CC BY
14
Рис. 3. Подграф зеленых связей
По графу, представленному на рис. 3, видно, например, что если изменять значение допуска 11211, то зеленая волна сразу останавливается. А если, скажем, изменить значение допуска 222-32, то зеленая волна пойдет сначала к вершине 15-35, а затем по
инцидентным ей ребрам к другим вершинам, показывая тем самым влияние изменения допуска 222-32 на другие допуски.
Статья поступила 10.12.2013 г.
Библиографический список
1. Автоматизация проектирования технологии в машиностроении / Б.Е. Челищев, И.В. Боброва, А. Гонсалес-Сабатер; под ред. акад. Н.Г. Бруевича. М.: Машиностроение, 1987. 264 с.
2. Гаер М.А., Журавлёв Д.А., Яценко О.В. Конфигурационные пространства поверхностей деталей и сборок // Вестник Иркутского государственного технического университета.
2011. № 10. С. 32-36.
3. Гаер М.А., Плонский П.Л. Топологическое представление сборок и их анализ с учетом допусков // Известия МГТУ «МАМИ». 2008. № 2 (6). С. 361-367.
4. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: введение / пер. с англ. М.: Мир, 1989. 478 с.
УДК 621.06
КОЛЕБАНИЯ КОНЕЧНОМЕРНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО КИНЕМАТИЧЕСКОГО ИМПУЛЬСА
© Нгуен Фу Туан1
Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Приведены методика и алгоритм определения параметров колебаний конечномерных динамических систем под воздействием прямоугольного импульса. Рассмотрены вопросы формирования отсутствия собственных колебаний по некоторому заданному направлению, не совпадающему с направлением воздействия. Полученные результаты сформированы и доказаны математически. Ил. 3 . Библиогр. 6 назв.
Ключевые слова: колебания динамических систем; прямоугольный кинематический импульс; матрицы собственных векторов; собственные значения.
VIBRATIONS OF A FINITE DIMENSIONAL DYNAMIC SYSTEM UNDER RECTANGULAR KINEMATIC IMPULSE Nguyen Phu Tuan
Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.
The article describes the procedure and the algorithm to determine the vibration parameters of finite dimensional dynamical systems under the impact of a rectangular impulse. It treats the problems of generating the absence of free oscillations by a specified direction that does not coincide with the impact direction. The results obtained have been formed and
1Нгуен Фу Туан, аспирант, тел.: 89247085979, e-mail: bennaydaiduong@yahoo.com Nguyen Phu Tuan, Postgraduate, tel.: 89247085979, e-mail: bennaydaiduong@yahoo.com
proved by mathematics. 3 figures. 6 sources.
Key words: dynamic system vibrations; rectangular kinematic impulse; matrices of eigenvectors; eigenvalues.
Конечномерные динамические модели, построенные на различных принципах дискретных аппроксимаций, являются в настоящее время наиболее популярными в исследованиях и широко применяются при конструировании систем различного назначения. Решение задач, связанных с определением и формированием параметров собственных колебаний таких динамических систем, связано с решением проблемы собственных значений, позволяющей в ряде случаев осуществить разделение дифференциальных уравнений динамики исходной многосвязной модели. Представление исходной динамической системы в пространстве собственных векторов, определенных решением проблемы собственных значений, позволяет использовать результаты, полученные при воздействии импульса на одномерную колебательную систему. Обратные преобразования из пространства собственных векторов в исходное пространство позволяют анализировать собственные колебания исходных многосвязных систем.
Актуальны задачи подавления собственных колебаний узлов по заданным направлениям возможных степеней свободы [1, 5].
Пусть возможные перемещения узлов модели представлены некоторым вектором
X = (хх ■■■ х„)т,
где х (/ = 1 +п) - заранее неизвестное перемещение узла модели по направлению с номером у. Поставим задачу минимизации перемещения х- по заданному направлению у при воздействии импульса по направлению с номером I. Очевидно, что подавление собственных колебаний при помощи повышения демпфирующих свойств системы малоэффективно, поскольку проявление демпфирования требует некоторой продолжительности колебательного процесса, тогда как максимумы перемещений достигают своих значений на первых периодах колебательного процесса после воздействия импульса. Кроме этого очевидный интерес представляет влияние жесткостных и геометрических свойств системы на формирование интенсивности колебательного процесса по некоторому заданному направлению при заданном направлении воздействия.
Исходя из изложенных обстоятельств, рассмотрим колебания многомерной системы без учета внутреннего трения. Очевидно, что в этом случае результаты решения задачи параметрической оптимизации являются верхней границей решении задач с присутствием различных видов трения. В общем случае свободные колебания такой системы могут быть описаны системой дифференциальных уравнений следующего вида:
гпх (О + Гпх2 (О +... + Г1пхп (О + щх (О = 0
г21х (О + г22х2 (/)+... + г2пхп (/) + т2х2 (0 = 0, (1)
гпЛ (0 + гп2х2 (0 + • • • +1А (0 + тЛ (0 = о
где г - элементы матрицы жесткостей линейно-упругой системы; х (г)(] = 1+п) - функция перемещения некоторого узла модели по направлению у ; т. - инерционный параметр перемещения по направлению с номером у ; ? - параметр времени.
В матричном виде система уравнений (1) может быть записана в следующем виде [3]:
Я.-Х+М-Х = О, (2)
где к - матрица жесткостей; м - матрица инерционных параметров; X - вектор перемещений. Умножив обе части уравнения (2) на м-1, преобразуем его до вида
ОХ + Е-Х = О, (3)
где В = км1; Е - единичная матрица.
Рассмотрим сначала воздействие кинематического прямоугольного импульса на одномерную систему, колебания которой могут быть описаны следующим уравнением:
т-х + гх = , (4)
где т - масса; г - коэффициент жесткостей; х - перемещение точки сосредоточенной массы; /(/) - функция воздействия.
Пусть прямоугольный кинематический импульс воздействует в некоторый момент времени г = 0 (рис. 1).
а
О Т ±
Рис. 1. График воздействия прямоугольного импульса
Если динамическая система до момента времени г = 0 находилась в состоянии покоя, а в момент времени г = 0 произошло мгновенное перемещение основания на некоторую величину а [4], то, рассматривая колебательной процесс в системе координат г = х+а, можно описать его уравнением
с начальными условиями вида
т-'£ + гг = О
г (0) = -а = 0
/ = О
(5)
(6)
Колебания системы в интервале времени 0 < г < Т описываются общим решением однородного дифференциального уравнения (5):
г(г) = с 8т« + с со8«,
где с, с2 - константы, определяемые из начальных условий; < - частота собственных колебаний. Для момента времени г = 0 справедливо
Отсюда -а = с,;
г(0) = с 8ш(0) + с2 ео8(0) = -а .
= со-с, совГО) = О, ¿ = 0 1
следовательно с =0.
Таким образом, на участке времени 0 < г < Т
г(г) = -а со8«)). (7)
При возвращении основания в положении г = 0 в некоторый момент времени г = Т целесообразно рассматривать колебательный процесс с использованием переменой х уравнения (4).
Начальные условия для определения решения уравнения (4) при г > Т определяются из условий замены переменной х = г - а при г = Т. Если возобновить отсчет времени с момента времени г = Т, используя переменную т = г -Т, уравнение колебаний с начальными условиями, определенными решением (7), имеет вид:
й2 х „
т---+ г ■ х = 0 ;
йт
(8)
х(0) = -а - а со&(аТ) = соаъШсоТ)
/ = 0
(9)
Используя общее решение
х(т) = й sin(® т) + й со8(® т), (10)
уравнение (8) и начальные условия (9), имеем систему уравнений:
(11)
х(0) = -а - а соъ(а>Т) = й зш(<0) + й2 со8(<0) х ^ = <оа sin(аT) = <айх соб(<0) - <ай2 sin(а0)
Отсюда
[й = а зт«Г)
[й2 =-а - а соз(® Т) = -а(1 + соз(®Т)) Общее решение уравнения (10) имеет вид:
х(т) = а 8т(®Т) т) - а(1 + со8(® Т)) со8(® т); х(т) = а ^т(аТ) sm(® т) - соз(® Т) соз(® т) - соз(® т)];
х(т) = -а[cos(®T + ат) + cos(®т)]. (12)
Пусть у - период собственных колебаний динамической системы, у = —.
а
Тогда
2 л 2 л
х(т) = -а cos(— (Т + т)) + cos(— т)
У У
Заметим, что х(т) - линейно относительно а . Поэтому для определения характера этой функции можно положить а = 1.
2л
Пусть Т < —. Очевидно, что свойства функции (12) обусловлены фазовыми величинами, определяющими
а
координаты экстремумов.
Для определения этих свойств положим у = 1, а Т = ку, где 0 < к < 1. Тогда
х(т) = -1[соБ(2л(т + к)) + о^(2лт)]. (13)
Определим значения величин т и к , при которых формируются амплитудные значения функции (13). Предварительно определим тах( х(т, к)).
т
Очевидно, что эти условия определяются из решения:
дх(т к)
—= 2л sin(2л(т + к)) + 2л sin(2лт) = 0 . (14)
дт
Преобразовав уравнение (14), имеем:
2 sin( л(2т + к)) cos(лk) = 0. (15)
Анализ уравнения (15) показывает, что экстремальные значения функции (13) достигаются при значении
1 к к = —, а амплитудные значения функции (13) достигаются при значениях т = —.
Подставив в выражение (13), получим
X (т) = 1
к к cos(2л (— + к)) + соб(2л —)
х(т) = 2[cos(лA:)]. (16)
Очевидно, что экстремум функции (16) достигается при к = —, этот экстремум соответствует минимальному значению функции (13) min х (г, к) = 0 (рис. 2, 3).
Рис. 2. Графики достижения амплитудных значений при различных значениях к
Рис. 3. График зависимости собственных колебаний от Т, к
Таким образом, min maxx(т, к) = 0. Это означает, что минимальная амплитуда собственных колеба-
к т
ний упругой недиссипативной системы равна нулю и достижение этого значения, то есть гашение процесса собственных колебаний, зависит только лишь от соотношения длины кинематического импульса Т к перио-
Т 1
ду собственных колебаний у. И эффект гашения достигается при значении к = — = —.
У 2
Вернемся к конечномерной системе, колебания которой после воздействия прямоугольного импульса, то есть при г > Т, описываются системой уравнений (1). При воздействии прямоугольного импульса по некоторому направлению ] начальные условия по этому направлению в момент времени т = 0 являются начальными условиями (9), тогда как начальные перемещения и начальные скорости по другим направлениям - нулевые. Без ограничения общности можем считать, что воздействие импульса осуществляется по первому направлению. Тогда начальные условия для системы уравнений (1) имеют вид:
X(0) = (-а - а^(аТ) , 0, 0 ... 0)Т
X
/ = 0
= (аа5т(аТ) , О, 0 ... 0)т.
(17)
Система уравнений (1) имеет матрицу жесткостей, в которой в общем случае коэффициенты ту ф 0 при г ф ]; такие свойства обсуслены связанностью узлов системы.
Попытаемся осуществить развязку системы уравнений, то есть привести систему уравнений (1) или (3) к системе раздельных уравнений.
Пусть Ф - матрица собственных векторов матрицы О, а Л - матрица ее собственных значений. Умножив обе части системы уравнений (3) на Ф1 имеем:
Ф1Х+Ф1ох = о.
Выполним замену переменных Ф1Х = У; Тогда X = Ф У и справедливо, что
У + Ф1 ОФУ = 0.
Поскольку Ф1 - В-Ф = А, то имеем уравнение
у+АУ = о.
Начальные условия (17) в пространстве переменных У имеют вид:
У (0) = ф-'Х (0)
( 18)
У
/ = о
= Ф X
(19)
/ = О
В силу того, что матрица Л - диагональная, система уравнений (3), приведенная к виду (18), представляет собой раздельные уравнения с начальными условиями вида (19).
Если матрица Ф представлена элементами а,.., а матрица Ф"1 - элементами Ъ^, то начальные условия (19) запишутся в виде:
У(0) = (-а - а^(®Т)(ЬП, Ъ21, Ъ31, ..., Ъи1)Т
У
/ = О
= (юа5ш(юТ)(Ьп, Ь21, ЬЪ1,..., ЪпХ)т
(20)
В силу того, что система уравнений (18) состоит из раздельных уравнений, решения ее могут быть представлены в виде (12). Тогда
у (г) = -аЪп [^(®,Т + ат) + cos(®I.т)], (21)
где diag(X¡) = Л; / = 1,...,п .
Решения системы исходных уравнений могут быть получены путем преобразования X = ФУ .
х. (г) = -а^ арЪл [^(а,Т + <т) + cos(а.т)].
(22)
Или
1=1
n
i (t)=-aZ аА2
1=1
aTT + 2rniT aT cos( 11 ) cos( )
(23)
Очевидно, что при у ф 1 величина *, определенная выражением (23) будет тождественна, равна нулю
при всех ? , если все щ равны друг другу, то есть кратность собственных значений матрицы В равна п . В этом случае
x, (t) = -2а
aT + 2a т aT cos(---) cos(—)
Z aA ,
(24)
где щ = щ для всех 1 = 1 п.
Справедливость (24) при у ф 1 со всей очевидностью следует из условия Ф Ф1 = Е. Условие п кратности частот собственных колебаний для систем приводит к необходимости формирования п несвязанных систем первого порядка. Динамическая система, имеющая упругие связи в виде г ф о
при г ф о кратных частот иметь не может [6].
При условии ^ ) = 0 величина ^ , определенная выраЖением (23), будет тоЖДественна, равна ну-
лю при всех Xj (t) = ctg Тогда
где х = 0,1,2..
(aT Л
. аъ4
sin(at) + Z-aßbn cos(at) = 0 .
aT n
-= —+ Xn ,
2 2 X ,
aT = n(i+2x) .
Пусть yt - период собственных колебаний динамической системы at =
2n Y,
T =
Y (1 + 2X) 2
Таким образом, справедливы следующие утверждения:
- минимальная амплитуда собственных колебаний упругой недиссипативной одномерной системы равна нулю, и достижения этого значения, то есть гашение процесса собственных колебаний, зависит только лишь от соотношения длины кинематического импульса Т и периода собственных колебаний у. Эффект гашения
, Т 1
достигается при значении к = - = -;
у 2
- при воздействии прямоугольного импульса на конечномерную линейную динамическую модель размерности п для достижения отсутствия собственных колебаний по некоторому направлению у , не совпадающему с направлением воздействия I, необходимо и достаточно обеспечить п кратность собственных значений матрицы В = ЯМ1. Здесь М - матрица инерционных параметров, Я - матрица жесткостей динамической модели;
- минимальная амплитуда собственных колебаний конечномерной системы равна нулю при условии, в
У (1 + 2 г)
котором длина кинематического импульса Т равна ——^ , где х = 0,1,2...
2
Статья поступила 28.11.2013 г.
Библиографический список
1. Вибрации в технике: справочник. В 6 т. М.: Машиностроение, 1981. Т. 6. Защита от вибрации и ударов / под ред. К.В. Фролова. 456 с.
2. Воробьев Н.Н. Теория рядов. М.: Наука, 1979. 408 с.
3. Гонтмахер Ф.Р. Теория матриц: учеб. пособ. для вузов. М.: Физматлит, 1967. 560 с.
4. Рабинович И.М. Расчет сооружений на импульсное воздействие. М: Стройиздат, 1970. 303 с.
5. Динамический расчет зданий и сооружений / М.Ф. Барштейн [и др.]; под ред. Б.Г. Коренева, И.М. Рабиновича. М.: Стройиздат, 1984. 303 с.
6. Соболев В.И., Нгуен Фу Туан. Проявление кратности частот в собственных колебаниях конечномерных систем // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2013. № 3. С. 32-34.
x
