CC BY
39
УДК 621.06
ПРОЯВЛЕНИЕ КРАТНОСТИ ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ КОНЕЧНОМЕРНЫХ СИСТЕМ
© В.И. Соболев1, Нгуен Фу Туан2
Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Рассмотрены возможности устранения колебаний конечномерных линейных динамических систем по заданным направлениям при действии мгновенного импульса. Исследованы свойства конечномерных систем, имеющих краткие частоты собственных колебаний. Доказано, что для конечномерных систем второго и третьего порядка условия кратности приводят к необходимости устранения перекрёстных упругих связей. Библиогр. 3 назв.
Ключевые слова: колебания упругих систем; мгновенный импульс; матрицы собственных векторов; собственные значения.
MULTIPLE FREQUENCY MANIFESTATION IN FINITE DIMENSIONAL SYSTEM EIGENMODE VIBRATIONS V.I. Sobolev, Nguyen Phu Tuan
Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, Russia, 664074.
The paper considers the possibility to eliminate the vibrations of finite dimensional linear dynamic systems by given directions under instantaneous impulse. Having studied the features of the finite dimensional systems with short frequencies of eigenmodes, it proves the fact that the multiplication factor in the finite dimensional systems of the second and third order results in the need to eliminate cross elastic constraints. 3 sources.
Key words: vibrations of elastic systems; instantaneous impulse; eigenvector matrices; eigenvalues.
В более ранней работе авторов [2] было показано, что при воздействии мгновенного импульса на конечномерную линейную динамическую модель размерности п для отсутствия собственных колебаний по некоторому направлению у , не совпадающему с направлением воздействия г , необходимо и достаточно обеспечить п кратность собственных значений
матрицы О = ЕМ(здесь М - матрица инерционных параметров; Е - матрица жесткостей динамической модели).
Минимальное значение амплитуд колебаний х, (У) , то есть ( шт(шах х,(У)) ) может достичь
3 т. + 3
нулевого значения при условии sin ct _ sin cit _
С
С
sin Сt
С
(1)
где х. (У)(3 = 1 ^ п) - функция перемещения некоторого узла модели по направлению г; щ - частота
собственных колебаний; У - параметр времени.
Справедливость этого утверждения следует из условия ортогональности векторов Л. и В, (3 ^ 1),
где Л - вектор-строка матрицы Ф ; В - вектор-
столбец матрицы Ф 1 ; Ф - матрица собственных векторов матрицы D.
X
(t ) = 2 üjbn
i =1
С
где а,- - элементы векторов A ■ ; Ьц - элементы век-
торов в ■
Для системы с конечным числом степеней свободы матрица О = ЕМимеет вид
D =
rr -11-A -12
m
1
r
21 m
m
21 22 - а
2
m
1n
m
2n
m
n1
n2
m
n
m
n
nn m
n
-A
(2)
где г. - элементы матрицы жесткостей линейно-
у
упругой системы; щ - инерционный параметр пере-
1 Соболев Владимир Иванович, доктор технических наук, профессор кафедры сопротивления материалов и строительной механики, тел.: 89246349860, e-mail: vladsobol@yandex.ru
Sobolev Vladimir, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Strength of Materials and Structural Mechanics, tel.: 89246349860, e-mail: vladsobol@yandex.ru
2Нгуен Фу Туан, аспирант, тел.: 89247085979, e-mail: bennaydaiduong@yahoo.com Nguyen Fu Tuan, Postgraduate, tel.: 89247085979, e-mail: bennaydaiduong@yahoo.com
32
ВЕСТНИК ИрГТУ №3 (74) 201S
мещения по направлению с номером I (/ = 1 ^п).
Для системы с двумя степенями свободы нахождение это условия определяется кратностью корней
уравнения = 0.
^-Л т,
да,,
или
Л
Л2-Л
л
т
г
-Л
т
Г11 Г22
= 0,
2
Г 12
т т2у
--= 0. (3)
т т т т
Кратные корни уравнения (3) или кратные собственные значения существуют при условии равенства нулю детерминанта уравнения (3):
(
П,
V
11
V т
'22
т,
2 У
2
л Г 12
+ 4--= 0.
тт
(4)
В силу неотрицательности левой части равенства (4), справедливо
Г1
т,
Г22 т
2
(5)
Г = 0 '12 0
Равенства (5) показывают, что условие кратности частот собственных колебаний для систем второго порядка приводит к необходимости формирования двух несвязанных систем первого порядка. Динамическая система, имеющая упругие связи отличные от нуля, кратных частот иметь не может.
Для системы с тремя степенями свободы также предполагается, что воздействие мгновенного импульса осуществляется по направлению с номером 1. Тогда функция перемещений некоторого узла по направлению 2 может быть записана в виде
(7) = ^Г«г2Ьг1 5*п(а'7) . Тождественное равенство а
X
х2(7) = 0 , достижимо тогда, когда ах=а2 = а3. В этом случае справедливо соотношение
^ПЧО ь 8Ш(д)
а21Ь11 + и22и2\ +
(6)
а
а
+ а23Ь31
Б1п(а 7)
а
= (Д)
2
Бта
а
Поскольку в правой части этого равенства присутствует скалярное произведение векторов взаимно
обратных матриц Ф и Ф-1, то оно тождественно равно нулю.
Рассмотрим условия выполнимости равенства (6). Развернутая запись определителя для системы
третьего порядка имеет вид
(
/ (Л) = -Л +Л2
11+
V т1 т2
т
+
3 У
2
+ Л
Г 12 Г 13 Г 23 Ги Г
■ +---11
11 22
т т т т т т т т
Г11 Г33 Г22 Г33
+
V т т т т3
I ^ 2 2 2
Г11Г22Г33 + 2Г12Г13Г23 - Г11Г 23 - Г22Г 13 - Г33Г 12
ттт
(7)
При выполнении равенства (6) уравнение имеет единственное действительное решение кратности 3:
да)
йЛ
Л
= -3Л2 + 2Л
л
V т1 т2
т
+
3 у
222
' Г 12 Г 13 Г 23 -+-+-
Г г
41 12 2
Г11 Г33 Г22 Г33
ч т т т т3
Рассмотрим детерминант
/ '(Л) = 0.
У
А ,,
уравнения
А ,= 4
Г11 ! Г22 | Г33
V т1 т2
т
+
3 У
222
Г 12 Г 13 Г 23 -+-+-
+12 •
Г11 Г22
тт
тт
т т т т
Г11 Г33 Г22 Г33
т т т т3
(8)
Преобразуя равенство (8), получим
А/'= 2
Л
л2 г +
V т1 т2 у
Г11 Г33
+
+
2
г г
Г 22 Г33
V т1 т3 у
+
+ 6
V т2 т3 У
222
Г 12 Г 13 Г 23 -+-+-
Vтт тт тту
(9)
г
г,
г
<
т т т т т т т т
+
2
ВЕСТНИК ИрГТУ №3 (74) 2013
33
неотрицательности Дг справедливо:
Гк V V = '22 = г33
< т тт
Г12 = г = г = 0 '13 г23 0
Кратность решений уравнения Б = 0 (/(Я) = 0) происходит тогда, когда Д^, = 0. В силу
(10)
Равенства (10) показывают, что условие кратности частот собственных колебаний для систем третьего порядка приводит к необходимости формирования несвязанных систем. Динамическая система, имеющая упругие связи в виде г^ Ф 0 при I Ф j, кратных
частот иметь не может.
Для системы с размерностью п > 4 использование предыдущего подхода является невозможным. Поскольку матрица Б не симметричная, то условия кратности определяются решением несимметричной проблемы собственных значений [1,3].
Из условия решения проблемы собственных значений имеем
ф-1. Б ф = Л, (11)
где diag(Я) = Л; г = 1..п .
Если матрица Б имеет все кратные собственные
значения
Я
то Л можно описать в виде
diag(Я) = Л = ЯI, где I - единичная матрица. Тогда равенства (11) имеюют вид
ф-1. Б Ф = Я1. (12)
Отсюда
ф-1. — Б Ф = I. Я,
Из условия ф-1ф = I имеем — Б .ф = ф.
Я
В развернутом виде
'11
'12
'1п
Я. т1
21 Я • т2
Я. т1
Я. т1
22
2п
Я. т2
Я. т2
г
п1
п2
г
пп
Я, . т к п
1 0
0 1
Я, . т к п
Я, . т к п
... 0 ... 0
0 0
... 1
Таким образом, справедливо: Г
т
= Я при 1 = } , 1 = 1..П
(13)
г. = 0 при 1 Ф }
Равенства (13) показывают, что:
1. Попытка устранения собственных колебаний конечномерной динамической системы размерности п по некоторому направлению приводит к необходимости формирования системы, имеющей п кратных собственных частот
2. Условие кратности частот собственных колебаний для систем с размерностью п приводит к необходимости формирования п несвязанных систем первого порядка. Динамическая система, имеющая упругие связи в виде г ф 0 при г Ф ., кратных частот иметь не может.
3. При воздействии мгновенного импульса на конечномерную систему порядка п присутствуют собственные колебания по всем направлениям.
1. Икрамов Х.Д. Несимметричная проблема собственных значений. Численные методы. М.: Наука, 1991. 240 с.
2. Соболев В.И, Нгуен Фу Туан. Конечномерные аппроксимации в моделировании собственных колебаний упругих систем при воздействии мгновенного импульса // Вестник
Библиографический список
ИрГТУ. 2012. № 9. С. 51-53.
3. Кублановская. В.Н. О некоторых алгоритмах для решения полной проблемы собственных значений // Журнал «Вычисленной математики и математической физики». 1961. № 4.
34
ВЕСТНИК ИрГТУ №3 (74) 2013
