РАСЧЕТ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ РЕЖИМОВ ВРАЩЕНИЯ СВОБОДНОГО ТЕЛА Текст научной статьи по специальности «Математика»

и 4 представлены изменения безразмерного представителя температуры при различных значениях параметров мС.

Параметр С заметно влияет на толщины динамического и температурного слоев: при вдуве (С < 0) толщина увеличивается, при всасывании (С > 0 _ уменьшается. От степени п толщины слоев зависят слабо: при уменьшении п они незначительно увеличиваются. Действие вязкой диссипации влияет на распределение температуры внутри пограничного слоя, а не на его толщину. Качественно результаты совпадают с [1].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Махмуд М. А. А., Меджахед А. М. Эффекты вязкой диссипации и тепловыделения (поглощения) в тепловом пограничном слое неньютоновской жидкости на движущейся проницаемой плоской пластине // ПМТФ, 2009. Т. 50, 5. С. 107-114.

2. Кожанов В. С., Уступкин Е. С. Применение метода преобразования к решению автомодельной задачи о слое смешения // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2016. Вып. 18. С. 107-110.

УДК 531.38:629

В. С. Кожанов, Г. Д. Севостьянов

РАСЧЕТ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ РЕЖИМОВ ВРАЩЕНИЯ

СВОБОДНОГО ТЕЛА

Поступила в редакцию 24-05.2018 г.

Даны расчеты определения наклона летательного аппарата (ЛА) при движении в вертикальной плоскости для экстремальных случаев (петля Нестерова, «кобра» Пугачева) на основе новой математической модели авторов (3-го порядка) в кинематике тела с неподвижной точкой. Кинематические линейные уравнения ЛА (аналогичные линейным уравнениям Эйлера) дают затруднения для этих режимов, другие модели имеют более высокий порядок.

В [1] нелинейные кинематические уравнения Эйлера приведены к уравнению второго порядка для угла нутации, конечному уравнению для угла собственного вращения и квадратуре для угла прецессии. В [2] такое упрощение сделано для вращения ЛА и качки корабля. В [3,4] приведены более ранние системы уравнений кинематики тела с неподвижной точкой.

Кинематические уравнения вращения ЛА, разрешенные относительно производных, имеют вид [5, с. 24]:

1

(1)

7 = ux — tg$ • (wy eos 7 — uz sin 7),

$ = uy sin 7 + wz eos 7, Ф =-- (wy eos 7 — wz sin 7),

где ([5], с. 17) $ - угол тангажа, Ф - угол рыскания, 7 - угол крена;

(шх,шу) - известная мгновенная угловая скорость ЛА и её координаты на оси связанной системы Xk Ук Zk. Основная система Xg Yg

В [6] получена альтернативная (1) система 3-го порядка для функций

$, ММ Ъ Ф

$ = ^sinм, М = —^(tg$ cos м — а),

п • cos М (2)

Y = —X + М + о , Ф = ^-Ч,

2 cos $

где а, X _ известные функции:

а = | - , х = -arctg^. (3)

Два первых уравнения (для $ и д) можно решать отдельно. Начальные условия для (1):

t = to : $ = $0, 7 = 70, Ф = Фо переходят в следующие:

, , оо ■ uv 0 sin Yo + U о cos 70 _

t = t0 : $ = $0, M0 = arcsin —^---, 7 = 70, Ф = Ф0.

i¿0

Для функции s(t) = sin $ имеем [2] уравнение 2-го порядка:

2

+ s'2 + (£±±\ =1, (4)

где

т={ "(t)dt> s'=i = é,

т - интегральное время.

При дифференцировании (4) распадается на два линейных уравнения.

Уравнение (4) имеет бесконечный класс частных аналитических решений (задав s(t), определяем а(т)). При а = 0 для s имеем уравнение s'' + s = 0, тогда

Гг п

$ = ± mdt + $0, м = ±П. (5)

Ло 2

При полёте ЛА в вертикальной плоскости а = 0 {шх = шу = 0 =

= Шг7 = 0,п Ф = Ф0 ± $ = шг(£).

На рис. 1 2 представлены расчёты углов вращения ЛА при некоторых манёврах в вертикальной плоскости. На рис. 1 демонстрируется изменение углов при выполнении ЛА петли Нестерова с постоянной угловой скоростью шх = п/30. На рис. 2 показано изменение углов при выполнении ЛА начальной стадии «кобры» Пугачева, причем угол тангажа изменяется соответственно

при а = 0.2, Ь = 0.1146.

(£) = ае

= ае-К*-*о)

-- у —

1

1 1 1 1 1 1 \—7 \ / \ / V

\ \ \ / / \ \ N

1 \ \ \ \ 1

. . . .

- в У - V

.....

25

50

75

100

20

40

60

80

Рис. 1

Рис. 2

Результаты расчетов совпадают с соотвтетсвующими результатами, полученными при использовании классической модели (1) на основе самолетных углов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Севастьянов Г. Д. О линейности кинематической задачи Дарбу для тола с неподвижной точкой // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2005. Вып. 7. С.' 195-198.

2. Севастьянов Г. Д. К кинематике тона с неподвижной точкой // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2009. Вып. 11. С. 141-144.

3. Лурье А. И. Аналитическая механика. М. : Физматгиз, 1961. 824 с.

4. Кузнецов Е. Б. Об одном подходе к интегрированию кинематических уравнений Эйлера // Жури, вычисл, мат. и мат. физ, 1998. Т. 38, .К2 11. С. 1806-1813.

5. Аэромеханика самолота: Динамика полёта : учебник дня авиац, вузов / А. Ф. Бочкарёв, В. В. Андреевский, В. М. Белокопов |и др.|; под род. А. Ф. Бочкарёва и В. В. Андреевского. 2-е изд., нерораб. и доп. М. : Машиностроение, 1985. 360 с.

6. Кожанов В. С., Севастьянов Г. Д. Новая математическая модель определения наклона при вращении свободного тела // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2017. Вып. 19. С. 121-125.