Пространственный контакт штампа и составного полупространства при наличии сил трения Текст научной статьи по специальности «Физика»

Изменяя далее значения коэффициента турбулентной диффузии при постоянных значениях скорости ветра и расстояния до точки наблюдения, видим, что с усилением турбулентности приход «пика загрязнений» в пункт М незначительно ускоряется, «эффективная длительность действия ИВ ЗВ» незначительно сокращается. Коэффициент размывания ИВ остается практически неизменным, а временной интервал, на величину которого ускоряется процесс переноса примесей за счет турбулентности, увеличивается.

Кубанский государственный университет________________

Таким образом, разработанная методика позволяет вычислять и исследовать пространственно-временные параметры распространения ЗВ под действием ветра в условиях турбулентности в приземном слое атмосферы. Литература

1. Берлянд М.Е., Генихович ЕЖ Метеорологические аспекты загрязнения атмосферы. Л., 1971.

2. Наац В И. И Тез. докл. 28-й науч.-техн. конф. Ставрополь, 1998.

________________________________________5 декабря 2002 г.

УДК 539.3

ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ КОНТАКТ ШТАМПА И СОСТАВНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА ПРИ НАЛИЧИИ СИЛ ТРЕНИЯ

© 2003 г. М.И. Чебаков

Three-dimensional contact problem of elasticity theory on the impression of a stamp in the form of an elliptic paraboloid on a surface of a layer lying without friction on a half-space with other elastic constants are considered. The area of contact is beforehand unknown and dependent on the value of normal force and tangential force acting on a stamp. It is supposed also, that between the stamp and the layer there are Coulomb friction forces, which are parallel to a direction of tangential force. Integral equations of contact problems are developed. Influence of the Coulomb friction coefficient, shape of the stamp, elastic constants and thickness of the layer to contact stresses, to dependence of vertical displacement of the stamp on pressing force, to the size and the form of the contact area, and finally, to the shape of the free surface of the layer out of the contact area, are investigated.

Учет сил трения в области контакта взаимодействующих тел имеет важное значение при расчете сопряжений деталей машин и механизмов в машиностроении. Особенно это актуально, когда процесс взаимодействия имеет существенно пространственный характер. Ниже рассматривается пространственная контактная задача теории упругости о действии штампа в форме эллиптического параболоида на поверхность слоя толщиной А, лежащего без трения на упругом полупространстве с другими упругими постоянными. Штамп находится под действием нормальной силы Р, прижимающей его к поверхности слоя, и тангенциальной силы Г, действующей на него в перпендикулярном направлении; между штампом и слоем имеют место силы кулоновского трения. Предполагается, что силы трения параллельны направлению действия тангенциальной силы Г. Получено интегральное уравнение поставленной контактной задачи. Исследовано влияние упругих констант и толщины слоя на величину контактных напряжений, на зависимость вертикального перемещения штампа от вдавливающей силы, на величину и форму области контакта и на перемещение точек поверхности слоя вне области контакта.

Случай, когда слой лежит на недеформируемом основании, изучен автором в [1, 2]. В [3] рассмотрен

случай, когда слой жестко соединен с упругим полупространством. В работах других авторов с учетом сил трения рассматривались пространственные задачи для полупространства [4, 5] и клина [6,7].

Предположим, что жесткий штамп лежит на поверхности слоя г = /г и находится под действием нормальной силы Р и тангенциальной силы Т, направленной вдоль оси Ох. Здесь (х,у,г) - прямоугольная система координат, начало которой находится на нижней поверхности слоя. Пусть слой лежит без трения на упругом полупространстве. Предполагая, что силы трения под штампом параллельны силе Т, штамп находится в условиях предельного равновесия и не поворачивается, получим краевую задачу для пространственных уравнений Ляме при следующих граничных условиях:

И'1 = 3~/{х>у\ т\г = *Хуг =° (2 = Ь, (х,у) е О.);

0-1 = г!^ = = 0 (г = к (х,у)еП); (1)

м,1 = уу2, а\ = су], т\г = т1у, =т^ = т^= 0 (г = 0). Кроме того, выполняются условия статики р = Ц<г2(х,у.оуа, т~цр п

и в полупространстве при г —> со перемещения стремятся к нулю.

B(l) u^v^w' - компоненты вектора перемещений соответственно ВДОЛЬ осей X,y,Z , 0’z,?lxz,riyz - компоненты тензора напряжений в слое ((= 1) и полупространстве (i = 2); /л- коэффициент трения; 5-перемещение штампа; f(x,y)- форма основания штампа; Q - область контакта, которая заранее неизвестна и определяется в процессе решения задачи.

Как это было сделано в [1-3], для определения неизвестных контактных напряжений под штампом q(x,y) поставленной контактной задачи получим

интегральное уравнение

\\я(Л^Жх-т],у-^^= • (2)

п

= 7— {8 - f(x, у)),(х,у)еП,

1-г

где G\ - модуль сдвига; Vj - коэффициент Пуассона для слоя. Ядра k(t,r) можно представить в виде двух слагаемых

k{t,T) = kx(t,T)-ek2{t,r), f = //(l-2v'i)/(2-2v1), (3)

k\(t,r) = —r-^—т + °f(A W~t2 + r2)dy,

V/ +г2 0

k2it,T) = -1^+-^\h(}h)-\)Jx^t2 + T2)dy,

t + Г / + T Q

Al(u) = G(1 - V\ )(sh2u + 2m) + (1 - v2 )(ch2u -1 - 2 u),

Л, (“) = “ '-'l ){ch2u -1) + (1 - v2 )(sh2u + 2u) ,

f l2 («) = G0 - v\ ){sh2u + 2m(1 - 2vx )_1) +

+ (1 - v2)(ch2u -1 + 2uz (1-2V,)-1)

L2(u) = fi2(u)/AL(ii). где Jn(x) (n - 0,1) - функции.Бесселя; G2 и v2 -соответственно модуль сдвига и коэффициент Пуассона материала полупространства; G = G\ / G2.

В [3] рассмотрена аналогичная контактная задача для слоя, лежащего на упругом полупространстве, но только при z = 0 заданы условия жесткого соединения слоя и полупространства, а именно, выполняются следующие граничные условия

12 12 1 2 и —и , v = v , w = w ,

_ 1 _ 2 _1 _ 2 1 _,2 / _л\

— CTz > Гк — ^xi > (z — ”) •

Назовем эту задачу задачей 5, а поставленную в настоящей статье - задачей А. Учитывая, что ниже будет проведен сравнительный анализ задач А и Б, приведем вид функций Z,] (и) и Ь2 (и) для задачи 5.

£л (н) = f //, („) = 2к2 (sh2u + 2и) G2 +

D{u)

+ (l bfi\ii2 ch2u + AT]it]2sh2u -Sutj2)G +

+(2к,)5/г2и-4м),

N2 (и) = (2(сА2и +Аи2к2)в2 +

+ (4/712г72сЛ2и+16//1//2715А2м-8м2% +4к\Т]^0 +

+ (2{сЪ2и -1)71 К\ - 4«2),

П(и) = 2 кг (сЪ2и -1-2 и2) С2 +

+ (4?71 т]2сИ2и + \Ь/л\Ц2$Ъ2и + 8м2?/2 -4щт]2) О +

+ (2/С]сИ2и + 4м2 + к-2 +1), где = 1-2у„ к-,- = 3-4у,-, =1—V,-.

Интегральное уравнение (2) только с ядром к\Ц,т) соответствует аналогичной контактной задаче

без учета сил трения.

К интегральному уравнению (2) с ядрами (3) кроме условий статики необходимо добавить также условие для нахождения области контакта, которое формулируется и реализуется при решении интегрального уравнения.

Для решения интегрального уравнения (2) с ядром (3) применим метод нелинейных граничных уравнений, развитый в [8, 9] и использованный с некоторой модификацией в [1-3]. Этот метод позволяет одновременно находить не только функцию распределения контактных напряжений, но и область контакта, а также и перемещения точек поверхности слоя вне штампа в некоторой области, содержащей область контакта.

Штамп имеет форму эллиптического параболоида, поэтому функция /(х,у), стоящая в правой части уравнения (2), примет вид

Дх,у) = х2/(2К1)+У2/(2К2) (Д2 **,).

где и /?2 - радиусы кривизны штампа соответственно в плоскостях у = 0 и д: = 0.

Не останавливаясь на схеме решения интегрального уравнения, которая подробно изложена в [2], приведем результаты расчетов, показавшие, что при заданной силе Р перемещение штампа 3 практически не зависит от коэффициента трения //, но существенно зависит от коэффициента Пуассона у\ и других параметров. В табл. I для задачи А приведены значе-

-5 7

ния перемещения штампа -10 при Р = 10 ; С1=7,0-1010; ц = 0,9 ; ^=0,3; Я,=:Я2=1,0 при некоторых значениях коэффициента Пуассона VI, параметра С и толщины слоя А. Заметим, что при любых Р и С| результаты не меняются, если РЮ\ =сош1, а С и другие независимые параметры фиксированы. Здесь и далее размерные величины указаны в системе СИ.

Здесь же приведены значения безразмерного момента М контактных напряжений под штампом

М* = М(АлС52К2Ух,

М ~ |^(х,у)дгс&с п

и максимальных безразмерных кон-тактных напряжении сгтах = q (х ,0), определяемых формулой

Ъ = .

Отметим, что величина х*

(| х* |< 1) вычислена с абсолютной погрешностью не хуже 0,05, при этом остальные величины вычисляются с относительной погрешностью не хуже 0,1%.

Для сравнения в табл. 2 приведены значения тех же величин для задачи Б.

Как видно из табл. 1, 2, перемещение штампа в задаче А больше, чем в задаче Б при одних и тех же геометрических и механических параметрах.

При постоянной силе Р перемещение штампа 8 в одних случаях уменьшается с увеличением коэффициента Пуассона ( у2= 0,3 ), а в других случа-

ях увеличивается. Последнее может происходить при больших значениях параметра С ( =сопз1), в табл. 1 это ' можно наблюдать в строках 9-12, 31-32.

Из табл. 1, 2 также видно, что при малых значениях параметра б ((?2 > С7)) при изменении коэффициента Пуассона слоя от 0 до 0,5 происходит уменьшение момента контактных напряжений, в некоторых случаях может происходить изменение знака момента контактных напряжений. В табл. 1 это можно наблюдать в строках 2-3, 5-6, а в табл. 2 - в строках 2-5.

Следует также отметить, что координата х* точки области контакта, в которой контактные напряжения принимают максимальные значения, существенно зависит от коэффициента Пуассона У\: при его изменении от 0 до 0,5 происходит перемещение этой точки в отрицательном направлении оси х, в некоторых случаях

значение х* может быть отрицательным (см. в табл. 1 строку 1, в табл. 2 - строки 1, 4).

Таблица 1

№ п/п ^1 Н в 8 -103 Ъ стшах * X М*

1 0,4 0,02 0,0 0,509 0,0319 0,537 -0,1 -0,0556

2 0,285 0,02 0,0 0,554 0,0333 0,557 0,0 -0,000416

3 0,28 0,02 0,0 0,556 0,0334 0,558 0,0 0,00175

4 0,1 0,02 0,0 0,626 0,0354 0,581 0,1 0,0683

5 0,4 0,02 0,25 0,728 0,0382 0,387 0,0 -0,0101'

6 0,1 0,02 0,25 0,829 0,0407 0,447 0,1, 0,0484

7 0,4 0,02 0,5 0,966 0,0440 0,295 0,0 0,00102

8 0,1 0,02 0,5 1,04 0,0456, 0,358 0,1 0,0354

9 0,4 0,02 1,5 3,01 0,0776 0,105 0,2 0,00161

10 0,1 0,02 1,5 2,15 0,0655 0,170 0,2 0,0112

11 0,4 0,02 2,0 4,39 0,0937 0,588 0,3 0,000742

12 0,1 0,02 2,0 3,19 0,0798 0,116 0,3 0,00545

13 0,4 0,05 0,0 0,725 0,0381 0,355 0,1 0,0112

14 0,1 0,05 0,0 0,920 0,0429 0,364 0,2 0,0612

15 0,4 0,05 0,25 0,857 0,0414 0,319 0,1 0,0131

16 0,1 0,05 0,25 1,05 0,458 0,333 0,2 0,0508,

17 0,4 0,05 0,5 0,992 0,0445 0,291 0,1 0,0132

18 0,1 0,05 0,5 1,18 1 0,0485 0,308 0,2 0,0432

19 0,4 0,05 1,5 1,97 0,0628 0,195 0,1 0,00538

20 0,1 0,05 1,5 1,79 0,0599- 0,235 0,2 0,0216

21 0,4 0,05 2,0 2,70 0,0735 0,162 0,1 0,00316 .

22 0,1 0,05 2,0 2,31 0,0679 0,203’ 0,2 0,0140

23 0,4 0,1 0,0 0,854 0,0413 0,316 0,1 0,0169

24 0,1 0,1 0,0 1,11 0,0470 0,315 0,25 0,0516

25 0,4 0,1 0,25 0,924 0,0430 0,302 0,1 0,0161

26 0,1 0,1 0,25 1,18 0,0486 0,304 0,25 0,0467

27 0,4 0,1 0,5 1,00 * 0,0447 0,290 0,1 0,0149’

28 0,1 0,1 0,5 1,25 0,500 0,294 0,25 0,0422

29 0,4 0,1 1,5 1,51 0,0549' 0,235 0,1 0,00758

30 0,1 0,1 1,5 1,58 0,563 0,260 0,2 0,0280

31 0,4 0,1 2,0 1,88 0,0613 0,209 0,1 0,00522

32 0,1 0,1 2,0 1,85 0,0609 0,240 0,2 0,0208

33 0,4 0,5 0,0 0,977 0,0442 0,293 0,1 0,0161

34 0,1 0,5 0,0 1,29 0,0508 0,289 0,25 0,0411

35 0,4 0,5 0,25 0,992 0,0445 0,291 0,1 0,0157

36 од 0,5 0,25 1,31 0,0511 0,288 0,2 0,0401

37 0,4 0,5 0,5 1,01 0,0449 0,289 0,1 0,0152

38 0,1 0,5 0,5 1,32 0,0514 0,286 0,25 0,0393

39 0,4 0,5 1,5 1,11 0,0471 0,275 0,1 0,0123

40 ОД 0,5 1,5 1,39 0,0527 0279 0,2 0,0357

41 0,4 0,5 2,0 1,18 0,0487 0,267 0,1 0,0110

42 0,1 0,5 2,0 1,44 0,0537 0,274 0,2 0,0332

Таблица 2

№ п/п *1 А є £•10 Ь - °тах ♦ X М*

1 0,4 0,02 0,0 0,42 0,0293 0,660 -0,1 -0,0427

2 0,35 0,02 0,0 0,46 0,0306 0,638 0 -0,000683

3 0,1 0,02 0,0 0,61 0,0352 0,597 0,15 0,0905

4 0,4 0,02 0,1 0,49 0,0316 0,581 -0,05 -0,0145

5 0,1 0,02 0,1 0,68 0,0371 0,543 0,15 0,0831

6 0,4 0,02 0,25 0,59 0,0346 0,495 0 0,00394

7 0,1 0,02 0,25 0,79 0,0398 0,479 0,2 0,0724

8 0,4 0,02 0,5 0,75 0,0389 0,395 0 0,0139

9 0,1 0,02 0,5 0,95 0,0436 0,402 0,2 0,0582

10 0,4 - 0,02 1,5 1,32 0,0514 0,214 0,15 0,0137

11 0,1 0,02 1,5 1,50 0,0548 0,242 0,25 0,0301

12 0,4 0,02 2,0 1,57 0,0560 0,173 0,2 0,0115 •

13 0,1 0,02 2,0 . 1,75 0,0591 0,201 0,3 0,0237

14 0,4 0,05 0,25 0,76 0,0390 0,350 0,1 0,0157

■15 0,1 0,05 0,25 1,01 0,0450 0,344 0,2 0,564 '

16 0,4 0,05 0,5 0,85 0,0413 0,324 ОД 0,0157

17 0,1 0,05 0,5 1,11 0,0471 0,322 0,25 0,0502

18 0,4 0,05 1,5 1,19 0,0488 0,259 0,1 0,0135

19 0,1 0,05 1,5 1,45 0,0539 0,267 0,2 0,0337

20 0,4 0,05 2,0 1,34' 0,0517 0,239 0,1 0,0122

21 0,1 0,05 2,0 1,61 0,0567 0,248 0,2 0,0289

22 0,4 . 0,1 0,25 0,86 0,0417 0,314 0,1 - 0,0172

23 0,1 0,1 • 0,25 1,16 0,0481 0,308 0,25 0,0489

24 0,4 0,1 0,5 0,92’ 0,0429 0,303 0,1 0,0166

25 0,1 0,1 0,5 1,21 0,0492 0,300 0,25 0,0453

26 0,4 0,1 1,5 1,11 0,0471 0,275 0,1 0,0134

27 0,1 0,1 1,5 1,41 0,0530 0,276 0,25 0,0354

28 0,4 0,1 2,0 1,19 0,0487 0,264 0,1 0,0124 ■

29 0,1 0,1 2,0 1,49 0,0546 0,267 0,25 0,0322

Было проведено также численное исследование вертикальных ' перемещений точек поверхности СЛОЯ 2 = А и формы области контакта. Здесь также наблюдается существенная зависимость этих характеристик от коэффициента Пуассона , толщины слоя А и от коэффициента трения /л .

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 02-01-01146

Литература

1. Чебаков МИ II Докл. РАН. 2002. Т. 383. №1. С. 67-70.

2. Чебаков МИ. II МТТ. 2002. №6. С. 59-68.

3. Чебаков МИ II Современные пробле-• мы механики сплошной среды: Тр. 8-й

между нар. науч. конф. 15-17.10 2002. Ростов н/Д, 2003. С. 210-214.

4. Галин Л А, Горячева ИГ. // ПММ. 1982. Т. 46. Вып. 6. С. 1016-1022.

5. Кравчук А С. II Трение и износ. 1981. Т. 2. №4. С. 589-595.

6. Пожарский ДА II Докл. РАН. 2000. Т. 372. № 3. С. 333-336.

7. Пожарский ДА II ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 1. С. 151-159.

8. Галанов Б А. И ПММ. 1985. Т. 49. Вып. 5. С. 827-835.

9. Галанов Б А. II Докл. АН СССР. 1987. Т. 296. №4. С. 812-815.

НИИ механики и прикладной математики РГУ

11 марта 2003 г.