CC BY
11
ИЗВЕСТИЯ томского ордена трудового красного знамени ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА имени С. м. КИРОВА
1968
Том 190
РАСЧЕТ ДОПУСКОВ НА ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ОТКЛОНЕНИЯ, ВЛИЯЮЩИЕ НА КОММУТАЦИЮ МАШИН ПОСТОЯННОГО ТОКА, И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ОТКАЗОВ
ПО КОММУТАЦИИ
э. к. стрельбицкии, в. с. стукач, а. я. цирулик
(Представлена наувным семинаром кафедр электрических машин и аппаратов и общей электротехники)
Существуют три метода расчета допусков: метод максимума — минимума, метод «¡квадратичного сложения» и вероятностный метод. Первый метод, наиболее распространенный на заводах в настоящее время, дает завышенные в 1,5—10 раз, а второй — заниженные примерно в 6 раз значения погрешностей выходного параметра. В данной работе использован вероятностный метод как наиболее обоснованный в теоретическом отношении и наиболее точный. На вероятностном методе базируется линейная теория точности. Однако непосредственное применение ее в данном случае невозможно по следующим причинам. Во-шервых, не задаются номинальные значения на параметр коллектора — среднеквадратическое отклонение перепадов уровней пластин, и на выходную 'величину — уровень искрения И. Поэтому их средние значения подлежат определению из урав,нения допусков наряду с их дисперсиями. Во-вторых, зависимость искрения от технологических параметров существенно нелинейна.
При выводе уравнения допусков исходим из модели искрения [1]. Необходимо обеспечить такие допуски на входные параметры модели искрения XI, чтобы вероятность выхода искрения И за критический уровень ИКр была равна заданной величине Будем считать распределение уровней искрения машин серии нормальным, что имеет надежное обоснование (предельная теорема теории вероятностей). Тогда вероятность может быть определена по формуле
1 - И
Икп - И /¿(И) ]
1 - (1)
где ¥[2] — интегральная функция нормального распределения. Каждому значению <3 соответствует определенное значение 2. Для вычисления 2 необходимо определить среднее значение И и дисперсию О (И) искрения машин серии. Зависимость искрения от технологических факторов была найдена нами в виде полинома второй степени [1]:
И(хь х2, . . . ,хп) - Ьо + 2ЬГХ; + ^Ьц-х,' + ^ух-гХу (2)
Значения параметров XI являются случайными вследствие случайных технологических отклонений. Среднее значение и дисперсия искрения находятся по формулам:
+00 +00
И = | ... | И(хь х,, . . . , ХпИДхО-^х,) . . . ^(хп)-с1х, . . . ахп;
~00 —00
+ 00 +00
Б(И) = | . . . | И'-(х„х2 , . . .,хп)-Ых,) • • • {п(хп)-с1х, . . . дхп - Й.
— 00 —СО
(4)
Здесь и(х{) = -ехр Г - 1-.
V 2«'0(Х1) I ¿0(Х>) J
— нормальные плотности распределения входных параметров х*. Производя интегрирование, получим:
Й = Ь0 + ¿Ь,х, + ¿Ьих,2 + 2Ьнхгх, +
1- }
+ 2 Ь»-0(х,) = И(Х) + 2 Ьп-0(х;); (5)
Б(И) = 2 [Ь, + 2Ь„-х, +
!
"Г
1 \-1-i
+ 22Ь„2-02(Х;) + 2Ь,/-0(х1)-0(х]). (6)
1 - .1
Выражения (5), (6) и (1) позволяют решать прямую задачу теории точности — по известным допускам на выходные параметры х-, вычислить рассеивание искрения машин серии и вероятность брака по искрению. При симметричных полях допусков между половиной ширины поля допуска 61. и дисперсией 0(Х)) имеется соотношение.
81 = ;М 0(х5). (7)
Средние значения XI и дисперсии 0(х]) выходных параметров могут быть определены также из статистических данных о распределении значений параметров для данного уровня технологии. Зная Х| иО(х^, можно вычислить И и О (И), определить аргумент 2 функции Лапласа, найти значение функции по таблицам [3] и вычислить вероятность выхода искрения машин серии за допустимый уровень Икр.
Наибольший интерес для практики представляет решение обратной задачи теории точности — вычисление допусков на входные параметры три заданных Икр и допустимой вероятности брака О. Для вывода уравнения допусков запишем на основании выражения {1) уравнение
[икр - й]2 = гм)Ш) (8)
и подставим в это уравнение значения И и О (И) из выражений (5) и (6). После преобразований получим уравнение допусков:
[Икр - И(Х)]= - 2агО(х{) .4- ^ап-П-(х = ) £ а1Г0(х;). Г>(хЛ (9)
I- }
Коэффициенты уравнения определяются по формулам:
п
а, = г2-[Ь; + 2ЬИХ; + 2Ьц-х]]« - 2[Икр - И(х)]-Ьн; ап ^ Ьи2-(2г2—1); а!} = г2-Ьи2 - 2ЬИ - (10)
Коэффициенты Ьь Ьц, bij — это коэффициенты математической модели искрения [1]. Переход от дисперсий к допускам осуществляется по формуле (7). Нами найдена эмпирическая зависимость
D(x3) = 0,0827-хз2, (И)
позволяющая рассматривать уравнение (9) в осях D(xi), DX2) и х3.
Уравнение (9) задает границы допуоковой области. На рис. 1 представлено решение уравнения допусков для машин третьего габарита серии П, позволяющее выбрать допуски на контактное нажатие щеток Р, параметр коллектора ад и оптимальный ток подпитки 1П. Как показано в [1], ток 1п является обобщающим параметром, характеризующим отклонения основных параметров геометрии магнитной цепи.
Х,05» Ô?
балла и вероятности брака 0,0027
Назначив допуск на 1п по кривым рис. 1, можно рассчитать допуски на параметры геометрии магнитной системы.
Уравнение допусков выведено применительно к модели искрения, заданной полиномом второй степени. Для расчета допусков необходимо знать коэффициенты модели искрения, поэтому для каждого типа машин предварительно нужно построить модель искрения. Для геометрически подобных типоразмеров с близкими по величине скоростями вращения якоря можно построить систему допусков типоразмера, для которого была найдена модель искрения.
Сущность пересчета состоит в изменении масштаба по оси б!п в Г
отношении , где — значение 1п для типоразмера ('), для ко-
1 п
торого известна система допусков, приводящее к появлению первого искрения; 1П" — значение 1п для топоразмера- ("), для которого необходимо построить систему допусков, приводящее к такому же искрению.
Важной проблемой является прогнозирование постепенных отказов машин по искрению, под которыми понимается постепенный выход, уровня искрения щеток в эксплуатации за границу критического значения Икр. Принадлежность процесса искрения к. случайным процессам марковского типа и высокая адекватность полученной математической модели искрения позволяет использовать ее для прогнозирования постепенных отказов.
Если в модель искрения (2) подставить входные параметры в виде
x¡t = Xi0 i- Kpt, (12)
где xi0 — случайные начальные значения, a k¡— случайные скорости изменения входных параметров в эксплуатации, то в модели искрения появится временная координата, позволяющая использовать модель для прогнозирования развития искрения .в эксплуатации.
Вероятность безотказной работы коллектора и щеток, то есть вероятность пребывания уровня искрения в до-пусковой области О в течение времени t может быть определена из выражения
P{D,t} = J . . . Jf(Xt,t)-dxirdx2t . . . dxnt, (13)
(D)
где f(Xt, t) — n-мерная плотность нормального распределения входных параметров в функции времени. Границы области D задаются выражением (2), если в левой части подставить Икр. Это выражение нелинейно, поэтому решить интеграл (13) в общем виде нельзя. Целесообразно воспользоваться численным методом Монте-Карло и решать задачу на ЭЦВМ.
Процедура решения состоит в многократном определении уровня искрения по формуле (2) при неслучайных значениях параметров xi0 и Ki, выбираемых случайным образом из совокупностей с соответствующими законами распределения. Вероятность безотказной коммутации за время t равна
P{t( (14)
N
где
Np — число благополучных исходов, когда H(Xt, t) <"HKpí N — общее число случаев (статистических испытаний). Для расчета надежности можно воспользоваться также алгоритмами расчета допусков, изложенными выше, если входные параметры записать как функции времени (12). Вероятность безотказной работы коллектора и щеток равна
P(t) =FrH;P~HJ.l=F[Z(t)]. (15)
Среднее значение Ht и дисперсия D(Ht) искрения в функции времени эксплуатации определяются по формулам (3) и (4). При этом случайными являются параметры xi0 и kj. Получаются следующие выражения:
__п п п
и = Ьо + 2 bi-Xit + 2 biiXit2 + SbijXifXjt +
i<j
+ ¿b¡¡D(xi0) + t!.íb¡rD(K¡). (16)
D(Ht) = 2 [b, + 2b„.x,t + ¿ b¡jX]t]s- [D(Xjo) + t2-D(K¡)] +
i Ж
+ 2 ¿ bu4D2(Xio) +t4-D2(K¡)] +Sb2,J.D(xI0)-D(xj0) +
¡<j
+ ^-¿b^-DÍXioJ-DÍK,) + t2- % bijD(xi0)-D(Kj) +
\Ф}
+ ti-¿bij2-D(Ki).D(Kj). • (17)
i<j
Вычислив для любого времени t Иг и О(И0, можно определить аргумент 2{{) функции Лапласа ¥[2] и по таблицам этой функции найти вероятность безотказной работы коммутационной системы.
Параметры хю и О(хш) должны быть известны или из статистических данных о рассеивании входных ¡параметров для данного уровня технологии или могут быть1 определены по известным допускам на эти параметры. Параметры щ и Б('К1) определяются из статистических данных о скоростях изменения параметров в процессе эксплуатации. Для машин 1—3 габаритов серии П со скоростью вращения якоря 1500 об/мин. по результатам испытаний на срок службы нами определены скорости изменения входных параметров модели искрения и рассчитаны значения вероятности безотказной работы для различных значений времени эксплуатации (табл. 1).
Таблица 1
I час 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 6000 Р, % 99,964 99,85 98,7 93,36 83,87 74,31 61,10 49,93
В разработанной модели надежности коммутационной системы методологически просто учитываются условия эксплуатации через скорости к! изменения параметров в эксплуатации.
Модель надежности позволяет также рассчитывать допуски на входные параметры с учетом заданного времени эксплуатации.
Разработанные алгоритмы расчета допусков и надежности коммутации справедливы ¡при любом числе входных параметров модели искрения. Необходимо лишь знать коэффициенты модели искрения. Для конкретных машин эти коэффициенты получаются по методике, разработанной в [2].
ЛИТЕРАТУРА
1. Э. К. С т ре л ь б и ц к и й, В. С. Стукач, А. Я. Ц и рул и к. Влияние технологических отклонений на искрение щеток в машинах постоянного тока. Известия ТПИ, настоящий сборник.
2. Э. К Стрельб и цкий, В. С. Стукач, А. Я. Ц и рули к. Применение метода математической статистики для исследования коммутации, Известия ТЛИ, т. 160. 1966.
3. Л. Н. Больше в, Н. В. Смирно в. Таблицы математической статистики, «Наука», М., 1965.
