Расчет и анализ потерь активной мощности в элементах сети на основе аналитических выражений с учетом температурной зависимости сопротивлений Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013

УДК б21.31б.3 С. С. ГИРШИН

Е. В. ПЕТРОВА В. И. СУРИКОВ

Омский государственный технический университет

РАСЧЕТ И АНАЛИЗ ПОТЕРЬ АКТИВНОЙ МОЩНОСТИ В ЭЛЕМЕНТАХ СЕТИ НА ОСНОВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ С УЧЕТОМ ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ СОПРОТИВЛЕНИЙ

В статье был произведен расчет и анализ потерь активной мощности с учетом температурной зависимости сопротивлений. Была произведена качественная и количественная оценка изменений метода расчета и расчетных формул, учитывающих температурную зависимость сопротивлений.

Ключевые слова: потери, активная мощность, сопротивление, температура, теплообмен.

Введение. Расчет потерь активной мощности в элементах электрической сети является основой для определения потерь энергии и выбора мероприятий по их снижению. В зависимости от цели расчета меняются требования к точности. Так, при определении интегральной величины потерь энергии в сети существует тенденция к взаимной компенсации случайных погрешностей расчета в отдельных элементах, что позволяет пренебречь рядом факторов в пользу упрощения вычислительной процедуры. Напротив, выбор мероприятий по снижению потерь требует точных расчетов именно для отдельных элементов. Кроме того, в данном случае важны не столько сами потери, сколько их снижение, достигаемое при введении мероприятия.

Одним из факторов, который в большинстве случаев при расчете потерь либо вообще не учитывается, либо учитывается не в полной мере, является температурная зависимость сопротивления. С электрической точки зрения, температурно-зависимое сопротивление представляет собой нелинейный элемент. Поэтому учет данного фактора при вычислении потерь и выборе мероприятий по их снижению требует изменения методов расчета и расчетных формул. Качественно изменяются также расчетные зависимости между электрическими параметрами, в частности, между потерями активной мощности и током. Ниже, на основе аналитических выражений, произведена качественная и количественная оценка этих изменений.

1. Основные формулы. Учет температурной зависимости сопротивления в электрических расче-тах1 в общем случае сводится к задаче совместного решения уравнений режима электрической цепи (сети) и уравнений теплового баланса элементов сети.

Рассмотрим трехфазный элемент сети, в котором существенны только нагрузочные потери активной мощности (например, большинство типов линий электропередачи). Простейшее уравнение теплового баланса такого элемента в симметричном синусоидальном режиме имеет вид

3/2,К0(1+«®) = ^(®-©ОКр). (1)

где I — ток; R0 — активное сопротивление элемента при 0 °С; а — температурный коэффициент сопротивления; © — температура токоведущих частей; ©окр — температура окружающей среды; А — постоянный коэффициент, определяющий интенсивность теплопередачи от элемента в окружающую среду.

Данное уравнение справедливо при следующих допущениях:

— отсутствует лучистый теплообмен;

— отсутствует теплоотдача свободной конвекцией;

— влиянием поверхностного эффекта и эффекта близости на зависимость потерь мощности от температуры можно пренебречь.

При наличии свободной конвекции коэффициент А зависел бы от температуры токоведущих частей, а при наличии лучистого теплообмена в правой части (1) появилось бы дополнительное слагаемое, выражающее закон Стефана-Больцмана. Это означает, что теплопередача возможна только путем теплопроводности и вынужденной конвекции. Однако конвекция всегда сопровождается лучистым теплообменом. Поэтому уравнение (1) в полной мере справедливо только при теплопередаче молекулярной теплопроводностью и отсутствии всех остальных видов теплообмена. Этому условию удовлетворяют кабели, проложенные в земле. Однако при воздушном охлаждении элементов сети нелинейность правой части уравнения теплового баланса не является сильно выраженной. Поэтому при практических расчетах она нередко принимается линейной. В частности, именно так рассчитаны поправочные коэффициенты на температуру окружающей среды для проводов и кабелей, приведенные в [1] и других источниках. Таким образом, уравнение (1) полностью или приближенно справедливо для проводов и кабелей всех способов прокладки. При этом погрешность может быть минимизирована правильным подбором коэффициента А. Анализ применимости уравнения (1)

для силовых трансформаторов и других элементов сети выходит за рамки данной статьи.

Левая часть уравнения (1) представляет собой нагрузочные потери активной мощности АР. Чтобы исключить из них температуру, разрешим (1) относительно © и подставим полученное выражение в формулу для потерь. Тогда после преобразований окончательно получим

_ ЗК0 (і + а@окр У2 "" 1 ЗКра/2

(2)

ЗІдоп^ 0 (і + а®доп ) ®доп ~ ®окр,ном

(3)

АР =

Зі?о(і + а0ОКр)/2

доп ® окр,ном 1 + Сь0дОЛ

(4)

доп

При 1=1 и 0 =0 формула (4) дает

1 доп окр окр,ном 11 •' 4 у 1 1

^Рдоп ~ ^доп^О + а®доп ) .

(5)

АР* =

(1 + а®окр) Г2

1 + а0доп -а| ®доп ' ® окр,ном) г2

(6)

Разделим числитель и знаменатель (6) на

(1 + а0 ) и обозначим

доп

А =

1 + СС0,

окр

1+а©

доп

®окр,ном)

Числитель формулы (2) представляет собой потери, приведенные к температуре окружающей среды, а знаменатель можно интерпретировать как коэффициент, учитывающий увеличение потерь вследствие нагрева элемента сети током нагрузки.

Входящий в формулу параметр А можно определить двумя способами:

— на основе теории теплообмена;

— через параметры какого-либо известного теплового режима.

Достоинством первого способа является наиболее полный учет влияния параметров окружающей среды на интенсивность теплообмена. Однако второй способ дает возможность использования не только теоретических, но и экспериментальных данных. Кроме того, он позволяет получить выражения, более удобные для анализа. Поэтому ниже использован второй способ.

В качестве известного теплового режима удобнее всего использовать режим, соответствующий длительно допустимому току провода или кабеля I , максимально допустимой температуре токоведущей части ©доп и номинальной (нормированной) температуре окружающей среды ©окрном. Подставив эти величины в уравнение (1) и разрешив его относительно А, получим формулу

' доп '-'окр, 1 + а ®д0п

(7)

(8)

С учетом этого (6) можно переписать в более компактной форме:

ар*=_а^_

1-А,/

(9)

Если температурная зависимость сопротивления не учитывается (точнее, не учитывается изменение сопротивления в рабочем диапазоне температур), то потери рассчитываются через справочное значение сопротивления Rcпp, приведенное к некоторой «стандартной» температуре 0ст:

АР = 31%пр = 3/2До(1 + а©сш). (10)

Потери в относительных единицах без учета температурной зависимости

АР =

1 + а®,,

1 + а©

(11)

доп

После подстановки (3) в (2) формула для потерь примет следующий вид:

Чаще всего © =20 °С.

1 ст

Как отмечалось выше, при выборе мероприятий по снижению потерь энергии важна точность расчета не столько самих потерь, сколько их снижения, достигаемого при вводе мероприятия. В качестве характеристик этого снижения можно использовать производные потерь по току2. Эти производные нетрудно получить, дифференцируя (2), (9), (10) и (11).

С учетом температурной зависимости сопротивления в именованных единицах

д(АР) _ 6#о(і + а©окр У

1 ЗДоа/2

д!

То же в относительных единицах д{АР‘) 2А11

а(Г) = {\-а2ґ2 “ .

(12)

(13)

Величина АРдоп по смыслу представляет собой технически допустимые потери (максимальные потери активной мощности при условии работы элемента сети без перегрузки при нормированной температуре окружающей среды).

Для упрощения анализа можно перейти от именованных единиц к относительным, приведя ток и потери соответственно к допустимому току и технически допустимым потерям: Г = 1/1 , АР" = АР/АР .

^ J 1 доп1 доп

Разделив (4) на (5), получим зависимость потерь в относительных единицах от тока в относительных единицах:

Без учета температурной зависимости сопротивления в именованных единицах

^ = 6ИЦр=6ДЬ(1+а0сш). (14)

То же в относительных единицах

8(АР) 21 + а0СШ/.

8(1 )

1 + а©

(15)

доп

2. Сравнительный анализ. Математически зависимость потерь от тока без учета нагрева однознач-

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013

154

но задается одним параметром — коэффициентом перед квадратом тока в формулах (10) или (11). Другими словами, эта зависимость имеет одну степень свободы. В то же время, как видно из формул (2), (4) и (9), зависимость потерь от тока при учете нагрева имеет две степени свободы, например, коэффициенты А1 и А2 в формуле (9). Поэтому при одном и том же токе для одного и того же элемента сети погрешность расчета потерь, обусловленная неучетом нагрева, может быть разной. Из приведенных формул следует, что это различие погрешностей обусловлено влиянием температуры окружающей среды. Данный вывод строго справедлив при допущениях, указанных выше. Однако качественно он верен также и при нелинейности правой части уравнения (1); в этом случае различие погрешностей будет обусловлено не только температурой окружающей среды, а всем комплексом условий охлаждения. Эти же рассуждения в равной степени применимы к производной потерь по току.

В табл. 1 приведены результаты сравнительных расчетов потерь активной мощности и их производной по формулам (9), (11), (13) и (15). Допустимая температура принята ©доп = 90 °С, что соответствует проводам [2] и кабелям [3] с изоляцией из сшитого полиэтилена. Температурный коэффициент сопротивления а = 0,0043 1/°С. Нормированная температура окружающей среды принята как при прокладке кабелей в земле © =15 °С (этот параметр оказы-

окр,ном ' 1 1

вает лишь вторичное влияние на погрешности, поскольку рабочий диапазон температур не зависит от © ). Расчеты без учета нагрева производились

ОКр,НОМ’ ■' 1 1 г-1

при условии, что справочное значение сопротивления приведено к температуре ©ст = 20 °С.

Примечание: температуры окружающей среды подобраны таким образом, чтобы при максимальных значениях тока, приведенных в таблице, температура провода была равна или приблизительно равна © , но не превышала ее.

1 доп 1

Максимальная положительная погрешность расчета потерь, обусловленная неучетом нагрева (погрешность формулы (11) относительно формулы (9)), по табл. 1 составляет 17,4 %, а максимальная отрицательная погрешность равна — 21,7 %. Оба этих значения достаточно предсказуемы; первое определяется разницей температур ©ст и ©окр, а второе — разницей © и © . Положительная погрешность мо-

1 доп ст 1

жет быть и несколько больше (при ©окр<—18° С), но отрицательная погрешность для данной допустимой температуры при работе без перегрузки не может превышать максимальных значений, приведенных в таблице.

Среднеквадратичная погрешность расчета потерь по табл. 1 составляет 11,4 %. С учетом значений температур окружающей среды и токов, охватываемых табл. 1, данную величину погрешности можно считать достаточно универсальной.

Видно, что среднеквадратичная погрешность расчета потерь существенна, но не очень велика. Поэтому имеет смысл ввести критерий целесообразности учета нагрева при расчете потерь.

Относительная погрешность расчета потерь по формуле (11) по сравнению с формулой (9) аналитически выражается следующим образом:

*2

Аз - А} - А2А31

-100% ,

(16)

Формула (16) определяет функциональную зависимость погрешности от тока и температуры окружающей среды (последняя входит в выражение для коэффициента А1). Каждому значению погрешности и температуры окружающей среды соответствует вполне определенное для данного элемента сети значение тока. Примем в качестве максимально допустимой погрешности +5 %, а в качестве минимально допустимой —5 %. Этому диапазону погрешностей будет соответствовать следующий диапазон токов, полученный на основе формулы (16) с учетом (7):

Ао111-1,05-

_1 + «©

(---------

1 + а0г

</ <./Аз1

1-0,95-

1 + а©„

1 + а®,,

(19)

. 1+а0сш где А3=-------УВ-

1+а0

доп

Условие (17) представляет собой критерий целесообразности учета нагрева при расчете потерь: если оно выполняется, то учитывать нагрев нет необходимости; в противном случае нагрев следует учитывать.

Несмотря на допущения, принятые при выводах формул, условие (17) можно считать универсальным, поскольку принятая величина допустимой погрешности условна, и некоторые ее отклонения в большую или меньшую сторону не играют существенной роли.

Разработанный критерий не противоречит положению, что при небольших токах (/<0,3 — 0,4) потери в воздушных линиях с неизолированными проводами можно рассчитывать по сопротивлению, приведенному к температуре окружающей среды [4]. В действительности эти два критерия определяют возможность использования разных упрощенных методов (условие (17) — расчет по справочному значению сопротивления, а [4] — расчет по сопротивлению, приведенному к температуре окружающей среды) и поэтому дополняют друг друга.

Необходимо заметить, что критерий (17) справедлив только собственно при расчете потерь, например, для составления отчетной информации или определения величины тарифов на электроэнергию. Однако при выборе мероприятий по снижению потерь он не должен использоваться, поскольку, как отмечалось выше, в данном случае играет роль также производная потерь, погрешности которой имеют другие значения и закономерности изменения.

Максимальная положительная и отрицательная погрешности расчета производной потерь по табл. 1 составляют 17,1 % и —47,9 %. Среднеквадратичная погрешность равна 21,5 %. Видно, что эти погрешности, за исключением положительной, значительно больше, чем для потерь. Физически это объясняется тем, что на величину производной оказывает влияние не только само значение сопротивления, как на потери, но и изменение сопротивления при изменении тока. Из таблицы также видно, что погрешность производной переходит через ноль при меньших токах, чем погрешность потерь, и есть случаи, когда погрешности потерь и их производной имеют разные знаки. Диапазоны малых погрешностей производной (меньше 5 % по модулю) более узкие, чем аналогичные диапазоны погрешностей потерь, и также смещены в область меньших токов.

Таким образом, влияние нагрева на производную потерь проявляется сильнее, чем на сами потери. Поэтому учет фактора нагрева при выборе мероприятий по снижению потерь энергии является даже более актуальным, чем просто при расчете потерь.

Таблица 1

Потери активной мощности, их производные, а также погрешности расчета, обусловленные неучетом нагрева

и I*, о.е. ДР*, о.е. Погрешность расчета ДР*, % Э(ДР*)/Э(Г), о.е. Погрешность расчета Э(ДР*)/Э(Г), %

с учетом нагрева (формула (9)) без учета нагрева (формула (11)) с учетом нагрева (формула (13)) без учета нагрева (формула (15))

15 0,1 0,00769 0,00783 1,82 0,1542 0,1566 1,56

0,2 0,031 0,0313 0,968 0,3128 0,3132 0,128

0,3 0,0705 0,0705 0 0,4804 0,4698 -2,21

0,4 0,1275 0,1253 -1,73 0,6624 0,6264 -5,43

0,5 0,2037 0,1957 -3,93 0,8651 0,783 -9,49

0,6 0,3015 0,2819 -6,5 1,0969 0,9396 -14,3

0,7 0,4244 0,3837 -9,59 1,3686 1,0962 -19,9

0,8 0,5771 0,5011 -13,2 1,6949 1,2528 -26,1

0,9 0,7659 0,6342 -17,2 2,097 1,4094 -32,8

0,783 -21,7 2,6059 1,566 -39,9

-1 0,1 0,0072 0,00783 8,75 0,1442 0,1566 8,6

0,2 0,029 0,0313 7,93 0,2926 0,3132 7,04

0,3 0,066 0,0705 6,82 0,4493 0,4698 4,56

0,4 0,1193 0,1253 5,03 0,6195 0,6264 1,11

0,5 0,1905 0,1957 2,73 0,8092 0,783 -3,24

0,6 0,282 0,2819 -0,035 1,026 0,9396 -8,42

0,7 0,397 0,3837 -3,35 1,2801 1,0962 -14,4

0,8 0,5398 0,5011 -7,17 1,5853 1,2528 -21

0,9 0,7164 0,6342 -11,5 1,9615 1,4094 -28,1

0,9354 0,783 -16,3 2,4375 1,566 -35,8

1,1 1,2087 0,9474 -21,6 3,058 1,7226 -43,7

-18 0,1 0,00667 0,00783 17,4 0,1337 0,1566 17,1

0,2 0,0269 0,0313 16,4 0,2711 0,3132 15,5

0,3 0,0611 0,0705 15,4 0,4164 0,4698 12,8

0,4 0,1105 0,1253 13,4 0,5741 0,6264 9,11

0,5 0,1766 0,1957 10,8 0,7498 0,783 4,43

0,6 0,2613 0,2819 7,88 0,9507 0,9396 -1,17

0,7 0,3678 0,3837 4,32 1,1861 1,0962 -7,58

0,8 0,5001 0,5011 0,2 1,469 1,2528 -14,7

0,9 0,6638 0,6342 -4,46 1,8175 1,4094 -22,5

0,8667 0,783 -9,66 2,2586 1,566 -30,7

1,1 1,12 0,9474 -15,4 2,8335 1,7226 -39,2

1,2 1,44 1,1275 -21,7 3,6081 1,8792 -47,9

Введение какого-либо критерия учета нагрева для производной аналогично (17) представляется нецелесообразным, так как: 1) область малых погрешностей невелика; 2) производная лишь приближенно характеризует эффективность учета нагрева при выборе мероприятий по снижению потерь, и на практике вместо нее вычисляются другие величины.

В заключение анализа следует отметить, что при некотором достаточно большом значении тока знаменатель в формулах для потерь с учетом нагрева

может обратиться в ноль. Этот ток можно назвать критическим. Исходя из формулы (9), он равен

При 1=1р потери формально становятся равными бесконечности, а при дальнейшем увеличении тока — отрицательными. Фактически это означает, что при 1^1кр установившегося теплового режима не существует. Физически это объясняется тем, что в

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013

процессе нагрева элемента сети температурная зависимость сопротивления проявляет себя как положительная обратная связь, которая и делает невозможным установление равновесия при достаточно большом токе (если его значение остается постоянным).

При принятых для табл. 1 расчетных условиях /Кр=2,07. Очевидно, что данное значение тока не может соответствовать нормальному режиму работы элемента сети, и расчет потерь энергии при этих условиях не требуется.

Заключение. В статье приведены аналитические выражения для расчета потерь активной мощности с учетом нагрева, удобные для использования на практике и требующие минимального объема исходных данных. Эти выражения строго справедливы для кабелей, проложенных в земле, при отсутствии существенных потерь в оболочках и экранах. Однако при приближенных расчетах эти формулы могут быть использованы также для кабелей при других способах прокладки и для воздушных линий.

Анализ погрешностей расчета потерь, обусловленных неучетом нагрева, показал, что для каждой температуры окружающей среды существует диапазон токов, которому соответствуют малые погрешности. Получено аналитическое выражение для этого диапазона при максимальных погрешностях ±5 %, которое может рассматриваться как критерий целесообразности учета нагрева при расчете потерь.

На основе производной потерь по току произведен обобщенный анализ влияния фактора нагрева на выбор мероприятий по снижению потерь энергии. Полученные результаты позволяют сделать вывод, что при выборе этих мероприятий фактор нагрева может проявить себя значительно сильнее, чем собственно при расчете потерь (максимальные погрешности производной достигают почти 50 %, превышая максимальные погрешности потерь более чем в два раза). Поэтому учет температурной зави-

симости сопротивления при выборе мероприятий по снижению потерь следует считать не только целесообразным, но, в ряде случаев, и необходимым.

Примечание

1 В электроэнергетике.

2 Строго говоря, это справедливо для тех мероприятий, при которых потери снижаются за счет уменьшения тока.

Библиографический список

1. Правила устройства электроустановок. — М. : Изд-во НЦ ЭНАС, 2003. - 222 с.

2. Макаров, Е. Ф. Справочник по электрическим сетям 0,4 — 35 кВ и 110-1150 кВ. В 5 т. Т. 2 / Е. Ф. Макаров. — М. : Папирус Про, 2003. — 640 с.

3. Макаров, Е. Ф. Справочник по электрическим сетям 0,4 — 35 кВ и 110 — 1150 кВ. В 5 т. Т. 2 / Е. Ф. Макаров. — М. : Папирус Про, 2004. — 688 с.

4. Поспелов, Г. Е. , Влияние температуры проводов на потери электроэнергии в активных сопротивлениях проводов воздушных линий электропередачи / Г. Е. Поспелов, В. В. Ершевич // Электричество. — 1973. — № 10. — С. 81 — 83.

ГИРШИН Станислав Сергеевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий».

ПЕТРОВА Елена Владимировна, инженер кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий».

СУРИКОВ Валерий Иванович, доктор технических наук, профессор (Россия), заведующий кафедрой физики.

Адрес для переписки: dima598@mail.ru

Статья поступила в редакцию 07.11.2012 г.

© С. С. Гиршин, Е. В. Петрова, В. И. Суриков

Книжная полка

69/П83

Протасевич, А. М. Энергосбережение в системах теплогазоснабжения, вентиляции и кондиционирования воздуха [Текст] : учеб. пособие для вузов по специальности «Теплогазоснабжение, вентиляция и охрана воздушного бассейна» / А. М. Протасевич. - Минск : Новое знание. - [Б. м.] : ИНФРА-М, 2012. - 285 с.

Рассмотрены вопросы рационального использования тепловой энергии в системах теплоснабжения, отопления, вентиляции и кондиционирования воздуха промышленных и гражданских зданий. Представлены современные инженерные решения по утилизации теплоты вторичных энергетических ресурсов, конструкции, принципиальные схемы и термодинамические особенности использования утилизационного оборудования и теплонасосных установок. Приведены примеры из опыта отечественной и мировой практики. Отдельные главы посвящены использованию нетрадиционных возобновляемых источников энергии в системах ОВК, а также особенностям систем ОВК энергоэффективных и высотных зданий.