CC BY
3Б01 10.24412/с1-37235-2024-1-52-56
ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ РАЗНЫХ
ИЗМЕРЕНИЙ ДЛЯ ОДНОГО ТИПА МУЛЬТИАНИЗОТРОПНЫХ ПРОСТРАНСТВ СОБОЛЕВА
М.А. Хачатурян
Российско-Армянский (Славянский) университет khmikayel@gmail. сот
АННОТАЦИЯ
В данной статье получены прямые и обратные теоремы вложения разных измерений(теоремы о следах) для функций из мультианизотроп-
ного пространства Соболева Ж2Л(П 3) в случае одного класса вполне правильных многогранников N .
Ключевые слова: вполне правильный многогранник, мультианизо-тропное пространство Соболева, след функции.
1. Введение
Теория функциональных пространств, получивших в настоящее время название «пространств Соболева», широко используется в теории дифференциальных уравнений в частных производных, математической физике и многочисленных приложениях [1]. В дальнейшем были введены разные обобщения пространств Соболева. Теория анизотропных пространств Соболева И7"'.....'"'(□ ") в случае р = 2 полностью разработана Л.Н. Слободецким [23]. Слободецким также было введено обобщение таких пространств на дробные порядки, с помощью чего были получены прямые и обратные теоремы вложения разных измерений для этих пространств. При изучении некоторого класса гипоэллиптических уравнений, введенного Л. Хермандером, возникла необходимость изучения мультианизотропных функциональных пространств Соболева Г/Ч! ") , определяемых с помощью вполне правильного многогранника N [2] и которые являются обобщением анизотропных пространств Соболева. Впервые пространства такого типа изучались в работах С.М. Никольского и В.П. Михайлова. Исследование этих пространств было продолжено в работах Г.Г. Казаряна. Развитию теории мультианозотропных пространств посвящён цикл работ Г.А. Карапетяна [5-10]. Данная работа является продолжением работы [11] автора, где изучаются следы функции
/ е IV^(I 3) и ее обобщенных производных / < .V < /) на гиперплоскости х3 = а для одного частного типа мультианизотропного пространства (□ 3), где трехмерный вполне правильный многогранник ОТ представляет из себя пирамиду с вершиной (0,0,1) и с основанием . В данной
работе получены результаты для более общего вида вполне правильных многогранников, обобщающие результаты работы [11].
2. Определения, обозначения и вспомогательные результаты. Пусть П" — п -мерное Евклидово пространство точек х — (х1,х2,...,хп), □ + и □ — множества, соответственно, целых и рациональных неотрицательных чисел, □ ™ — множество п -мерных векторов с компонентами из . " — множество п --мерных мультииндексов а = (ах ,а2 ,...,ап) , где а] еП + ,у= 1,2,...,я . Для , £еП + и аеобозначим
п
|а|:=а +...+ая , = Х, 4' := (4' 4,—,4"), 4а -С ,
к=1
Ба := О^1...О^", понимаемая как обобщенная производная по С.Л. Соболеву порядка а.
Через 5'(1 ") обозначим класс Шварца быстро убывающих на бесконечности функций. Через Е[ф\ обозначим прямое реобразование Фурье функции (р е 5'(1 ") . Для заданного набора векторов из □ " через ОТ обозначим
наименьший выпуклый многогранник, содержащий все точки этого набора. Многогранник N называется «вполне правильным», если он имеет вершину в начале координат и отличное от начала координат вершины на каждой оси координат, а внешние нормали всех (п — 1) -мерных некоординатных граней
имеют положительные компоненты. Обозначим через гк (к = 1,2,-,М) вершины многогранника N , отличные от нуля, которые будем называть «главными вершинами». Для произвольного гоеП + через тдТ будем обок
значить вполне правильный многогранник с главными вершинами тг (к = 1,2,—, М). Для заданного вполне правильного многогранника N обо-
М
значим Рт (4):= 1 + £ (^ .
к=1
Определение 2.1. Мультианизотропное пространство Соболева дробного порядка ( " ) определяется как множество
^(□ ") := {и : и е Ь2(Ъ "),Щ£)Пи\(4) е ^ ")}, (2.1)
наделенное нормой
1
Ло
(2.2)
Отметим, что если главными вершинами многогранника N являются мультииндексы оск е п. то данное нами определение дробного мультиани-
зотропного пространства совпадает с классическим определением мультиани-зотропного пространства Соболева для целочисленных производных:
наделенное эквивалентной к выражению (2.2) нормой
м
к=1
Отметим, что для любого п -мерного вполне правильного многогранника ОТ , IV^ ( и) является банаховым пространством и множество функций
С0°°(П й) плотно в й) (см. [11]).
3. Формулировка основных результатов. Пусть 9Т0 с I 2 вполне правильный двухмерный многогранник, я е (0,1) некое рациональное число, 50 и I натуральные числа - такие, что 0 < 50 < I. Будем рассматривать трехмерный вполне правильный многогранник с □ 3 с вершиной (0,0, /) и такой, что все остальные главные вершины многогранника должны лежать на сечениях N плоскостями х3 = 50 и х3 = 0, а сечения эти, в свою очередь, равны,
соответственно, многогранникам qN0 и . Нетрудно заметить, что, в силу выпуклости многогранника N , имеем, что
5п
I <■
'0
1 - Я
Для заданного целого положительного числа 5 < I через обозначим проекцию на плоскость х3 = 0 сечения многогранника N плоскостью х3 = 5 и положим А := т N , где
т :=
1--—-,0 < 5 < 50,
2(5 — (1 — д)5)
1--1-, 5П < 5 < I.
2(1 — 5) 0
Теорема 3.1. Пусть / е (□ ) произвольная функция и 5 : 0 < 5 < I -целое число. Тогда для почти всех й £ I _це ( "), причем с не-
которой постоянной С > 0 , не зависящая от функции / и числа а, выполняется оценка
II/г/ ,. А , <с м / II: . .
Теорема 3.2. Пусть /е^(0 3) , 5 : 0 < 5 < / целое число, йёО , £(а): множество тех £ е □ , для которых Д" / Ц е (□ 2) . Тогда существует функция (рв е И/2'1' (□ 2 ) такая, что выполняются следующие соотношения
■«"Л?- < ( II / II.. ..
где С > 0 константа, не зависящая от функции / и числа а. Причем если Хз=а еЖ2я'(П 2),Т0 <ря и £>*/ Жз=а совпадают. Теорема 3.3. Для любого заданного набора функций е (□ 2) , 5 = 0,1,...,/ — 1, числа йёО существует функция / е Ж2л (□ 3), удовлетворяющая следующим условиям:
I—1
И/11:: -
5=0
где С > 0 константа, не зависящая от набора функций {^ }.
ЛИТЕРАТУРА
1. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: «Наука», 1988.
<
2. Демиденко Г.В. Пространства Соболева и обобщенные решения: Учебное пособие. Новосибирск: РИЦ НГУ, 2015.
3. Слободецкий Л.Н. Обобщенные пространства С.Л. Соболева и их приложение к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных. Ленинградский Государственный педагогический институт имени А.И. Герцена, Учётные записки, Физико-математический факультет. Т. 197, 1958.
4. Ghazaryan H. The Newton polyhedron, spaces of differentiable functions and general theory of differential equations. Armenian Journal of Mathematics. V. 9, 2017, No. 2. PP. 102-145.
6. Карапетян Г.А. Интегральное представление и теоремы вложения для n-мерных муль-тианизотропных пространств с одной вершиной анизотропности // Сиб. мат. журнал. Т. 58, 2017, № 3. СС. 573-590.
7. Karapetyan G. Integral representations of functions and embedding theorems for multianiso-tropic spaces on the plane with one anisotropy vertex. Journal of Contemporary Mathematical Analysis. V. 51, 2016, No 6, PP. 269-281.
8. Karapetyan G., Arakelyan M. Estimation of multianisotropic kernels and their application to the embedding theorems. Transactions of A. Razmadze Mathematical Institute. V. 171, 2017, No 1. PP. 48-56.
9. Karapetyan G., Petrosyan H. Embedding theorems for multianisotropic spaces with two vertices of anisotropicity. Proceedings of the YSU, Physical and Mathematical Sciences. V. 51, 2017, No 1. PP. 29-37.
10. Karapetyan G. An Integral Representation and Embedding Theorems in the Plane for Mul-tianisotropic Spaces. Journal of Contemporary Mathematical Analysis (Armenian Academy of Sciences). V. 52, 2017, No. 6. PP. 267-275.
11. Karapetyan G., Arakelyan M. Embedding Theorems for General Multianisotropic Spaces. Matematical Notes. V. 104, 2018, No. 3. PP. 422-438.
12. ХачатурянМ.А., Акопян А.Р. О следах функций из мультианизотропных пространств Соболева // Вестник РАУ, сер.: физико-мат. и ест. науки, № 1. 2021. СС. 56-77.
DIRECT AND INVERSE IMBEDING THEOREMS OF DIFFERENT DIMENSIONS FOR ONE TYPE OF MULTIANISOTROPIC SOBOLEV SPACES
M. Khachaturyan
Russian-Armenian (Slavonic) University
ABSTRACT
In this paper, we obtain direct and inverse embedding theorems of different dimensions (trace theorems) for functions from the multianisotropic Sob-
olev space ^^(D3) in the case of one class of completely regular polyhedron N .
Keywords: completely regular polyhedron, multianisotropic Sobolev space, trace of a function
