CC BY
40
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ НАГИ
Т о м XII 19 3 1 № 1
УДК 517.9.533.7
ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОСТИ СВЕРХЗВУКОВОГО СОПЛА НА КОЭФФИЦИЕНТ ИМПУЛЬСА
С. В. Ягудин
Проведены расчеты коэффициента импульса пространственных сопл, эквивалентных по площади поперечного сечения осесимметричному коническому соплу. Рассматривались сопла с эллиптическим, „квадратным' (со скругленными углами) и комбинированным сечениями, форма сечений вдоль сопла сохранялась неизменной. Течение в соплах рассчитывалось стационарным вариантом метода С. К. Годунова. Коэффициент импульса определялся как с помощью проекции уравнения количества движения на ось сопла, так и методом поправок. Пространственность сопла (отношение максимального радиуса сечения к минимальному) приводит к незначительному увеличению коэффициента импульса по сравнению с осесимметричным соплом в случае „коротких” сопл (I <С 1), а при больших длинах наблюдается более сильный обратный эффект. Обобщенное правило эквивалентности удовлетворительно выполняется при малых отклонениях формы сопла от осесимметричной.
1. Численному анализу пространственных течений идеального (невязкого и нетеплопроводного) газа в соплах посвящены работы [1—8]. Для расчетов сверхзвуковых течений в соплах [1 -7] использовались прямой [1, 2] и обратный 13—6] варианты трехмерного метода характеристик. В работе [7] расчеты проводились методом сквозного счета второго порядка точности [10]. Значительная часть опубликованных к настоящему времени результатов по расчету смешанных и сверхзвуковых пространственных течений в соплах получена с помощью монотонных конечно-разностных схем первого порядка точности, предложенных авторами монографии [9] (там же приведены библиография работ и фрагменты полученных в них результатов). Решение обратной задачи определения поля течения и построения стенок пространственного сопла Лаваля предложено в работе [8]. И если в отмеченных работах особенностям пространственной картины течения, а также определению боковых сил и моментов уделяется большое внимание, то данных по влиянию пространственности сопла на
импульс потока приведено ограниченное количество. Отметим лишь работу [11], в которой сравниваются численные значения импульса потока в выходном сечении осесимметричного сопла длиной /—10 (здесь и в дальнейшем линейные геометрические размеры отнесены к минимальному радиусу осесимметричного сопла) и трех эквивалентных ему по площади поперечного сечения пространственных сопл с эллиптическим, „квадратным“ и „треугольным“ сечениями (со скругленными углами).
В настоящей статье, ограничиваясь рассмотрением расширяющихся сопл длиной 0</<5 и имеющих по крайней мере две плоскости симметрии, исследуется влияние на импульс простран-ственности сопла, обусловленной конфигурацией стенок (отличием формы поперечных сечений от круговой). Отметим некоторые моменты, возникающие при проведении с помощью численных методов расчетов импульса сопл / по известной и обычно применяемой формуле:
г
/== 4 + Х, I - )' (р + ри*) йР, Х ^ ] рйГ, (1)
где Р — площадь поперечного сечения сопла, р — давление, р — плотность, и — составляющая вектора скорости на ось сопла; звездочка указывает, что величины берутся в минимальном сечении сопла. Если течение на входе в сопло сверхзвуковое, то /* известно точно, и погрешности в импульсе могут возникнуть лишь при определении интеграла сил давления X.
Так как для минимального сечения сопла]X — 0, то ясно, что, даже несмотря на возможные погрешности в определении давления вдоль стенок, значения импульса / в случае „коротких“ сопл будут, как правило, достаточно точными. С увеличением же длины сопла эти погрешности могут накапливаться при интегрировании, и так как вклад X в / с увеличением длины сопла растет, то точность расчета импульса по формуле (1) снижается. Так как точность расчета давления на стенке сопла зависит от порядка аппроксимации разностной схемы и размеров элементарных расчетных ячеек, на которые разбивается поле течения, то для того, чтобы удовлетворить высоким требованиям, предъявляемым к точности определения импульса (десятые доли процента), при расчетах приходится использовать расчетные сетки с большим количеством ячеек.
Особенно необходимость проведения расчетов с такими сетками возникает при исследовании влияния на импульс того или иного геометрического параметра сопла. Это вызывается тем, что при расчете сопл, отличающихся, например, формой поперечного сечения, но на разностной сетке с фиксированными размерами, уровни погрешностей для разных сопл могут оказаться разными (из-за различия ячеек по форме и по размерам) и тем самым искажать собственно влияние параметра.
Чтобы обеспечить незначительное отличие в уровнях погрешностей, при проведении расчетов нужно либо соответствующим образом корректировать размеры „грубых“ сеток (с малым количеством ячеек), что в свою очередь требует дополнительных исследований, либо применять мелкоячеистые сетки.
Отмеченные моменты при выборе оптимальных (в той или иной постановке) сопл затрудняют быстрые параметрические расчеты ввиду больших затрат машинного времени (особенно при
расчетах методом установления). Поэтому вполне понятна роль развития как численных методов [12], так и способов определения интегральных характеристик сопл (в том числе и импульса), допускающих использование „грубых" разностных сеток. Таким качеством обладает метод повышения точности определения интегральных характеристик потока в сверхзвуковых соплах, или метод поправок [ 13]. Некоторая модификация этого метода и исследование его эффективности при расчетах осесимметричных сопл различными численными методами с разными размерами разностных сеток проведена в работах [14, 15].
2. Следуя работе [13], рассмотрим в сечении сопла с площадью Г некоторую величину а (х, у, г), где х, у, г —оси декартовой системы координат, ось л: совмещена с осью сопла, а минимальное сечение сопла совпадает с плоскостью х = 0. Вводя среднее по площади значение величины а:
а (х) = ~т| а {х, у, х) йГ,
представим ее в виде суммы среднего значения а и отклонения Да от среднего значения:
а(х,у, г) = а{х) + До {х,у, г).
Используя эти выражения и следующее из них Да = 0, систему уравнений, описывающих изоэнергетическое изоэнтропийное течение идеального газа в пространственном сопле с двумя плоскостями симметрии (ху и гх), можно записать в следующем виде:
Рт«т = тх1^> (2)
Рт = ~ Р?, (3)
7- Л. _и _1_ »2 3 = (*+ 1} /4у
7. — 1 рт а ' 2 т Г 2(Х - 1) ’ ( ^
где рт == р/р*, ит ~ и/и%, Р1 — р/р% и% (звездочкой отмечены критические параметры), ц — коэффициент расхода, представляющий отношение расхода газа через сопло к „одномерному“ расходу, т. е. расходу, определенному по одномерным соотношениям, х — показатель адиабаты, V и ^ — составляющие вектора скорости на оси у и г,
«== 1, р=1+2А+В+С+ 1Г + У",
- - 1 1 -(х ~ 1} Е+ х(х~1](%~-2-) К + ... ,
2
А = й = с= 2 Др2 _ Д£>
р и ’ и2 ’ и2 ’ о2 ’ Р3
уу = у, __ Ар (Аг>2 + Ада2)
Уравнение (2) выражает закон сохранения массы, уравнение (3)— условие постоянства энтропии и уравнение (4) — закон сохранения энергии. Величины А, В, С, ... , представляющие собой безразмерные средние по площади значения произведений отклонений параметров от своих средних значений и, таким образом,
характеризующие неравномерность профилей давления, плотности и компонентов скорости, в дальнейшем будем называть параметрами формы профилей. Отметим, что в уравнении энергии [и в нижеследующем уравнении (6)] величины а и ,Э определяются проще, чем в работе [15], где
+ А 0 1 +3(А + В + У?) + С -і- г
1 + о
(5)
Где [) ~ 7________________________У— У 4- ^и Аа12)
р и и3 ’ ц3
ДрДц (Ли2 + IV- Да;*)
в и3
Эти упрощения облегчают проведение расчетов и, как показали расчеты, практически не снижают точности результатов. .Уравнения (2) — (4) сводятся к одному уравнению
і
і- + 1 V. I 20\
§------- о "
которое является обобщением на случай неравномерных профилей параметров известного в одномерной теории сопла уравнения для приведенного расхода и переходит в него, если принять параметры по сечению сопла равномерными (т. е. р. = 1, а все параметры формы профилей А, В, С, . . . -—равными нулю).
Определив параметры формы профилей из результатов численных расчетов, из уравнений (6), (2) и (3) можно последовательно определить мт, рт и рт, а затем и импульс сопла:
/ =■ [Рт И* (1 4- 2А + В + V?) + />, ] />* и\ (7)
Рассмотренный способ определения импульса одинаково применим к любому сечению как в до-, так и в сверхзвуковой части сопла (кроме минимального) и требует знания коэффициента расхода а. Расчет импульса /* в минимальном сечении и коэффициента расхода и требует привлечения дополнительных рассуждений. Не останавливаясь на этом подробно, заметим, что рассмотрение (с некоторыми допущениями) экстремального свойства уравнения (6) позволяет вывести формулы для /* и и.:
__1_
-1 (1 + А)
У?
и
я у-—1 Г 1 + 2А + В 4- Г
т) 3 V. 1 Л
Если а и ¡3 определены в соответствии с соотношениями (5), то, разлагая эти выражения в ряд и пренебрегая произведениями параметров формы профилей, можно получить соответствующие выражения для и и /*, приведенные в работах [13, 14].
3. Расчет течений в пространственных соплах производился стационарным вариантом метода С. К. Годунова [9]. Поскольку рассматривались сопла, имеющие но крайней мере две плоскости симметрии, в каждом случае рассчитывалась лишь четвертая часть сопла, лежащая в одном октанте, т. е. ограниченная плоскостями
симметрии ху И IX, боковой поверхностью, входным сечением, лежащим в плоскости х = 0, и выходным сечением (0</<5).
Рассчитываемая часть сечения сопла разбивалась на ячеек (разбиение сетки производилось в полярной системе координат, I — число ячеек по радиусу, Л’—по углу). Предполагалось, что во входном сечении поток является равномерным и параллельным оси х с числом М, равным 1,01. Показатель адиабаты принимался равным 1,4. Коэффициент импульса сопла 7 (импульс, отнесенный к „одномерному“ импульсу) рассчитывался с помощью соотношений (1) („интегрирование по контуру“) и (7) (метод поправок).
В настоящее время отсутствуют точные решения для пространственных течений в соплах. Поэтому для проверки точности расчетов коэффициента импульса по формулам (1) и (7) производился расчет по программе для пространственных течений осесимметричных сопл, и полученные результаты сравнивались с результатами расчета этих сопл методом характеристик для осесимметричных течений. На рис. 1 приведены результаты расчета для
Осесимметричное профилированное сопло.; М=2,2.
-интег^ -мет 01
'ерирование по контирч о поправок
осесимметричного сопла с равномерным потоком на выходе, рассчитанного методом характеристик на число М, равное 2,2, Д/ (в процентах) — отклонения значений коэффициента импульса, определенного по формуле (1) (пунктирные кривые) и по формуле (7) (сплошные кривые), от результатов расчета методом характеристик. Значения I, полученные методом поправок при Расчете на „грубой“ сетке (6X10, время счета 4 мин на ЭВМ БЭСМ-6), оказываются даже точнее, чем расчеты по формуле (1) на разностной сетке 20X30 (время счета около 100 мин). Аналогичные результаты были получены при расчетах осесимметричных конических сопл с углами конусности 6=15° и 20°, со скругле-нием стенок в области минимального сечения и с угловой точкой.
Как и в работе [15], расчеты показали, что определение импульса методом поправок является более точным, чем расчеты по формуле (1) если длина сопла />1,5ч-2.
Результаты расчета и конфигурации сечений трех типов пространственных сопл, эквивалентных по площади поперечного сечения осесимметричному коническому соплу с 6=15°, показаны на рис. 2. Для каждого сопла с эллиптическим и условно называемыми комбинированным и „квадратным“ сечениями отношение Ыа минимального радиуса к максимальному (см. рис. 2), характеризующее отличие формы сечения сопл от осесимметричной, вдоль
сопла сохранялось постоянным. Величина о/ (в процентах) представляет собой разность коэффициентов импульса осесимметричного 7t {b/a= 1) и пространственного 1Ьа сопл:
о/ = /j - Iь/а-
Как следует из результатов расчета, обобщенное на случай внутренних течений правило эквивалентности или правило „площадей“ [11] для сопл с „квадратным“ сечением выполняется достаточно хорошо, тогда как для сопл с эллиптическим и комбинированным сечениями это правило применимо лишь при малых отклонениях формы сопла от осесимметричной, а при bíazz0,5 для
сопла с эллиптическим и комбинированным сечениями применение правила эквивалентности в рассмотренном диапазоне длин сопл может привести к погрешностям около 1%. Отметим, что коэффициент импульса „коротких“ пространственных сопл (/< 1) несколько выше коэффициента импульса эквивалентного осесимметричного сопла.
Рассмотрим пространственное сопло с одной плоскостью симметрии и совместим ее, например, с плоскостью гх. Тогда на линии пересечения плоскости симметрии и плоскости поперечного сечения сопла и = 0. Если на этой линии определить точку, в которой т — 0, то относительно оси сопла, проходящей через эту точку, приведенные формулы для расчета импульса методом поправок применимы и в случае сопла с одной плоскостью симметрии.
В заключение автор благодарит М. Я- Иванова, любезно пред ставившего программу расчета пространственных течений в соплах и В. Л. Зимонта за полезные советы и внимание к работе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Борисов В. М., Михайлов И. Е. Об установившихся трехмерных безвихревых движениях газа со сверхзвуковой скоростью. „Ж. вычисл. матем. и матем. физ.“, т. 10, № 4, 1970.
2. Аукин М. К., Михайлов И. Е. Об одной численной схеме пространственного метода характеристик прямого типа. В сб. „Численные методы механики сплошной среды“, т. 8, № 7, СО АН СССР, 1977.
3. Кацкова О. Н., Ч у ш к и н П. И. Пространственные сверхзвуковые течения газа с неравновесными процессами. „Ж. вычисл. матем. и матем. физ.“, т. 8, № 6, 1968.
4. Ransom V. Н., Thompson Н. D., Hoffman 1. D. Analysis flow fields by a new second-order method of characteristics. AIAA Paper, N 69-5, 1969.
5. R a n s о m V. H., Hoffman 1. D-, Thompson H. D.
Three-dimensional supersonic nozzle flow field calculations. AIAA Paper, N 69-463, 1969.
6. Dash S. М., Guidice P. D. D. Three-dimensional nozzle-exhaust flow field analysis by a reference technique. AIAA Paper, N 72-704, 1972.
7. I —Shih Chang. Three-dimensional supersonic internal flows. AIAA Paper, N 76-426, 1976.
8. Пиру mob У. Г. Пространственные до- и сверхзвуковые течения в соплах и каналах переменного сечения. ПММ, т. 36, вып. 2, 1972.
9. Годунов С. К., Забродин А. В., Иванов М. Я., К рай ко А. Н., Прокопов Г. П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М., .Наука“, 1976.
10. М а с С о г m а с k R. W. The effect of viscosity in hypervefo-city impact cratering. AIAA Paper, N 69-354, 1969.
11. Дворецкий В. М., Иванов М. Я., Коняев Б. А., Крайко А. Н. О правиле эквивалентности для течений идеального газа. ПММ, т. 38, вып. 6, 1974.
12. Попов Ю. П., Самарский А. А. О методах численного решения одномерных нестационарных задач газовой динамики. „Ж. вычисл. матем. и матем. физ.“, т. 16, № 6, 1976.
13. 3 и м о н т В. Л. Метод повышения точности определения интегральных характеристик потока в сверхзвуковых соплах. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 7, № 2, 1976.
14. 3 и м о н т В. Л., Я г у д и н С. В. К вопросу об увеличении точности определения интегральных характеристик сопл на основании численных расчетов полей течения. .Ученые записки ЦАГИ", т. 9, № 3, 1978.
15. Яг удин С. В. Сокращение времени и увеличение точности определения коэффициента импульса сверхзвуковых сопл. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 10, № 3, 1979.
Рукопись поступила 10j V 1979 г.
