Исследование концентрации напряжений в пластинах и плитах с круговыми отверстиями при упругопластическом деформировании Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XIV 1 983 №4

УДК 539.3.001.5:629.73.02

ИССЛЕДОВАНИЕ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ В ПЛАСТИНАХ И ПЛИТАХ С КРУГОВЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ ПРИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ

В. И. Грашин, В. Ю. Донченко

Приводится алгоритм решения упругопластических задач для расчета инженерных конструкций, реализованный в специализированном комплексе вычислительных программ исследования местной прочности (СКП—ФИТИНГ) и дается решение упругопластической задачи о растяжении толстой плиты с отверстием.

Концентрация напряжений в элементах авиационных конструкций обусловлена различными причинами: конструктивными (резкое изменение формы и размеров сечений деталей, нарушение сплошной поверхности отверстиями и вырезами, инородными включениями и отличными от основного материала механическими свойствами); технологическими (различие механических свойств материала в поверхностном слое и в основном объеме в результате термомеханической обработки, наличие производственных дефектов). В случае упругопластического деформирования для оценки несущей способности конструкции [1] используются также коэффициенты концентрации деформаций, показывающие во сколько раз повышается интенсивность деформаций в зоне концентрации.

Впервые решение плоской задачи теории упругости о распределении напряжений около кругового отверстия—наиболее типичного концентратора получено Киршем [2].

Большой вклад в решение задач о концентрации напряжений внесли советские исследователи во главе с Савиным Г. Н. [2], однако решаемые ими аналитическими методами задачи справедливы лишь в пределах закона Гука и относятся к тонкостенным деталям (пластинам и оболочкам) относительно простой формы. При рассмотрении пространственных задач теории упругости в последнее время достигнуты значительные успехи за счет применения численных методов [3, 4]. Численные методы и, в частности,

метод конечных элементов, целесообразность использования которых определились уже давно, приобретают особое значение в настоящее время, благодаря возможности достоверной оценки на-пряженно-деформированного состояния в сложных пространственных конструкциях и учету реальных свойств материала при различных условиях нагружения.

В данной работе приводится алгоритм решения упругопластических задач расчета инженерных конструкций, реализованный в специализированном комплексе вычислительных программ исследования местной прочности (СКП-ФИТИНГ) и дается решение упругопластической задачи о растяжении толстой плиты с отверстием,

1. Для определения полей напряжений и деформаций элементов конструкций с учетом пластичности воспользуемся методом конечных элементов. Разрешающую систему уравнений метода относительно перемещений запишем в виде [5]:

[К(и)} {»} = {*}, (1)

здесь [К (и)) — матрица жесткости конструкции, коэффициенты которой в свою очередь зависят от искомого вектора узловых перемещений {и}, а {/?} — вектор узловых нагрузок.

При решении нелинейной системы уравнения (1) воспользуемся методом переменных параметров упругости [6], основанном на представлении зависимостей между деформациями и напряжениями для упругопластического тела в форме уравнений теории упругости, а именно:

£.1 " £* [3х ^ (3>' ”1” °г)1> 1ху (}* >

К - (О* + °х)]> Чуг =

1 ^ XX

ег = £* К — У*(°х + <*,)], 1гх=-&Г>

здесь ех, гу)..., ~(2Х—компоненты тензора деформаций, ах, ау, ..., у2Х—-компоненты тензора напряжений, £*, <3*, V* — переменные параметры упругости;

1 0,5 —Е^К

Р*_______*_ . П*— р. V*— ________________——

1 + Е-Ж ’ — 3 1 + Е-Ж '

где Е1 = а1/е[ — секущий модуль диаграммы материала — (в/),

3 Е

К = - , Е и V — соответственно модуль упругости и коэффи-

циент Пуассона материала конструкции,

°1 = VК - °у)2 + К - °г)2 + (Зг — з,)2 + 6 (т|у + т2уг + ,

е =--^2 ‘ 3

У (£х — ®у)2 + (®у — егУ + (8г — вх)2 + у (т£у + Туг + Л\х

соответственно интенсивности напряжений и деформаций.

2. Реализация решения уравнений (1) и (2) проведена в рамках специализированного комплекса программ расчета местной прочности элементов авиационных конструкций (СКП-ФИТИНГ).

Комплекс представляет собой совокупность отдельных сервисных программ и рабочих модулей, расположенных по нисходящей схеме и написанных на алгоритмическом языке ФОРТРАН-4. Для аппроксимации геометрии пластин и оболочек применяются треугольные и четырехугольные изопараметрические конечные элементы, а массивные объемные тела аппроксимируются набором тетраэдров. Для расчета сложных конструкций используется модификация метода конечных элементов—метод подконструкций, что позволяет применять для анализа отличающихся по своей структуре и условиям работы отдельных частей узлов конструкции эффективные расчетные приемы, распараллеливать процесс задания и отладки информации о подконструкциях, более экономно распределять внешнюю память ЭВМ, сокращать время счета задачи. Несомненно важным фактором является и возможность увеличения точности расчета путем уменьшения ошибок округления, что достигается в методе подконструкций за счет уменьшения количества операций [7].

При решении упругопластической задачи используется метод последовательных приближений. В исходном (нулевом) приближении переменные параметры упругости Е* и V* задаются равными упругим механическим характеристикам материала конструкции и решается задача теории упругости, из которой определяются интенсивности деформаций нулевого приближения е° для каждого узла. Далее по диаграмме <з; = аг (ег), аппроксимируемой полиномом и построенной по диаграммам испытаний образцов при одноосном растяжении (рис. 1) по выражениям

где а и е — напряжения и деформации точек диаграммы одноосного растяжения,

определяется значение интенсивности напряжений а;, а по выражениям

где ч> = аг/£е; — относительный секущий модуль, вычисляются упругие параметры Е* и V*, используемые на следующем приближении. Существуют два способа ускорения сходимости

Рис. 1

о,==о, е,=е —

Е* =

итерационного процесса. Первый способ заключается в задании начального приближения более близкого, чем упругое решение

задачи, для чего полагают, что на нулевом шаге ?°<-|-(1 + V) [7].

Физически это означает, что расчетная дискретная модель на нулевом приближении становится более податливой по сравнению с упругой моделью, а следовательно, можно быстрее приблизиться к решению задачи. По второму способу ускорение сходимости достигается за счет дополнительной экстрополяции коэффициентов <р по выражению

где & — номер итерации, а со — коэффициент, означающий меру дополнительного продвижения решения в зависимости от значений двух последовательных итераций.

Рациональное значение о получено в работе [5] и колеблется в пределах 1,4—1,6. В СКП—ФИТИНГ реализовано сочетание обоих способов ускорения сходимости.

Спецификой решения задач пластичности для элементов с концентраторами напряжений является образование локальных пластических зон в местах концентраторов. В этом случае решение задачи можно дополнительно ускорить, построив расчетную модель таким образом, чтобы предполагаемая зона входила в одну-две подконструкции. Тогда при очередных наборах матриц жесткости подконструкций можно проверить наличие в подконструкции пластических деформаций, и если их нет, то повторное вычисление матриц жесткости подконструкции не производится.

3. В качестве примера рассмотрено решение задачи о растяжении плиты с круговым отверстием. По условиям геометрической симметрии задачи и симметрии внешних нагрузок выделялась 1/8 часть плиты, которая разбивалась на две подконструкции с общим количеством неизвестных перемещений в узлах 1575 {рис. 2). На рис. 3 приводится распределение напряжений ое/а и <зг/а (а — действующее растягивающее напряжение) по контуру отверстия. Как видно из рисунка, напряжения <39 и неравномерны по толщине плиты, и зависят от коэффициента Пуассона материала плиты, в отличии от известного решения плоской задачи.

Повышенный уровень тангенциальных напряжений в срединной плоскости по сравнению с внешней поверхностью является очевидно причиной первоначального возникновения трещин усталости в этих местах, отмеченных в экспериментах.

Количественное сравнение результатов (ЭВМ БЭСМ-6) с данными работ [3] и [4] приводится ниже

0 Кол-во неизве- стных

Источники 2=0 2=1 2 = 0 Время решения Тип метода и элемента

[3] 3,8 2,65 1084 48 МКЭ О-точечный изо-

параметрический

[4] 2,96 2,65 0,242 — — Разностный метод

Настоящая работа 2,86 2,58 0.26 1574 42 МКЭ Тетраэдр

Рис. 2. Расчетная модель плиты с отверстием

-----*,/*

-----йг!а

Рис. 3. Распределение напряжений по контуру отверстия

Рис. 4. Кинетика образования зон пластических деформаций

------г = 0

------г-*}

------решение Ил я тоской

задачи.

Рис. 5. Зависимость напряжений от увеличения нагрузки

На рис. 4 и 5 приводятся результаты решения упругопластической задачи для случая идеально пластического материала (рис. 4, а). Итерационный процесс ограничивался 3 — 6 итерациями. Первые очаги пластических деформаций возникают в срединной плоскости плиты на контуре отверстия (х = 0, у — 1, 2 = 0) и с ростом нагрузки последовательно развиваются в глубь плиты и на ее внешнюю поверхность (рис. 4). На рис. 5 приводятся значения наибольших нормальных напряжений вх)а в сечении х = 0, которые сравниваются с результатами решения плоской задачи, полученными на сетке подобной сетке сечения плиты плоскостью 2 = 0 и набранной из треугольных элементов с линейным полем перемещений. Из рисунка следует, что как в плоской задаче с ростом нагрузки о/от, где <зт — условный предел текучести материала, зоны максимальных нормальных напряжений перемещаются на некоторое расстояние от контура пластины, что, в частности, подтверждается экспериментально по возникновению очагов трещин [8], так и в плите эта тенденция сохраняется, однако максимальные напряжения располагаются ближе к контуру отверстия.

ЛИТЕРАТУРА

1. Маху то в М. А. Деформационные критерии разрушения и расчет элементов конструкций на прочность. М., „Машиностроение", 1981.

2. С а в и н Г. Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев, 1981.

3. Кудряшов А. Б., С н и с а р е н к о Т. В., Ч у б а н ь В. Д., Шевченко Ю. А. Применение изопараметрических конечных элементов для расчета напряженного состояния толстых плит в трехмерной постановке. „Ученые записки ЦАГИ“, т. VII, № 4, 1976.

4. Бобрицкая С. Д., Квитка А. Л. Определение концентрации напряжений в пластине около малого отверстия в трехмерной постановке. „Проблемы прочности*, 1973, № 3.

5. Г а л к и н а Н. С., Гришин В. И. К вопросу о снижении концентрации напряжений в конструкциях из высокопрочных материалов, „Ученые записки ЦАГИ“, т. VIII, № 1, 1977.

6. Б и р г е р И. А. Круглые пластинки и оболочки вращения. М., Оборонгиз, 1961.

7. Постнов В. А. Численные методы расчета судовых конструкций. Л., „Судостроение*, 1977.

8. X е й в у д Р. Б. Проектирование с учетом усталости. М., „Машиностроение*, 1969.

Рукопись поступила 811 1982 г.