CC BY
13
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО
ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА
1966
1 ом 160
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ КОММУТАЦИИ
Э. К. СТРЕЛЬБИЦКИИ, В. С. СТУКАЧ. А. Я. ЦИРУЛИК
(Представлена научным семинаром кафедр электрических машин и общей электротехники)
Наличие технологических отклонений приводит к неодинаковому качеству коммутации машин одного типоразмера. Для определения влияния технологии на средний уровень и дисперсию искрения, для назначения обоснованной системы допусков, для прогнозирования устойчивости коммутации во времени необходимо знать зависимость искрения от технологических 1и механических факторов. Такую зависимость назовем математической моделью искрения.
Имеющиеся в настоящее время модели коммутации не включают механические и технологические факторы 'и поэтому не объясняют дисперсии искрения машин одной серии. Поэтому для решения указанных выше задач необходимо прежде всего создать достаточно адекватную модель коммутации.
Здесь представляются возможным два пути поиска модели.
Классический путь предполагает исследование механизма процесса, описание элементарных процессов в системе интегро-дифферен-циальным'и уравнениями и на этой основе построение теоретической модели коммутации, учитывающей технологические и механические факторы.
Этот путь не приводит к решению задачи в разумные сроки.
Целесообразно пойти по пути эмпирического поиска статистической модели коммутации. Схема такого поиска показана на рис. 1, а сущность метода заключается в следующем.
- < ^ Черный ящик (исследуемая система )
Рис. 1.
На вход системы воздействует К факторов, варьируемых на разных уровнях. Система является оператором, преобразующим поступающую информацию по неизвестному нам алгоритму и выдает на выходе величину у = ф(хI, х2, хк). Эта функция 'называется функцией отклика, а соответствующий ей геометрический образ в пространстве переменных XI— поверхностью отшгика.
Отыскание функции отклика осуществляется методами регрессионного анализа. Вид функции отклика обычно неизвестен, поэтому ее
представляют в виде полинома, являющегося, таким образом, разложением действительной функции отклика:
у = в0 + 2В1Х1 + я* X] + 2вп х21 + ... (1)
Здесь у — оценка у, XI — учитываемые факторы. Хотя полиноминальная форма не позволяет немедленно получить полную эвристическую информацию о процессе, но зато этот метод дает техническое решение в разумные сроки при неполном знании механизма процесса.
Для большинства задач достаточно ограничиться линейной или квадратной частью полинома (1). Квадратичная форма применяется для повышения адекватности представления поверхности отклика при существенном отклонении ее от линейности. В конкретных случаях адекватность представления можно повысить, заменяя переменные XI их функциями на основании априорных сведений о процессе. При исследовании коммутации машин серии П предварительный анализ двухмерных зависимостей у —<р(х) показал целесообразность представления функции отклика в мультипликативно-функциональной форме, легко превращаемой в полиноминальную после логарифмирования:
— ш к
у - в0 • Пх^ • ехр[2в1-х1], (2)
— т к
1пу = Во1 + ■ 1п X, + • Х!. (3)
1 = 1 ¡ = т + 1
Здесь лч(1'<т) — факторы, сводящие у к ;нулю при Х{ = 0;
Х](1>ш) — факторы, минимизирующие (максимизирующие) у .при Х| = 0.
На первом этапе исследования для отработки метода и для определения существенно влияющих факторов (отсеивающий эксперимент) мы ограничились линейной моделью (3) и включили следующие факторы:
XI — ток якоря, I, а;
х2 — напряжение на якоре и, Ь\
х3 — скорость вращения п, 1000 об/мин.;
х4 — давление на щетку р, 100 г;
х5 — эксцентриситет коллектора е, мк\
х6 — эллиптичность коллектора Е, мк\
х7 — среднеквадратичеокое отклонение перепадов ламелей а, як. В качестве выходной величины у, характеризующей степень искрения, нами принято напряжение под сбегающим краем щетки, измеренное методом дополнительной щетки.
Математически задача состоит в определении коэффициентов регрессии Ъ\ решением системы уравнений
X* Х-В = Х* У, (4)
полученных путем дифференцирования квадратичной формы
2(Уи-Уи)2 (5)
11 = 1
по всем коэффициентам регрессии и приравнивания их нулю с целью минимизации формы (5) (метод наименьших квадратов). Здесь N — число опытов (вариантов) ■ варьирования переменных. В матрице X* X коэффициентов системы уравнений элемент ьтой строки и ^гого столб-
N
ца равен 2хш'хш —скалярному произведению векторов — столб-
и=1
цов X} и X) . В матрице свободных членов Х*У ьтый элемент равен
N
2хш*Уи- Решение системы (4) в матричной форме запишется вы-11—1
ражением (6):
В=(Х* X)"1 (X* У) (6)
или в алгебраической форме:
К N
В1 = - уи, (7)
]=0 и = 1
где с^ —элемент ¡-той строки и ^ггсго столбца матрицы (X* X)"1.
При произвольном варьировании параметров Х| (так называемый «пассивный эксперимент») возникают следующие неудобства:
1. Так как обычно принято варьировать переменные поочередно, то информацию о каждом коэффициенте - Ъ[ несет небольшая ча:сть опытов. Поэтому коэффициенты регрессии оцениваются с большой дисперсией.
2. Так как параметры х; при ¡произвольном планировании эксперимента оказываются попарно коррелированными ( ' хш^0) > т0
>
коэффициенты регрессии определяются зависимо друг от друга. Невозможно разделить отдельные эффекты и эффекты взаимодействия. Нельзя получить математической модели процесса.
Это положение не относится к случаю, когда истинная функция отклика линейна.
3. Трудоемки расчеты.
Руководствуясь современными методами математического планирования эксперимента, мы спланировали эксперимент «ортогонально», т. е. варьировали переменные по такому плану, чтобы скалярные произведения разноименных векторов-столбцов в матрице планирования X
были равны нулю ( 2х1и"хш=0 V Тогда, очевидно, матрица коэффи-
\и-Л Ж /
циентов X* X системы уравнений становится диагонально^2хш" ^
и система распадается на К+1 самостоятельных равенств. Преимущества ортогонального планирования эксперимента:
1. Информацию о каждом коэффициенте регрессии несут все N опытов, поэтому коэффициенты оцениваются с минимальной и одинаковой дисперсией.
2. Каждый коэффициент регрессии Ь^ определяется независимо от других по формуле
N
2хш * Уи к и = 1
Ъ1 = —N—;—• (8)
2 х2\и и - 1
Это значит, что линейные эффекты определяются независимо от парных взаимодействий, определяется степень влияния каждого фактора и каждого взаимодействия двух или нескольких факторов, т. е. получаем математическую модель процесса.
3. Упрощаются расчеты, так как не нужно решать систему уравнений.
4. Плакирование является рототабельным, т. е. информация поступает равномерно из всех областей поверхности отклика.
Нами получена следующая зависимость для машин 2-го габарита серии П:
у = 7,4* 10"2* I0-80• ех,р [—0,0955• р + 0,0087* е+0,72Е+-1,64о], Ь. (9)
Здесь напряжение и скорость введены в постоянную составляющую своими номинальными значениями с соответствующими коэффициентами регрессии ввиду незначительности последних.
Для оценки остаточной дисперсии определяем остаточную сумму квадратов по формуле
= 2< Уи -- Уи)2 = 2 Уи2 - 2 Ь, £х1ц . уи = 33,7. (10)
и = 1 и = 1 1 = 0 и—1
Множественный коэффициент корреляции
й-т/1—§5—— = 0,802 (И)
У 2(Уа - У)2
и = 1
с оценкой снизу 1^=0,67 и оценкой сверху Ив = 0,88 при 95-проц. уровне значимости.
Относительная остаточная дисперсия
* - О(У) - . Щхо--в
0(у.
Высокое значение И и сравнительно малое значение бдсвидетель-ствует о том, что принята во внимание значимая часть существенных <Ь акторов, объясняющая значительную часть дисперсии искрения. В дальнейшей работе мы намерены включить в модель параметры, характеризующие отклонения геометрии магнитной системы и положения щеток относительно геометрической нейтрали, марку щеток и другие факторы.
Когда уравнение регрессии (2) будет доведено до необходимой степени адекватности с функцией отклика, оно может быть использовано для решения следующих задач:
1. Оценки среднего значения и разброса искрения, если известны фактические значения х\ и дисперсии 0(х1) для данного уровня технологии.
2. Назначения допусков на параметры х[, если задан допуск на искрение. Эта задача неоднозначна, можно определить лишь многомерную область допустимых значений О (х^). При необходимости оптимизации системы допусков по стоимости неизбежно применение математического программирования.
3. Прогноза доли машин, имеющих недопустимое искрение как на испытательной станции завода-изготовителя, так и в процессе эксплуатации. В последнем случае необходимо знать средние скорости изменения Х| во времени.
ЛИТЕРАТУРА
1. И. П. Клепиков, С. Н. Соколов. Анализ и планирование экспериментов методом максимума правдоподобия, изд. Наука, Москва, 1964.
2. В. В. Налимов, Н. А. Чернова. Статистическое планирование экстремальных экспериментов изд. Наука, Москва, 1965.
3. Л. Н. Б о л ь ш о в, Н. В. Смирно в. Таблицы математической статистики, изд. Наука, Москва, 1965.
