CC BY
1DOI 10.24412/cl-37235-2024-1-47-51
О НОРМАЛЬНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ И КРИТЕРИИ ФРЕДГОЛЬМОВОСТИ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ КЛАССОВ ГИПОЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
А.Г. Туманян
Российско-Армянский (Славянский) университет Siemens Digital Industries Software Программное обеспечение "Siemens Digital Industries " ani.tumanyan92@gmail.com
АННОТАЦИЯ
В данной статье изучены нормальная разрешимость и фредгольмо-вость гипоэллиптических операторов с мульти-квазиэллиптическими символами. Получен критерий фредгольмовости для специальных классов регулярных гипоэллиптических операторов с переменными коэффициентами на различных шкалах весовых мультианизотроп-ных пространств Соболева. Получены приложения для гладкости решений и инвариантности индекса на шкалах пространств. Ключевые слова: регулярный гипоэллиптический оператор, нормальная разрешимось, фредгольмов оператор, индекс оператора.
Данная работа посвящена исследованию нормальной разрешимости и фредгольмовости для класса регулярных гипоэллиптических операторов, который является специальным подклассом гипоэллиптических операторов Хёрмандера и имеет много важных приложений (см. [1]). Характеристические многочлены таких операторов являются мульти-квазиэллиптическими, поэтому они являются естественным обобщением эллиптических, параболических, 2Ь-параболических и квазиэллиптических операторов. Такие операторы были изучены многими авторами - такими, как С.М. Никольский, В.П. Михайлов, Дж. Фриберг, Л.Р. Волевич, С.Г. Гиндикин, Г.Г. Казарян и др.
Свойства фредгольмовости/нётеровости изучены для некоторых классов гипоэллиптических операторов в различных функциональных пространствах, но большинство результатов относятся к эллиптическим и квазиэллиптическим операторам. Фредгольмовость для эллиптических операторов изучена в различных весовых пространствах в Мп в работах Л.А. Багирова [2], Р.Б. Лок-карта, Р.С. Маккоуена [3] и др. Для квазиэллиптических операторов условия фредгольмовости получены в работах [4-5], а инвариантность индекса на шкале анизотропных пространств получена в работе [6]. Априорные оценки и
фредгольмовость некоторых классов гипоэллиптических операторов исследованы в работах [7-9].
В данной работе установлена нормальная разрешимость и априорные оценки для специальных классов регулярных гипоэллиптических операторов с переменными коэффициентами. Получен критерий фредгольмовости для рассматриваемых классов операторов на шкалах весовых мультианизотроп-ных соболевских пространств. Изучены также свойства гладкости решений соответствующих уравнений и инвариантность индекса на шкале.
Определение 1. Ограниченный линейный оператор A, определенный на всем банаховом пространстве X и действующий в банахово пространство Y, называется «нормально разрешимым», если область значений оператора A замкнута (Im(A) = Im(A)). Нормально разрешимый оператор называется «п-нормальным», если ядро оператора A является конечномерным (dim Ker(A) < те). Нормально разрешимый оператор с конечномерным ядром и коядром (dim coker(A) = dimY/Im (A) < от) называется фредгольмовым.
«Индексом Фредгольмова оператора А» называется разность между размерностью ядра и коядра:
ind(A) = dimKer(A) — dim coker(A).
Пусть n 6 N, Ж+ - множество n -мерных мультииндексов, Nn - множество n-мерных мультииндексов с натуральными компонентами.
Пусть - некоторый набор мультииндексов. Характеристическим
многогранником множества мультииндексов Ж назовём наименьший выпуклый многогранник Ж = Ж(Ж), который содержит все точки Ж. Многогранник Ж назовём вполне правильным, если 1) он имеет вершины в начале координат Mn и на каждой оси координат Mn, отличные от начала координат; 2) внешние нормали всех (n — 1)-мерных некоординатных граней Ж имеют положительные координаты. Мультииндекс а6 Ж назовём «главным», если он принадлежит какой-либо (n — 1) -мерной некоординатной грани многогранника Ж. Множество всех главных точек из Ж обозначим через З'Ж.
Пусть Ж - произвольный вполне правильный многогранник и k 6 М+. Обозначим &Ж = {ka = (ka1; ka2,..., kan), a 6 Ж}. Обозначим через ЖР-1^ = 1,...,In-1) (n — 1) -мерные грани многогранника Ж. Пусть j = 1,., In-1
такая внешняя нормаль грани Ж"-1для которой при всех a 6 Ж"-1 (а: ц') =
ai _i_____, an
j + ' + j 1.
Для вполне правильного многогранника Ж и k 6 Z+ обозначим
Q
1 |Dßq(x)|
I q: q(x) >0, Vx6 - ^ 0 при |x| ^ от, 3Cß>0 такое, что —— , ' < Cß,
4 4W q(x) р ' ' ' ß , q(x)!+(P:^J) ß,
Ух 6 Еп, Ув 6 кЯ , ] = 1, ...,1п-1
Для к 6 Ж+, 1 < р < от и д6 Qk'ж через Нк,ж,р и Н^'^обозначим множества измеримых функций {и} с соответствующими конечными нормами
Nb,p:= ^ I |Dau
aekR
l|uHk^,q,p = ^ I|Dau -q j
k-max(a:|J)
^ HD~u -q '
aekR
Lp( ln)
Рассмотрим дифференциальную форму
P(x, D) = aa(x)Da = (a0a(x)q(x)1-mr(a:"))+ai(x)) Da, (1)
где Da = D^1 .■■ D^n, Dk = i-1^, x = ^.....xn) 6 ln, a0a(x) e
C(ln), Dß(aJ[(x)) = o(q(x)1-miax(a"ß:^J)), j = 1,..., In-1,ß 6 kS,a6S при |x| ^ X .
Определение 2. Скажем, что дифференциальная форма P(x, D) равномерно регулярна в ln, если существует такая постоянная 8 > 0, что имеет место оценка
Haed'*aa(x)^| > б^^ГЬ V?6ln,V x 6 ln. Для M > 0 обозначим KM: = (x6ln: |x| < M}.
В работе получены необходимые условия на символ оператора для выполнения специальных априорных оценок:
Теорема 1. Пусть k 6 Ж+, q 6 Qk,K и P(x, D) дифференциальный оператор вида (1), коэффициенты которого удовлетворяют условию
lim max |a^(x) — a^(y)| = 0. Пусть с некоторыми постоянными C > 0 и
|x|^ro|x-y|<1
N > 0 выполняется априорная оценка:
||u||k+1Xq < C ( ||Pu||k,*,q + N|Lp(KN)),VU 6 H P+1Xq
Тогда P(x, D) равномерно регулярна в ln, и существуют постоянные б > 0 и M > 0 такие, что
^ a°(xXa > б( ^ |^a| + lW е Rn, |x| > M. ае: Vaed's /
Полученные условия являются также достаточными для выполнения априорных оценок. В работе получена следующая теорема:
Теорема 2. Пусть выполнены условия Теоремы 1 и дифференциальная форма P(x, D) равномерно регулярна в Mn, и существуют постоянные б > 0 и M > 0 такие, что
^ a°(xXa > б( ^ |^a| + 1),V^ е Rn, |x| > M. ае: Vaed's /
Тогда с некоторыми постоянными C > 0 и N > 0 выполняется априорная оценка:
IM|k+1Xq < C ( yPuykXq + ||u||Lp(KN)),Vu е H p+1,:,q
Как следствие, получена n-нормальная разрешимость рассматриваемого оператора.
Следствие 1. Пусть для дифференциального оператора P(x, D) выполняются условия Теоремы 2. Тогда P (x, D): H^1'^ ^ Hk':'p является n-нор-мально разрешимым оператором.
Получены свойства повышения гладкости решений.
Следствие 2. Пусть для дифференциального оператора P(x, D) выполняются условия Теоремы 2. Тогда из того, что u е H^ 'p,P(x, D)u е H^ ,p следует, что u е Hq .
В работе получена следующая теорема.
Теорема 3. Пусть k е Ж+, q е Qk,: и P(x, D) дифференциальный оператор вида (1), коэффициенты которого удовлетворяют условию lim max |a°(x) - a°(y)| = 0.
Тогда оператор P(x, D): H^1'^ ^ Hk':'p является фредгольмовым тогда и только тогда, когда P(x, D) равномерно регулярна в Mn, и существуют постоянные б > 0 и M > 0 такие, что
^ a°(x)^a > б( ^ |^a| + 1)'V^ е En, |x| > M. ае: Хаед'ж /
При этом, если условия теоремы выполняются, то размерности ядра, коядра и индекс оператора P(x, D): h^1'^ ^ Hk'K,p не зависят от выбора k и p.
ЛИТЕРАТУРА
1. Hyormander L. Linear Partial Differential Operators. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1969.
2. Багиров Л.А. Эллиптические уравнения в неограниченной области // Матем. сборник, 86 (128) (1971), 121-139.
3. LockhartR., McOwen R. On elliptic systems in Acta Math. 150 (1983), 125-135.
4. Darbinyan A., Tumanyan A. On a priori estimates and the Fredholm property of differential operators in anisotropic spaces. Journal of Contemporary Mathematical Analysis. vol. 53, n. 2 (2018). PP. 61-70.
5. Tumanyan A. Fredholm property of semielliptic operators in anisotropic weighted spaces in Rn Journal of Contemporary Mathematical Analysis, vol. 56, n. 3 (2021). PP. 168-181.
6. Tumanyan A. On the invariance of index of semielliptical operator on the scale of anisotropic spaces. vol. 51, no. 4 (2016). PP. 187-198.
7. Карапетян Г.А., Дарбинян А.А. Нетеровость регулярного оператора с постоянными коэффициентами в области // Труды инст. мат. им. Размадзе, Тбилиси, Т. 146 (2008). СС. 57-66.
8. Tumanyan A. Fredholm criteria for a class of regular hypoelliptic operators in multianiso-tropic spaces in Rn. Italian Journal of Pure and Applied Mathematics. vol. 47 (2022). PP. 1009-1028.
9. Tumanyan A. A priori estimates and Fredholm criteria for a class of regular hypoelliptic operators. Siberian Advances in Mathematics, 33:2 (2023), 151-164.
ON NORMAL SOLVABILITY AND FREDHOLM CRITERIA FOR SPECIAL CLASSES OF HYPOELLIPTIC OPERATORS
A. Tumanyan
Russian-Armenian (Slavonic) University Siemens Digital Industries Software
ABSTRACT
In this work, we study the normal solvability and the Fredholm properties for hypoelliptic operators associated with multi-quasi-elliptic symbols, acting in multianisotropic Sobolev spaces. We obtain Fredholm criteria for the special classes of regular hypoelliptic operators with variable coefficients in various scales of multianisotropic spaces. We also provide applications to the smoothness of solutions and index invariance on the scales of multianisotropic spaces.
Keywords: regular hypoelliptic operator, normal solvability, Fredholm property, index of operator.
