CC BY
8
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Сапунков Я. Г. Решение задач оптимального управления космическим аппаратом с ограниченной и импульсной тягой в КБ-переменных // Мехатроника, автоматизация, управление, 2010, 3, С, 73-78,
2, Челноков Ю. Н. Оптимальная переориентация орбиты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты // Прикладная математика и механика, 2012, Т. 76, вып. 6, С, 897-914,
УДК 531.38:629
Г. Д. Севостьянов
НОВЫЙ АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРИЕНТАЦИИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ СВОБОДНОГО ТЕЛА
Записаны уравнения и алгоритм определения ориентации управляемого тела с неподвижной точкой. Приведен тестовый пример.
В [1] нелинейные кинематические уравнения Эйлера приведены к уравнению второго порядка для угла нутации, конечному уравнению для угла собственного вращения и квадратуре для угла прецессии. В [2] такое упрощение сделано для вращения летательного аппарата (ЛА) и качки корабля. В [3, 4] приведены более ранние системы уравнений кинематики тела с неподвижной точкой.
Кинематические уравнения вращения ЛА, разрешенные относительно производных, имеют вид [5, с. 24]
1
еоЗ" (1)
7 = шх — Ig$ • (шу еов 7 — шг Бт 7),
$ = шу Бт 7 + шг еов 7, Ф =-- (шу еов 7 — шг Бт 7),
где (см. [5, с. 17]) $ - угол тангажа, Ф - угол рыскания, 7 - угол крена; Ш(Ь) (шх,шу,шг) - известная мгновенная угловая скорость ЛА и её координаты на оси связанной системы ОХ к Ук г к- Основная система -
ОХд Уд г д.
Следуя [1], упростим систему (1). Обозначим:
шу = ивт х, шг = —^еов х, и > 0,
Шу
»г
# / (2)
и2 = Шу2 + Ш2г, tgх = — ^, - = / тм, Г = ^ = и,
у Шг а- и
- _ интегральное время.
Тогда из (1) имеем:
Ф' cos $ = sin (7 + х), $' = — cos (7 + x),
Ф' sin $ = ^ — Y'. (3)
u и
Перемножим 1-е, 2-е уравнения и sin $ и учтём третье:
— (тг — Y') cos $ cos (y + х) = sin $ sin (y + x) $'.
Вычтя из обеих частей (y' + х') cos $ cos (y + x) имеем:
a cos $ • $' = — [cos $ sin (y + x)]',
где а(т) = + x' = + x)' _ известная функция. Для функции
s(t ) = sin $:
1 — s2 — s'2 = cos2$ sin2 (y + x),
поэтому
(Vi — s2 — s'2)' = ±a • s', |s| < 1, т.е. имеем [2] уравнение 2-го порядка для s(t):
s2 + s'2 +( s-±^>)2 = 1, s = sin $. (4)
a
Тогда $ = arcsin s(t), из 2-го уравнения (3) y = — x + arccos $' + 2nm.
Из 1-го уравнения (3) ^'cos2$ = cos $ sin (y + x) = ± V1 — s2 — s'2, тогда
Г^Д _ <2 _ о/2
Ф = ±/ У1 - 0 2 0 ¿т + Фо. (5)
./0 1 — 0
Запишем уравнение (4) для угла тангажа в реальном времени:
(л.ч.) = 5 — ^<0 + = sign(л.ч.)|a|U^U2 (1 — й2) — <02, (6)
и и
= ^ + |.
Начальные условия для тела:
г = ¿о : # = #о, Ф = Фо, 7 = 7о. (7)
Тогда начальные условия для уравнения (6):
t = to : s = so = sin$o, Uo = А/туо + т20,
s = so = —Uo cos $0 cos (Yo + xo). 138
I s2
Обозначив u = signu • у 1 — s2 — —, запишем (формула перед (4)):
u S
ñ = ± • ñ ■
Для s и u имеем систему (|s|, |u| ^ 1):
ñgns\/Í
s = signs V 1 — s2 — u2,
u = signU |a|s = signuu |a|Œ\/l — s2 — u2, с начальными условиями
(9)
S 2
se
t = to : s = s0, u = signuy 1 — s2 — = u0. (10)
Решая (9), (10), одновременно найдём углы: $ = arcsin s(t) = $(t),
2
д/l — s2 — u
Y = —x + arccos í - — I + 2nm = y (t),
ч VT— s2 , f* ñu , т
Ф = ± --2 dt + Фо = ^(t).
./Í0 1 s
Ориентация ЛА определена.
При s = ±1 w = 0 (местная вертикаль ОУ^) Ф имеет особенность, а $ и y - нет.
Уравнение (4) имеет бесконечный класс частных решений (задаём s(t), |s| ^ 1 и определяем а(т)).
Если а = = const, то имеем решение (4)
s = sin $ = s* + a sin(kT + a),
1 s2
k2 = 1 + a > 0, a2 = — — ^
к2 к2 - 1'
В зависимости от значения постоянной в* апекс оси Хк описывает разные траектории. Так, при |в*| = л/1 — к-2 будет регулярная прецессия. Обозначив в1 = й й2 = в', в3 = (й^ + в^ + й2 = 1), для этого
решения получим уравнение плоскости асв1 + в3 = + ^ в*, перпендикулярной (в1,в3). Ф' = ±тогда при смене знака в3 меняет знак скорость рыскания Ф', и апекс о си Хк описывает петли между двумя параллелями единичной сферы.
Дадим тест для программы (регулярная прецессия). Аналитическое решение:
& = &0, & = 0, Ф = n • (t - to) + Фо, Y = ni • (t - to) + Yo.
Ввод начальный: t0, &0, y0? n, Пь Ввод текущий:
wx = n sin &0 + n1, uy = n cos &0 cos [n1 (t — t0) + y0] , uz = —n cos &0 sin [n1 (t — t0) + y0] .
Вычисления:
П = |n cos &0|, = 0, x = —arctg— = П — n1(t — t0) — y, X = —n1, ^ = wx + X = n sin &0,
s0 = sin&0, s0 = 0, u0 = 1 — sQ = ± cos&0. Система (9) имеет решение:
s = s0, u = ± cos&0,
s = 0, u = 0.
& = arcsinS0, Y = —X + 2 = n1(t — t0) + Y0,
ф = ± /41 5° ^ + Фс =
Ло 1 - «с
= ±, , • (£ - ¿с) + Фс = ±п(£ - ¿с) + Фо, | cos #с|
т.е. получается регулярная прецессия около местной вертикали Уд (ОХдZg - горизонтальная плоскость).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Севастьянов Г. Д. О линейности кинематической задачи Дарбу для тела с неподвижной точкой // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 7, С. 195-198.
2. Севастьянов Г. Д. К кинематике тела с неподвижной точкой // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2009. Вып. 11. С. 141-144.
3. Лурье А. И. Аналитическая механика. М. : Физматгиз, 1961. 824 с.
4. Кузнецов Е. Б. Об одном подходе к интегрированию кинематических уравнений Эйлера // ЖВМ и МФ. 1998. Т. 38, № И. С. 1806-1813.
5. Аэромеханика самолёта : Динамика полёта : учебник для авиац. вузов А. Ф. Бочкарёв, В. В. Андреевский, В. М. Белоконов [и др.] / под ред. А. Ф. Бочкарёва и В. В. Андреевского. 2-е изд. перераб. и доп. М. : Машиностроение, 1985. 360 с.
