CC BY
10
УДК 621.06 Соболев Владимир Иванович,
д. т. н., профессор кафедры сопротивление материалов и строительная механика, НИ ИрГТУ,
тел. 89246349860, e-mail: vladsobol@yandex.ru
Нгуен Фу Туан,
аспирант кафедры сопротивление материалов и строительная механика, НИ ИрГТУ,
тел. 89247085979, e-mail: bennaydaiduong@yahoo.com
СИНТЕЗ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
V. I. Sobolev, Nguyen Phu Tuan
SYNTHESIS OF DYNAMICAL SYSTEMS WITH RESTRICTIONS ON THE NATURAL VIBRATION FREQUENCIES
Аннотация. Работа посвящена проблеме формирования многомерных динамических систем по некоторым заданным критериям с ограничением на отдельные параметры этих систем.
Предложены методика и алгоритм определения параметров собственных колебаний многомерных упругих динамических систем в условиях заданных ограничений, основанные на решении проблемы собственных значений. Формирование матрицы собственных векторов, полученной на основе решения обобщенной проблемы собственных значений для пучка матриц (матрицы инерционных параметров и матрицы жесткостей динамической системы), позволяет осуществить разделение исходной многосвязной динамической системы на систему раздельных одномерных осцилляторов, обладающих фиксированными собственными частотами колебаний.
Переход к топологии исходной системы основан на линейных преобразованиях, обратных по отношению к преобразованиям исходной системы к несвязанным осцилляторам с предварительной корректировкой системы осцилляторов по условиям ограничений. Решение обобщенной проблемы собственных значений для пучка матриц заменено адекватным решением стандартной проблемы собственных значений для динамической матрицы жесткостей, сформированной при помощи линейных преобразований матрицы жесткостей с использованием матрицы инерционных параметров.
Алгоритмические разработки реализованы в виде программного комплекса. Изложен алгоритм программы синтеза многомерных динамических упругих систем с заданными динамическими свойствами с использованием процедур пошагового сканирования в пространстве варьируемых параметров. Дано описание программы для задачи формирования параметров динамических систем, минимизирующих амплитуды колебаний по заданному направлению. Приведены примеры, иллюстрирующие работу программного комплекса. Результаты работы могут быть использованы при конструировании систем различного назначения, подверженных динамическим воздействиям, сопровождающимся процессами собственных колебаний.
Ключевые слова: минимизация, колебания упругих систем; импульс, матрицы собственных векторов, собственные значения, конструктивные ограничения.
Abstract. Work is devoted to the formation's problem of multi-dimensional dynamical systems on some specified criteria with the restriction on the individual parameters of these systems.
The technique and algorithm are proposed to determine the parameters of the natural oscillations of elastic multidimensional dynamic systems under the given constraints, based on the solution of the eigenvalue problem. Formation of the matrix of eigenvectors obtained by solving the generalized eigenvalue problem for the sheaf of matrices (matrix of inertia parameters and the stiffness matrix of the dynamical system) allows to carry out division of the original multiply dynamical system on system of separate dimensional oscillators that have fixed natural frequencies.
Transition by topology of the original system is based on linear transformations, inverse with respecting to transformations of the original system to unrelated oscillators with pre-correction system of oscillators under the terms of the restrictions. Solution of the generalized eigenvalue problem for the sheaf of matrices was replaced with an adequate solution for the standard eigenvalue problem for the dynamic stiffness matrix that was formed through linear transformations of the stiffness matrix using a matrix of inertial parameters.
The algorithmic working-out is realized as complex software. The algorithm ofprogram of synthesis of multidimensional dynamic elastic systems set out with specified dynamic properties with using the step-scan procedures in the space of variable parameters is stated. A description of the program for the problem of parameters of the dynamic systems formation that minimize the amplitude of the oscillations in a given direction is presented. Examples illustrating the operation of software are given. The results can be used in the design of systems for different purposes, subject to dynamic effects that are accompanied by the process of natural oscillations.
Keywords: minimization, vibrations of elastic systems, momentum, matrix of eigenvectors, eigenvalue, design constraints.
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
Конечномерные динамические модели широко применимы в исследованиях и конструировании систем различного назначения. Поскольку в реальных системах конструктивные элементы имеют распределенные массы, то для приведения исходной системы к конечномерной системе используют методы дискретной аппроксимации. Такие конечномерные модели с сосредоточением инерционных параметров в точках-узлах позволяют получать достаточно простые решения многих насущно востребованных задач конструирования и исследования различных динамических систем. К таковым относятся манипуляционные системы, строительные дорожные машины, почвообрабатывающие агрегаты, машиностроительные конструкции различного назначения. Очевидно, что в большинстве случаев использования конечномерных моделей возникает задача оценки точности, тесно связанная с размерностью полученной дискретной модели [0, 2]. Однако сам по себе принцип замены непрерывной расчетной области на совокупность как угодно малых участков (элементов) позволяет говорить о достижимости как угодно малых погрешностей решения поставленной задачи. С учетом изложенного очевидно, что решение различных задач динамики требует постановки их в рамках многомерных. При этом размерность задач может быть как угодно большой, но конечной. Не затрагивая проблем математического характера, связанных с большой размерностью динамических систем [0] попытаемся решить некоторые задачи формирования систем с заданными динамическими свойствами, при заданных конструктивных ограничениях.
Пусть инерционные параметры системы определены матрицей
0
М =
ш.
0
ш
0 0
... 0 ... 0
... ш
Я =
'12
1п
Поставим задачу ограничения частот собственных колебаний недиссипативной системы, описанной системой уравнений
в виде
МХ + ЯХ = 0,
ш" < шг < ш"
(1)
(2)
где ш" - нижняя граница собственных частот, ш" - верхняя граница собственных частот, ш . -
собственная частота колебаний с номером I.
Пусть Ф — матрица собственных векторов динамической системы (1), тогда
М~1Я •Ф = Ф"1 Л, где Л - матрица собственных значений динамической системы (1)
0 ... 0 К ... 0
Л =
0
0 0
... к
Системы ограничений (2) можно записать в
виде
(т" )2 , <(ш; )2.
Допустим, что по некоторому направлению с номером р (1 < р < п) осуществлено импульсивное воздействие. Если матрица собственных векторов Ф представлена элементами а,у , а матрица Ф 1 представлена элементами Ь¿у, то в зависимости от вида импульсивного воздействия величины перемещений [3-0] по некоторому направлению с номером у будут представлены в виде, указанном в табл. 1.
Т а б л и ц а 1 Перемещение х ■ по некоторому направлению
Как правило, величины масс ограничены, то есть ш" < щ < ш",I = 1,..., п , где ш" - нижняя
граница заданных масс элементов, ш¿ — верхняя
граница заданных масс элементов. Пусть матрица жесткостей динамической системы имеет вид
с номером J
Вид воздействия хУ
Мгновенный импульс X аА „ г) (3) ¿=1 т
Импульс в виде скачка п Xа^р С08(<т0 (4) ¿=1
Прямоугольный импульс п X аА С08ш )соФ,Л (5) ¿=1
г
г
г
г
21
22
п2
г
г
пп
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
В работе [0] показано, что устранение колебаний по некоторому направлению с номером ] возможно при кратности частот собственных колебаний юг = ю, 1 < п . Однако реализация этого условия возможна при отсутствии упругих перекрестных связей динамической системы, то есть Г] = 0 при всех 1 Ф ]. В этом случае динамическая система превращается в цепочку несвязанных осцилляторов и постановка задачи становится бессмысленной. Амплитудные значения перемещений [0, 0] при колебании многосвязной системы при оговоренных условиях приведены в табл. 2.
Т а б л и ц а 2 Амплитуды перемещений с . по направлению с номером ]
Вид воздействия с]
Мгновенный импульс п а Ь у* а]1Ь1р 1=1 юг (6)
Импульс в виде скачка п £ \аА 1=1 (7)
Прямоугольный импульс п £ аА С03(ЮТ) (8) г=1
Из выражений (6-8) следует, что величина с зависит от элементов матриц собственных векторов и собственных значений.
Известно [0], что
Л = Ф" • В Ф;
где В = М~1Я = Ф"1 • Л • Ф .
То есть
М = Я Ф1 Л1 Ф. (9)
Выражение (9) позволяет определить величины инерционных параметров в зависимости от величин элементов матриц Я, Ф и Л. Формирование элементов матрицы М , удовлетворяющих условиями ограничений (2), возможно численным методом при подстановке значений, определяющих величины через некоторый заранее выбранный шаг. Очевидно, что объем вычислений требует использования компьютера и разработки программ. Укрупненная блок-схема разработанного варианта программы изображена на рис. 1.
Программа позволяет определить инерционные параметры динамической системы, имеющей собственные частоты, лежащие в заданном интервале при фиксированных значениях коэффициентов матрицы жесткостей.
Алгоритм программы формирования многомерных динамических упругих систем с заданны-
Задание исходных данных: интервалы собственных частот; интервалы инерционных параметров; элементы матрицы жесткостей; номер направления р, по которому действует импульс; номер направления д, по которому амплитуда минирующая.
Рис. 1. Алгоритм формирования многомерных динамических систем с заданными свойствами
Импульс в виде скачка
п
= х
'=1
а ]'Ь'р
п
у = х \аУ '=1
°з = Х\а}'ЬР с°ш'т) ¿=1
п
с
Рис. 2. Блок-схема минимизации амплитуд собственных колебаний по заданному направлению J при ограничениях
собственных частот
ми динамическими свойствами состоит из двух основных модулей - модуля минимизации значения амплитуд по заданному направлению q при изменениях инерционных параметров и модуля определения инерционных параметров динамической системы при ограничениях собственных частот. Блок-схема программы минимизации амплитуд собственных колебаний по заданному направлению j приведена на рис. 2. Программа позволяет определять минимальные значения амплитуд путем перебора инерционных параметров.
Алгоритмы, представленные на рис. 1, 2, реализованы в виде программных модулей на объектно-ориентированном языке МаШ1аЬ [0]. Интерфейсы программы для ввода исходных данных и представления результатов приведены в рис. 3, 4.
Рассмотрим пример, в котором динамическая система представлена двумя сосредоточенными массами, расположенными на невесомой балке (рис. 5) при вертикальных колебаниях масс. Параметры системы имеют следующие значения:
¡1 = 3 ,12 = 4, ¡3 = 2, Ш = 105, величины масс ограничены 1 < ш1 < 10, 1 < ш2 < 10 .
Рис. 3. Интерфейс программы для ввода данных
Рис. 4. Интерфейс программы, показаны результаты расчета
\ 11 ■ /г 13
4 , m 1 * m г /
W W
Рис. 5. Расчетная схема динамической системы
Для расчетной схемы, приведенной на рис. 5, при формировании матрицы жесткостей необходимо учитывать величины поворота осей стержня в точках сосредоточения масс. Сначала нужно формировать матрицу жесткостей с учетом поворота осей стержня, выполнить операцию обращения, удалить столбцы и строки, соответствующие номерам поворотных связей, опять выполнить операцию обращения. Матрица жесткостей в конечном варианте определяется в виде
"0,529 - 0,417" - 0,417 1,125
R = 105 •
Пусть на /?7| действует импульс в виде скачка. Определим величины тх, пи, удовлетворяющие условию минимума амплитуды перемещений т2 при воздействии импульса скачка на массу т\ при ограничениях 40 < о\ < 100, 200 < ю2 < 500 . Результаты расчета приведены на рис. 6.
-РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА-
Матрица собственных векторов
-0.5553
-о.озаз
0.357S -0.S33S
Минимальное значение по заданному направлению с номером 2
1.0000 0.0755
Интервалы выбора масс для получения систем обладающих заданными динамическими свойствами
5.355 2.015
10.ООО 10.000
---------------------КОНЕЦ РАСЧЕТА-------------------------
Рис. 6. Результаты расчета
Результаты расчета показали, что минимальное значение амплитуд по направлению с номером 2 равно 0,0755; интервалы выбора каждой массы 5,359<ш < 10, 2,019<ш2 < 10.
Минимальные значения амплитуд по всем направлениям больше нуля, то есть при воздействии импульсов на конечномерную систему порядка п присутствуют собственные колебания по всем направлениям. Расчет выполнен при единичном скачке по направлению с номером 1.
Численные проверки показали достижение
минимального значения амплитуды при различных значениях инерционных параметров.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Соболев В.И, Соболев Н.В. Конечноэлемент-ный экспресс анализ сейсмических процессов в задачах обеспечения безопасности многоэтажных зданий и сложных сооружений // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2007. № 14. С. 57-62.
2. Тыртышников Е.Е. Матричный анализ и линейная алгебра. М. :ФИЗМАТЛИТ, 2007. 477 с.
3. Соболев В.И., Нгуен Фу Туан. Проявление кратности частот в собственных колебаниях конечномерных систем // Вестник ИрГТУ, 2012. №3. С 31-34.
4. Соболев В.И, Нгуен Фу Туан. Конечномерные аппроксимации в моделировании собственных колебаний упругих систем при воздействии мгновенного импульса // Вестник ИрГТУ, 2012. № 9. С 51-54.
5. Нгуен Фу Туан. Конечномерные аппроксимации в моделировании собственных колебаний упругих систем при воздействии функции скачка // Механика XXI веку : материалы XII Всерос. науч.-техн. конф. с междунар. участием. Братск, 2013. С 31-34.
6. Нгуен Фу Туан. Колебания конечномерной динамической системы при воздействии прямоугольного кинематического импульса // Вестник ИрГТУ. 2014. №1. С 31-34.
7. Соболев В.И., Нгуен Фу Туан. Обеспечение минимального значения амплитуд собственных колебаний упругих систем при воздействии мгновенного импульса // Системы. Методы. Технологии, 2013. № 3, (19). С 34-38.
8. Нгуен Фу Туан. Синтез конечномерной упругой системы второго порядка с минимальными амплитудами собственных колебаний при воздействии функции скачка // Современные проблемы машиностроения : материалы VII междунар. науч.-техн. конф. Томск, 2013. С. 48-53.
9. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М. : Наука, 1970. 564 с.
10. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2013618405. Программа формирования динамических систем, удовлетворяющих заданным условиям / В.И. Соболев, Нгуен Фу Туан ; Иркут. гос. техн. ун-т.
