Расчет извлечения компонента из твердой фазы в противоточном массообменном аппарате Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.1.016; 66.021.3; 66.081.6; 66.021.4; 66.045/.046

РАСЧЕТ ИЗВЛЕЧЕНИЯ КОМПОНЕНТА ИЗ ТВЕРДОЙ ФАЗЫ В ПРОТИВОТОЧНОМ МАССООБМЕННОМ АППАРАТЕ

© 2008 г. М.Р. Алиев, Р.З. Алиев, А.Р. Алиев

Дагестанский НИИ пищевой промышленности, г. Махачкала

Institute of Food Industry, Dagestan, Mahachkala

Предложен новый способ расчета и разработана математическая модель противоточного массообмен-ного аппарата с известным коэффициентом массопередачи. Получены аналитические решения уравнений модели.

Ключевые слова: противоточный массообменный аппарат, массопередача, твердая фаза.

The mathematical model of the counter-current mass exchange apparatus with a known mass-transfer coefficient for the extraction are designed. The analytical solutions of the equations of model are received.

Keywords: counter-current mass exchange device, mass-transfer, hard phase.

В современных химических технологиях значительное место занимают процессы извлечения (десорбция, экстрагирование) компонентов из твердой фазы в жидкую фазу [1, 2]. Ряд ныне действующих и перспективных производств переработки нефти, получения неорганических и органических веществ и материалов, лекарственных препаратов и биологически активных веществ широко применяют процессы извлечения. При этом актуальны процессы извлечения в аппаратах с проницаемыми каналами. Среди процессов извлечения в химической и пищевой технологиях особое значение имеют процессы в системах «твердое тело - жидкость» и «твердое тело - газ». Известная контактная аппаратура для этих процессов может стабильно работать на не содержащих взвеси жидкостях и крупнодисперсных частицах дисперсных материалов.

Одним из альтернативных вариантов проведения процессов извлечения является использование предложенного авторами способа массообмена между потоками дисперсных сред через разделяющую их конвективно-проницаемую поверхность [3 - 5]. Указанный способ осуществляется за счет инициированного обмена между потоками порциями жидких фаз через разделяющую потоки проницаемую перегородку. При этом может быть обеспечен стабильный непрерывный контакт фаз при высоких скоростях их противотока, не лимитированных разностью плотностей взаимодействующих фаз и размерами частиц. Предложенный способ реализуется в ряде массотеп-лообменных процессов [6, 7]. Основной частью рассматриваемых в [6, 7] установок является противоточный массообменный аппарат (ПМОА) [8 - 12]. В настоящей работе разрабатывается метод расчета ПМОА с известным коэффициентом массопередачи для процесса извлечения компонента из твердой фазы в жидкую.

Противоточный массообменный аппарат (ПМОА) (рис. 1) состоит из двух пространств 1 и 2, разделенных пористой полупроницаемой перегородкой 3 [3 - 5]. В состав ПМОА входит также система клапанов 4-7. Первая дисперсная среда с объемным расходом gь порозностью 8! и концентрациями переносимого компонента cS7 подается в канал 1 ПМОА через клапан 7 и выходит из канала 1 ПМОА через клапан 4 с концентрациями переносимого компонента си, с84. При этом gl<0. Вторая дисперсная среда имеет объемный расход g2>0, порозность 82, входные концентрации и с85, выходные концентрации и с86, подается в канал 2 ПМОА через клапан 5 и выходит через клапан 6. При движении потоков в ПМОА они многократно обмениваются порциями сплошной фазы, не смешиваясь своими дисперсными фазами. При этом происходит конвективный массообмен между потоками в каналах.

6

Vi

Рис. 1. Схема противоточного массообменного аппарата (ПМОА): 1 и 2 - каналы ПМОА, 3 - проницаемая перегородка, 4-7 - клапаны

Рассмотрим массообмен в тонкодисперсной системе. Для краткости будем в дальнейшем говорить о системе «твердое тело - жидкость», имея при этом в виду также и систему «твердое тело - газ». Пусть тонкодисперсная система состоит из жидкой и твердой фаз. Твердая фаза представляет собой мелкодисперсные частицы диаметром dp.

5

Запишем систему уравнений массообмена [11]: ^|LL+div (си * 1) - ^ (си)] = 0 ; (1)

8 2 ^^ +8 (СТ2* 2 ) - D2^ ^^ (СТ2 )] +

+ß 2 /S2 (! -е 2 )(C L2 " C L 2 ) = 0;

(! -е 2 + (! "S 2 ) diV (c S2 W 2 )-

"ß 2 fS2 (1 -e 2 )(C L2 " C L 2 )= 0;

-S2 = H2CL2 .

(2)

(3)

(4)

Здесь t - время. с, * - скорость, м/с; D - коэффициент диффузии компонента в сплошной фазе, м2/с; р -коэффициент межфазной массоотдачи, м/с; / - отношение площади внешней поверхности частиц дисперсной фазы к их объему, м-1; с* - концентрация переносимого компонента в сплошной фазе на межфазной границе, кг/м3; Н2 - константа межфазного равновесия.

Уравнения (1) и (2) - это балансы переносимого компонента в сплошной фазе в первом и втором каналах, (3) - баланс переносимого компонента в дисперсной фазе во втором канале, (4) - уравнение межфазного равновесия. Уравнения (1) - (3) содержат неизвестные функции си(х, у, 2, /), сТ2(х, у, 2, /), С^(х, у, 2, /). В настоящей работе мы рассматриваем случай, когда уравнение межфазного равновесия имеет линейный вид и может быть записано в форме (4). Дисперсные среды несжимаемы. На проницаемой перегородке ПМОА и на межфазной границе имеют место условия непрерывности.

Направим ось х вдоль ПМОА по направлению потока в канале 1. Выберем малый элемент объема й¥ = sdх, ограниченный двумя близко расположенными поперечными сечениями s ПМОА и участком боковой поверхности я^-йх между ними. Здесь йх - расстояние между выбранными сечениями, я - периметр сечения s. Проинтегрируем выражения (1) - (3) по выбранному объему и получим уравнения для средних по сечению концентраций:

дсТ1 дсТ1 д2сТ1 я уК , ч

+и - Dl^гTL- — (сТ2 - сТ1 ) = 0; (5)

dt dx dx Sj

dc dc

e 2—2u 2—Ъ2 - D -

2 dt 22 dx 2

d 2cL2 я VK

dx2 S 2

* \

)(CL2- CL2 ) =

(CL1 - CL2 ) +

(j-e 2 )ÖdS1 + (j-e 2) u 2 ^ -

-ß 2 /S2 (j-e 2 )(C L2 - C L 2 ) = 0

(6)

(7)

зию, в (5) и (6). В стационарном случае (5) - (7) примут вид:

' = А1 (с Ь2 - сЬ1 ) ,

ÖCt

dX

dX

= A2 (C L1 - C L2 )-BL (

öc

BL (CL2 CL2 ,

--L2

dX

= BS (CL2 CL2

(8)

Здесь А1=Гкк^21, ЛттТщ:^, 5ь=ТКр(1-82)/£2, Bs=TRк/H2, Х=х/10, G21=g2/g1, Т^ВК=^2/1К2 - отношение времени ¿ю=1о/и2 пребывания потока во втором канале ПМОА к характерному времени /К^2/Кя:„ конвективного массообмена между каналами, TRр=t-R2/tр2 - отношение времени ^ к характерному времени ¿р2=(Р/з2)-1 межфазной массоотдачи, 10 - длина ПМОА. Решая полученную систему (8), найдем:

c L2 = wje kjX + n, e k 2X + n

2

'3 •

C

L2

= hjnje kjX + h

>k 2 x .

jnje 1 + h2n2e 2 + n c Lj = mjnje kjX + m^n-, e k 2X + n

3

22

(9)

= -A2 + B L + BS + A1 k1, 2 _

(A 2 + B L + B S + Aj)2

-(A2 B s + AjB L + AjBs )

1/2

h = 1-

m: = 1 +

кг (кг + A2 + Bl + A1) B L (B S -A1 )

кг (кг + A2 + Bl + Bs )

A2 (Bs -A1) .

(10)

(11)

где К - коэффициент массопередачи между каналами ПМОА (м/с); и - проекция на ось х средней по сечению скорости жидкости, и2>0 и и1<0, яу - периметр проницаемой части сечения s. Мы можем пренебречь слагаемыми, отвечающими за молекулярную диффу-

Постоянные п1, п2, п3 определяются из граничных (входных) условий. Обычно известны следующие параметры ПМОА: е2, Н2, G21, Т№ TRр. Кроме того, должны быть известны граничные (входные) параметры сь7=сЫ(1), сь5=сь2(0), сь5*=сь2*(0). Зная 82, Н2, С21, TRK, TRр, можем найти А1, А2, ВТ BS. Далее по (10), (11) находим h1, h2, т1, т2. Затем, зная сТ7, сЬ5,

сТ5*, найдем п1, п2, п3. Величина сТ5* определяется из (4) при известном значении с^. Зная k2, h1, h2, т1, т2, п1, п2, п3, по (9) находим распределения сЬ1(Х), сЬ2(Х), сЬ2*(Х), вдоль каналов ПМОА. Распределение с^(Х) получаем из (4): сS2(X)=H2сL2*(X). На практике наиболее важными величинами являются выходные концентрации ^4=^1(0), ^=^(1), ст6*=ст2*(1), сS6=H2сL6*. Для ПМОА G21<0. Тогда постоянные п1, п2, п3 равны:

(1-h 2 )(с Т5 -с Т7 )-[1-т 2ехР (k 2 )](с Т5 -с Т5 )

п =_-_—

1 [1-т1ехр (k 1 )](1-7 2 )-[1-т 2ехр (к 2 )](1-hl )'

По =

C L5 -C L5 -(1-h1 ) n1

1-hn

n= cT, -n, -n-

2

4

2

2

Из формул (9) имеем:

ст л = n,ekl + n-,eк2 + n?

C L6 = h1nle 1 + h 2n 2e 2 + n 3:

c L4 = m1n1 + m 2 n 2 + n 3.

(12)

Рассмотрим процесс извлечения (десорбции, экстрагирования) переносимого компонента из твердой фазы в жидкую фазу в ПМОА. В первый канал ПМОА подается жидкость, а во второй канал ПМОА подается суспензия. При этом с^*>с№ с^^с^. Пусть концентрации переносимого компонента в жидкой фазе на входах в первый и второй каналы ПМОА равны: с^=с^. Тогда максимально возможной концентрацией процесса будет с^ , а минимально возможной - с^. Постоянные щ, п2, п3 будут равны:

J1 = N1 (С L5 " С L7 ) , n 2 = N 2 (C L5 " C L7 ) :

n 3 = c L7 + N 3 (C L5 " C L7 );

N =

1-m2exp(к 2)

[1 - m1exp (к 1 )](1 - h 2 )-[1 - m 2exp (k 2 )](1 - h1 )

1 - m,exp (k,)

N 2 =- N1-1 ^ .

N 3 = N1

1 - m 2exp (к 2)

m 2exp (к 2)- m1exp (к 1)

1 - m 2exp (к 2)

В этом случае удобно перейти к безразмерным концентрациям следующим образом:

C L1 (X) = C L1*( X)-C L7 , C L2 (X )= CL2 (X)-CL7

(x )-c

ст ст

ст ст

C L2 (X ) =

C L2 (X) C L7

' L5 ^ L7

Входные параметры: С^=0, С^=0, CL5 =1. Формулы (9) и (12) имеют вид:

с Ь2 (X )= Е N1 е к'х + N 3,

CL2 (X ) = Е hNi e + N3

CL1 (X)= Е mtNteк'х + N3 i=1,2

C L6 = N 1e к1 + N 2e к 2 + N 3,

C L6 = h1N 1e к1 + h 2 N 2e к 2 + N 3

CL4 = m1 N1 + m 2 N 2 + N3.

(13)

Результаты расчетов по (13) представлены на рис. 2 - 6. Показаны зависимости безразмерных концентраций Си, Си, Сц5 на выходах ПМОА в процессе извлечения от порозности е (рис. 2), от ^|С21| (рис. 3), от \gfl2 (рис. 4), от ^Т-р (рис. 5), от ^Т-к (рис. 6).

Из рис. 2 видно, что с ростом е концентрации С,7, Сы, СL6 понижаются, и с увеличением Т-К концентрация С^ увеличивается, а концентрации СL6, Сы уменьшаются. Увеличение е означает уменьшение объемной доли твердой фазы (дисперсного твердого материала). При этом масса извлеченного (десорби-руемого или экстрагируемого) компонента уменьшается и концентрации Си, С^ переносимого компонента в жидкости на выходах ПМОА уменьшаются. В то же время чем меньше объем твердой фазы в суспензии, тем быстрее происходит снижение концентрации переносимого компонента в дисперсных частицах и, соответственно, уменьшается концентрация компонента в жидкости вблизи поверхности частиц.

1,0

0,8

и

0,8

U

0,4

U

0,2

■-■С-....., .....4...... ......

........i....... Чч„ 7 " ч. \

.....-4.. .......... х \ w

/ "X

0,4 0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Рис. 2. Зависимости безразмерных концентраций СЬ4 (1, 4, 7), СЬ6 (2, 5, 8), СЬ6 (3, 6, 9) на выходах ПМОА в процессе извлечения для Н2=10, 021= -1, ТКр=10 от порозности е при различных значениях параметра Тш: Т-к=0,1 (1, 2, 3), 7-к=1 (4, 5, 6), Т-к=10 (7, 8, 9)

Представленные на рис. 3 данные показывают, что с ростом |С21| концентрации Си, Сы, СL6 повышаются, и с увеличением Т-К концентрация Си возрастает, а концентрации Сы, СL6 уменьшаются. Увеличение |С21| означает повышение объемного расхода суспензии дисперсного твердого материала во втором канале по сравнению с объемным расходом жидкости в первом канале. Чем больше |С21|, тем больший объем дисперсных частиц проходит через ПМОА за время пребывания в ПМОА жидкости с малой концентрацией переносимого компонента. При этом масса извлеченного компонента увеличивается и концентрации С№ Сы переносимого компонента в жидкости на выходах МОА возрастает. В то же время чем больше дисперсного твердого материала проходит через ПМОА в единицу времени, тем большая концентрация переносимого компонента остается в частицах и, соответственно, выше концентрация С^ компонента в жидкости вблизи поверхности частиц.

0

1=1,2

z=1,2

0,7

0,6

и 0,5

и

и

0,4

0,3

0,2

0,1

—3-

/ 2

Д.." j* У !

J8 *

г ! ' / * J V •J -1 \ J

/\7 4

-3

-2

-1

0

1

2 lg|G21|

Рис. 3. Зависимости безразмерных концентраций Сы (1, 4, 7), Си6 (2, 5, 8), Си6 (3, 6, 9) на выходах ПМОА в процессе извлечения для Н2 = 10, 8 = 0,9, ТКр =10 от при

различных значениях параметра Тш: Т^ = 0,1 (1, 2, 3), Т^ = 1 (4, 5, 6), Т№ = 10 (7, 8, 9)

Из данных рис. 4 можно сделать вывод о том, что с ростом Н2 концентрации Си7, Си6, Си6 повышаются, и с увеличением параметра Т^ концентрация Си растет, а концентрации СЬ6, СЬ6 снижаются. Чем больше Н2, тем меньше движущая сила процесса извлечения. При увеличении константы Н2 масса извлеченного компонента уменьшается, а безразмерная концентрация Си6 компонента в жидкости вблизи поверхности частиц повышается. Увеличение константы Н2 приводит к уменьшению размерных концентраций сЬ7, сЬ6. Безразмерные концентрации СЬ7, Си6 отнесены к величине си5 , которая обратно пропорциональна константе Н2. Поэтому с ростом Н2 концентрации Си7, Си6 повышаются.

1,0

0,8

и

и

и

0,8

0,4

0,2

9/f

tf tf *§o 2 _

5

ff/ ' .1 7

Яг № У 0 ------ 1

-3

-2

-1

0

1

2 lg#2

метра ТКр, тем более высокое значение в рассматриваемом процессе приобретает межфазная массоотдача и тем большая масса переносимого компонента переходит в процессе извлечения из частиц твердой фазы в жидкую фазу. При этом концентрация Си6 компонента в жидкости вблизи поверхности частиц уменьшается, а концентрации Си7, Си6 переносимого компонента в жидкости увеличиваются. С ростом параметра Т^р концентрация Си6 переносимого компонента в жидкости во втором канале и концентрация Си6 переносимого компонента в жидкости вблизи поверхности частиц во втором канале приближаются друг к другу. Таким образом, при достаточно больших значениях параметра Тар жидкость и частицы твердой фазы выходят из второго канала ПМОА в равновесии друг с другом.

1,0

0,8

0,8

и

ю J

° 0,4 ^ 0,2 0

\

6 2t

//■ £.....v-Ц Г 4.... >£........

//¿f/ 1

-3

-1

0

1

2 lgTRP

Рис. 4. Зависимости безразмерных концентраций Сы (1, 4, 7), Си6 (2, 5, 8), Си6 (3, 6, 9) на выходах ПМОА в процессе извлечения для G21 = -1, 8 = 0,9, Ткр =10 от ^Н2 при различных значениях параметра Т^: Ткх = 0,1 (1, 2, 3), Ткх = 1 (4, 5, 6), Ткх = 10 (7, 8, 9)

Данные рис. 5 свидетельствуют о том, что с ростом Тар концентрации Си7, Си6, повышаются, а концентрация Си6 понижается, и с увеличением параметра Ткх концентрация Си возрастает, а концентрации Сь6, СЬ6 уменьшаются. Чем больше величина пара-

Рис. 5. Зависимости безразмерных концентраций Сы (1, 4, 7), Си6 (2, 5, 8), Си6 (3, 6, 9) на выходах ПМОА в процессе извлечения для G21 = -1, 8 = 0,9, Н2 = 10 от при различных значениях параметра Ткх: Т^ = 0,1 (1, 2, 3), Ткх = 1 (4, 5, 6), Ткх = 10 (7, 8, 9)

Из анализа рис. 6 можно убедиться, что с увеличением Тш концентрация СЬ7 растет, а концентрации Сь6, СЬ6 уменьшаются, и с ростом Тьр концентрации Сь7, Си6, повышаются, а концентрация Си6 понижается. Чем больше величина Тш, тем большее значение в рассматриваемом процессе приобретает конвективный массообмен между каналами ПМОА и тем большая масса переносимого компонента переходит из второго канала в первый. При малом значении Тш переносимый компонент практически не переходит из второго канала в первый. Поэтому концентрация Си7 компонента в жидкости на выходе из первого канала ПМОА остается близкой к нулю. При увеличении Тш в результате конвективного массообмена между каналами ПМОА жидкая фаза с большим содержанием компонента переходит из второго канала в первый, а жидкая фаза с малым содержанием компонента переходит из первого канала во второй. Поэтому при увеличении Тш концентрация Си компонента в жидкости на выходе из первого канала ПМОА увеличивается, а концентрация Си6 компонента в жидкости и концентрация Си6 компонента в жидкости вблизи поверхности частиц твердой фазы на выходе из второго канала

0

0

ПМОА уменьшаются. С ростом Тш концентрация CL7 переносимого компонента в жидкости в первом канале и концентрация Су6 переносимого компонента в жидкости во втором канале сначала приближаются друг к другу. При некотором значении Т^ они сравниваются. При дальнейшем росте Т^ оказывается, что С^>С^. Таким образом, при достаточно больших значениях Т^х ПМОА превосходит по своим свойствам реактор идеального смешения, в котором возможно достичь лишь средней концентрации компонента, одинаковой по всему объему реактора. В реакторе идеального смешения происходит перемешивание частиц твердой фазы и равномерное их распределение по всему объему реактора. В ПМОА такого перемешивания не происходит. В этом заключается существенное преимущество использования ПМОА во многих технологических процессах.

1,0

„ 0,8

ю J

и

0,8

ю

0,4

hJ

и

0,2

0

-3 -2 -1 0 1 2

Рис. б. Зависимости безразмерных концентраций СЬ4 (1, 4, 7), Сьб (2, 5, 8), Сьб (3, 6, 9) на выходах ПМОА в процессе извлечения для С21 = -1, е = 0,9, Н2 = 10 от при

различных значениях параметра 7^: Т^р = 1 (1, 2, 3), Гкр = 10 (4, 5, 6), Гкр = 100 (7, 8, 9)

Таким образом, в настоящей работе построена математическая модель противоточного массообменного аппарата (ПМОА) с известным коэффициентом мас-сопередачи для процесса извлечения (десорбции, экстрагирования) компонента из твердой фазы в жидкую фазу. Установлено, что на процесс извлечения в ПМОА влияют следующие параметры: порозность е2 дисперсной среды, константа Н2 межфазного равновесия, отношение G21=g2/g1 объемных расходов потоков во втором и первом каналах ПМОА, отношение Тщ^^/К времени пребывания потока во втором канале ПМОА к характерному времени 1К2 конвектив-

Поступила в редакцию

ного массообмена между каналами, отношение ТКр=/а2//р2 времени пребывания потока во втором канале ПМОА к характерному времени /р2 межфазной массоотдачи. Показано, что эффективность ПМОА тем больше, чем больше значения величин Т^ и ТКр.

Настоящая работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 05-08-18238.

Литература

1. Романков П.Г., Рашковская Н.Б., Фролов В.Ф. Массооб-

менные процессы химической технологии. Л., 1975.

2. Романков П.Г., Курочкина М.И. Экстрагирование из

твердых материалов. Л., 1983.

3. Алиев Р.З., Алиев А.З. Установка для экстрагирования в

системе «твердое тело - жидкость» и способ экстрагирования в системе «твердое тело-жидкость»: А. с. 548290 СССР, //Б.И. 1977. № 8.

4. Алиев Р.З. Установка для массообмена в системе твердое

тело - жидкость: Патент 1182722 РФ // Б.И. 1996. № 10.

5. Алиев Р.З. Установка для массообмена. Патент 1220180

РФ// Б.И. 1996. № 10.

6. Алиев М.Р., Алиев Р.З., Алиев А.Р. Динамика сорбции в

модуле реактор - массообменный аппарат // Теоретические основы химической технологии. 2001. Т. 35. № 3. С. 288 - 297.

7. Алиев М.Р., Алиев Р.З., Алиев А.Р. Непрерывный селек-

тивный нагрев твердой фазы дисперсной среды // Теоретические основы химической технологии. 2003. Т. 37. № 1. С. 27 - 33.

8. Алиев М.Р., Алиев Р.З. Распределение давлений при тур-

булентном течении жидкости в длинном канале со стенками из фильтроткани // Теоретические основы химической технологии. 1997. Т. 31. № 1. С. 102 - 104.

9. Алиев М.Р., Алиев Р.З., Алиев А.Р. Течение жидкости в длинных смежных каналах, разделенных проницаемой перегородкой // Теоретические основы химической технологии. 1999. Т. 33. № 1. С. 23 - 29.

10. Алиев Р.З., Алиев М.Р., Алиев А.Р. Исследование конвективного массообмена между дисперсными потоками в клапанно-пульсационном аппарате с проницаемой перегородкой // Журн. прикладной химии. 2001. Т. 74. № 12. С. 2006 - 2012.

11. Алиев М.Р., Алиев Р.З., Алиев А.Р. Массообмен между потоками тонкодисперсных сред под действием знакопеременного перепада давления в каналах, разделенных проницаемой перегородкой // Теоретические основы химической технологии. 2004. Т. 38. № 2. С. 140 - 150.

12. Алиев Р.З., Алиев М.Р., Алиев А.Р. Конвективный массо-обмен между потоками тонкодисперсных сред в клапан-но-пульсационном массообменном аппарате // Журн. прикладной химии. 2004. Т. 77. № 6. С. 961 - 970.

19 марта 2008 г.

3

б/ У / 9/

.......У"" * /

ч\ \

2 /4 ..........

ч.

Алиев Мурад Ризванович - канд. техн. наук, старший научный сотрудник Дагестанского НИИ пищевой промышленности, г. Махачкала.

Алиев Ризван Закирович - канд. техн. наук, доцент Дагестанского НИИ пищевой промышленности, г. Махачкала. Тел.: (8722) 62-18-67.

Алиев Амиль Ризванович - д-р физ.-мат. наук, доцент, ведущий научный сотрудник Дагестанского НИИ пищевой промышленности, г. Махачкала. Тел.: (8722) 62-18-67. E-mail: [email protected].