НОВАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАКЛОНА ПРИ ВРАЩЕНИИ СВОБОДНОГО ТЕЛА Текст научной статьи по специальности «Математика»

быть использована как «ядро», а дополнительный функционал реализуется с помощью отдельных приложений, которые также работают по протоколу HTTP. В итоге будет получено приложение с микросервисной архитектурой, которое легко размещается на независимых серверах, облегчая нагрузку на них.

Информационную систему можно развернуть не только в рамках локальной сети, но и открыть к ней доступ извне.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Pan Qiyuan, Han Zhonghua, Song Wenping. A Universal Aerodynamic Database Technique for Airfoils Based on XML Data Format and Surrogate Modeling // Advances in Aeronautical Science and Engineering. 2013. Vol. 4, № 1. P. 55-63.

2. Gilbert L., Crouse, Jr. Development of a comprehensive and consistent airfoil performance database for conceptual design. 6-9 January 2003, Reno, Nevada. American Institute of Aeronautics and Astronautics Inc. (AIAA), 2003. P. 2003-1096

3. URL: http://airfoiltools.com/ (дата обращения: 04.02.2017).

УДК 531.38:629

В. С. Кожанов, Г. Д. Севостьянов

НОВАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАКЛОНА ПРИ ВРАЩЕНИИ СВОБОДНОГО ТЕЛА

Получена математическая модель кинематики вращения летательного аппарата (ЛА) (3-й порядок). Приведены тестовые расчёты.

В [1] нелинейные кинематические уравнения Эйлера приведены к уравнению второго порядка для угла нутации, конечному уравнению для угла собственного вращения и квадратуре для угла прецессии. В [2] такое упрощение сделано для вращения Л А и качки корабля. В [3, 4] приведены более ранние системы уравнений кинематики тела с неподвижной точкой.

Кинематические уравнения вращения ЛА, разрешенные относительно производных, имеют вид [5, с. 24]:

1

eo7'v~(1)

Y = ux — tg' • (иУ eos 7 — uz sin 7),

' = иУ sin 7 + uz eos 7, Ф =-- (иУ eos 7 — uz sin 7),

где ([5, с. 17]) $ - угол тангажа, Ф - угол рыскания, 7 - угол крена; й;(£) (шх,шу) - известная мгновенная угловая скорость ЛА и её координаты на оси связанной системы Хк Ук ^.Основная система Хд Уд

Следуя [1], упростим систему. Обозначим:

wy = ü sin х, wz = —ücos x, ü > 0,

"t

ü2 = w¡; + w?, tgx = — ^, T = fi(í)dí, f = -f = ü,

У Wz ./t„ ÍT ü

Wy rü(í)-ií, f' f f (2)

'te

T

Тогда из (1) имеем:

Ф' cos $ = sin (7 + x), $' = — cos (7 + x),

Ф' sin $ = ^ — y '. (3)

ü

— (Wf — y') cos $ cos (y + x) = sin $ sin (y + x) $'.

Перемножим первое, второе уравнения и sin $ и учтём третье:

'Wx "ü"

Вычтя из обеих частей (y' + x') cos $ cos (y + x) имеем:

a cos $ • $' = — [cos $ sin (y + x)]',

где а(т) = wx/ü + x' = + x)' _ известная функция. Для функции s(t ) = sin $:

1 — s2 — s'2 = cos2$ sin2 (y + x),

поэтому

(V1 — s2 — s'2)' = —s', |s| ^ 1,

s(T)

s2 + s'2 +(2 = 1, s = sin $. (4)

a

Тогда $ = arcsin s(t), из 2-го уравнения (3) y = — x + arccos $' + 2nm.

Из 1-го уравнения (3) ^'cos2$ = cos $ sin (y + x) = ± V1 — s2 — s'2, тогда

гT \/1- s2 _ s'2 Ф = ±/ V1 — s 2 s dT + Фс. (5)

Jo 1 — s2

При дифференцировании (4) распадается на два линейных уравне-

ния.

В пространстве sis2s3 (si = s, s2 = s', s3 = (s'' + s)/a) уравнение (4) приводит к единичной сфере (s2 + s2 + s3 = 1). Введя сферические координаты $, д, 1 па ней для изображающей точки

s1 = s = sin $, s2 = s' = cos $ sin д,

s'' + s (6)

s3 =-= cos $ cos д,

a

и подставив s в s2, получим: í? = ^sin ¡; после подстановки ns^ s3 имеем:

¡ = — cos ¡ — а).

Из (3) í = — cos(y + х) = sin¡, тогда 7 = —х + ¡ + п/2. Из последнего уравнения (3)

i 1 / 1 -ч r^cos 1

ф = —-м* — y) = —-^(fia — ¡¡) = п—^.

sin í sin í cos í

Таким образом, имеем систему 3-го порядка для ¡, y Ф:

íí = nsin¡, ¡1 = — n(tgícos¡ — а),

п • cos ¡ (7)

Y = —X + 1 + о , Ф = П-^,

2 cos í

где П, а X _ известные функции:

П = а = | — , х = —arctg^. (8)

Два первых уравнения (для ' и ¡) можно решать отдельно. Начальные условия для (1):

t = to : ' = 'о, 7 = 7о, Ф = Фо переходят в следующие:

, , QQ . ^у0 sin 7о + ^zо eos 7о

t = to : ' = 'о, До = aresrn-^---, 7 = 7о, Ф = Фо.

По

Введя замену Ф = tg', |Ф| ^ то, упростим (7):

Ф = П(1 + Ф2) sin ¡¡, 1 = —П(Ф eos д — а),

7 = —X + 1 + п/2, (9)

Ф = + Ф2

cos 1,

где Ф0 = Ig$0; $ = агс^Ф.

Уравнение (4) имеет бесконечный класс частных аналитических решений (задав в(т), определяем а (т)). При а = 0 для в имеем уравнение в" + в = 0, тогда

Г* п

$ = ±/ + $о, М = ±п. (10)

Ло 2

При полёте ЛА в вертикальной плоскости а uz = Wz(t) y = 0,п Ф = Ф0). Тогда $ = Wz(t). Тестовые примеры, а) Если имеем (n = const, n = const)

Wx = n sin $0 + n1,

wy = |n cos $0| cos [n1(t — t0) + y0 — M0] , Wz = —|n cos $0| sin [ni(t — t0) + Y0 — M0] .

= 0 (wx = Wy = 0,

(11)

TO

0 = |ncos$0|, X = 2 — ni(t — t0) — Y0, M = 0,

а =

n sin $0 |n cos $0|

= ±tg$0, Y = ni(t — t0)+ Y0, $ = $0, Ф = n,

что соответствует развороту ЛА с вращением около продольной оси (регулярная прецессия).

б) Если в (11) заменить $0 на в (| sin в| > | sin $0|), то

п\ n sin в п

О = |n cos в|, а -— = ±tge = ас.

| n cos в|

Есть частное решение (4):

sin $ = s = sin$0 + a sin [|n|(t — t0)] , а = |ctgв| sin2 в — sin2 $0,

т.е. получаем прецессию с нутацией.

При в = в1 = arcsin\/sin $0, $0 > 0 достигается = п/2. ni = 0

во

25

20

15

10

r(i)

30т

25

20

15

10

Y

S(í)

20 40 „ 60 80 100

0 20 40 , 60 80 100

Рис. 1

Рис. 2

На рис. 1, 2 представлены расчёты углов вращения Л А для случаев регулярной и нерегулярной прецессии соответственно при п = 0.3°, щ = 0.1°, ^о = 5°, в = 9°.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Севастьянов Г. Д. О линейности кинематической задачи Дарбу для тела с неподвижной точкой // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 7. С. 195-198.

2. Севостъянов Г. Д. К кинематике тела с неподвижной точкой // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2009. Вып. 11. С. 141-144.

3. Лурье А. И. Аналитическая механика. М,: Физматгиз, 1961. 824 с.

4. Кузнецов Е. Б. Об одном подходе к интегрированию кинематических уравнений Эйлера // Жури, выч, мат. и мат. физ. 1998. Т. 38, № 11. С. 1806-1813.

5. Бочкарёв А. Ф., Андреевский В. В., Белокон В. М. Аэромеханика самолёта // Динамика полёта : учебник для авиац, вузов; под ред. А. Ф. Бочкарёва и

В. В. Андреевского. 2-е изд., перераб. и доп. М. : Машиностроение, 1985. 360 с.

УДК 519.6, 629.78

И. А. Панкратов

ГЕНЕТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ РАСЧЁТА ОПТИМАЛЬНЫХ ПЕРЕЛЁТОВ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

1. Постановка задачи. Предположим, что вектор ускорения u от тяги реактивного двигателя во все время управляемого движения космического аппарата (КА) направлен ортогонально плоскости его орбиты. Тогда орбита КА в процессе управления движением центра масс КА не меняет своей формы и своих размеров, а поворачивается в пространстве под действием управления как неизменяемая (недеформируемая) фигура. Рассмотрим следующую задачу: пусть необходимо перевести орбиту КА, движение центра масс которого описывается уравнениями [1]:

„dA r . c .

2— = A о , = и-%\ +—^ г3, dt c r2

d^> c p

— = —7, r = -, c = con st,

dt r2 1 + e cos if

из заданного начального состояния

t = to = 0, f (0) = fo, A(0) = A(0) = Л0 о (cos f0 + i3 sin f0) (1)