Зная допустимые напряжения [сг], из графика на рис. 4 можно определить значения предельной растягивающей силы [Р] (рис. 5). Ввиду нестабильности свойств композита значения предельных нагрузок на рис. 5 построены для двух значений допускаемых напряжений [сг] = 330 и 400 МПа. Там же показаны значения разрушающих усилий Р, полученных экспериментально на образцах. Как видно из рис. 5, экспериментальные значения довольно хорошо совпадают с расчетными при [<т] = 400МПа.
На рис. 6 показано изменение максимальных нормальных (тангенциальных) напряжений ад в зависимости от коэффициента трения при постоянных значениях усилия затяжки (2 = 1750 кгс и действующей силы Р = 1125 кгс. С увеличением коэффициента трения напряжения уменьшаются и их максимальные значения смещаются с контура отверстия в тело пластины.
ЛИТЕРАТУРА
1. Васильев В. В., Протасов В. Д., Болотик В. В. Композиционные материалы. Справочник. — М.: Машиностроение, 1990.
2. Барышников В. И., Гришин В. И., Донченко В. Ю., Тихонов Ю. В. Применение метода конечных элементов к исследованию местной прочности элементов авиационных конструкций//Ученые записки ЦАГИ.—1983. Т. 14, № 1.
3. Гришин В. И., Бегеев Т. К., Литвинов В. Б. Исследование напряженно-деформированного состояния соединений из ортотропного материала// Механика композитных материалов.—1989, № 4.
4. Зенкевич О. С. Метод конечных элементов в технике.—М.: Мир,
1975.
5. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела.—М.: Наука, 1977.
Рукопись поступила 25/11 1992 г
