О псевдодифференциальных операторах радиального типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

О ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРАХ РАДИАЛЬНОГО ТИПА

2014 г В.М. Деундяк, Е.И. Мирошникова

Деундяк Владимир Михайлович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра алгебры и дискретной математики, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: [email protected].

Deundyak Vladimir Mikhailovich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Department of Algebra and Discrete Mathematics, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected].

Мирошникова Елена Игоревна - аспирант, кафедра алгебры и дискретной математики, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: elenmiroshnikova@gmail. com.

Miroshnikova Elena Igorevna - Post-Graduate Student, Department of Algebra and Discrete Mathematics, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected].

Вводится новый класс псевдодифференциальных операторов радиального типа. Доказывается теорема об ограниченности этих операторов в шкалах соболевских пространств. Для алгебры, порожденной такими операторами с анизотропно ради-ально слабо осциллирующими характеристиками нулевого порядка, устанавливается связь с классическими псевдодифференциальными операторами и строится символическое исчисление. В терминах символа формулируется критерий фредгольмово-сти для исследуемых операторов.

Ключевые слова: псевдодифференциальный оператор, класс Хермандера, пространства Соболева, ограниченность, фредгольмовость, символ.

New class of radial type pseudodifferential operators is introduced. The theorem on boundedness of these operators in the Sob olev type scales is prooved. For algebra generated by such operators with anisotropically radial slowly oscillated characteristics of zero order the relationship with classical pseudodifferential operators is established and the symbolic calculation is constracted. In terms of symbol for operators under investigation the Fredholm criterion is formulated.

Keywords: pseudodifferential operator, Hermander class, Sobolev space, boundedness, Fredholm property, symbol.

В работе [1] исследуется ограниченность и фред- = Rni х _ Rnk ^Rk х JB1 индуцирует изоморфизм

гольмовость интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа в простран- —2 -пространств: ц: —2(р") ^ -2(р+ х тп_1;гп 01) по

j2 upwipmiviu. у . ^ j ' + '

TT------------- ---------—™„ ...................

+ 5

стве Ьр(Р"). Представляется актуальн^1м распро- формуле (ц(/))(г,ст) = /(г^,...гк°к), г = (г,...гк)еР:

странение этих результатов на операторы, действую- а = а ) е т щие в шкалах пространств соболевского типа. Для

решения этой задачи в настоящей работе построена С°°тношение ф и (ф), где Ф1 е -2(Р+; г ), а иъ шкала пространств соболевского типа с мультиплика- пЛ

тивной структурой, исследованы ограниченность и определяется формулой (мп(ф))(х) = П 2 ф(ех ,.../*), фредгольмовость псевдодифференциальных операто- 1=1

ров в этой шкале. Полученные результаты основаны х = (х) еРк, задает оператор un, изометрично на использовании связи изучаемых операторов с

классическими псевдодифференциальными операто- отображающий банахово пространство -2(Р+; гп"1) на

рами с характаристиками из классов Хермандера, -(рк) [!]. Обратный оператор определяется формулой

2

действующими в обычных шкалах пространств Собо

лева, теория которых представлена в [2 - 4].

("nVi))^) = ПГ 2 pfln^,...^), r = (Ti,...rk) е R+ .

Соболевские шкалы радиального типа

Пусть далее ип = (ип 01 )ц - композиция изомор-

Пусть x - произвольный компакт с мерой. На де- физма перехода к полисферической системе коорди-

картовом произведении рк х x рассмотрим шкалу нат ц и тензорного произведения оператора

пространств соболевского типа И5,0(рк хx), 5ер, ип :Х2(р+;гп1) ^-2(рк) с тождественным опера-

определяемых через топологическое тензорное про- тором I: Х2(Тп_1) ^ Х2(Тп_!). Определим преобразо-

изведение прегрешив Соболева И (рк) и -2(Х): вание ^ : 4(Р")^ - (К") (формулой ^ = ип1(Ж)^. И°'0(Як х Х)= И (Р) 0 -2(Х), 5 ер . в пространстве обобщенных функций б' (ри) в

Тогда норма в И*'0(Як х х) корректно определяет- случае произвольного 5 е р выделим подпространст-

ся равенством во функций Н5 (р"), удовлетворяющих условию

1

IIPU^ =| J/i1 + ^!(F(p)X^)!2 \ ' ifi + ^in2K(,)i Ti(f„(p))(0\2 dC

VRk X (2^) ) Rn V ¿=1 )

k

— . Г«!] i(f (p))(Or-d^T < «5 ¿(0 е

Rn v i=1 ) (2n)

где Р = F 01; ^ - оператор преобразования Фурье. 1 = 1,...к, и зададим на нем норму равенством

Оператор Б™ = <П)т 01, где <П)т задается на функциях ^ из И5 (рк) для произвольного 5 е р равенством

(<П)т(^)Хх)= /(1 + ^, X е рк

IIH- (R")

1

'Я1 ♦ ¿in-k^'lf, (PifCT^T

VRn v i=1 / (2»> )

Следующая лемма устанавливает связь про-Rkv " ' (2Ж) странств H- (rn) с пространствами соболевского ти-

k

действует в шкале: па И50(рк х т х).

Б™ : И5 0(Рк х Х) ^И5 т 0(Рк х Х), т е р. ЛеММа I Сопоставление / „ и>)/), где

На р" введем новую шкалу {н5 (р" )}5ер собо- / е н5(р"), а и(,5) определяется формулой левских пространств радиального типа. Пусть

п = ("1,..."к) - к -компонентный мультииндекс (ип')^./))(= Пе 2 /^^...Р^&к),

1=1

длины ", т.е. " +...+", =" . Для Р" можно запи- , ч _к < \ _

1 к X = (х1,...7Гк)ер , ст = (ст1,...р'к)еТпп1,

сать следующее представление: р" = р"1 х...хр"к . (^)

задает оператор и(п5 ) , изометрично отображающий

Пусть р+ = р+ х ...х р+ , т„п1 = ^"1п1 х ...х Б"кп1, где банахово пространство н5 (р") на И50(рк х ) для

£т-1 - единичная сфера в пространстве р™. Пере- произвольного 5 е р. Обратный оператор определя-

ход к полисферической системе координат ется формулой

У) =

= Й|У(о| 2 Я> ln| Уо)|>."Н У (к )|:

У(1) У(к)

У = (У(1),---У(к) )eR

У(1) У(к)

Лемма 2. Оператор Б™ = (^'""^СБ")иП5) осуществляет изометрический изоморфизм пространства н5 (и") на Н'-т (и") для произвольных 5, т еи.

Следовательно, пространства н5(и"), 5еи , образуют шкалу {н5 (и" )}5еК, которую далее будем называть шкалой соболевских пространств радиального типа.

Псевдодифференцильные операторы радиального типа

Приведем необходимые сведения и результаты из теории банаховых алгебр. Для произвольного банахова пространства X через ЦХ) обозначим банахову алгебру всех линейных ограниченных операторов, действующих в X; через к(Х) - идеал компактных операторов; через Бг(Х) - множество фредгольмовых операторов. Пусть 1< р < ю, w и и -весовые функции на снабженных мерами пространствах X и 7 соответственно; Ь (X;о Ь (У;и) -

алгебраическое тензорное произведение весовых пространств Ь (X; и Ь (У; и), состоящее из

I

функций вида , Ф е Ьр (X; w) , е Ьр (У;и) . В

1=1

силу плотности Ь (X; о Ь (У;и) в Ь (X х У; w ® и)

топологическое тензорное произведение

Ьр (X;w) ®Ь (У;и), являющееся замыканием

Ь (X; w) о Ьр (У;и), совпадает с Ь (X х У; w ® и). Аналогично для банаховых алгебр А(с 1_(Ьр (X; w))) и В(с 1_(Ьр (У; и))) топологическое тензорное произведение А ® В определяется как замыкание в 1_(Ь (X хУ; w ® и)) алгебраического тензорного произведения А о В. Если и - банахова алгебра, то О(О) - группа обратимых элементов из и ; и+ -унитализация и . Подалгебру V банаховой алгебры и называют наполненной в и ; если 0(¥) = V о 0(и) .

Как известно, псевдодифференциальные операторы вида

(А(ф))( х) = (Ор (а)(ф)Х х) =

а(х, 4)(F(фЖ)г'(, х е к

J а(х,#)( F (я))(£У' Чк

(2л)

(1)

ничены в шкале {Н5 )}^еР> пространств Соболева, а именно для произвольного 5 е И формула (1) задает ограниченный оператор А(,): Н ) ^ Н'-т). При этом число т е И называется порядком оператора, а функция а е -его характеристикой. Множество операторов вида (1) порядка т будем обозначать ОРО^о).

Для произвольной определенной на И" х И" функции Ь(1), зависящей лишь от модулей своих аргументов следующим образом:

й(1)(х,о = Й0(1)(|Х(1)|,..4 Х(к )| ,К(1)1,...К(к )1 ), зададим функцию

(Г(Ь(1)))(х,£) = ь0(1)(ех\...,вхк,г41,.../к ). (2)

Аналогично для произвольной функции Ь(2), определенной на И" х И" и такой, что

b(2)( х,С)= bf)

зададим функцию

х(1)

х(к)

(1)

(к)

1х(«1 lx(k)l K(i)l \С(к)1

(Г2(b(2)))(ст,5) = b02)(а1,...,ак,s1,...ßk) .

(3)

Введем на группе и" х и" класс Б^, т е и, со

(1) А(2)

для

стоящий из всевозможных произведений Ь(1) Ь которых ГДЬ(1)) е ^0, Г2(Ь(2)) е Ьх(Тп-х х Т^) .

Зафиксируем 5еИ и рассмотрим для функции / е н5 (и") интегральное выражение

(В(/))(х)= (4)

J b(x,C)(fn (f ))(ОП

Rn j=1

\x0/j j \ j)2

-л

dс

(2л)к

где

b = b(1)b(2) е S"

Лемма 3. Оператор вида (4) ограничен из Н5(И") в (И") для произвольных т,5еИ и следующая диаграмма коммутативна:

hs (r n)

i u (s)

Яs•0(rk x ) ^ Hs-m'0(Rk x tn_!)

в

A®T

hs~m (rn )

i u is~m)

s—m,0/& к

где функция а лежит в классе Хермандера (см., например, [3, 5]) для некоторого т е И , огра-

Здесь А = Ор(Г:(Ь(1))) е ОР^), Т еК(Ь2(Т„_1)) -компактный интегральный оператор с ядром Г 2 (Ь(2)) е Ью (Т„_1 х Тп_1).

Действующие из н5 (и") в т (и") операторы

I

вида Б = ХО"т + 2В,, где Ле с , В - операторы вида

(2) порядка т е И с характеристиками Ь1 е Бт0, будем называть псевдодифференциальными операторами радиального типа.

/

;

V

i=1

Фредгольмовость псевдодифференциальных

операторов с анизотропно радиально слабо осциллирующими характеристиками

Для построения класса анизотропно радиально слабо осциллирующих характеристик и исследования фредгольмовости соответствующих псевдодифференциальных операторов приведем, прежде всего, необходимые результаты из теории классических псевдодифференциальных операторов [5].

Пусть 50т0 , т е и, - класс слабо осциллирующих

функций, естественно вложенный в класс Хермандера

того же порядка т [5, 6], который определяется

условиями: функция а е Sm относится к классу S( если:

да( х, £)

m '0,0 ,

1. V#eR*

2. Vx eR'

lim

m

(1+#2)~Y = 0, i = 1,...*,

lim

дх

да(х,£) д£

(1 + #2)2=0, i = 1,...* .

где а e Cb (r* x r* ),

И ¿Ь (И* ^ )=(

р(а) = а .

Теорема 1 [5, теоремы 6.9.2 и 6.9.4]. 1. Сопоставление ст : А ^ сг(А) = р(а) операторам

А = Ор(а) е ОР(~000) фактор-классов р(а) их характеристик а е продолжается до гомоморфизма С * -

алгебр ст : А ^ ¿Ь (и* х и*) с ядром К^И*)).

2. Оператор А е А фредгольмов тогда и только тогда, когда ст(А) е С(СЬ (и* х и*)).

Произвольному оператору А е ОР(50т0) с характеристикой а е порядка т е и* поставим в соответствие его символ ст<т)(А) е Съ (и* х и*)) следующим образом: ст(т)(А) = р(~),

(6)

~(х,£) = а(х,£)(1 + £2) 2 е S000, х, е R' . Из [5, с. 49] следует

т m

J0,0

C* -алгебру, порожденную псевдодифференциальными операторами со слабо осциллирующими характеристиками нулевого порядка, обозначим через a, т.е. алгебра a совпадает с замыканием по l(L2 (r*)) -норме класса OP(S000). Известно также (см. [5, с. 59]),

что a содержит все операторы из k(L2 (r*)).

Приведем конструкцию символа и условия фред-гольмовости для операторов из алгебры a [5]. Пусть C (r* x r*) - C * -алгебра всех ограниченных непрерывных на r* x r* функций и C0 (r* x r* ) -замкнутый идеал C4 (r* x r*) таких функций, что lim f (х,#) = 0.

Через Cb (r* x r*) обозначим фактор-алгебру C(R* x R*)/C0(R* x R*). Пусть

p: Ch(R* xR*) ^(Cb(R* xR*) - (5)

канонический фактор-эпиморфизм. Норма в Cb (r* x r*) корректно определяется формулой

Теорема 2. Для того чтобы оператор А е 50, был фредгольмов, необходимо и достаточно, чтобы его символ был обратим в ¿ь (И х И*). При этом для всякого 5 е и выполняется равенство ст(т)(А) = ст«П>5 -т (А)< П>-5).

Введем класс анизотропно радиально слабо осциллирующих характеристик. Рассмотрим на rи х rи подкласс Бт„ класса б^, состоящий из таких функций Ь = Ь(1)Ь(2) е б^, что Г(Ь(1)) е . Элементы

линейной оболочки, натянутой на бт , будем называть анизотропно радиально слабо осциллирующими функциями.

Пусть Вп - замкнутая подалгебра алгебры ь(Ь2(и")), порожденная операторами вида

D = Я! +

(7)

где Ле с ; I - тождественный оператор в Ь2 (и"); В1 - операторы вида (4) с характеристиками нулевого порядка Ь = Ь,(1)Ь,(2) е б0,0, 1 = 1,.../. Для произвольного оператора П вида (7) определим его символ а(П) из (¿Ь (И* х И*) ® К(Ь2(Тп-1))) + следующим образом:

®(D) = Л + Zp(rl(bi(1)))T

(8)

где Т е К(Ь2 (Тп_х)) - компактные интегральные операторы с ядрами Г 2 (Ь(2)) е Ьх (Тп-1 х Тп-1), ГДЬ^) е 5000 (см. (2), (3)), а р - эпиморфизм (5).

Теорема 3. Сопоставление операторам вида (7) их символов (8) однозначно продолжается до гомоморфизма о : Вп ^ (С^ х Rk) ® К(Ь2 (Тп-1)))+ с ядром кег(о) = К(Ь2 )).

Для операторов из алгебры вп справедлив следующий критерий фредгольмовости.

Теорема 4. Пусть П е вп . Тогда

П е Бг(Вп) « о(П) е С((Съ (И* х И*) ® ^(Т-х)))+).

Что касается операторов ненулевого порядка, то отметим: для всякого В вида (4) с характеристикой

m

m

i=1

i=1

из Бто оператор Б£птВБп5 также имеет вид (4), а его характеристика имеет порядок т = 0, т.е. Бк~т£Бп5 е вп. Таким образом исследование фред-гольмовости оператора В произвольного порядка т можно свести к проверке условий теоремы 4 для оператора Бк~тВБп*. Для произвольного оператора вида

I

П = Щ +£В,., где 2ес, В1 - операторы из

1=1

ОР(б0т0) порядка т е р с характеристиками Ь = Ь,(1)Ь,(2) е Б0о, его символ корректно определяется

равенством о(т) (П) = Л + £ р(Г (~(1) ))Т1, где

¿=1

Т е К(Х2 (Тп_!)) - компактные интегральные операторы с ядрами Г2(Ь2)) е (т^ х т,^) (см. (3)),

т

~(1)(х,С) = Ь^^С)^ +I1п21 С(0 |] 2 , х,СеР" ,

Г1(~(1)) е ~000 (см. (2)), а р - эпиморфизм (5).

Имеет место следующий критерий фредгольмово-сти для псевдодифференциальных операторов радиального типа произвольного порядка т е р .

Поступила в редакцию_

Теорема 5. Пусть D - оператор вида (6). Тогда оператор D фредгольмов тогда и только тогда, когда его символ с (m)(D) обратим в

(c (rk х rk) ® k(i2(tn.1)))+.

Литература

1. Деундяк В.М., Мирошникова Е.И. Об ограниченности и фредгольмовости интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа и переменными коэффициентами // Изв. вузов. Математика. 2012. № 7. С. 3 - 17.

2. Пламеневский Б.А. Алгебры псевдодифференциальных операторов. М., 1986. 256 с.

3. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 3. М., 1986. 696 с.

4. Rabinovich V.S. An Introductory Course on Pseudodifferential Operators. Madrid, 1998. 134 p.

5. Rabinovich V.S., Roch S., Silbermann B. Limit Operators and its applications in the operator theory. Boston; Basel; Berlin, 2004. 462 р.

6. Cordess H.O. On compactness of commutators of multiplications and convolutions, and boundedness of pseudodifferential operators // J. Func. Anal. 1975. Vol. 18(2). P. 115 - 131.

3 декабря 2013 г.