О системах линейных интегральных уравнений типа Романовского с частными интегралами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 517.968 MSC2010: 45A05, 45F05

О СИСТЕМАХ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА РОМАНОВСКОГО С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ

© А. С. Калитвин, В. А. Калитвин, Н. И. Трусова

ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ П. П. СЕМЕНОВА-ТЯН-ШАНСКОГО ИНСТИТУТ ЕСТЕСТВЕННЫХ, МАТЕМАТИЧЕСКИХ И ТЕХНИЧЕСКИХ НАУК

ул. Ленина, 42, Липецк, 398020, Российская Федерация Е-МА1Ы [email protected], [email protected], [email protected]

On the Systems of Romanovskij Type Linear Integral Equations with Partial Integrals.

Kalitvin A. S., Kalitvin V. A., Trusova N. I.

Abstract. Systems of linear integral equations are studied in spaces of continuous and continuously differentiable on the square of vector functions.

The systems considered in the paper contain matrix partially integral operators and Romanovsky matrix operators. Systems of equations with such operators are not Fredholm in any of the spaces mentioned, even in the general case of given smooth kernels. The paper considers systems of equations with kernels from the space of vector functions continuous on a square with values in the space of functions summable on an interval.

Theorem 2 contains conditions under which the Fredholm property of a system of linear integral equations of Romanovskii type with partial integrals in the space of continuous vector functions is equivalent to the invertibility of a simpler system of linear integral equations with partial integrals. In obtaining these conditions, the S.M. Nikol'skii theorem on the representation of the Fredholm operator as a sum of reversible and compact operators was used. Specific classes of kernels for which the statement of Theorem 2 is true are given, a special case of a system of linear integral Romanovski type equations with partial integrals is considered, for which the Fredholm system is equivalent to the invertibility of linear integral equations with a parameter for each parameter value. Theorem 5 contains the Fredholm conditions for a system of integral equations of the Romanovsky type with partial integrals and continuously differentiable kernels in the space of continuously differentiable vector functions.

Keywords: systems of Romanovskij type linear integral equations, partial integrals, fredholmness of systems, invertibility of systems, matrix operators and equations, kernels of potential type.

Введение

В 1932 году известный советский математик В. И. Романовский, описал задачу теории марковских цепей с двухсторонней связью, которая приводится к интегральному уравнению

ь

*,.) = /чм,ФМ* + /(м) - №)(М) + /(м). (К

а

Уравнение (1) с непрерывным по совокупности переменных ядром т(Ь,з, а) было исследовано В. И. Романовским в [1] методом, аналогичным методу определителей Фредгольма. Характерной особенностью уравнения (1) является то, что оно содержат частный интеграл, в котором у неизвестной функции сначала переставляются переменные и лишь затем производится интегрирование по одной из переменных. Поэтому линейный оператор Я из уравнения (1) не является компактным оператором в пространстве непрерывных функций. В силу критерия А. В. Бухвалова об интегральном представлении линейного непрерывного оператора [2] оператор Я не является интегральным оператором в этом же пространстве.

Отметим, что более общие классы линейных интегральных уравнений типа Ро-маноского при более общих предположениях относительно ядер изучались в [3].

Системы линейных интегральных уравнений Романовского

ь

п

х^(Ь, з) = ^^ / т^ (Ь,в, а)хц (а, Ь)б,а + / (Ь,з),г = 1 ,...,п. (2)

■?=1 а

с операторами типа оператора Я исследовались в [4].

В данной работе изучаются системы линейных интегральных уравнений, содержащие линейные операторы с частными интегралами и линейные операторы типа оператора Я.

Через Ьц, Мц, Ь и М будем обозначать операторы, определяемые равенствами

ь

(Ьц хц )(t,s) = J (Ь,я, т )хц (т,з)6т, г,] = 1,... ,п, (3)

а

ь

(Щх )(М = / тУ(М, а)хг (Ь, = 1,...,п, (4)

а

Ь = (ЬУ )Пц-=1, М =М)П3=1, (5)

где 5, т, а € [а, Ь], функции 5, т5, а) измеримы по совокупности переменных, а интегралы понимаются в смысле Лебега.

Пусть Б = [а, Ь] х [а, Ь], С(Б) — пространство непрерывных на Б функций, С(1)(Б) — пространство непрерывно дифференцируемых на Б функций, СП(Б) и — пространства вектор-функций

х(г, в) = (х^, в),... ,хп(г, в)), (6)

где € С (Б) и х € С(1)(Б) соответственно, ^ = 1,..., п. Нормы в пространствах СП(Б) и Сг(1)(Б) определяются равенствами

1|х||с„(с) = тах(||ж1||с(с),..., ||хп||с(с)),где \\хк||с{П) = тах \хк(¿,в)|, к = 1,...,п, (М!^ = тах(||х1 ИсМ^ . . . , Н^Нс^р)^

где ||хк||с(!>(с) — норма функции хк в пространстве С(1)(Б) (к = 1,... , п).

Через П обозначим оператор перестановки переменных у функции х(£, в), т. е. П : х(£, в) ^ х(в, ¿). Очевидны следующие свойства оператора П:

1. П — линейный непрерывный оператор в С (Б) и в С(1)(Б);

2. ||П|| = 1;

3. П о П = I, где I — единичный оператор;

Будем рассматривать в пространствах СП(Б) и СТ((1)(Б) системы интегральных уравнений типа Романовского с частными интегралами следующего вида:

(ъ ъ ч

У (¿, в, т )xj (т, з)в1т + 1 Шц (¿, в, а)xj (а, + /¡(¿, в), г = 1, ...,п.

а а '

(7)

Отметим, что система (2) есть частный случай системы (7). Систему уравнений (7) запишем в виде

х(г, в) = ((Ь + МП)х)(г, в) + /(¿, в), (8)

где х(£, в) — вектор-функция (6), /(¿, в) = (/1 (¿, в),..., /п(£, в)), а Ь, М — матричные операторы (5).

1. Условия ФРЕдгольмовости СИСТЕМЫ в ПРОСТРАНСТВЕ СП(Б)

Действие в СП(Б) оператора Ь + М П, очевидно, равносильно действию в С (Б) оператора Ьц + МцП (г, ^ = 1,..., п). В [3] показано, что действующий в пространстве С (Б) оператор Ьц + Мц П непрерывен. Отсюда вытекает

Теорема 1. Равносильны утверждения:

1. В Сп(Б) действует оператор Ь + МП;

2. В С (Б) действуют операторы Ь^ + Мц П,г, ] = I,... ,п. При этом оператор Ь + МП непрерывен.

Отметим, что критерии действия и достаточные условия действия операторов Ьц + Мго П (г,] = 1,... ,п) в С (Б) приведены в [3].

Через С(Ь1) обозначим пространство непрерывных на Б вектор-функций со значениями в Ь1 = Ь1([а,Ь]). Пространство С(Ь1) состоит из функций а(Ь,з, а) со следующими свойствами:

ь

У |а(',в, а)|(а < оопвЬ < то; (9)

а

для любого е > 0 существует такое 5 > 0, что при — '2| < 5, — в2| < 5

ь

У |а(^1,в1, а) — а(Ь2,в2, а)|(а < е. (10)

а

С(Ь1) — банахово пространство относительно нормы

ь

\\а\\о(11) =SU^J а'1,3, а)|(а.

а

Аналогично определяется пространство С(Ь1(Б)) и пространство С[а,Ь](Ь1), состоящее из измеримых функций Ь(Ь, з, а, а1) и п(Ь, т) соответственно.

Будем называть линейное уравнение х = Ах + f, где А — ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве X и f € X, обратимым (фредгольмовым) уравнением в банаховом пространстве X, если оператор I — А обратим (фредгольмов, т. е. имеет замкнутое множество значений и нулевой индекс).

Теорема 2. Пусть ¡ц, т^ € С (Ь1) (г,] = 1,... ,п) и пусть f € Сп(Б). Тогда в Сп(Б) фредгольмовость системы (7) равносильна фредгольмовости уравнения х = Ьх + f.

Доказательство. Система (7) эквивалентна уравнению (8). Запишем это уравнение в виде

(I — Ь)(1 — М П)х = ЬМПх + ^ (11)

В силу теоремы Фубини оператор ЬМП допускает представление

ь ь

п п се

(ЬМ Пх)(', в) = ^^ / / ¡гк (',з, т)ткц (т,з, а)хц (а, т)(а(т, г = 1,...,п. (12) 1„_1 _1

fc=1 j = 1 a a

Так же, как в [3, 5], показывается, что при г,^ = 1,...,п ядро интегрального оператора

ь ь

(Aij Xj )(£, У 1гк (¿, в, Т )тк] (т,в, 0^)xj (а, Т

а а

принадлежит С(Ь1^)). Тогда оператор А^- компактен в ССледовательно, оператор (12) компактен в Сп(^).

В силу устойчивости фредгольмовости уравнений относительно компактных возмущений [6] фредгольмовость уравнения (11) равносильна фредгольмовости уравнения

(I - £)(/ - МП)х = /. (13)

С применением теоремы Фубини показывается, что оператор (МП)2 допускает представление

ь ь

п п г г

((М П)2х)(£, в) = / / тц. (¿, в, а^т^ (а1,^, а)х5- (а, а1)^а^а1, г = 1,...,п.

к=1 ^-=1 ^ ^

аа

Поэтому оператор (МП)2 компактен в пространстве Сп(^). Следовательно [2], оператор I — МП фредгольмов в Сп(^). По теореме С. М. Никольского [2] I — МП = С + ф, где С — обратимый, а ф — компактный в Сп(^) операторы. Тогда уравнение (13) можно записать в виде

(I — Ь)Сх + (I — Ь)фх = /. (14)

Так как (I — — компактный в Сп(^) оператор, то отсюда следут, что фредгольмовость уравнения (14) равносильна фредгольмовости уравнения

(I — Ь)Сх = /. (15)

В силу обратимости оператора С фредгольмовость в Сп(^) уравнения (15), очевидно, равносильна фредгольмовости в Сп(^) уравнения (I — Ь)х = /. □

Так как непрерывные функции , т^- (г, ^ = 1,..., п) принадлежат С(Ь1), то из теоремы 2 вытекает, что в пространстве Сп(^) фредгольмовость системы (7) интегральных уравнений Романовского с непрерывными ядрами равносильна фредгольмовости уравнения (I — Ь)х = /.

Утверждение теоремы 2 справедливо, если ядра (г,^ = 1,... ,п) — огра-

ниченные измеримые функции, имеющие разрывы только вдоль конечного числа поверхностей т = (¿, в), а = ф^(¿, в) с непрерывными функциями и ф^, более того, оно справедливо, если ограниченность функций заменить неравенствами

||<£>з(г, в, < с < то, Ц^-(г, в, < с < то (1 < р < то), так как при этих условиях е С(Ь1) (г,] = 1,... ,п) [3]. Утверждение теоремы 2 справедливо для системы (7) с ядрами типа потенциала, т. е. с ядрами вида

= 1г] (t,s, г) = m j(t,s, a)

(t'S' T) |t _ T|ay ,m4 (t'S' a) |s - a| ftj '

где 0 < агз,вз < 1, а ^,?тз — непрерывные функции, г] = 1,... ,п, так как ядра типа потенциала принадлежат С(Ь1) [3].

Частным случаем системы (7) является система ь п ь

хг (Ь,в)=1 и (Ь,8, Т )хг (т,в)(т + ^^ / Ш^ (Ь,в, 0")х3' + ^ (Ь,в),г = 1, . . . ,П. (16)

3=1

а -1 а

В условии теоремы 2 уравнение (I — Ь)х = f принимает вид

ь

х,(М) = / ММ, + Л(ММ = 1,...,п. (17)

а

В этом случае фредгольмовость системы (17) в пространстве Сп(Б) равносильна фредгоьмовости в С (Б) каждого из уравнений системы (17). В силу [7, 8] фредгольмовость уравнений системы (17) с ядрами из С (Ь1) в С (Б) равносильна их обратимости в С (Б), которая равносильна обратимости в С ([а, Ь]) уравнений ь

хг(г) = J 1г(г, в,т)хг(т)(т + ^(г),г = 1,...,п,в е [а,Ь],^ е С([а,Ь]). (18)

а

Поэтому справедлива

Теорема 3. Пусть 1г,Шц е С(Ь1) (г,] = 1,..., п) и пусть f е Сп(Б). Тогда в Сп(Б) фредгольмовость системы (16) равносильна обратимости уравнений (17), которая равносильна обратимости в С ([а, Ь]) уравнений (18).

Уравнение х = Ьх + f запишем в виде системы

ь

п „

хг (г, в) = ^^ / (г, в, т )х3- (т,в)(т + ^ (г, в), г = 1,...,п. (19)

3 = 1 а

Систему уравнений (19) с частными интегралами можно рассматривать как систему интегральных уравнений с параметром в. Так как при каждом фиксированном

s £ [a, b] интегральные операторы

Lj(s)xj(t) = l¿j(t, s, т)xj(т)dr, i = 1,..., n,

(20)

имеют ядра из С[а,Ь](Ь1), то эти операторы компактны в пространстве С ([а, Ь]). Тогда при каждом фиксированном в £ [а, Ь] для системы (18), рассматриваемой в пространстве Сп([а, Ь]), справедливы теоремы Фредгольма.

Покажем, что в условии теоремы 2 фредгольмовость системы (19) в Сп(^) равносильна обратимости в Сп([а, Ь]) этой же системы при любом фиксированном в £ [а, Ь].

Пусть система (19) фредгольмова в Сп(^). Докажем, что эта система обратима в Сп([а, Ь]) при любом в £ [а, Ь].

Предположим противное. Тогда при некоторых во £ [а, Ь] и ¿0 оператор I — (во),

где

L¿o(so)x(t) = ^ / Z¿0j(t,So, т)xj(т)dT,

j=i a

не имеет обратного оператора, определенного на Cn([a,b]). Так как Lio(s0) — компактный в Cn([a, b]) оператор, то 1 — собственное число оператора Lio(s0), которому соответствует нормированная собственная вектор-функция x0(t) = (x01(t),... , x0n(t)) из Cn([a,b]). Тогда

x0(t)= Lio (S0 )x0(t). (21)

Выберем в Cn([a, b]) некомпатную последовательность нормированных вектор-функций yk(s) = (yki(s),... ,yfcn(s)), где yki(s) = ■ ■ ■ = ykn(s) = yk(s) (k = 1,2,...). Тогда x0(t) ® yk(s) = (x0i(t)yk(s),... ,x0n(t)yk(s)) (k = 1, 2,...) — некомпатная последовательность нормированных собственных вектор-функций в Cn (D). При i = 1,..., n

|(1 - L)x0(t)yk(s)| =

(n b

x0i(t) - ¿/

j 1 a

yk(s) ( x0i(t) - I lij(t, s, т)x0j(t)dT j=i

<

< |yk(s)| x0i(t) - / lij(t,s0, т)x0j(t)dT +

j=i J a

b

n

+ |yk(s)|£ / |lij(t,s0,т) - lij(t, s, т)||x0j(t)|dT <

j=i a

b

b

b

п Ь

< \Ук (з)\^ / \1%з (Мо, т) - (М, т )||ход (т )\<1т <

3=1 { ь

п

< \Ук О^^ / (t,Sо, т) - ^ т)\<т ||хо||с„([а,Ь]).

■?=1 {

п ь

< / ^^ т) - (г,5 т)\<т 11Хо|с„([{,Ь])- (22)

■?=1 {

В силу (10) для произвольного е > 0 найдется такое 5 > 0, что при \з — зо \ < 5 выполняется неравенство

ь

\кз(г,5о,т) — ^(г, з,т)\<т < ——^-.

.1 ' ' п||Хо||с„([а,Ь])

{

Отсюда и (22) следует, что ||(/ — Ь)хо(г)Ук(з)|| < е.

Таким образом, некомпактную последовательность нормированных функций хо ® ук (к = 1, 2,...) оператор I — Ь переводит в сходящуюся к нулю последовательность. В силу теоремы Вольфа [9, с. 294] оператор I — Ь не является фредгольмовым. Это противоречит предположению о фредгольмовости оператора I — Ь, следовательно, и системы (19). Поэтому из фредгольмовости системы (19) вытекает обратимость системы (19) в Сп([а, Ь]) при любом з € [а,Ь].

Предположим теперь, что операторы семейства I — Ь,(з), где

п Ь

Ь,(з)х(г) = / (г,з, т)х'(т)<т,г = 1,... ,п, з € [а,Ь],

j=i

обратимы в Сп([а, Ь]).

Покажем, что оператор I — Ь обратим в Сп(Б). Для этого достаточно показать, что система (19) однозначно разрешима в Сп(В) при любых непрерывных функциях

..., !п.

Предположим противное. Тогда либо однородное уравнение х(г,з) = (Ьх)(г,з) имеет в Сп(Б) различные решения, либо неоднородная система (19) не имеет в Сп(В) решений при некоторых непрерывных функциях

..., !п.

Если уравнение х(£, в) = (Ьх)(£, в) имеет в Сп(О) различные решения в) и х2(£, в), то при некотором фиксированном в0 € [а, Ь] в0) = х2(£, во)- Следовательно, уравнение х(£) = Ь(в0)х(£) имеет в Сп([а, Ь]) различные решения, что противоречит обратимости оператора I — Ь(в0), рассматриваемого в Сп([а, Ь]).

Если уравнение х(£, в) = (Ьх)(£, в) + /(£, в) не имеет решений при некоторых функциях /,..., /п € С(О), то на некотором множестве О/ С О ненулевой меры не выполняются равенство (19) при х € Сп(О). Тогда на некотором множестве {(¿, ) | (¿, ) € О/ } ненулевой меры по £ не выполняются равенства

П Ь

Хг(£, в1) = ^ / (£, вь т)х^(т, в^т + /¿(£, в1), г = 1,..., п,

^ а

что противоречит обратимости оператора I — Ь(в1), рассматриваемого в Сп([а, Ь]. Следовательно, оператор I — Ь обратим на Сп(О).

Так как обратимый оператор является фредгольмовым, то из приведенных рассуждений видно, что в Сп(О) фредгольмовость оператора I — Ь равносильна его обратимости и равносильна обратимости в Сп([а, Ь]) операторов I — ЬДв) (в € [а, Ь]). Из проведенных рассуждений и теоремы 2 вытекает

Теорема 4. Пусть € С(Ь1) (г,^ = 1,... ,п) и пусть / € Сп(О). Тогда фред-

гольмовость системы (7) в Сп(О) равносильна обратимости в Сп([а, Ь]) при каждом в € [а, Ь] системы

П Ь

Хг(£) = ^ / (£, в, т)х,-(т)^т + /¿(£), г = 1,..., п, (23)

а

где / € С ([а, Ь].

Методом, предложенным Фредгольмом для системы интегральных уравнений, система (19) линейных уравнений с частными интегралами может быть записана в виде уравнения

у(£, в) = У к(£,в, т)у(т, в)^т + £(*, в), (24)

т

где для простоты обозначений положено а = 0, Ь = 1, Т = [0, п],

в, т) = (£ — г + 1, в, т — + 1) для г — 1 < £ < г, ^ — 1 < т < г, ^ = 1,..., п,

д(£, в) = — г + 1, в), у(£, в) = — г + 1, в) для г — 1 < £ < г, г = 1,..., п.

В [7] показано, что уравнение (24) с Т = [а, Ь] и с ядром из С(Ь1) фредгольмово в С(Т х Т) точно тогда, когда оно обратимо в С(Т х Т). Однако, даже в случае

непрерывных функций lij ядро k(t,s, т) этого уравнения может иметь разрывы на прямых t = l, • • • ,n — l и т = l, • • • ,n — l. Поэтому уравнение (24) целесообразно рассматривать в Lœ(T x T) при условии, что lij G C(L1) и t, т G [0, l].

2. Условия ФрЕДГОЛЬМОБОсти системы в пространстве Cí(1)(D)

Так же, как и в предыдущем разделе, операторы Lij,Mij (i,j = l, • • •, n) не являются компактными в C(1)(D) даже в случае непрерывно дифференцируемых ненулевых ядер. Тогда и оператор MП с такими же ядрами не является компактным оператором в C^D) Однако операторы LMП, (MП)2 при естественных условиях на ядра являются компактными в C^^(D). Данное обстоятельство позволяет получить условия фредгольмовости системы (T) в Cnl) (D).

Теорема б. Пусть f G C^ (D) и пусть lij, mij (i,j = l, • • • ,n) — непрерывно дифференцируемые функции. Тогда фредгольмовость системы (7) в C(1)(D) равносильна обратимости в Cnl)([ a, h]) при каждом s G [а, h] системы (23).

Доказательство теоремы проводится по тем же схемам, что и доказательства теорем 2 и 4.

Заключение

В работе получены следующие основные результаты:

1. Установлены условия, при которых в пространстве непрерывных на квадрате вектор-функций фредгольмовость системы линейных интегральных уравнения типа Романовского с частными интегралами равносильна обратимости более простой системы линейных интегральных уравнений с частными интегралами.

2. Установлена теорема о равносильности фредгольмовости частного случая системы линейных интегральных уравнений типа Романовского с частными интегралами обратимости в пространстве непрерывных функций при каждом значении параметра интегральных уравнений, зависящих от параметра.

3. Получены условия фредгольмовости системы линейных интегральных уравнений типа Романовского с частными интегралами в пространстве непрерывно дифференцируемых на квадрате вектор-функций.

Список литературы

1. ROMANOVSKIJ, V. I. Sur une classe d'equations integrales lineares /

V. I. Romanovskij. - Acta Math., 1932. - Vol. 59. c. 99-208.

2. Канторович, Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. — М.: Наука, 1984. — 752 с.

KANTOROVICH, L. V. & AKILOV, G. P. (1984) Functional analysis. Moscow: Nauka.

3. Калитвин, А. С. Интегральные уравнения типа Романовского с частными интегралами / А. С. Калитвин. — Липецк: ЛГПУ, 2014. — 196 с.

KALITVIN, A. S. (2014) Integral equations of Romanovskij type with partial integrals. Lipetsk: LGPU.

4. Калитвин, А. С. Системы интегральных уравнений Романовского с частными интегралами / А. С. Калитвин, В. А. Калитвин, Н. И. Трусова // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика / 2016. — № 6 (227), вып. 42. — C. 45-49.

KALITVIN, A. S. & KALITVIN, V. A. & TRUSOVA, N. I (2016) The systems of Romanovskij integral equations with partial integrals. Belgorod State University Scientic Bulletin. Mathematics. Phusics. № 6 (227). p. 45-49.

5. APPELL, J. M. A note on the Fredholm property of partial integral equations of Romanovskij type / J. M. Appell, & I. A. Eletskikh, & A. S. Kalitvin. — Journal of integral equations and applications, 2004. — Vol. 16. c. 25-32.

6. Крейн, С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве / С. Г. Крейн. — М.: Наука, 1971. — 104 с.

KREIN, S. G. (1971) Linear equations in a Banach space. Moscow: Nauka.

7. KALITVIN, A. S. On a Class of Integral Equations in the Space of Continuous Functions / A. S. Kalitvin. — Differential Equations, 2006. — Vol. 42. c. 1262-1268.

8. Калитвин, А. С. Интегральные уравнения Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами / А. С. Калитвин, В. А. Калитвин. — Липецк: ЛГПУ, 2013. — 177 c.

KALITVIN, A. S. & KALITVIN, V. A. (2013) Integral equations of Volterra and Volterra-Fredholm with partial integrals. Lipetsk: LGPU.

9. Като, Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като. — М.: Мир, 1972. — 740 c.

KATO, T. (1972) Perturbation Theory for Linear Operators. Moscow: Mir.