Метод повышения точности расчета интегральных характеристик потока в сверхзвуковых соплах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м VII 1 9 7 6 М2

УДК 629.7.015 3.036:533.697.4

МЕТОД ПОВЫШЕНИЯ ТОЧНОСТИ РАСЧЕТА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОТОКА В СВЕРХЗВУКОВЫХ СОПЛАХ

В. Л. Зимонт

Из интегральных законов сохранения для изоэнтропических течений совершенного газа в сверхзвуковых соплах получены выражения, представляющие потоки массы и импульса в виде суммы соответствующих величин для одномерных течений и малых поправок, зависящих от безразмерных профилей параметров. Показано, что использование этих выражений позволяет повысить точность определения потоков массы и импульса в сечениях сопл по сравнению со значениями, следуюшими из непосредственного интегрирования приближенных профилей газодинамических параметров. Необходимые для вычисления поправок профили параметров могут быть взяты из численных расчетов поля течения или экспериментов. Приводятся примеры результатов расчетов.

1. Картина течения в реальных сверхзвуковых соплах реактивных двигателей обычно сильно отличается от идеализированной одномерной схемы течения, используемой в гидравлической теории сопла. Звуковая линия часто сильно искривлена и неравномерность скорости в горле сопла и других сечениях может быть соизмерима с величиной средней скорости. Неравномерными могут быть распределения плотности и давления в сечениях. Тем не менее результаты расчетов и экспериментов показывают, что соотношения гидравлической теории сверхзвукового сопла с точностью до нескольких процентов (обычно до 1—3%) дают правильный результат по интегральным характеристикам — потокам массы и импульса. Поэтому численные решения уравнений Эйлера, полученные с использованием конечноразностных аппроксимаций, если их точность порядка процента, дают мало дополнительной информации для анализа характеристик сопл реактивных двигателей по отношению к одномерным расчетам.

В приложениях предъявляются высокие требования к точности определения потоков массы и импульса для течений в соплах (~ 0,1%). Для получения такой точности при численных расчетах необходимо использовать очень мелкую, часто практически недостижимую расчетную сетку. В связи с этим возникает вопрос о том, возможно ли использовать результаты численного расчета течения в сверхзвуковом сопле, в котором законы сохранения выполняются лишь приближенно, но который тем не менее дает достаточно детальную картину течения для определения интегральных характеристик потока с большей точностью, чем это следует из непосредственного интегрирования рассчитанных профилей параметров.

В настоящей статье показано, что ответ на этот вопрос положительный, и приводятся необходимые соотношения для случая течения в сопле совершенного газа с постоянной энтропией. Возможность получения этого результата связана с тем, что причина неточности одномерного анализа и результатов численного решения уравнений движения на основе конечноразностных методов носит различный характер; в первом случае интегральные законы сохранения выполняются точно, но используются схематизированные представления о рас-

пределении параметров в сечениях, в то время как во втором случае картина течения известна относительно точно, но законы сохранения выполняются лишь приближенно. Поэтому использование рассчитанной картины течения в виде безразмерных профилей параметров, отнесенных к их максимальным или средним по сечению текущим значениям, и точных интегральных законов сохранения вместе с известными параметрами торможения потока позволяют при определении расхода и импульса потока получить точность большую, чем непосредственно из одномерного расчета или из результатов приближенного интегрирования уравнений движения с использованием конечноразностных методов.

Процедура получения выражений для потоков массы и импульса, обладающих более высокой точностью, аналогична используемой в обычной гидравлической теории сверхзвукового сопла, однако при этом учитываются дополнительные члены, вызванные неравномерным распределением параметров в сечениях, что приводит к представлению интегральных потоков в виде некоторых рядов. При этом, как будет видно ниже, даже при больших неравномерностях параметров в сечениях главные члены, дающие основной вклад в величины расхода и импульса, совпадают с соответствующими выражениями гидравлической теории сопла, что и является объяснением относительно малого влияния больших неравномерностей на интегральные характеристики потока.

Отметим, что поскольку при получении указанных выражений используется лишь продольная компонента потока импульса, определение вектора потока импульса возможно лишь для таких сопл, для которых из условий симметрии известно его направление. В этом случае контур сопла должен обладать по меньшей мере двумя плоскостями симметрии. Этим условиям, в частности, удовлетворяют осесимметричные сопла, сопла с эллиптическими сечениями, оси которых лежат во взаимно перпендикулярных плоскостях, симметричные связки сопл и т. д. (при определении потока массы такое ограничение на контур сопла не является обязательным).

Конкретное содержание полученного результата состоит в следующем:

1) использование безразмерных профилей продольной и поперечных компонент скорости и плотности изоэнтропического течения в сечении минимальной площади (горле) сверхзвукового сопла (отнесенных к осевым значениям продольной составляющей скорости и плотности в этом же сечении) позволяет на основании интегральных законов сохранения при известных значениях р0 и р0 найти величины расхода и импульса в этом сечении в виде сумм значений этих величин для одномерных течений и малых поправок;

2) использование указанных профилей в произвольном сечении сопла позволяет найти отношение потока импульса в этом сечении к расходу (удельный импульс потока) и не позволяет найти отдельно эти величины. Поэтому для определения величины потока импульса в произвольном сечении сверхзвукового сопла необходимо помимо безразмерных профилей в этом сечении также знать безразмерные профили в горле сопла, позволяющие найти величину расхода.

2. Обозначим распределение компонентов скорости в декартовой системе координат, давление и плотность в некотором сечении через и(х, у, г), ги(х, у, г), ту (х, у, г), р(х, у, г), р(х, у, 2), где х — продольная координата; м —составляющая скорости вдоль оси х; V, т — поперечные составляющие скорости вдоль осей у и г. Обозначим их средние по площади Т7 значения как и(х), V (х), т(х), р(х), р (х), например

И(х) =-^г и (ху у, 2) dF.

Р

Распределение любого параметра, например плотности, можно представить в виде:

р(х, .У, *)= р(х) + р'(х, у, г),

где р'(х, у, г) — отклонение величины р от ее среднего значения. Тогда расход газа можно записать как

О = ^ р(л:, у, г) и (х, у, г) <1Р = рир ( 1 + А), (1)

р и 1 Г р и

где А(лг) = ———=—в~ ЛР — параметр, зависящий от безразмерных про-

ри Г £ ри '

филей скорости и плотности и для течений в обычных соплах много меньший

единицы (хотя профили р и и могут быть при этом существенно неравномерными).

' Соотношение (1) отличается от выражения расхода для одномерного течений наличием члена А (х), который будет считаться известным. Отметим, что член А (х) аналогичен безразмерной корреляции между пульсациями плотности и скорости при записи расхода для одномерного турбулентного течения [1]. Это замечание является справедливым и для последующих выражений.

В дифференциальной форме уравнение расхода с точностью до членов более высокого порядка малости (см. ниже) имеет вид

— (I и

где

я(л:)

=0

_ йА (*)

йр

= О,

йи (х)/и (х)

(2)

(3)

Значение безразмерного параметра а(х) в любом сечении сопла, в котором <1Р 1<1Р \ <РР ‘

ф 0, и в критическом сечении 1^_ = 0 ) в режиме запирания, если -^*3 > О

(т. е. кривизна сопла в этом сечении конечна) при достаточно малых значениях А (х), может быть сколь угодно мало. Это следует из известного для одномерных

течений результата, что и в режиме запирания ^_>0 вдоль всего сопла. Это

йх

замечание справедливо и для других вводимых ниже параметров.

В дальнейшем рассматривается случай, когда А, а и другие аналогичные параметры удовлетворяют условиям Д(;к)<С1 и а(дс)<1. Поэтому ниже, как и в (3), будут учитываться члены типа р'и'/р“> и'2/к2, р'3/р3, р'гг'*/рм2, м'3/гг3, а члены более высокого порядка малости будут опускаться.

Величина потока / и уравнение импульсов имеют вид

ЛІ = р„ (ір где р„ (х) -

с1а

— (1 +А

и

/= Он (1 -В + М

А + В + М)

г а 4* р и)

г рР;

(Р — Реї ) ‘ір

+

С/ и йи

среднее по периметру сечения давление на стенке,

йВ (х)

Аи (х)/и (х)

(1М (х)

(4)

(5)

„ ч “'2 1 Г о'!и, V, г)

«2 ^ 3 иЦх)

г

_1_

р J Р

р'и'2 М(Х) = ^— = р и2

- (ІР, и. (х) =

(1и (х)/и (*)

Из уравнения адиабаты

/’о

№■

где р0 и р0—полное давление и плотность (параметры в ресивере) после использования для р и р представления (1), разложения в ряд правой части по степеням р'/р и осреднения по площади получим с рассматриваемой точностью:

Ро \ Ро / I.

1 +

%(■>.— 1)(% — 2)

и

где

£(*) = ■

Р* Р 1

г р3

В дифференциальной форме уравнение (6) имеет вид

(1р йр йи ( *.(■*.— I) х (у.— 1)(х —2)

Р Р

йи и

(6)

(7)

(1и

в(х ) = йЕ — ,

<1и

аи

и

йр йр Ли йр

Исключая из уравнений (2), (5), (8) — и —, получим связь между и -рг ;

11и

и

Ррх

йи

1 +а-

(х_!) (х- 1)(х-2)

’)]

*Рр № (Р-Рст) >г, „

—=-дг~ -1- ----—=----с1Р = 0.

йи г (7 и

(9)

В критическом (минимальном по площади) сечении, в котором йр = 0, выражение в квадратных скобках, как и в случае одномерного течения, обращается в нуль, на основании чего скорость в этом сечении можно записать в виде:

-2 Р

11 =х -=г

(*— 0 (х— !)(% — 2)

о с 2 ./4* 5^. ^ I . (Ю)

Из уравнения энергии потока

С/х р и2 V2 а>2 \ х

1 Рм(^7пт~ + _Г + _Г + 1Гр/?==07^

_ Ж

1 Ро

следует уравнение энергии для единицы массы, которое в рассматриваемом приближении имеет вид

X

где

(! + />-Л)+-^-ц2(1+2Л + ЗВ + 2 + 3/И + С+ (П)

р = -р— г = — с =

р и ' и3 ’ н2

р'и'2 р' да'а и'и'и и'да'2 К = !-=^- + ■ ■■ + + —=—

р и - ри2 м3 и3

В уравнении (11) принималось, что и = ® = 0, т. е. рассматривались сопла, контуры которых обладают указанной выше симметрией.

Подставляя в (11) выражения для скорости, плотности и давления, согласно (10) и (6), получим формулы для плотности р„ и давления р* в критическом сечении:

Р* _ / 2 У~1 Г

Ро \ * + 1 / I

1 + -р- А* - Р., - (С, + К* + г* + 2М)

X2 - 1 X2 -- 1 X -(- 1

2 х

х (х — 1) х (х — 1) (х — 2)

Х+ 1 т 2(х.+ 1) -*Т 6(х-+1)

х ^ х х (х — 2)

— “2” £* + х + 1 1Х* 6

(12)

1 +

(х2— 1) * (х2— 1) * х+1

2 Р*-_и_(С*+ К* + 2* + 2М*)

х+1 Я* + 2 (х+1) 6 (х + 1)

(*- I) + (X- 1) (х — 2)

х + 1

•к*

1

х (х — 2)

V *

(13)

С помощью (10), (12), (13) выражали среднюю скорость в критическом сечении через параметры торможения:

1 _ х 3 х — 1

Х +

\ Ро

X— 1

1/2

1 —

X + 1 Р* х+1

2(х+ 1)

а* —

~2~ х + 1 + ^* + ^*+2 М*) — о(х + 1)

(х-1)(х-2) 6(* + I)

1

1 (Э* + Iа*) '

(14)

Подставляя в выражения (1), (4) параметры в критическом сечении, согласно (13) и (14), и учитывая связь, следующую из уравнения адиабаты

р = %А +

»(*-!)

X,

и' р'2

где А = - - , и р2

получим формулы для расхода О и критического импульса /*

1

о г з х

-щ = 1 — ^ Л* + 2 в* + 2 [■

-ЇХ**

Л) *

= 1

2

2 X 1 X „ X

X + 1 А* + ~2~ Е* + х+ 1

+ 2 х (х — 2)

и±

2 х

С* + х + 1 В*

- [х+ \ (у* + 2* + 2М*'> + 6 ^+(х+1)**

(15)

(16)

где

О0 = X

1/2

X + 1

х+1

2 (X—1)

р* ( Ро Ро)1 2> /о *=/>0/=■*(*+!)

х + 1

Выражения для О0 и /0* совпадают с обычными выражениями для расхода и импульса в гидравлической теории сопла. Формулы (12) — (16) отличаются от соотношений гидравлической теории поправками, обусловленными неравномерностью параметров, и при равномерном распределении параметров переходят в последние.

В формулах (15) и (16) первые квадратные скобки содержат члены поряд-

а' Ь' а’ Ь' с'

ка -^г- а вторые — члены порядка----------.

а о аЬ с

В инженерной практике часто используется удельный критический импульс г* (критический импульс, отнесенный к расходу), выражение для которого следует непосредственно из (15) и (16) (ниже оно записано с учетом лишь чле-

а7!/' нов порядка - -а о

_ії *0 і

= I

х +

1 (3-х)

1 А* + 2(х+ 1) В*

(х— 1) 2(х+ 1)

'о *

О0 ■

(17)

Отметим важную особенность формул (15) и (16), в которых в отличие от (12) — (14) нет членов вида (3), т. е. расход и импульс в критическом сечении могут быть определены с использованием лишь безразмерных профилей в критическом сечении сопла. При этом соотношение (17) совпадает с выражением для поправки к удельному критическому импульсу, полученному в работе [1]

оПР ТЧ7

в общем случае неизоэнтропического течения, если выразить через ■---

р и Т и

1 7' и'

р и

Ти

где Т — температура газа. 140

В случае неизоэнтропического течения получение аналогичной (15) формулы для поправок к расходу встречает принципиальные трудности, так как расход зависит от полной картины течения выше критического сечения. В работе [1] приближенная формула для поправки к критическому импульсу сопоставляется с точными результатами для случая течения со ступенчатой неравномерностью профилей.

3. Рассмотрим теперь выражение для величины потока импульса на срезе сопла. При известной площади выходного сечения (среза) сопла средние значения р, р, ив нем можно найти из системы алгебраических уравнений, состоящей из уравнения расхода (1), в котором для величины расхода используются соотношение (15), уравнения адиабаты (6) и уравнения энергии (11).

Поскольку эта система не разрешается аналитически, поступим следующим образом. Обозначим средние значения на срезе сопла через

р = рс(1 + Л0, Р=Рс(1 + <3), и = ис( 1 + Я),

где рс, рс, ас — параметры на срезе сопла в случае одномерного течения; N. (), Я — некоторые малые добавки.

Учитывая, что для одномерного течения

Оо = Рс

Ыс/,с, Л=ШХ,

с с’ Ро \ Ро) ’

“с

2т. рс 1 / х — 1 . 2

' 1

где Хс — коэффициент скорости на срезе сопла при одномерном течении, из перечисленных уравнений получим систему уравнений относительно (?, /? (уравнения записаны с учетом членов порядка —

а Ь

/О \ 1 х - 1

= ы~ — <? = —

2 Хс X2 А; + 3 Вс + (?с

х+1с /г——(х—1 )Л-----------------^гг

х - 1

Подставляя полученные из этой системы уравнений Н и М в выражение для удельного потока импульса на срезе сопла

. /с , „ , Рс Рс (1 + 0)

(’с = ~о~ = ис(1 + /?4-Д. + Вс) + ^

и используя обычные выражения для параметров одномерного течения через газодинамические функции, получим окончательно:

3 1 /, (5/3 X 1) п \ о , 1 1 Л (3*-1) Х2)с ,

+ 2 (1 + Хс2)1‘ (*+1) 2 (1 + Х2) V - (х+1) Хс)Сс +

(Хс2-1) /%+1

+ 4ХС2(1 +Х2) (х-1 -?‘с ]£с’ <18>

. 1 /х + 1 Ро (-, , М -

где гс0= у ----------— ^Хс + I-/~ удельный импульс потока на срезе сопла при

одномерном течении. Соотношение (18) при Хс = 1 переходит в соотношение (17).

4. В заключение приведем некоторые результаты численных расчетов расхода и импульса в критическом сечении. Расчеты поля течения в сопле проводились по методу, предложенному в работах [2] и [3] с использованием вместо уравнения энергии условия изоэнтропичности.

Ниже приведены результаты для сопла с углом входа 45° и отношением радиуса кривизны контура сопла к радиусу сопла в горле 0,625, для которого из эксперимента известен коэффициент расхода 0,983 + 0,008 [4].

Расчет- ная Коэ< зфициент расхода Коэффициент импульса в горле

непосред- пересчет пересчет непосред- пересчет пересчет

ственный по форму- по давле- ственный по форму- по давле-

сетка расчет ле (15) нию расчет ле (16) нию

100X25 0,960 0,986 0,982 0,962 0,994 0,988

70X20 0,953 0,986 0.982 0,953 0,994 0,988

35X10 0,929 0,991 0,986 0,924 0,995 0,990

20X5 0,903 0.996 0,991 — —

В таблице для различных расчетных сеток приведены коэффициенты расхода О/О0 и коэффициенты импульса в горле /*//о*, полученные непосредственно на основании численного расчета параметров в горле и согласно формулам (15) и (16) при использовании рассчитанных распределений параметров. Из приведенных данных видно, что использованные расчетные сетки не обеспечивают при непосредственном расчете сходимость результатов и необходимую точность, в то время как пересчет согласно (15) и (16) обеспечивает сходимость и, по крайней мере, для коэффициента расхода приводит к результату, близкому к экспериментальному. Отметим, что в рассматриваемом численном примере в формулах (15) и (16) вклад членов более высокого порядка (во вторых квадратных скобках) не превышал 10 •».

В процессе расчетов путем перебора различных вариантов было показано, что пересчет плотности по уравнению адиабаты и абсолютной величины скорости по уравнению Бернулли при использовании статического давления и угла вектора скорости к оси сопла, найденных из численных расчетов поля течения, также приводит к хорошей сходимости результатов. По-видимому, использованная численная схема обеспечивает значительно большую точность в определении угла вектора скорости и давления, чем остальных параметров, что и привело к успеху при таком пересчете. Отметим, что результаты, получающиеся при таком пересчете, несколько отличаются от тех, которые следуют из формул (15) и (16). Применение к пересчитанным по углу и давлению профилям скорости и плотности формул (15) и (16) приводит к результатам, с точностью до 0,1% совпадающим с результатами, приведенными в таблице и следующими из этих формул при использовании исходных профилей.

Автор выражает благодарность Е. Я. Черняк, которая провела численные расчеты, приведенные в данной статье.

ЛИТЕРАТУРА

1. 3 и м о н т В. Л. О тяге сужающихся сопл при струйных турбулентных течениях. .Ученые записки ЦАГИ*, т. II, № 5, 1971.

2. Иванов М. Я., К р а й к о А. Н. Численное исследование стационарных и нестационарных течений в осесимметричных соплах. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1969, № 5.

3. Иванов М. Я, Крайко А. Н. Расчет смешанного течения газа в соплах. Труды секции по численным методам в газовой динамике второго международного коллоквиума по газодинамике взрыва реагирующих систем. М., ВЦ АН СССР, 1971, т. II.

4. Back L. Н., Cuffel R. F. Flow coefficients for supersonic nozzles with comparatively small radius of curvature throats. Journal of Spacecraft and Rockets, vol. 8, N 2, 1971.

Рукопись поступила 21 / VII 1974 г.