CC BY
55
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ НАГИ Том XVII 1986
№ 5
УДК 629.7.015.3.036: 533.697.4
РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ТУРБУЛЕНТНЫХ СТРУЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ В СОПЛАХ
В. Л. Зимонт, О. В. Макашева
Исследуется влияние перемешивания и турбулентности в слое смешения при струйных течениях в сверхзвуковых соплах на интегральные характеристики потока — импульс, коэффициенты расхода, необходимые площади проходных сечений. Показано, что влияние турбулентного перемешивания на характеристики сопел соизмеримо с влиянием других факторов — трения о стенки сопла, газодинамических эффектов, наличие химических реакций в потоке и т. д.
Турбулентное смешение в соплах рассчитывается в приближении .узкого канала*, при котором уравнения движения имеют такой же вид, как и в течениях типа пограничного слоя. Для исключения ошибок, связанных с нарушением интегральных законов сохранения из-за погрешностей аппроксимации при конечно-разностных расчетах, сделано обобщение метода уточнения, развитого ранее для невязких течений, представляющее гидравлическую теорию сопла, в которой учитываются реальные неравномерности газодинамических параметров.
В настоящее время широкое применение нашли комбинированные реактивные двигатели — двухконтурные турбореактивные двигатели (ТРДД) в авиации, ракетно-прямоточные двигатели (РПД) в ракетной технике и т. д. Для этих двигателей типичным является значительная неравномерность газодинамических параметров в некотором характерном сечении двигателя, которая в процессе течения выравнивается за счет турбулентного перемешивания. Анализ рабочего процесса в таких двигателях обычно опирается на предположение о полном перемешивании в цилиндрической или изобарической камере смешения с последующим истечением однородного потока в сопле. Отклонение такой идеальной картины от реального процесса учитывается путем введения потерь полного давления в камере смешения и учете для сопла влияния относительно хорошо изученных факторов, определяющих потери тяги для течений с постоянными параметрами торможения — трения в сопле, двумерности течения, неравновесности химических реакций и т. д.
В реальных ТРДД и РПД имеет место неполное смешение, обусловленное ограничениями на длину камеры смешения из-за ее
габаритов, веса и потерь на трение. В случае частичного перемешивания потоков в конце камеры имеет место струйное течение, которое, продолжая перемешиваться в сопле, истекает в окружающее пространство. При этом возникают задачи, связанные с учетом влияния турбулентного перемешивания и генерируемой в слое смешения турбулентности на интегральные характеристики течения. Наибольший практический интерес представляют, по-видимо-му, следующие задачи: 1 — каким образом нужно изменить площади характерных сечений сопла, чтобы пропустить заданные расходы и обеспечить расчетное истечение потока при заданном окружающем давлении, и какова при этом будет тяга сопла; 2 — каким образом для заданного сопла изменятся расходы исходных потоков и как это отразится на давлении в выходном сечении сопла и его тяге. Первая задача приводит к постановке обратной задачи для сопла, когда контур сопла определяется при заданном распределении вдоль потока какого-нибудь параметра, например, статического давления. Вторая задача сводится к прямой задаче, состоящей в расчете течения при фиксированной геометрии сопла.
Существуют работы, в которых струйные течения в соплах анализируются в приближении „узкого канала41, при котором уравнения движения имеют такой же вид, как и в течениях типа пограничного слоя [1, 2]. При использовании конечно-разностных методов решения уравнений для расчета характеристик сопел возникает проблема, связанная с тем, что погрешность в определении интегральных характеристик потока соизмерима с эффектами влияния перемешивания. В настоящей работе эта трудность обойдена путем развития метода уточнений, предложенного для невязких течений в работах [3 — 4] и состоящего в привлечении дополнительно к конечно-разностным расчетам интегральных законов сохранения. Интегральные характеристики течения в сверхзвуковом сопле находятся из гидравлической теории сопла с учетом поправок, связанных с неравномерностью распределения газодинамических параметров и профилями пульсационных характеристик в сечениях и полученных из численных расчетов вязкого течения в приближении пограничного слоя с использованием известных по-луэмпирических уравнений турбулентности.
1. В реальных течениях зона смешения является относительно узкой. Поэтому все течение разбивалось на три области (рис. 1) —
Рис. 1
одномерные изоэнтропические потоки / и // с исходными параметрами торможения и зона турбулентного смешения III.
Законы сохранения для потоков I к II можно записать в следующем виде:
р,я, А7, = (?,(! — <*,(*)),
РІРоі = (РііРоі)\
р
2
(х— 1) рг 2 (х — 1) р0
Здесь а{(х) — доли расходов соответствующих потоков, вовлеченные в зону смешения, X — показатель адиабаты (ниже принималось х=1,4). В случае отсутствия смешения а, (х) = а2{х) = 0, и получается обычный гидравлический расчет совместного истечения двух потоков через СОПЛО.
В области смешения параметры течения неравномерны по сечению. Следуя работе [3], введем средние по времени и площади параметры:
а = =-4- \атс1Р=-1-Аг [ \adtdF, (1)
М Рз Т А т
тогда мгновенное значение параметра а в любой точке можно записать в виде
а = + (2)
Запишем интегральные законы сохранения для области ///:
— уравнение расхода:
| рз и3 йр = в1я1 (х) + б2 а2 (х)] (3)
. р,
— уравнение энергии:
Г ( * Р I “8+®8+®3 ъ //-> Рй\ і Г
J Рз И3 77 “1 2 /^— (Х_1) (°1а1 р01 і °2а:
Ро 2
АО
2 Ро 2
(4)
где и, V и ж/— составляющие вектора скорости:
— уравнение импульсов:
dJ = -г «I + С?2 М2 і (5)
где -/=.[ (Рзиз2 + /?)^. р»
После подстановки уравнений (1) и (2) в уравнения (3) —(5) получается следующая система уравнений:
Рз «з Р, (1 +А) = «і + б2 а2; ривРз + -к- Рзмз (1 + ЗЛ + 35 + С) з =
(х— 1)
* СС!^- Л ~ Р°2
Л [рз Из(1 2Л 4“5)^:'3].+ ,Рзdp = б!Й!dИ[ -(- 02ы2 d<х2
(6)
С ----------------параметры нерав-
на
Рз “з
'3
номерности.
При наличии в потоке, помимо неравномерности осредненных по времени параметров, турбулентных пульсаций а', т. е. когда
дисперсия отклонения параметра поперек слоя смешения имеет вид:
где а'т2 — дисперсия турбулентных пульсаций параметров в некоторой точке потока, [а'т2)Р — средняя по площади поперечного сечения слоя смешения величина дисперсии турбулентных пульса-
Таким образом, если известны величины массообмена между исходными потоками газа и зоной смешения о^Сх) и а2(л:)
где с1 — концентрации веществ исходных компонентов в слое смешения, и коэффициенты неравномерности параметров в зоне смешения А (х), В(х), С(х), задача сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения (6). Для определения указанных величин необходимо знать развитие профилей параметров потока в зоне смешения. В настоящей работе это достигается путем численного интегрирования системы дифференциальных уравнений пограничного слоя для осредненных параметров:
Д а = (ат — аТр) + а',
Д а2 = (<2г2)р + [йт)р — атр ,
ций а
Аналогично:
Дд ДЬ = (о? Ьт)р (ат • Ьт)р — Лтр • Ь тр ■
дра , дри дх ду
(7)
ди . ди сір . д
?а дх ду —' ~ 1х + ду
( Р*т ду ) ;
(8)
дН , дН
р« лг + р*-57 = 5
(9)
Н = срТ+*-,
р = ^Т\
(И)
(10)
где Ье и Рг — турбулентные числа Льюиса и Прандтля. Для определения характеристик турбулентности привлекаются полуэмпи-рические уравнения переноса турбулентной вязкости &т[5]
и энергии турбулентности
(14)
Эмпирические постоянные, входящие в эти уравнения, согласно рекомендациям работы [5] равны:
Для замыкания данной системы уравнений необходимо знать изменение статического давления вдоль зоны смешения. В настоящей работе оно либо задается (обратная задача сопла), либо находится из предварительного гидравлического расчета кусочно-одномерного течения в сопле фиксированной геометрии. Подробное описание конечно-разностного метода решения системы уравнений (7) — (14) можно найти в работе [5].
2. Для иллюстрации данного метода приведем результаты расчетов различных вариантов течения в плоских соплах. Анализируется как обратная задача, когда по заданному распределению статического давления вдоль сопла восстанавливается его контур, так и прямая задача, для которой геометрия сопла предполагается заданной.
а) Прямая задача. Эта задача рассматривается в следующей постановке: во входном сечении сопла заданы поперечные размеры двух потоков (0), Н2(0), их полные давления и температуры торможения р01, р02, Т01, То2 и контур сопла (см. рис. 1). Необходимо определить влияние перемешивания в сопле на расходы каждого из потоков и величину потока импульса вдоль течения.
В этом случае дифференциальное уравнение (6) переписывается в виде уравнения для градиента давления вдоль сопла:
Ье = 1; Рг = 0,75; а = 0,2; к = 2; а = 0,05; Рі> = 0,75.
<1р _________/?
йх О ’
(15)
где
+ а)Рз1(х)\^_^А_(1+2А + ЗВ + С)
— —- рз «з (1 + ЗЛ + ЗД + С)+-^-1 [т(х)~и3к(х)] +
*- //л
+ р [21{х)Аа^ 4- (1 + А + В) +2Л + В)р3и3 X
<2 = 1(х) - Р3 [—х— рзйз (1 + ЗА + 35 + С) + 4-
I. х «3
+ (1 + 2А + В) рз Из
+
р хи\ — 1.р ?2и1-г.р
* 1-------5-----Ь Г 2
хР1 и\
g{x)~G1al(x) + G% а2{х)\ l(x) = g(x)( 1 + А +В); т(л:) = 01и1^ + 02и2^;
, йВ_ йх
Ь М=(О. ё + гг) (1 + л + в> + г М (г +
Уравнение (15) в случае отсутствия зоны смешения совпадает с уравнением для градиента давления в гидравлическом прибли жении.
Для нахождения начального значения статического давления-добавляется условие одновременного равенства нулю числителя и знаменателя в правой части уравнения (15) и применяется итерационный процесс, основанный на рекомендациях работы [6]. Указанное условие выполняется при непрерывном разгоне потока вдоль сопла и в случае отсутствия перемешивания, приводит к аналитическому „условию Пирсона11 в критическом сечении сопла [7].
В табл. 1 представлены результаты расчетов влияния перемешивания в докритической части сопла на коэффициенты расходов потоков и [1*2 и общий коэффициент расхода |Ае, а также на величину удельного (отнесенного к расходу) импульса в критическом сечении (У/О)* (р-г = С?г/Ого, = Ов/бе О, Д (У/<3)* = ----1,
индекс „0“ относится к кусочно-одномерному течению без смешения, индекс к критическому сечению сопла). Расчеты выполнены для плоского сопла, дозвуковая часть которого спрофилирована по формуле Витошинского, Нх (0) = Н2 (0), х^/Н(0) = 0,5,
Н%1Н(0) = 0,75, // = #! +Я2, а сверхзвуковая часть имеет угол
Таблица 1
№! 1 Ро1 То 2 Т01 {^(Н1+Н2)и^х_0 АН-1 Д[а2 И <1 *
1 I 1 1 0,3 0,001 0,0107 0,0107 0,0107 0,668
2 1 0,3 0,01 0,0254 0,0254 0,0254 1,765
3 1 0,2 0,001 0,0207 0,0207 | 0,0207 1,337
4 1,4 1 0,001 0,0025 0,0002 0,0013 —0,056
5 | 1,4 0,2 0,001 | 0,0341 0,0030 | 0,0120 | 0,473
раствора 9,5°. Начальная вязкость в таблице приведена в безразмерном виде ут»(-^=о.
Из расчетов следует, что наличие перемешивания приводит к уменьшению коэффициентов расходов. При этом выравнивание неравномерностей полного давления (случай 4) приводит к уменьшению удельного критического импульса, а выравнивание неравномерностей полных температур (случай 1 — 3)— к увеличению. Это согласуется с теоретическим результатом, полученным в работе[8] и состоящим в том, что одни неравномерности полного давления увеличивают величину удельного критического импульса по сравнению с равномерным течением в отличие от неравномерностей температуры торможения, которые ее уменьшают (см. также [9], где проанализирован случай неравномерной температуры торможения).
Из результатов, приведенных в табл. 1, следует, что учет частичного перемешивания потоков приводит к значительному (порядка процентов) изменению расходов и удельного критического импульса.
На рис. 1 приведены соответствующие табл. 1 изменения вдоль
— У (х)
сопла величины потока импульса А /(х) = - ,--1, связанные с
•'О
наличием перемешивания потоков. На графиках ДУ(0)^0, что связано с изменением расходов и параметров потоков в начальном сечении из-за перемешивания.
Отметим, что при рассматриваемом подходе находится скалярная величина импульса, а его направление следует из условия симметрии течения (см. [3, 4]).
б) Обратная задача. Известны параметры торможения, расходы потоков и давление окружающей среды Т01, То2, рох, р02,
О?,, Раа- Гидравлический расчет позволяет определить площади необходимых сечений и импульсы потоков в выходном сечении при расчетном истечении из сопла. При заданном распределении давления р(х) требуется определить влияние перемешивания на геометрию сопла и выходной импульс потока. В этом случае уравнение (6) может быть переписано в виде обыкновенного дифференциального уравнения для определения ширины зоны смешения
■ 2АйА - &-
1
Из I (х)
[пг (х) — Из к (я) — /"з йр]
(х-1)
(1 +А)
Рз
\тщ{т(х) - и3к(х) - Гвс1р) (I + 2А+ЗВ+ С)
~2
Н—к- (2(1А + ЫВ +йс) — сН(х)
с простым начальным условием /^(С^^О.
На рис. 2 представлены результаты расчетов влияния смешения на импульс потока при различных полных параметрах. Соответствующие изменения требуемых проходных сечений приведены
До
Рис. 3
''‘зг/То: ^’Рог/Рт
2- 0,3
3- I
4- 0,2
Рис. 2
О
X Рис. 4
на рис. 3, где АН = Н/Н0—1. Видно, что и в данном случае эффекты, связанные с перемешиванием, могут достигать одного-двух процентов. В расчетах G1 = G2-, р (л:) = те (ЧО)) ехр (— (1,53 х)2);
В приведенных расчетах влияние турбулентных пульсаций скорости не учитывалось. Привлечение уравнения баланса турбулентной энергии (14) позволяет оценить пульсационные составляющие скорости и определить их влияние на интегральные характеристики потока. Это было сделано для случая 2 из рис. 2. На рис. 4 пунктирная кривая соответствует пренебрежению пульсациями скорости (совпадает с кривой 2 рис. 2), кривые 1 — энергия турбулентности равномерно распределена по направлениям, 2— энергия турбулентности сосредоточена в продольных пульсациях, 3—энергия турбулентности сосредоточена в поперечных пульсациях скорости. Из данных рис. 4 следует, что влияние турбулентных пульсаций на импульс может составлять заметную долю от эффекта перемешивания.
3. Изложенный в настоящей работе подход к определению влияния перемешивания на интегральные характеристики потока допускает независимую количественную проверку в критическом (минимальном) сечении сопла, для которого в работе [10] получены аналитические результаты. В этой работе показано, что величина потока импульса в критическом сечении при известной величине потока энергии определяется лишь коэффициентами неравномерности в этом сечении (в то время как согласно предложенной методике, справедливой для любого сечения сопла, значения потока импульса зависят от поведения коэффициентов неравномер-
P = PlPoi\ 40) =0,3;
= 0-5; Р* ~ 0,528; &т = 0,001.
ности вдоль сопла) и с точностью до членов более высокого порядка малости может быть представлена в виде:
У* • У* о
1 +
(3-х) Д ? (х-1) А^+Л^ 1____ д Т'&и,
2 (*— 1) и2 (х + 1) и2 (* + 1) Г* и*
, (16)
где У*— импульс в критическом сечении неравномерного течения, У* 00 — импульс в критическом сечении равномерного течения с той же величиной потока энергии. Поэтому при известных неравномерностях параметров величина потока импульса в критическом сечении может быть посчитана двумя независимыми способами — путем интегрирования вдоль потока дифференциального уравнения (6) и согласно формуле (16).
В случае отсутствия перемешивания импульс кусочно-одномерного течения Jщ = JlQ может быть определен точно из газодинамических соотношений и для рассматриваемого выше примера й1 — = С2, р0! = р0 2 относительное влияние ступенчатой неравномерности равно:
ду\,=£?- -1 =_1±£2ЭЕ- -1.
• Л. /2(1+^)
Точность формулы (16) иллюстрирует отношение ДУ’о/ДУ»0, где ДУ. о— влияние ступенчатой неравномерности на импульс, найденное согласно формуле (16) (табл. 2).
В табл. 2 ДУ, шах = — 1 = — ДУ.то/(ДУ,т<> + 1) — максимальное
'.О
увеличение критического импульса, достигаемое при полном перемешивании, ДУ# = -т-®--1—относительное увеличение импульса
•'* о
из-за частичного перемешивания согласно методике настоящей работы и ДУ’— то же при использовании для определения импульса
__ у £
формулы (16), Д//* = —----1 — относительное увеличение площади
* о _
критического сечения сопла, gif = gJ{G1-{■Gi) — доля расхода в слое смешения в критическом сечении, которая увеличивается с ростом температурной неравномерности из-за интенсификации перемешивания. Из данных табл. 2 следует, что при малых перегре-
Таблица 2
№ Тй2 Тог Д^'о ЧТо ДУ*тах , % ДУ*, % ду ду * дя*. % £*. %
1 0,9 0,9971 0,035 0,0033 | 1,091 0,004 15
2 0,8 0,968 0,155 0,016 1,179 0,022 18
3 0,5 0,854 1,46 0,183 1,831 0,252 23
4 | 0,2 | 0,477 7,05 (1,36 | 2,676 1,854 | 37
вах численный расчет и формула (16) дают для приращения импульса близкие результаты. Значительно меньшая точность формулы (16) при определении изменения потока импульса из-за смешения по сравнению с влиянием ступенчатой неравномерности связана с относительно малым влиянием на импульс частичного перемешивания, составляющего в рассматриваемых примерах 10 — 20% от эффекта полного перемешивания. Из формулы (16) следует [10], что поперечные составляющие пульсации скорости уменьшают, а продольные — увеличивают величину критического импульса, что согласуется с результатами, представленными на рис. 4.
Отметим, что использованное разбиение потока на три области не является обязательным, и в случае достаточно широкой области смешения или при достижении слоем смешения стенки сопла можно использовать уравнения с поправками для параметров, осредненных по всему сечению. Однако в случае узких зон смешения точность результатов в этом случае может быть значительно меньше.
Из приведенного анализа следует, что эффекты влияния частичного перемешивания на величину потока импульса, коэффициент расхода и необходимую площадь критического сечения сопла имеют практическое значение и должны наряду с учетом трения, двумерности течения и т. д. приниматься во внимание при расчете характеристик сопел двухконтурных и комбинированных ВРД.
ЛИТЕРАТУРА
1. Б ы р к и н А. П., М е ж и р о в И. И. О расчете течения вязкого газа в канале. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1967, № 6.
2. Л а н ю к А. Н. О влиянии двумерности течения газа со ступенчатым распределением полных параметров на интегральные характеристики сопла Лаваля. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1978, №3.
3. 3 и м о н т В. Л. Метод повышения точности расчета интегральных характеристик потока в сверхзвуковых соплах. — Ученые записки ЦАГИ, 1976, т. VII, № 2.
4. 3 и монт В. Л., Ягу дин С. В. Об увеличении точности определения интегральных характеристик сопел на основании численных расчетов поля течения. — Ученые записки ЦАГИ, 1978, т. IX,
№ 3.
5. Козлов В. Е., Сабельников В, А. Численные методы расчета турбулентных струйных течений в каналах в приближении пограничного слоя. — Труды ЦАГИ, 1979, вып. 1982.
6. ДынниковаГ. Я. К расчету критического течения неравновесного газа в сопле Лаваля. — Ученые записки ЦАГИ, 1985, т. XVI,
№ 5.
7. Pearson Н., Н о 11 i d а у J. В., S m i t h S. F. A theory of the cylindrical ejector supersonic propelling nozzle. — J. Roy. Aeronaut Soc.,
62, 746-751, 1958.
8. 3 и м о н т В. Л. Некоторые неравенства, справедливые при неравномерных течениях в сверхзвуковых соплах. — Ученые записки ЦАГИ, 1972, т. III, № 2.
9. М е ж и р о в И. И. О влиянии неравномерности потока на величину полного импульса. — Ученые записки ЦАГИ, т. II, №2, 1971.
10. 3 и м о н т В. Л. О тяге сужающихся сопел при струйных турбулентных течениях. — Ученые записки ЦАГИ, 1971, т. II, № 5.
Рукопись поступила 29/Х 1984 г.
