Мультипликативные неравенства типа Гальярдо-Ниренберга для пространств Текст научной статьи по специальности «Математика»

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ»

634

http ://zhurnal. ape .relarn.ru/articles/2004/056pdf

Мультипликативные неравенства типа Гальярдо -Ниренберга для пространств WpN (Q).

Карапетян Г.А. (Gamik-Karapetyan@,yahoo-com)

Российско-Армянский (Славянский) государственный университет,

Ереван, Армения

При изучении свойств дифференциальных операторов важную роль играют интерполяционные неравенства. Для изотропных классов интерполяционные неравенства (неравенства Гальярдо - Ниренберга) получены в работах [1-2] (см. также [3-4]). В дальнейшем В.А.Солонников в работе [5] обобщил эти неравенства для анизотропных классов. Обобщенные неравенства Гальярдо - Ниренберга и историю этого вопроса можно найти в книге [3]. В настоящей работе, используя неравенства полученные в работы [6], получен ответ на следующий вопрос:

Пусть имеем набор мультииндексов {а0,сх1ocN} (N>n). Каким условиям должны удовлетворять мультииндекс v и числа р, q, г, чтобы для некоторых неотрицательных чисел

N

b, (v), i = 1,..., N , ^ b, (v) < 1 имело место неравенство

i=i

Dvf

<сп

j=i

D“jf

bj (v) L„

D“ f

i-S V')

Lr

Сначала изучим данное неравенство при N = п. Пусть имеется набор мультииндексов

{а0,а1,...,а11}, который удовлетворяет условиям det

aij *0 и

1 а® а® ....а®, 1 а[ а\ ... а„

1 а" ос" а"

*0

Будем говорить, что область QcR" принадлежит классу С(Н) = С(Н1,...,НП) (Н1 >0 i = l,...,n), если для каждой точки xeQ существует п-мерный параллелепипед с вершиной в точке х, с ребрами, параллельными координатным осям х; и имеющим соответственно длины Н; (i = l,...,n), содержащийся в Q. Для таких областей Q в работе [6], доказано следующее утверждение

Теорема А. Пусть заданы мультииндексы a1 (i = 0,1,...,п) и v, для которых l)a1°<v1 (i = l,...,n),

634

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ»

635

http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/056pdf

aj<Vj (j = l,...,i-l,i + l,...,n)

a‘ > v; i = ,

2) существуют числа со, >0 (i = 1,...,n) такие, что

n n

d = E vj®j aj®i =1 (i = f-,n),

j=i j=i

3) числа p, q удовлетворяют соотношениям 1 < p < q < со, p. = 1 - d - —I со I +—I со I > 0, где

P q

®|=5>j

j=i

4) DaJf e Lp(Q), i = 0,...,n, Q e С (H) = C(H,..., H). Тогда если p > 0, то D' f e Lp (Q) имеет место неравенство

Dvf <С.Ь^У 4(0) 1 4-f

Daif + C2h“5 Da°f

Lp(0)

L„(£2)

В)

где 5 = 1 - p - (a0, со) >0, 0 < h < H “j (j = 1,..., n), Cj, C2 постоянные, не зависящие от h и f.

Отметим, что если Q = Rn, то Н в неравенстве (1) можно взять произвольным, так как R” принадлежит классу С(Н,...,Н) для любого Н.

Пусть для набора мультииндексов {а0,а1,...,а11} подобран вектор ш = (ш1,...,соп), удовлетворяющий условию 2 теоремы А, т.е. (a‘,co) = l (i = l,...,n). Введем набор векторов х1 ,х2 ,-,Xn» X1 =(xh-,Xn) (i = l,-,n) следующим образом:

Пусть х’ решение системы алгебраических уравнений

(X1,aJ) = 81J (j = l,...,n). (2)

Так как det(a1,...,a11)^ 0, то каждая из систем (2) имеет единственное решение X1 =(х!,-,хЭ- С другой стороны единственное решение имеет также система (co,aj) = l, j = 1,...,n . Отсюда следует, что у/-■■■,%" есть разложение вектора со, т.е. со = %' +... + х”.

Теорема 1. Пусть для мультииндексов v, {a0^1,...,»"} и чисел p,q удовлетворяются условия теоремы А. Тогда для любой функции f е С(R") справедливо неравенство

N bj(v) 0 l-b(v)

Dvf n ^СП Lq(R") 11 D“ f Lp(Rn) D f Lr(Rn) ’ (3)

b 1-b

xJ + — xJ + xJ

p r

XJ -(l-b)(a°,xJ)?

где

bj(v) = (v,xj)--q

635

(4)

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ»

636

http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/056pdf

(v,со) н— | со |-1 ю | - (а0,со)

Ь = Ь(у) = £ь,(у) =------i-----3------------, (5)

J=1 1---1 со I + -I со I - (а0,со)

Р г

0 < b (v) < 1, г > 1, такое, что trfv) > 0, j = 1,..., n, а С постоянное число, не зависящее от f.

Доказательство. Так как Q = Rn принадлежит классу С(Н15...,НП), для любых Hi, i=l,...,n, то в неравенстве (1) h можно взять произвольно. Рассмотрим произвольный прямоугольный параллелепипед Q. (Z) с центром в точке Z, ребра которого параллельны

координатным осям и имеют длину Хщ, Z>0 (i = l,...,n). Тогда QX(Z)еc(z'"' ,...,Х0>") и по теореме А для любого h, 0 < h < X имеем

Dvf

q.Qi

Dvf

<C,h^ D“jf

j=i

p.Qi

+ C2h

-8

D“ f

p,Qi

(6)

Оценим второе слагаемое. По неравенству Гельдера

Da°f < Da°f

p.Qi

Тогда неравенство (6) при h = X примет вид

Dvf

q.Qi

<с,х“У

J = 1

Daf

p,Q>

+ C2W

-x

Da f

r,Qx

(7)

где p = 1 — (v,со) —— I со I н—— I со I, т = 1-— I со I +-I со I - (a0,со). p q P r1

Как и в работе [5] с каждой точкой Zesuppf свяжем прямоугольный параллелепипед Q. (Z)

следующим образом: зафиксируем Z0 >0 и рассмотрим правую часть для Qx (Z). Если первый член больше второго, то поставим в соответствие точке Z параллелепипед Q, (Z). В противном

случае, будем увеличивать X до тех пор, пока первый член неравенства (7) не станет равным второму. Так как первый член безгранично растет, а второй стремится к нулю при X —»со (так как ц>0, ц-т<0), то такое X найдется, и в каждой точки Z поставим в соответствие прямоугольный параллелепипед Q^(Z) соответствующий данному числу X. Заметим, что при этом

Х =

V С 2

Da f

j=

i

v-

D“jf

p.Qi

Тогда для любого Qx (Z) будет иметь место неравенство

Dvf

q.Qi

<С

K'Z

j=i

Da f

p,Q

+ L

^0 j=l

Da f

q,

p.Qx

• (8)

636

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 637 http://zhumal.ape.relarn.ru/articles/2004/056pdf

Как известно (см. [5]), из построенного покрытия компакта suppf прямоугольными параллелепипедами можно извлечь конечное подпокрытие {Q, (Z,)}. кратность которого не зависит от А,. Суммируя (8) по всем Q. (Z,) и используя конечность кратности покрытия, а также

Ц , , А 1 Ь 1 Ь l\/0 \

соотношения — = 1 -b>0, q>p, —< —I-----------------------(1 -b)(a , p), получим

t q p r

(

Dvf

<C

к I I

V j=i 1

Da f

P

p.Qx(Zi)

\

q/p

+

n (

+I I

j=l V i f

<c

Da f

p

p,Qx(zi)

< A

V i

V j=i

Daf

V

+

( n

z

V j=1

Da f

Da f

r,Qx(zi) ) \ bq

Da f

<

(l-b)q

Отсюда в силу произвольности А0, имеем

Dvf

<С

I

и

Da f

Da f

l-b

(9)

Для получения неравенства (5) из неравенства (9), заменим f (х) на f (p,x,...,ptlx), где р; >0 (i = l,...,n). Тогда неравенство (9) примет вид

Dvf

j=i

1 b i-b+af(1_b) I_b_izb+a„(1_b)

(10)

•л

q р г

-л„ч р г

Da f

Da f

l-b

Обозначим A; =

относительно Pi,p2,...,pn

D“jf

j = l,...,n и рассмотрим систему алгебраических уравнений

ЧрГ1- -Лп" = 1

а2рГ? • -Л? =1

„ Апр“” — Лп” = 1

(П)

Решение системы (11) ищем в виде

п — Ае> ААе” п - Де* Aei д еп ^ — де” д е" деп

'll — Л1 ",Лп ’ Пг — Л1 ",Лп » ••• > In “Л1 л2 •••лп •

После подстановки Pj (j = l,...,n) в систему (11) для определения векторов е1 = (е[,е(,...,е|'), ... ,еп =(е‘,е^,...,е”) имеем

637

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ»

638

http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/056pdf

(оАц‘)=-8^ i,j = l,...,n, или (а1,-р1 )= 51j, т.е. векторы -ц1 (i = l,...,n) удовлетворяют системе (2). Так как решение

П

системы (2) единственно, то р1 = i = 1,...,п, ^ р' = -со.

i=l

Подставляя полученные значения г|; (i = 1,...,п) в неравенство (10), получим

где bj(v) = (v,xJ)--

q

X

+ -

Dvf

XJ

<

СП

j=l

Daf

bj(v)

p

Da f

l-b

1-b

XJ -(l-b)(a°,xJ)5 j = f-,n.

Теорема 1 доказана.

Перейдем к доказательству неравенства Гальярдо - Ниренберга для областей QcRn. Теорема 2. В условиях теоремы А имеет место неравенство

( n > V l-b

Dvf <C! X Daf Da°f + C2 Da°f

Lq(O) 1 \ j=l LP(H) 1 Lr(Q)y

Lr(Q)

, (12)

где числа v; q; р; г; b(v) такие же, как и в теореме 1, а С,, С2 не зависящие от f постоянные.

Доказательство. Если область Q е С (Н) и выполняются условия теоремы А, то имеет место неравенство (см. [6] т. 2.5, с применением разложения (4.3.3))

Dvf

L„(0)

<С,Ь"У

j=l

Daf

+

LP(Q)

+ C2h

-| CO |-(co,v)-(a0,co)

1

q 1

dy dx

)

(13)

Q(x,H(h))

\

где Q(x,H(h)) = Qn{y; |у; -х;|<Ь“° i = l,...,n}.

0

Оценим второе слагаемое неравенства в неравенстве (13). Будем считать функцию D“ f(y) продолженной нулем на все пространстве R". Обозначим через Хпп пп,,, характеристическую функцию области P(0,H(h)) = Qn|y; | у,| <hW|}. Тогда применяя неравенство Юнга (см. [3]), для второго слагаемого имеем

-| со |-(co,v)+(a°,co)

I

Rn

<h

-| со |-(co,v)+(a°,co)

{ Xo(0,H(h)) (у) D“° f (у + x) d у Da°f

Rn

dx

<

X^(0,H(h)) L •

L2(Q)

638

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ»

639

http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/056pdf

1 1 1 1

где - = 1— + -.

А г q Так как

f \ 1 X f \

J" I Xfi(0,H(h)) (y) |^d у < {•dy

V Rn ) | yi|<h“‘ V i=1>->n J

= h * ,

то имеем

-I со |-(co,v)+(a°,со)+( 1--+— || со I

h 1 Г qJ

Da°f = h^T Da°f

Lr(£2)

Lr(Q)

Следовательно, в неравенстве (13) вместо h взяв h1, для любого числа h, где 0<h<h0 , получим

Dvf

£ п

<

Ч(П)

C.h’S

J = 1

Da f

+ C9h

Ч(П)

Da f

<

Lr(Q)

(14)

<

j=i

Da f

+ Cob"

Lq(O)

Da f

Lr(Q)

i n II

где b = 1-----.

т

Рассмотрим следующие случаи:

а) если ^

j=i

Da f < Da°f

Lq(0)

Lr(Q)

, то из неравенства (14) при h = h0 имеем

Dvf

Ц(П)

< 2C(h0)

Da f

<

Lr(Q)

f ( n л b 1-b \

< z Da f Da°f + 2C(h0) • Da°f

V / j=i М°), Lr(Q) Lr(Q) J

б) если ^

j=i

Daf > D“°f

Lp(0)

Lr(Q)

, то при h = hc

Da f

Lr(Q)

имеем

z

j=l

Da f

L„(£2)

639

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ»

640

http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/056pdf

у-ь

D“ f

Dvf

<

Lp(£2)

CAhJ

Lr(Q)

I

V i=i

D“jf

+

Da f

j=t

Ц(^)

x-b

Da f

+ C2(h0)

Lr(Q)

Lp(^)

Da f

<

z

j=1

D“ f

M«)

^C(h0)

£ D«Jf

Lp(n)

LP(H)

Da f

M«)

V J=*

Теорема 2 доказана.

Рассмотрим теперь набор мультииндексов E={a1,...,aN}, где N>n. Характеристическим многогранником или многогранником Ньютона набора мультииндексов Е назовем наименьший выпуклый многогранник N =N (Е) в R"содержащий все точки набора Е. Многогранник N назовем полным, если N имеет вершину в начале координат и на каждой оси координат Z", где Z “ пространства п -мерных мультииндексов. Полный многогранник N назовем вполне правильным, если внешние нормали (п-1) - мерных некоординатных граней имеют лишь положительные координаты.

Обозначим через d'N множество всех мультииндексов a е N таких, что а принадлежит

хотя бы одной (п-1) - мерной некоординатной грани N , N (0) = N \ 3'N . Для вполне правильного многогранника N обозначим через WpN (r“ ) пространство Соболева, порожденное многогранником N .

Теорема 3. Для любого мультииндекса v е N (0) существуют числа 0 *Ъ£(у)<1,

N

b0 (v) = ^ bj (v) < 1 такие, что если для чисел р, г, q выполняется соотношение

j=i

1 b0 l-b0

-=—+------Ч q^p, г> 1,

q р г

то для любой функций f е WPN (Rn) имеет место неравенство

(15)

Dvf

N

L ^СП

j=l

Da f

bj(v) . II f ||1”bo(v) L II llbr

(16)

где С не зависящая от f постоянная.

Доказательство. Так как N вполне правильный многогранник, то Co(Rn) плотно в

WPN (Rn) и не нарушая общности можно считать, что feCo(Rn) и для любого мультииндекса

640

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ»

641

http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/056pdf

v е N (0) справедливо теорема А для некоторого набора {(З1Р" }с N и для некоторого р е N (0) (см.[8]). Для набора {(З1рп} возможны следующие случаи:

а) {р1pn }с <9'N . Применяя теорему 1 для набора {р,р1Р"}, имеем

Dvf

<

СП

j=i

Dp f

bj(v)

Dpf

l-bo(v)

Lri !

(17)

где b ■(v) и b0 (v) определяются формулами (4) и (5) и — = + -—в°С0 ^

ЯР Г!

Пусть с другой стороны мультииндекс Р оценивается через набор мультииндексов {y1,...,y“}c5'N и (0,...,0) (т.е. справедливо неравенство (1) для набора {0,у1уп}). Опять же из теоремы 1 получим

П

D’'f

D’f £С,П

j=l

bi(P)||^||l-b0(P)

L

гдс 1 b0(P) | 1 -b0(P)

(18)

Если же {y1,...,yn}n{p1,...,pn}=0 , то обозначив

0, при aj *{p1,...,pn}u{y1,...,yn}

bj(v)=

b j (P) (1 - b0(v)), при ctJ=yj bj(v), при aJ=pj,

(19)

IN

b'0 (v) = ^ b' (v), имеем

н

Dvf

sc,n

j=i

Dp f

bj (v)

П

j=l

DY f

b,(P)(l bb(v)) .. |.(i-bJ(v))(l-bo(P))

т II И Lr

Или с помощью обозначения (19) имеем

Dvf

<сп

j=i

Da f

bi(v) N f M'-hoCv)

t II HLr

Проверим соотношения (15). Действительно имеем

1 ь; (V) | 1 - b'o (V) ь; (V) + bo (Р) + b'o (V) bo (Р) | (1 - К (у)) (1 - Ьо (Р)) ЯРЕ р г

Остается заметить, что

ь;(V)=у ь;(V)=£ ь,(V) + £ Ь,<Р)Г 1 - У ь,(у)Л

j=i j=i j=i V j=1

= b0 (v) + b0 (p) (l - b0 (v)).

641

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ»

642

http ://zhumal. ape. relarn.ru/articles/2004/056pdf

^ 1 b'0(v) l-b'0(v)

Следовательно, — =-----н---------.

q р г

Рассмотрим теперь случай, когда один из мультииндексов ук совпадает с мультииндексом Pj. Тогда степень соответствующего множителя будет (bj(v) + bk(P))(l-b0(v))<l, т.к. bk (Р) (1 - b0 (v)) < 1 - b0 (v) < 1 - bj (v). Остальные рассуждения аналогичны.

Если мультииндекс Р оценивается через набор мультииндексов {у1,...,у"} и некоторым

мультииндексом а Ф 0, то в неравенстве (18) вместо f будет D“f . Так как многогранник вполне правильный, то в результате многократного применения теоремы 1, после конечного числа шагов получим мультииндекс, который оценивается через некоторый набор {б1 ,...,6“ }и 0.

б) мультииндекс v оценивается через мультииндексы {р1Р"} и Р, где среди pj существует pk° gS'N (т.е. рк° € N (0)). Если рк°, в свою очередь, оценивается через {у1,...,у"} и у, где у е N (0), {у1 ,...,у" }<= <3'N , то применяя теорему 1 для мультииндексов у и рк°, имеем

Dvf

п . нЬ (v) п

<сп D^fГ" Л

j=1

J=1

DYf

Jk0

(v)(p‘

k0

(20)

DYf bk0 (v)(l-b0(pk°)) Dpf

ц

l-b(v)-bk0(v) Lr„

где b(v)=J] bj(v), b0(pk°)=^ bj(pk°), a Tj и r2 определяются соотношениями (15). Если же

j=i

j*k0

j=l

мультииндексы у и P оцениваются соответственно через {б1,...,5“} и 0 и {г1,...,г"} и 0, то применяя теорему 1 для мультииндексов у и р и подставляя полученные значения в (20), получим

Dvf

П

J=1

,^п

J=1

j*k0

Dp f

bj(v)

П

j=i

D5 f

bj(Y)bk0(v)(l-b0(pk»))

Lp j=l

Dy f

Dr f

ko

bj(P)(l-b0(v))

L„

(21)

I f N bk0 (v) (l-b0 (Pk» ) )(l-b0 (Y)M l-b0 (v))( l-b0 (p)) I IILr

Пусть мультииндексы pJ, yJ, rJ (j = l,...,n) различны. Тогда берем соответствующие степени в неравенстве (16) для мультииндексов aj следующим образом: если aj совпадает с одним из мультииндексов рк (к ^ к0), то берем bj (v) bk (v), к = 1,.., n, к Ф к0. Если же aj один

из мультииндексов ук (к = 1,..,п), то берем ЬДу) bko(v) bk(pk°) (к = 1,..,и). Для мультииндексов

642

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 643 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/056pdf

8к (к = 1,..,п) берем bj(v) bk(y)bko(v)(l-Ь0((Зк°)) к = 1,..,п. Для мультииндексов rk (k = l,..,n) берем bj(v) bk((3) (l-b0(v)) (k = l,..,n) и, наконец, для остальных мультииндексов aj берем bj (v) = 0. Тогда имеем

Dvf

<

СП

Н

Dajf

bj (v) Ln

f

m

Lr ‘

N

Покажем, что m = 1 - b0 (v), где b0 (v) = ^ b, (v).

j=i

Имеем

m = (l_ b0(y))(l -b0(pk° ))• bko (v) + (l - bko (v) - b(v))- (l - b0(P)) =

= 1_ (b0(P) - bko (v)b0(p) + b(v) - b0(p)b(v) +

+ b0(Pk° )bko (v) + b0(y)bko (v) - b0(y)b0(pk° )bko (v) ) =

= 1 - (b(v) + bko (v) • b0(pk°) + b0(y)bko (v) • (l - b0(pk°) + b0(P) )(l - b0(v) ))=

= 1 - X bj (v) = 1 - b0 (v),

j=i

Неравенство (16) в этом случае доказана. Случай, когда ни один pj е N (0) или когда после многократного применения мультииндексы у и р будут оцениваться через набор мультииндексов {г1,...,гп}и 0 изучаются аналогично. Теорема 3 доказана.

Теорема 4. Пусть Q удовлетворяет условию теоремы 2, N вполне правильный многогранник. Тогда для любого мультииндекса v е N (0) и для любой функции f е WpN (Q)

справедливо неравенство

( N

Dvf <Cj L,(0) 1 I l И Daf Lp(^)y

\b(v)

.IlfII1 b(v) +с ||fII

II llbr(Q) 2 II ||Lr(£J)’

где p, q, r, b(v) удовлетворяют соотношениям (15), a Cj и C2 не зависящие от f постоянные.

Доказательство получается путем многократного применения теоремы 2, как это делается в теореме 3.

ЛИТЕРАТУРА

1. Gayliardo Е. Veteriori proprieta di alcune classi di funzioni in piu variabili, Ric Mat S. No. 1, 1959, 24-51.

2. Nirenberg L. On elliptic partial differential equations, Ann Sckola Norm Sup. Pisa, s. Ill, 13, No 2, 1959, 115-162.

643

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ»

644

http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/056pdf

3. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Теоремы вложения и интегральные представления функций. М. “Мир” 1975.

4. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М. “Мир”, 1980.

5. Солоннииков В.А. О некоторых неравенствах для функций C(R” ) . Тр. Семенара ЛОМИ

АН СССР. т. 30, 1972, 194-210.

6. Ильин В.П. О неравенствах между нормами частных производных функций многих переменных. Тр. МИАН СССР, т. 84, 1965, 144-173.

7. М de Guzman. A covering lemma with application to differentiability of measures and singular integral operators, Studia Mat, 34, № 3, 1970, 299-317.

8. Карапетян Г.А. Теоремы типа Лиувилля и типа Фрагмена - Линделефа для общих регулряных уравнений, Изв. АН Арм. ССР, с. Мат., т. 17, № 6, 1982, 473-496.

644