CC BY
18
УДК 621.06
КОНЕЧНОМЕРНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ В МОДЕЛИРОВАНИИ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ МГНОВЕННОГО ИМПУЛЬСА
© В.И.Соболев1, Нгуен Фу Туан2
Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Приведены методика и алгоритм определения параметров колебаний многомерных упругих систем под воздействием мгновенного импульса. Рассмотрены вопросы формирования отсутствия собственных колебаний по некоторому заданному направлению, не совпадающему с направлением воздействия. Полученные результаты сформированы и доказаны математически. Ил. 1. Библиогр. 4 назв.
Ключевые слова: колебания упругих систем; мгновенный импульс; матрицы собственных векторов; собственные значения.
FINITE-DIMENSIONAL APPROXIMATIONS IN MODELING NATURAL VIBRATIONS OF ELASTIC SYSTEMS UNDER INSTANTANEOUS IMPULSE
V.I. Sobolev, Nguyen Fu Tuan
Irkutsk State Technical University,
83 Lermontov St., Irkutsk, Russia, 664074.
The paper provides a procedure and an algorithm to determine the vibration parameters of multidimensional elastic systems under the instantaneous impulse. It considers the problems of formation the lack of natural vibrations by a specified direction, which does not coincide with the direction of the impact. The obtained results are formed and proved mathematically.
1 figure. 4 sources.
Key words: vibrations of elastic systems; instantaneous impulse; eigenvector matrices; eigenvalues.
При использовании конечномерных моделей, в которых инерционные и жесткостные параметры на основе некоторых аппроксимаций сосредоточены в точках - узлах расчетных схем, возникают задачи подавления собственных колебаний узлов по заданным направлениям возможных степеней свободы [1]. Если возможные перемещения узлов модели представлены некоторым вектором
T
Х = (Xj, Х2 ■■■ х„) ,
где хт(т = 1 +n) - заранее неизвестное перемещение узла модели по направлению m, то ставится задача минимизации перемещения Xj по заданному направлению j при воздействии импульса по направлению с номером i. Очевидно, что при постановке задачи в минимаксном варианте подавление собственных колебаний при помощи повышения демпфирующих свойств системы малоэффективно, поскольку проявление демпфирования требует некоторой продолжительности колебательного процесса, тогда как максимумы перемещений достигают своих значений на первых периодах колебательного процесса после воздействия импульса. Кроме этого, очевидный интерес представляет собой влияние жест-костных и геометрических свойств системы на формирование интенсивности колебательного про-
1 Соболев Владимир Иванович, доктор технических наук, профессор кафедры сопротивления материалов и строительной механики, тел.:89246349860.
Sobolev Vladimir, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Strength of Materials and Structural Mechanics, tel.: 89246349860.
2Нгуен Фу Туан, аспирант, тел.: 89247085979, email: bennaydaiduong@yahoo.com Nguyen Fu Tuan, Postgraduate, tel.: 89247085979, email: bennaydaiduong@yahoo.com
цесса по некоторому заданному направлению при заданном направлении воздействия.
Исходя из изложенных обстоятельств, рассмотрим колебания многомерной системы без учета внутреннего трения. Очевидно, что в этом случае результаты решения задачи в минимаксной постановке являются верхней границей решения задач с присутствием различных видов трения. В общем случае свободные колебания такой системы могут быть описаны системой дифференциальных уравнений вида
ЧЛ (0 + Г12Х2 (0 + ■ ■ ■ + Г1 пХп (0 +
+m1x1(t) = О
Г2& (0 + Г22Х2 (0 + ■ ■ ■ + Г2пХп (0 +
+m2x2(t) = О
(1)
«(О+ + ••• + «(>) +
+тпхпЦ) = О, где Ту - элементы матрицы жесткостей линейно-упругой системы; хт(г)(ш = 1 +п) - функция перемещения некоторого узла модели по направлению т; т] - инерционный параметр перемещения по направ-
<
лению с номером ] (у = 1 +п) ; t - параметр времени.
В матричном виде система уравнений (1) может быть записана в виде
R ■ X+M-X = 0, (2)
где Я - матрица жесткостей; M - матрица инерционных параметров, X - вектор перемещений.
Умножив обе части системы уравнений (2) на М'1 , преобразуем ее к виду
БХ + Е ■ X = 0 ; (3)
где б = ям —, Е - единичная матрица.
Рассмотрим сначала воздействие мгновенного импульса на одномерную систему, колебания которой могут быть описаны уравнением (4)
т ■ х + гх = f(t), (4)
где т - масса; г - коэффициент жесткостей; х - перемещение точки сосредосточной массы; - функция воздействия.
Пусть мгновенный импульс воздействует в момент времени t = 0 (рисунок)
График воздействия мгновенного импульса
Известно, что перемещения массы в результате мгновенного импульса достаточно малы для того, чтобы пренебречь ими в практических расчетах [4] , тогда как скорость и после воздействия импульса в момент
X А 5
времени t = 0 отличная от нуля и = —, где 5 - мощ-
т
ность импульса.
Колебательный процесс после воздействия импульса может быть описан общим решением уравнения (3), в котором функция воздействия f(t) = 0 при t > 0.
Тогда при t > 0
х = с!5т(ю() + с2со$(ю() , (5)
где с1, с2 - константы, определяемые из начальных условий; w - частота собственных колебаний. Исходя из изложенного, начальные условия могут быть определены в виде
' х(0) = 0
(6)
t = 0
В момент времени t = 0 имеем:
х(0) = С15т(0) + С2 со5(0) , отсюда 0 = с2 ;
t = 0
= СО ■ С1 со.5(0) = и ,
Следовательно, с1 = и/о . Таким образом, после воздействия мгновеного импульса колебания описываются выражением
x(t) = — sin(юt) .
О
(7)
Вернемся к конечномерной системе, колебания которой после воздействия мгновенного импульса, то есть при t > 0 описываются системой уравнений (1). При воздействии мгновенного импульса по некоторому направлению ] величину скорости по этому направлению в момент времени t = 0 будем считать равной единице, тогда как начальные скорости по другим направлениям - нулевые. Без ограничения общности можем считать, что воздействие импульса осуществляется по первому направлению. Тогда начальные условия для системы уравнений (1) имеют вид:
X(0) = (0 , 0, 0 ... 0)
XX
= (1 , 0, 0 ... 0)
(8)
t = 0
Система уравнений (1) имеет матрицу жесткостей, в которой в общем случае коэффициенты Гу * 0 , при
i * у ; такие свойства обуслены связанностью узлов системы.
Попытаемся осуществить развязку системы уравнений, то есть привести систему уравнений (1) или (3) к системе раздельных уравнений.
Пусть Ф - матрица собственных векторов матрицы D, a Л - матрица ее собственных значений. Умножив
обе части системы уравнений (3) на Ф'1, имеем Ф~1}[ + Ф~1DX = 0 . Выполним замену переменных Ф~1И = У . Тогда X = Ф У и справедливо
У + Ф- ■ Б-Ф-У = 0. Поскольку Ф_1 ■ Б Ф = Л, то имеем
У + ЛУ = 0. (9)
Начальные условия (7) в пространстве переменных Y имеют вид
-1.
У(0) = Ф~1К(0)
t = 0
= (Ъц , b21, Ь31 ... Ь41) .
(10)
В силу того что матрица Л диагональная, система уравнений (3), приведенная к виду (9), представляет собой раздельные уравнения с начальными условиями вида (10).
Если матрица Ф представлена элементами ау, а
матрица Ф— - элементами Ьу , то начальные условия (10) запишутся в виде:
У(0) = (0 , 0, 0 ... 0)
7
t = 0
= Ф~1)С
(11)
t = 0
В связи с тем, что система уравнений (9) состоит из раздельных уравнений, решения ее могут быть
представлены в виде (7). Тогда
у, (t) = — ) = ), (12)
О ^
где diag(Л) = Л, i = 1..п .
Решения системы исходных уравнений могут быть
получены путем преобразования X = Ф У и имеют вид
Ь
= Е ац^тОЦ) . (13) а.
Очевидно, что при у * 1 величина ху , определенная выражением (13), будет равна нулю при всех ^ если все а^ равны друг другу, то есть кратность собственных значений матрицы Б равна п . В этом случае
= эи^ 2 э 0, (14)
где со1 = а для всех i = 1 + п .
Справедливость (14) при у * 1 со всей очевидно-
стью следует из условия Ф Ф_1 = Е.
Отсутствие п кратности, то есть наличие различных собственных значений в выражении (13), означает выполнение этого равенства лишь для конечного числа значений переменной t на любом ограниченном интервале времени [2], и тождественное равенство (14) для произвольного t в этом случае невозможно.
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
При воздействии мгновенного импульса на конечномерную линейную динамическую модель размерности п для достижения отсутствия собственных колебаний по некоторому направлению у , не совпадающему с направлением воздействия i, необходимо и достаточно обеспечить п кратность собственных значений матрицы б = ям- . Здесь М - матрица инерционных параметров, Я - матрица жесткостей динамической модели. Очевидно, что условия и возможности реализуемости кратности частот собственных колебаний посредством формированная матриц М, Я требуют дополнительных исследований.
Библиографический список
1. Вибрации в технике: справочник. В 6 т. М.: Машиностроение, 1981. Т. 6. Защита от вибрации и ударов / под ред. К.В. Фролова. 1981. 456 с.
2. Воробьев Н.Н. Теория рядов. М.: Наука, 1979. 408 с.
3. Гонтмахер Ф.Р. Теория матриц: учеб. пособие для вузов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1967. 560 с.
4. Расчет сооружений на импульсное воздействие / И.М. Рабинович [и др.]. М: Стройиздат, 1970. 303 с.
