О тяге сужающихся сопел при струйных турбулентных течениях Текст научной статьи по специальности «Физика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

То м II 1971

№ 5

УДК 629.7.015.3.036:533.697.4

О ТЯГЕ СУЖАЮЩИХСЯ СОПЕЛ ПРИ СТРУЙНЫХ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЯХ

В. Л. Зимонт

Исследуется влияние на удельный критический импульс сопла отклонения течения от одномерного. Показано, что наличие в критическом сечении поперечных составляющих осредненной и пульсацион-ной скорости уменьшает, а наличие продольных составляющих пуль-сационной и неравномерной осредненной скорости увеличивает критический импульс по сравнению с одномерным течением. Неравномерность осредненной температуры может увеличивать или уменьшать импульс в зависимости от неравномерности осредненной скорости. Приводится численный пример.

В ряде схем реактивных двигателей возможна ситуация, когда поток, попадающий в сопло, носит струйный характер. Это может иметь место в ракетнопрямоточных двигателях РПД, являющихся комбинацией ЖРД или РДТТ с воздушным контуром, двухконтурных ТРД и т. п.

В этом случае требуется рассчитывать тягу сопла и определять влияние на нее особенностей потока, связанных со струйным характером течения. В частности, этот вопрос возникает при анализе совершенства процессов в камере сгорания РПД по результатам испытаний, в которых по экспериментальной величине расхода и тяги (обычно для сужающегося звукового сопла) определяют величину потока энергии и по ней судят о полноте процесса горения.

Несмотря на принципиальные трудности, возникающие при попытке теоретического расчета таких течений, для струйных турбулентных потоков при истечении через звуковое сопло в автомодельном режиме, при котором параметры потока внутри сопла не зависят от внешнего давления, удается, как будет показано ниже, количественно исследовать влияние на тягу особенностей таких течений: наличия на срезе сопла турбулентных пульсаций параметров, радиальной составляющей и неравномерной продольной составляющей осредненной скорости, неравномерности статического давления, температуры и т. д.

1. Параметры одномерного турбулентного течения в критическом сечении. Рассмотрим закономерности одномерных в среднем течений, являющиеся обобщением обычных одномерных соотношений и необходимые для анализа струйных течений.

При наличии пульсаций мгновенную величину произвольного параметра а(/) в некоторой точке пространства сопла с координатами х, г, ? (х—продольная координата) можно представить как сумму средней по времени величины и пульсации, причем для стационарного и одномерного осредненного течения средняя величина не зависит от времени и постоянна по сечению:

а(х, г, <р, 0 = {а(х)) + а' (*, г, ?, <), (я' (*, г, % ¿)) = 0. (1)

Параметр а может быть давлением р, температурой Т, плотностью р, составляющими скорости их, иг, и? и т. д. Из интегральных уравнений сохранения

можно получить дифференциальные соотношения. Например, из выражения для расхода б в момент Ь, где ¥—площадь,

J р (()ах (() <*Р=О(0.

р

после использования (1) и усреднения получается уравнение которое в дифференциальной форме принимает вид

¿<их> , ¿<р> ар ■ Л . <рЧ> <Р,Ц> _п

<их> т <р> ^ г V <рХО У <р><н*>

Дифференциалы вида й ■ <~'а — можно записать как

<а> <6>

<а'Ь'> ¿<Ид-> л О' ь'> I ¿<их>

(а <д' у> I Л<их>\

Г <*><Ь> I <их> )■

“ <а><Ь> ~ <их> Г <а><Ь> I <их>

Безразмерное выражение в скобках в любом сечении сопла, в котором

йр , г\ ¿2^7

— 9^-0, и в критическом сечении в режиме запирания, если __>0 (т. е. кри-

визна конечна), при достаточно низком уровне интенсивности пульсаций может быть сколь угодно мало. Это следует из известного для одномерных течений

йи V ^ Л

результата, что в режиме запирания вдоль сопла.

В дальнейшем рассматривается случай относительно малых пульсаций параметров, поэтому учитывают лишь члены порядка

<а’Ь’> и Л <а’Ь> I а<их>

<а><Ь> <а> <6> / <и,

(2)

а всеми членами более высокого порядка пренебрегают, поэтому окончательно уравнение неразрывности принимает вид

Л <их> (! а <?' их> І (I <их> \ + ¿<р> + = 0.

сЯ_

<иХ> V 1 ”<р><«ж> / <«*> ) ‘ <Р> ■' -Р

Таким же образом могут быть записаны уравнения для импульса, энергии и уравнение состояния, которые, как и в случае обычных одномерных течений, позволяют получить выражения для параметров в критическом сечении, где £?/=■= 0, _____________________________________

<7’*> = ^тт 7’о(1+••••)> <«*>= ]/^^ (!+•■••). <Р*> = Р*0 +■■■■),

где точками обозначены суммы членов типа (2), являющиеся поправками к одномерным соотношениям, Т0 — температура торможения потока без пульсаций, получающегося при выравнивании из исходного течения, % и Л? — показатель адиабаты и газовая постоянная.

При этом поправка к величине удельного критического импульса не зависит от производных

</> + 1Л» + |р^('. I з-» <“£>

<°> <1рихйр> " * \ 2(х+1) <Ыд.>2

_х-1 <и'г2> _ 1 <Гих> , (3Ч

V. + 1 <их>* * + 1 <Т><их> 1 '

что и позволяет, как будет видно из дальнейшего, проанализировать случай

струйного течения.

2. Осесимметричные турбулентные течения. Приведенные в разделе 1

результаты позволяют проанализировать влияние особенностей струйного турбулентного течения на тягу сужающегося сопла в режиме запирания.

Предположим, что в сопле заданной геометрии известно струйное турбулентное осесимметричное течение, т. е. в каждом его сечении известны все про-фили \<их(х, /-)>, <Ц,(*. г)>, <йх (х, г)>, <и'2 (х, /•)>, <и'^(х, г)>, <р (X, г)> и т. д.]. Поставим в соответствие известному осесимметричному течению некоторое одномерное в среднем течение со случайными пульсациями параметров, обладающее в каждом сечении потоками массы, импульса, энергии и энтропии исходного. Средние параметры такого одномерного течения, обозначенные ниже индексом ,Р“, выражаются через параметры исходного с помощью соотношений {а, Ь — любые параметры: составляющие скорости, температура и т. д.)

а) <а>р = -1- | <я (х, /•)> йр\

} (4)

<а'Ь’>р гл <я'&'> (» <я><6>

В) <а>Р<Ь>Р ~ <а>т<Ь>т ^ + ) <а>т<Ь>т ~

-1Ш, Ш:"’П Щ-,'№"У

и так далее, где <я>от(х), <&>т(-*) — максимальные в сечении средние параметры. Можно проверить, что одномерное течение с такими параметрами имеет в каждом сечении потоки массы, импульса и энергии исходного течения.

Соображения, использованные при написании (4), состоят в следующем. Разобьем все течение в рассматриваемом сечении р на элементарные струйки тока площади с параметрами <их1>, <иг£>, <и^>, <*4?>, <«$>. <7’г>, <^Т1 их^> и т. д. Представим себе набор (ансамбль) некоторых гипотетических течений, занимающих ту же площадь Р и состоящих из тех же элементарных струек тока, что и действительное течение, но расположенных по сечению некоторым случайным образом (реально таких течений, конечно, быть не может), каждое из этих гипотетических течений, очевидно, имеет интегральные потоки массы, импульса, энергии и энтропии, совпадающие с соответствующими потоками исходного течения. Усредняя по большому числу таких гипотетических течений (по ансамблю), получим одномерное в среднем течение, имеющее параметры вида (4).

Из очевидного выражения (4 а) следует, что осреднением по времени и ансамблю является фактически осреднение по времени и площади

<я> р = -ур 11 я (*, Р) М ЛР,

р г

где Т — временнбй интервал осреднения.

Для получения выражения (4 б) определим дисперсию соотношением

<а'*>р = <(я - <а>р)*>р *,

откуда

<а'2>р = <[<«>(х, г) + я' (*, г, <р, г)—<а>р ]*>^. =

= "Г | [<а’2> (*. г) + «я> (х, г) - <а>р)Ц <№>0.

Аналогично получается (4 в) и т. д.

Анализ струйного течения сводится к проведенному выше исследованию влияния пульсаций на импульс эквивалентного одномерного течения. Параметры

* В частном случае одномерного в среднем течения (раздел 1) указанные формулы определяют обычные средние значения и дисперсию.

эквивалентного течения, фигурирующие в выражении (3) и являющиеся фактически тремя коэффициентами неравномерности, имеют вид

Я

ь - ■ *

*1

<и*>2

<«;2>

<и*>„

+

X

<*/>р

/

>0;

)гс1гХ

У

4

<«;2>

+

ШгХ

X

1

<Сих^>

<« х>т

г Лг

-2

>0;

<Г

/г <^Мх'^>р

<Т'пх> <Т>т<их>„

+

X

к

а-

<“*>

<Сидг^>Я1

Г ¿Г

/

<Г>

<Т>т

Г (¡Г

<Т><их> < Т>т <их>,„

1 < 0-

гЛгХ

(5)

Из выражений (3) и (5) следует, что наличие в струйном течении поперечных составляющих средней и пульсационной скорости, дающих вклад в <и'г2>р

----—— , уменьшает величину удельного импульса, в то время как наличие

<Чх>р

пульсационной составляющей и неравномерной осредненной составляющей в про-

дольном направлении, дающих вклад в

<ах‘>Р

увеличивает удельный крити-

ческий импульс. Влияние неравномерной средней температуры зависит от имеющегося при этом распределении продольной составляющей средней скорости,

определяющей совместно знак *5^ и^р> р Кроме этого, удельный критиче-

ский импульс зависит при наличии в турбулентном течении корреляции между скоростью и температурой от корреляционного момента <7' их^>(г).

Отметим, что формула не учитывает влияние на импульс неравномерности статического давления. Это связано с меньшей ролью неравномерности давления,

влияющей на члены более высокого порядка I типа

<?'их>Р

■)'

которыми

р<^.их^>^р

пренебрегают. Анализ показывает, что это же обстоятельство позволяет не учитывать при анализе эквивалентного течения в уравнении импульсов возможное различие давлений, осредненных по площади и по окружности сечений.

Очевидно, что приближенное соотношение (3), использующее коэффициенты неравномерности (5), должно быть справедливым и при отсутствии пульсаций параметров. Сравним даваемые им результаты с точными данными для простого случая кусочно-одномерного течения, состоящего из двух одномерных потоков, с постоянными полными и статическими давлениями на срезе сужающегося сопла (числа М1=М2 = 1), для которого удельный импульс получается непосредственно (площади потоков считаем одинаковыми):

2Л701\0,25

( *нер Л \ *равн

равн /точн

1 +

Ц0'5

Т(а/

где /нер и ¿равн—удельные потоки импульса соответственно кусочно-одномерного и одномерного течения, имеющих одинаковые удельные потоки энергии (т. е. потоки энергии, отнесенные к расходам).

Коэффициенты неравномерности для этого течения, согласно (5), имеют вид

, УТт1Тт—1 „ (У Т(ц1 Т02 — 1) (Ущ/Тщ 1)

*,= . ; *2-0, й,_(/г_ + 1)(7.и/7.и + 1) . и

Уты/т^+ 1 ’

Нетрудно видеть, что формулы (6) и (3), использующие коэффициенты неравномерности (7), при малых |Г(ц/7о2 — 1 I совпадают:

гнерДравн —

1

32

Toi,

Т"о2

— 1

при

7"02

1

«J.

На фиг. 1 приведены результаты расчетов поправок к импульсу по точной и приближенной формулам; для практически удовлетворительной точности при вычислении поправки (~20-г-25%) коэффициенты неравномерности не должны превышать 0,05—0,1.

Для численного примера в критическом сечении принимались профили осредненных и пульсационных составляющих, приведенные на фиг. 2. Профили

осредненных величин построены по экс-

периментальным результатам [1], полученным при смешении в цилиндрической камере диаметром 115 мм горячей

Фиг. 2

( 2200° К) расчетной сверхзвуковой (М = 2,87) струи в холодном (280° К) дозвуковом (М = 0,67) спутном потоке воздуха на расстоянии 18,5 калибров струи (5,7 калибров камеры), давление на входе в камеру смешения — атмосферное. Профили пульсационных параметров построены по имеющимся в литературе данным [2], полученным в спутных свободных струях при тех же отношениях скорости примерно 0,09 и относительном расстоянии от начала струи, поскольку их замеров в критическом сечении, по-видимому, нет. Результаты расчетов сведены в таблицу. При расчетах принимали и пренебрегали корреля-

цией <^Т'их^> в турбулентном потоке, х,= 1,25.

Влияние турбулентных пульсаций [И] Влияние неравномерности средних параметров [ %] (П Суммарный

эффект 1% J

Jv <«;2>\ ‘V <“*> / hJV <»■',> \ <ах> (?) V 1 /турб (“)*

Т ф const + 1,8 —0,3 +1,5 +0,8 + 2,3

Т = const + 1,8 -0,3 + 1,5 +3,0 +4,5

Данные первой строчки (Т ф const) таблицы получены с использованием указанных выше профилей. Результаты второй строчки (Т — const) получены при том же профиле скорости, но при равномерном профиле термодинамической температуры, что можно считать соответствующим более высокой, порядка 1000° К, температуре спутного потока.

Итак, для профилей пульсационных и осредненных параметров в критическом сечении, аналогичных профилям обычных струйных течений, эффект пульсаций и неравномерности осредненных параметров на тягу соизмерим по величине и в сумме может достигать нескольких процентов.

Поскольку при определении импульса профили параметров используются лишь для нахождения малой поправки к величине одномерного импульса, для их экспериментального или теоретического определения можно использовать достаточно грубые методы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Макар’он В. С., Козлова Т. П. Определение минимальных потерь при смешении спутных турбулентных струй в каналах с профилированными стенками, сб. .Турбулентные течения“, М., „Наука“,

1970.

?. Гиневский А. С., ИлизароваЛ. И., Шубин Ю. М. Исследование микроструктуры Турбулентной струи в спутном потоке.

МЖГ, 1966, № 4.

Рукопись поступила /0/ V 1970 г. Переработанный вариант поступил 10/У 1971 г.