Об операторах с частными интегралами в пространствах функций двух переменных Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 517.984 MSC2010: 47G10, 45P05

ОБ ОПЕРАТОРАХ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ В ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

© А. С. Калитвин, В. А. Калитвин

Липецкий государственный педагогический университет им. П. П. Семенова-Тян-Шанского Институт естественных, математических и технических наук ул. Ленина, 42, Липецк, 398020, Российская Федерация e-mail: [email protected], [email protected]

ON THE OPERATORS WITH PARTIAL INTEGRALS IN THE FUNCTION SPACES OF TWO VARIABLES.

Kalitvin A. S., Kalitvin V. A.

Abstract. Linear operators with partial integrals are studied. Using Banach's closed graph theorem, a general theorem on the continuity acting from a space X to a space Y of linear operator K with partial integrals is proved. Here X and Y are complete metric spaces of measurable functions with a shift-invariant metric, and the space X contains, together with each function, its modulus. With the application of this theorem, the continuity acting of the operator K in various function spaces is established. The conditions of this theorem are not satisfied by spaces of continuously differentiable functions. In this connection, a theorem on continuity acting of the operator K in spaces of continuously differentiable functions is established. The conditions for continuity acting of the operator K from the spaces of continuously differentiable functions to various classes of function spaces are obtained. The continuity of the operator K defined on the space BV of bounded variation functions of two variables is proved, and the acting conditions for this operator in the space BV of functions defined on a finite rectangle are established.

Keywords: linear operators with partial integrals, Banach's closed graph theorem, acting and continuity of the operators, function spaces, the space BV of bounded variation functions, conditions for the action in BV.

Введение

Линейные операторы с частными интегралами имеют многочисленные приложения в механике сплошных сред, теории упругих оболочек, в задачах для дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений с частными производными, при изучении ряда других вопросов [1-4]. Основы теории таких операторов построены в монографиях [1-4]. При этом операторы исследовались в квазибанаховых идеальных пространствах, в частности в банаховых идеальных пространствах, Лебеговых

пространствах Ьр (1 < р < то), в пространствах Орлича, пространствах со смешанной нормой [1, 2]. В пространствах непрерывных функций нескольких переменных такие операторы изучались в [3, 4], а в пространствах функций с непрерывными частными производными — в [5, 6]. Свойства операторов с частными интегралами в пространствах функций двух переменных ограниченной вариации до настоящего времени оказались неизученными. Целесообразность изучения таких операторов в пространстве функций двух переменных ограниченной вариации связана не только с различными применениями таких операторов, но и с тем, что такие операторы в указанных пространствах дают конкретные выражения для непрерывных преобразований одних мер Лебега - Стильтьеса в другие.

В работе приводятся общие теоремы о непрерывности линейных операторов с частными интегралами в различных классах функциональных пространств, основанные на теореме Банаха о замкнутом графике, и устанавливаются условия действия таких операторов в пространствах функций двух переменных ограниченной вариации.

1. Функциональные пространства

Пусть T и S — множества с полными а-конечными мерами ^ и v (здесь и далее v — обычные меры Лебега, если T = [a,b], S = [c, d]), D = T x S и £ — пространство измеримых и почти всюду конечных функций на D. £ — полное метрическое пространство, сходимость в котором совпадает со сходимостью по мере [7], а метрика инвариантна относительно сдвигов. Полуупорядоченность в £ определяется неравенством x < y, которое означает, что x(t, s) < y(t, s) почти всюду, где x,y G £. Далее предполагается, что X и Y — метрические пространства, непрерывно вложенные в £, то есть элементы пространств X и Y принадлежат £ и из сходимости xn к x в X, yn к y в Y вытекает сходимость xn к x и yn к y в £.

Идеальным пространством (ИП) на D называется линейное множество X С £, такое что из x G X, z G £, |z| < |x| следует z G X.

Неотрицательный функционал || • || называется квазинормой на ИП X, если выполнены условия:

1) ||x|| =0 ^ x = 0;

2) ||Ax|| = |Ax|||x|| (А — скаляр);

3) ||x + y|| < c(||x|| + ||y||).

При c =1 квазинорма является нормой.

Монотонность квазинормы на X означает, что если x,z G X, |x| < |z|, то ||x|| < ||z||. Квазинормированное идеальное пространство (КНИП) — это ИП с монотонной квазинормой. Сходимость в КНИП X — это сходимость по квазинорме. В [8, 9] показано, что КНИП X — метризуемое пространство с метрикой, инвариантной относительно сдвигов, сходимость по которой совпадает со сходимостью по квазинорме. Полное КНИП X называется квазибанаховым идеальным пространством (КБИП).

Примерами КБИП являются банаховы идеальные пространства (БИП), например пространства Лебега Lp (1 < p < œ), Орлича, Лоренца, Марцинкевича и другие [9, 10]. Пространство Lp (0 < p < 1) является КБИП, но оно не нормируемо.

Рассматриваемые далее пространства не являются КБИП.

Через C(D) обозначим банахово пространство непрерывных D = T х S функций, где T и S — компактные множества в некоторых метрических пространствах.

Пусть T — компактное множество, U = U(S) и V = V(S) — банаховы пространства функций, такие, что если u G U, v G V, то |u| G U, |v| G V, а C (U ) и C (V) — пространства непрерывных вектор-функций со значениями в U и V соответственно. В силу известной теоремы Гротендика C (U ) и C (V ) реализуются в виде банаховых пространств функций двух переменных t и s.

Пусть ^ и — — определенные на (0,1] неубывающие функции класса Ф [11]. Будем говорить, что функция w(x, y) принадлежит классу W, если она ограничена на квадрате D = [0,1] х [0,1], lim w(x, y) = 0, w(0, y) = y, w(x, 0) = x, w(x, y) < x + y и

при x,y,u, v G [0,1], u > v, w(u,y) > w(v,y), w(x,u) > w(x, v).

Функция x(t, s), по определению, принадлежит классу H), если она непрерывна на D и существует такое число C > 0, что для любых (t, s), (т, a) G D

|x(t, s) - x(t, a)| < Cw(p(|t - т|),-(|s - a|)),

где w(x, y) G W.

Непосредственно проверяется, что H) — линейное пространство, оно является банаховым пространством относительно нормы

.. ,, ,, ,, |x(t, s) — x(t, a)| ,оч ||x|H = ||x||c + suP ——-——-—. (3)

(t,s)=(r,a) ^(|t - т|),-(|s - a|))

Отметим, что в рассмотренных пространствах функция x принадлежит пространству вместе с функцией |x|. Для банахова пространства C(n)(D) (n G N) непрерывно дифференцируемых на D функций это свойство не выполняется.

Через G обозначим множество функций g(r, а), определенных на D = [a, b] х [c, d] и имеющих ограниченную вариацию. Для определения функции g(T, а) ограниченной вариации на D прямоугольник D разбиваем на части прямыми, параллельными координатным осям и проходящими через точки a = т0 < ti < • • • < тп = b, c = а0 < а1 < • • • < ат = d, и полагаем для функции g(T, а)

m п

v = ЕЕ a (g)i, (4)

j=1 i=1

где Aij(g) = g(Ti,aj) — g(Ti-1,aj-) — g(Ti,aj-1) + g(Ti-1, aj-1). Если теперь множество сумм (4) ограничено сверху, то функция g(T, а) называется функцией с ограниченным изменением, а верхняя грань этого множества называется полным изменением функции g(T, а) в прямоугольнике D и обозначается VD (g).

Пусть Ai(s) = g(ti,s) — g(ti_bs) (i = 1, ••• , n), Aj (t) = g(t,Sj) — g(t, Sj—1) (j = 1, • • • , m). Верхние грани сумм

n m

Е |Ai(s)l, Е |Aj(t)l i=1 j=1

обозначим через V(g)(s) и V(g)(t) соответственно.

Через BV обозначим множество функций g(t,s), для которых VD(g), V(g)(s) и V(g)(t) ограничены. BV — банахово пространство относительно нормы

|Ы|БУ = |g(a,c)| + Vd (g) + V1 + V2, где V1 = sup V(g)(s), V2 = sup V(g)(t).

s t

2. Непрерывность действия линейных операторов с частными интегралами в функциональных пространствах

Пусть X и Y — линейные полные метрические пространства с метрикой, инвариантной относительно сдвигов. Оператор A : M С X ^ Y называется замкнутым, если его график — замкнутое множество в X х Y. По теореме Банаха о замкнутом графике линейный оператор A : X ^ Y непрерывен в X.

Данная теорема находит широкое применение в теории операторов с частными интегралами. Схема ее применения к таким операторам впервые описана в [12].

Через K обозначим линейный оператор с частными интегралами следующего вида:

K = C + L + M + N, (1)

где С, Ь, М, N — операторы, определенные равенствами

(Дх)(£, в) = / /(¿,з,т)х(т, з)^(т), (Мх)(4,«) = / т(£, 5, а)х(£, а)^(а),

т

(Сх)(£,з) = с(£, з)х(£, в), ^х)(^,в) = у j п(£, 5, т, а)х(т, а)^ х V(т, а),

Б

с : Д ^ Д, I : Д х Т ^ Д, т : Д х 5 ^ Д, п : Д х Д ^ Д — заданные измеримые функции, а интегралы понимаются в смысле Лебега.

Теорема 1. Пусть выполнены условия:

а) X и У — линейные полные метрические пространства функций, определенных на Д, с метрикой, инвариантной относительно сдвигов;

б) X и У непрерывно вложены в Е;

в) для каждой функции х из X |х| е X.

Тогда из действия оператора (1) из X в У следует его непрерывность.

Доказательство. Пусть х е X. По условию теоремы функция у(£, в) = (Кх)(£,з) определена и принадлежит У. Следовательно, функции /(¿, т)х(т, в), т(£, 5, а)х(£, а) и п(£, 5, т, а)х(т, а) почти при всех (¿, в) интегрируемы по т на Т, по а на 5 и (т, а) на Д соответственно. По свойству интеграла Лебега функции |/(£, 5,т)х(т, в)|, |т(£, 5, а)х(£, а) | и |п(£, 5, т, а)х(т, а) | интегрируемы почти при всех (¿, з) соответственно на Т, 5 и Д. Тогда на X определен оператор

Мм) = МмМм) + /|/(М,т Мт,.)«Мт)+

т

+ J |ш(£, 5, а)|х(£, а)^(а) + J^ |п(£, 5, т, а)|х(т, а)ф. х V(т, а), (2)

5 Б

причем в силу теоремы Фубини ]Кх[е Е.

Таким образом, оператор (2) действует из X в Е.

Покажем, что оператор К замкнут. Пусть последовательность функций хп е X сходится к х е X, и последовательность функций Кхп сходится к у е У. Покажем, что Кх = у. В силу [9] найдется такая подподпоследовательность (х^), что х^ сходится почти всюду к х и ^^=0 р(х„й, х) < то (хП0 = 0), где р — расстояние в X. Так как X — полное пространство, то функция

те

*(М) = Е |х™* - х(^,5)| к=0

принадлежит X. Следовательно, сходящиеся при почти всех (¿, в) к функциям /(¿,5,т)х(т, в), ш(£, в, а)х(£, а) и п(£, в, т, а)х(т, а) последовательности функций /(¿,з,т)хпк (т,в), т(£,з,а)хпк (¿,а) и п(£, в, т, а)хпк (т, а) ограничены интегрируемыми на Т, 5 и Б функциями |1 (¿, в, т)|г(т, в), |ш(£, в, а)|г(£, а) и |п(£, в, т, а)|г(т, а) соответственно. В силу теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла последовательности функций (¿хПк)(£,з), (МхПк)(£,в) и (ХхПк)(£,^) сходятся почти всюду к функциям (¿х)(£,з), (Мх)(£, в) и (Хх)(£, в), а последовательность функций (Схпк)(£, в), очевидно, сходится к (Сх)(£,з). Тогда (Кхпк)(£,з) ^ (Кх)(£, в). По нашему предположению КхПк ^ у в У. Следовательно, Кх = у. Поэтому оператор К замкнут. В силу теоремы Банаха о замкнутом графике он непрерывен. Теорема доказана. □

Из доказанной теоремы вытекает непрерывность действия оператора (1) в различных классах функциональных пространств. Отметим, что в теореме 1 У может совпадать с Е.

Следствие 1. Если X — одно из пространств БИП Х0(Б), С (Б), С (V), Н а

У — одно из пространств КБИП У0(Б), ВУ, С (Б), С (V), Н Е, то оператор

(1) непрерывен из X е У.

Для доказательства достаточно отметить, что пространства, рассмотренные в условии следствия 1, удовлетворяют условию теоремы 1.

Теорема 1 не применима при X = С(п)(Б) = С(п)([а,Ь] х [с, так как для X = С(п)(Б) не выполнено предположение 2) в ее условии. Тем не менее справедлива

Теорема 2. Если оператор (1) действует из X = С(п)(Б) в X и действует из С (Б) в С (Б), то оператор (1) непрерывен из X в X.

Доказательство. Докажем, что действующий из X в X оператор (1) замкнут. Пусть последовательность (хп) С X, хп ^ х и Кхп ^ у. Выберем подпоследовательность

те

(хПк) так, чтобы хп0 = 0 и ^ ||хпк — х|| < то. По признаку Вейерштрасса функцио-

к=0

те

нальный ряд £ |хПк — х| из непрерывных функций сходится равномерно на Б. Тогда к=0

его сумма г(¿, в) является непрерывной на Б функцией. Почти при всех (¿, в) Е Б сходящиеся к функциям /(¿, в,т)х(т, в), т(£, в, а)х(£, а), п(£, в, т, а)х(т, а) последовательности функций /(¿, 8, т)хПк(т, в), т(£, в, а)хпк(¿, а), п(£, в, т, а)хпк(т, а) ограничены функциями |/(£,в,т)|г(т, в), |т(£,з,а)|г(¿, а), |п(£, в, т, а)|г(т, а), которые интегрируемы на [а, Ь], [с, и Б соответственно, в силу действия оператора (1) из С (Б) в Е и свойств интеграла Лебега. По теореме Лебега о предельном переходе под знаком

интеграла последовательности )(Ь,в), (МхПк)(Ь, в), )(Ь,в) сходятся почти

при всех (Ь, в) к функциям (Ьх)(Ь,в), (Мх)(Ь,в), (Мг)(Ь, в) соответственно. Последовательность (Сж„к)(Ь,в), очевидно, сходится в Е к (Сх)(Ь,в). Тогда последовательность )(Ь, в) сходится к функции (Кх)(Ь, в). По пред-

положению, она сходится в С(га) (Д) к у(Ь,в). Так как С (га)(Д) С Е ив метрическом пространстве Е ^ Кх, то в силу единственности предела, Кх = у.

Следовательно, оператор К замкнут. По теореме Банаха о замкнутом графике он непрерывен. Теорема доказана. □

Следствие 2. Если оператор (1) действует из X = С(га)(Д) в одно из пространств В У, С(Д), С(V), Н(<£,'0), Е и действует из С(Д) в С(Д), то оператор (1) непрерывен на X.

Отметим, что условия действия оператора (1) в различных классах функциональных пространств можно найти в [1-6]. Непрерывность действия и признаки действия и оператора (1), определенного на пространстве В У функций двух переменных ограниченной вариации, до настоящего времени фактически не изучались. Эти вопросы рассматриваются в следующем разделе.

3. Линейные операторы с частными интегралами, определенные

на пространстве ВУ

Аналогично теореме 2 доказывается

Теорема 3. Если оператор (1) действует из пространства В У в одно из пространств КБИП 1о(Д), С(Д), С(V), Н(<,'), Е, то оператор (1) непрерывен из ВУ в ВУ.

Достаточные условия действия оператора (1) в В У содержит

Теорема 4. Пусть функция с € В У, функции |/(Ь,в,т )| < С, |т(Ь,в,а)| < С2, |п(Ь,в,т, а)| < С3, где Сь С2 и С3 — некоторые постоянные, и пусть выполнены условия:

а) I Ув(1(-,))Жг < то, вир! /У/(Ь,в,тI < то, вир! /У/(Ь,в,тI < то,

а « \а / t \а )

где полные вариации У/(Ь,в,т), в,т) функции /(¿,в,т) рассматриваются как

полные вариации функции по переменным Ь и в соответственно;

(I / (I \ / (I \

б) / (т(-, ■, а))^а < то, вир! / Ут(Ь, в, а)^а) < то, вир! / Ут(Ь, в, а)^а) < то,

С « \с / t \с )

где полные вариации Ут(Ь, в, а), Ут(Ь, в,а) функции т(Ь, в, а) рассматриваются как полные вариации функции по переменным Ь и в соответственно;

b d

в) 11 в, т, а)^т^а € В У, где У^п^, в, т, а) — полная вариация функции

а с

п(£, в, т, а) по переменным £ и в.

Тогда оператор (1) действует в В У.

Доказательство. Докажем, что операторы

(Сх)(£, в) = с(£, в)х(£, в), (¿х)(£,з) = у /(£, в,т)х(т, з)^т,

а

й ь й

(Мх)(М) = / „(М,*)^,^, (№)(М) = //„(м,^,,)^

с ас

действуют в В У.

Действие в ВУ оператора С очевидно ввиду того, что из с € ВУ и х € ВУ следует сх € В У.

Докажем, что оператор Ь действует в В У. Пусть х Е В У, тогда

ь ь

т п т п

7=1 ^ = 1 а а

ь ь

— /(¿¿, 5^-1, т)х(т, + / /(£¿-1, 5^-1, т)х(т, ^-1)^

ЕЕ

j=1 i=1

[1(ti, Sj, т) - /(¿i-1, Sj, T) - Sj-1, T) + I(ti-1, Sj-1, т)]х(т, Sj)dr+

+ / [/(¿¿, Sj-1, т) - Z(tj_1, Sj-1, т)][х(т, Sj) - х(т, Sj-1)]dT

<

ь ь

< I J Уд(/(■,-,т))^т + вир J У7(£,з,т)^т)1 ||х|Ву < то.

аа

Покажем, что вир4 У (Ьх)(£) и вир^ У (Ьх)(в) конечны. Имеем

J]|(Lx)(t,Sj) - (Lx)(t, S j_ 1) | = j=1 j=1

[/(t, Sj, т)х(т, Sj)-/(t, Sj-^x^, Sj^)]^

b

b

b

b

Е

7=1

[/(£, , т) — /(£, в7-1)]х(т, )]^т + / /(£, т)[х(т, ) — х(т, в7-1)]^т

< ( вир / в, т)^т + С1(Ь — а) ) ||х||ву < сопв£ < то.

<

Конечность вир5 У(Ьх)(в)) вытекает из оценки

Е 1(Ьх)(*г,з) — (Ьх)&-Ьв)| = Е

¿=1

¿=1

[/(¿¿, в, т) — /(¿г-1, ^)]х(т,

<

< вир / в, т)^т||х||ву < сопв£ < то.

Таким образом, Ьх Е В У, следовательно, оператор Ь действует в В У. Действие в ВУ оператора М доказывается аналогично. Действие оператора N в ВУ вытекает из следующих оценок:

ь й

т п т п

ЕЕ 1Д«= ЕЕ / /

7 = 1 ¿=1 7 = 1 ¿=1 „ „

[п^з,, т, а) —

—, т, а) — т, а) + т, а)]х(т, а)^та

<

<

ь й

У^п^з, т, а)^та

х||ву < то.

ву

Таким образом, операторы С, Ь, М, N действуют в пространстве ВУ. Следовательно, оператор (1) действует в ВУ. Теорема доказана. □

ь

ь

ь

г

ь

ь

Заключение

В работе получены следующие результаты:

1. Установлена теорема о непрерывности действия линейного оператора К с частными интегралами в полных метрических пространствах измеримых функций, получены следствия этой теоремы о непрерывности действия оператора К из одних пространств в другие.

2. Установлена теорема о непрерывности действия оператора K в пространствах непрерывно дифференцируемых функций, и получены условия непрерывности действия оператора K из пространств непрерывно дифференцируемых функций в различные классы функциональных пространств.

3. Доказана непрерывность оператора K, определенного на пространстве BV функций двух переменных ограниченной вариации, и установлены условия действия этого оператора в пространстве BV функций, определенных на конечном прямоугольнике.

Описок литературы

1. Appell, J. M. Partial Integral Operators and Integro-Differential Equations / J. M. Appell, A. S. Kalitvin & P. P. Zabrejko. - New York-Basel: Marcel Dekker, 2000. - 560 c.

2. Калитвин, А. С. Линейные операторы с частными интегралами / А. С. Калитвин. — Воронеж: ЦЧКИ, 2000. — 252 с.

KALITVIN, A. S. (2000) Linear operators with partial integrals. Voronegh: CHKI.

3. Калитвин, А. С. Интегральные уравнения Вольтерра и Вольтерра - Фредгольма с частными интегралами / А. С. Калитвин, В. А. Калитвин. — Липецк: ЛГПУ, 2006. — 177 с.

KALITVIN, A. S. & KALITVIN, V. A. (2006) Volterra and Volterra-Fredholm integral equations with partial integrals. Lipetsk: LGPU.

4. Калитвин, А. С. Линейные уравнения с частными интегралами. С-теория / А. С. Калитвин, Е. В. Фролова. — Липецк: ЛГПУ, 2004. — 195 с.

KALITVIN, A. S. & FROLOVA, E. V. (2004) Linear equations with partial integrals. C-theory. Lipetsk: LGPU.

5. Калитвин, А. С. О непрерывности операторов с частными интегралами в пространстве дифференцируемых функций / А. С. Калитвин, И. П. Рудометкина // Операторы с частными интегралами / Сб. науч. тр. — Липецк, 1997. — Вып. 3. — C. 7-12.

KALITVIN, A. S. & RUDOMETKINA, I. P. (1997) On continuity operators with partial integrals in the space of differentiable functions. Operators with partial integrals. Lipetsk. p. 7-12.

6. Калитвин, А. С. Линейные операторы с частными интегралами в пространстве непрерывно дифференцируемых функций / А. С. Калитвин, И. П. Рудометкина // Операторы с частными интегралами / Сб. науч. тр. — Липецк, 2000. — Вып. 4. — C. 28-33.

KALITVIN, A. S. & RUDOMETKINA, I. P. (2000) The linear operators with partial integrals in the space of continuously differentiable functions. Operators with partial integrals. Lipetsk. p. 28-33.

7. Канторович, Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. — М.: Наука, 1984. — 752 c.

KANTOROVICH, L. V. & AKILOV, G. P. (1984) Functional analysis. Moscow: Nauka.

8. Берг, Й. Интерполяционные пространства. Введение / Й. Берг, Й. Лёфстрем. — М.: Мир, 1985. — 254 c.

BERG, J. & LOFSTROM, J. (1976) Interpolation spaces-an introduction. Moscow: Nauka.

9. Калитвин, А. С. Нелинейные операторы с частными интегралами / А. С. Калитвин. — Липецк: ЛГПУ, 2002. — 208 c.

KALITVIN, A. S. (2000) Nonlinear operators with partial integrals. Lipetsk: LGPU.

10. Крейн, С. Г. Интерполяция линейных операторов / С. Г. Крейн, Ю. И. Петунин, Е. М. Семёнов. — М.: Наука, 1978. — 400 c.

KREJN, S. G., PETUNIN, Ju. I. & SEMENOV, E. M. (2000) Interpolation of linear operators. Moscow: Nauka.

11. Гусейнов, А. И. Введение в теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений / А. И. Гусейнов, Х. Ш., Мухтаров. — М.: Наука, 1980. — 416 c.

GUSEINOV, A. I. & MUHTAROV, X. H (1980) Introduction in theory of nonlinear singular integral equations. Moscow: Nauka.

12. Kalitvin, A. S., Zabrejko, P.P. On the theory of partial untegral operators // J. Integral Equ.Applications. — 1991, 3. — 3. — C. 351-382.