CC BY
13
УДК 621. 757
ГРАФ ВЗАОМОСВЯЗЕЙ ДОПУСКОВ ПРИ АВТОМАТИЗИРОВАННОМ АНАЛИЗЕ СОБИРАЕМОСТИ
© М.А. Гаер1, Д.А. Журавлёв2
Иркутский государственный технический университет, Институт авиамашиностроения и транспорта, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Предлагается новая модель, описывающая взаимосвязи между всеми образующими элементами любых сборок при условии назначения на них допустимых отклонений. Эта модель представляет собой граф, в котором вершинами являются поверхности деталей сборок. Вершины графа могут быть связаны одним или несколькими разными по своей природе ребрами. Такой подход позволяет решать непростые задачи, возникающие при автоматизированном анализе собираемости узлов и агрегатов в машиностроении. Ил. 3. Библиогр. 4 назв.
Ключевые слова: пространственные допуски деталей и сборок; сборка с учетом трехмерных отклонений; анализ сборок с учетом допусков; конфигурационные пространства; САПР.
TOLERANCE RELATIONSHIP GRAPH IN AUTOMATED ANALYSIS OF ASSEMBLABILITY M.A. Gaer, D.A. Zhuravlev
Irkutsk State Technical University, Institute of Aircraft Construction and Transport, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.
The article introduces a new model describing the relationships between all the elements of any assemblies provided that their permissible tolerances are specified. The model has a form of a graph where the surfaces of assembly parts are nodes. The last can be connected by one or more edges of different nature. This approach allows the solution of the complex problems arising in the automated analysis of the assemblability of components and assemblies in mechanical engineering. 3 figures. 4 sources.
Key words: spatial tolerances of parts and assemblies; assembly with regard to three-dimensional deviations; assembly analysis considering tolerances; configuration spaces; CAD.
Несмотря на наличие модуля сборки практически в каждой CAD-системе, моделирование сопряжений или других видов контактов в сборке, отражающих назначенные точностные требования и их влияние на геометрию сборки, до сих пор не нашло адекватного математического представления в работах исследователей. Наиболее распространены методы представления, когда те или иные поверхности контактирующих деталей связываются такими условиями, как совпадение, параллельность, перпендикулярность и т.п., реализуемыми с помощью однородных матриц преобразования. Но такое представление фактически описывает сборку как группу отдельно взятых компонентов, связанных некоторыми (достаточно простыми) геометрическими условиями, и ни в коей мере не отражает ее функциональность и функциональные связи между деталями сборки, призванные обеспечивать эту функциональность при любом изменении геометрии.
Предлагаемое нами в работе [3] топологическое представление сборки позволило моделировать и анализировать сборки и контактные состояния с лю-
бой геометрией и различными видами допустимых отклонений. Здесь мы различаем допуски детали и допуски сборки, что отражает реальную процедуру проектирования. Кроме того, разделение этих понятий играет важную роль в формировании конфигурационных пространств деталей в отдельности и сборок в целом, что позволяет реалистически моделировать сборки с учетом допусков [2].
Однако дальнейшие исследования в направлении автоматизации анализа собираемости привели к тому, что возник ряд задач, заставивший нас взглянуть на этот вопрос еще более широко. В данной статье представлены разработанные авторами новые модели и алгоритмы анализа взаимовлияния допусков деталей и сборок.
Основные понятия
Будем различать общий граф связей допусков (ОГСД) и подграфы определенных связей.
В ОГСД вершинами являются поверхности, которые так или иначе участвовали при назначении допусков:
• базовая поверхность;
1Гаер Максим Александрович, кандидат технических наук, доцент кафедры технологии машиностроения, тел.: 89021709580, e-mail: magaer38@gmail.com
Gaer Maxim, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Technology of Mechanical Engineering, tel.: 89021709580, e-mail: magaer38@gmail.com
2Журавлёв Диомид Алексеевич, доктор технических наук, профессор кафедры технологии машиностроения. Zhuravlev Diomid, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Mechanical Engineering Technology.
• поверхность с допуском (допусками), заданным индивидуально только на нее (например, допуск на диаметр, бочкообразность и т.п.);
• поверхность с совместным допуском между разными поверхностями (например, соосность, параллельность осей и т.п.), в том числе и относительно базовой поверхности (например, допуск перпендикулярности оси относительно базовой плоскости и т.п.);
• поверхность со сборочным допуском, замыкающим уровень сборки (например, посадка с зазором или натягом, параллельность плоскостей разных деталей).
Вершины в ОГСД соединяются ребрами трех типов. Назовем их зелеными, синими и красными.
Зеленые ребра связывают поверхности, между которыми назначен сборочный допуск, замыкающий к-ый уровень сборки (будем называть его замыкающим допуском уровня к) [3]. Таким образом, зеленые ребра будут различаться еще и номером уровня сборки. Такое ребро будем называть зеленым ребром уровня к. Отметим, что замыкающих допусков одного уровня в подсборке может быть несколько.
Синие ребра связывают либо сопрягаемые поверхности разных деталей, либо поверхности одной детали, на которые заданы совместные допуски, но не являющиеся замыкающими.
Красные ребра соединяют поверхности одной детали.
Сами вершины в ОГСД также будем разделять на несколько типов.
Зеленые вершины - это поверхности, на которые заданы замыкающие допуски любого уровня.
Синие вершины - это поверхности, на которые заданы допуски, не являющиеся замыкающими, но, быть может, заданные относительно базы.
Черные вершины - это базовые поверхности, но на которые допуски не заданы.
Две различные вершины могут быть двуцветными - синей и зеленой, и могут быть соединены одним, двумя или тремя ребрами сразу, но разных цветов, либо не соединены вовсе.
Будем также различать ребра короткие и длинные. Красные и синие ребра - все короткие. Зеленое ребро будем называть длинным, если оно соединяет вершины, между которыми кроме этого зеленого ребра нет других ребер. В противном случае зеленое ребро будем называть коротким.
Подграфом зеленых связей (ПГЗС) будем называть граф, полученный в результате анализа ОГСД. В нем вершинами становятся сами зеленые связи (зеленые ребра), а ребра указывают на зависимость этих связей.
Алгоритм построения общего графа связей допусков
ОГСД будем строить индуктивно. Обозначим будущий граф через Г. Вершины (поверхности) добавляются в граф Г по мере назначения на них допусков (при формировании графа сборки с допусками [3]). То есть, если на поверхность Р назначается кокой-либо допуск, то соответствующая ей вершина определенно-
го цвета добавляется в граф Г. Вместе с этой вершиной добавляются синие и зеленые ребра в зависимости от типа назначенных допусков, а также добавляются всевозможные красные ребра, связывающие ее с другими вершинами.
С целью удаления «лишних» красных ребер переходим по каждому из них от вершины Р к вершине р и удаляем инцидентные вершине Р, остальные красные ребра (все, кроме того, по которому пришли).
Отметим также, что два зеленых ребра отличаются номером уровня, если между ними есть красное ребро. Этот факт становится очевидным, если учесть топологическую структуру многоуровневого графа сборки с допусками [3].
Алгоритм построения подграфа зеленых связей
Все зеленые ребра ОГСД «превращаем» в вершины. Поиск связей между этими вершинами проводим следующим образом.
Рассматриваем подряд зеленые ребра первого уровня, потом второго и т.д. Пусть е - очередное длинное зеленое ребро уровня к в ОГСД, и пусть оно связывает вершины у1 и у2. Будем строить циклы, в которых замыкающим ребром будет е, и в которых если встречаются зеленые ребра, то это только ребра уровня к.
Действуем по принципу волнового алгоритма [1]. Выходим из вершины у по каждому инцидентному с ней ребру, кроме ребра е. В следующей вершине у11 ищем инцидентные уже с ней зеленые ребра уровня к, если такое есть, то двигаемся по нему, иначе двигаемся по всем остальным не зеленым инцидентным с у11 ребрам (так как другие зеленые ребра другого уровня). Движение прекращаем, если попадаем в вершину у2 - цикл замкнулся. Все попавшие в этот цикл зеленые ребра уровня к считаем связанными и эту связь отображаем на ПГЗС в виде ребер. Движение также прекращается, если по пути одна и та же вершина встретится дважды или если зайдем в «тупик» (искомого цикла не получится). «Тупик» можем получить в двух случаях: 1) если попадаем в висячую вершину; 2) если попадаем в вершину, которая оказывается связанной с у2, но только зеленым ребром уровня, не равного к.
Применение ОГСД и ПГЗС при анализе собираемости
Рассмотренная выше структура взаимосвязей допусков позволила нам сформулировать и решить ряд задач, связанных с автоматизированным анализом собираемости узлов и агрегатов машиностроения с учетом пространственных допустимых отклонений.
Задача ДП1. Пусть необходимо изменить значение некоторого замыкающего допуска. Тогда возникает вопрос: на какие другие замыкающие допуски может повлиять это изменение?
Соответствующие связи выявляются применением принципа волнового алгоритма, но уже в ПГЗС. Назовем его «зеленая волна». Движение начинается от вершины в ПГЗС, соответствующей изменяемому замыкающему допуску в ОГСД, по всем инцидентным с ней вершинам, затем по инцидентным со следующей
вершиной и т.д. Заканчивается движение при попадании в какую-либо вершину второй раз либо при попадании в «тупик». Все вершины, попавшие под эту волну, считаются ответом на поставленный в данной задаче вопрос.
Задача ДП2. Пусть опять необходимо изменить значение некоторого замыкающего допуска. Вопрос: на какие поверхности это можно сделать?
Решением этой задачи являются циклы ОГСД, в которых замыкающим ребром является ребро, соответствующее рассматриваемому допуску. Это как раз те циклы, которые формируются при построении ПГЗС.
Задача ДП3. Пусть необходимо изменить значение допуска, влияющего на некоторую синюю связь б в ОГСД. Вопрос: на какие другие зеленые и синие связи это может повлиять?
Решение этой задачи выполняется в три этапа. Сначала ищем циклы (также используя принцип волнового алгоритма), в которых ребро в будет замыкающим. При движении от первой вершины этого ребра ко
второй отдаем предпочтение зеленым связям. Далее устанавливаем взаимовлияние полученных зеленых связей друг на друга и на другие зеленые связи, решая для каждой из них задачу ДП1. И наконец, решаем для каждого случая задачу ДП2.
Предобработка
Как мы видим, движение по графу происходит по принципу волнового алгоритма через инцидентные очередной вершине ребра. Для этого удобно использовать специальную структуру данных: реберный список с двойными связями (РСДС) [4].
В качестве примера рассмотрим небольшую сборку - элемент пресс-формы (рис. 1).
Зададим допуски на параллельность плоскости 15 относительно плоскости 45 и плоскости 35 относительно 15. Также зададим различные допуски на некоторые сопрягаемые поверхности: 11 и 211, 12 и 212, 13 и 213 и т.д. Полученный в результате общий граф связей допусков представлен на рис. 2, а подграф зеленых связей - на рис. 3.
Рис. 1. Элемент пресс-формы
\ ; ■.у
- зеленая вершина
- сине-зеленая вершина
- черная вершина
- зеленое ребро
- красное ребро
- синее ребро
Рис. 2. Граф взаимосвязей допусков сборки
Рис. 3. Подграф зеленых связей
По графу, представленному на рис. 3, видно, например, что если изменять значение допуска 11211, то зеленая волна сразу останавливается. А если, скажем, изменить значение допуска 222-32, то зеленая волна пойдет сначала к вершине 15-35, а затем по
инцидентным ей ребрам к другим вершинам, показывая тем самым влияние изменения допуска 222-32 на другие допуски.
Статья поступила 10.12.2013 г.
Библиографический список
1. Автоматизация проектирования технологии в машиностроении / Б.Е. Челищев, И.В. Боброва, А. Гонсалес-Сабатер; под ред. акад. Н.Г. Бруевича. М.: Машиностроение, 1987. 264 с.
2. Гаер М.А., Журавлёв Д.А., Яценко О.В. Конфигурационные пространства поверхностей деталей и сборок // Вестник Иркутского государственного технического университета.
2011. № 10. С. 32-36.
3. Гаер М.А., Плонский П.Л. Топологическое представление сборок и их анализ с учетом допусков // Известия МГТУ «МАМИ». 2008. № 2 (6). С. 361-367.
4. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: введение / пер. с англ. М.: Мир, 1989. 478 с.
УДК 621.06
КОЛЕБАНИЯ КОНЕЧНОМЕРНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО КИНЕМАТИЧЕСКОГО ИМПУЛЬСА
© Нгуен Фу Туан1
Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Приведены методика и алгоритм определения параметров колебаний конечномерных динамических систем под воздействием прямоугольного импульса. Рассмотрены вопросы формирования отсутствия собственных колебаний по некоторому заданному направлению, не совпадающему с направлением воздействия. Полученные результаты сформированы и доказаны математически. Ил. 3 . Библиогр. 6 назв.
Ключевые слова: колебания динамических систем; прямоугольный кинематический импульс; матрицы собственных векторов; собственные значения.
VIBRATIONS OF A FINITE DIMENSIONAL DYNAMIC SYSTEM UNDER RECTANGULAR KINEMATIC IMPULSE Nguyen Phu Tuan
Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.
The article describes the procedure and the algorithm to determine the vibration parameters of finite dimensional dynamical systems under the impact of a rectangular impulse. It treats the problems of generating the absence of free oscillations by a specified direction that does not coincide with the impact direction. The results obtained have been formed and
1Нгуен Фу Туан, аспирант, тел.: 89247085979, e-mail: bennaydaiduong@yahoo.com Nguyen Phu Tuan, Postgraduate, tel.: 89247085979, e-mail: bennaydaiduong@yahoo.com
