Асимптотический метод расчета двухслойного сферического подшипника скольжения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

АСИМПТОТИЧЕСКИМ МЕТОД РАСЧЕТА ДВУХСЛОЙНОГО СФЕРИЧЕСКОГО ПОДШИПНИКА СКОЛЬЖЕНИЯ

© 2008 г. М.И. Чебаков1, П.Г. Иваночкин2, П.А. Кармазин2

НИИ механики и прикладной математики им. И.И.Воровича Южного федерального университета 344090 г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки 200/1, Тел. (863)2975248, chebakov@math.rsu.ru

2Ростовский государственный университет путей сообщения, Ростов-на-Дону, пл. Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, 2. Тел. (863)2726349, prkom_ivan@rgups.ru

1The Vorovich I.I. Research Institute of Mechanics and Applied Mathematics of Southern Federal University

Rostov-on-Don, Stachka 200/1. Tel. (863) 2975248, chebakov@math.rsu.ru

2Rostov State Transport University, Rostov-on-Don, sq. Rostovskogo Strelkovogo Polka Narodnogo Opolchehija, 2. Tel. (863) 2726349, prkom_ivan@rgups.ru

Рассматривается осесимметричная контактная задача теории упругости о взаимодействии абсолютно жесткого шара (штампа) с внутренней поверхностью сферического основания, состоящего из двух сферических слоев с различными упругими постоянными. Внешняя поверхность основания закреплена, слои между собой жестко соединены, в зоне контакта отсутствуют силы трения. Такая задача может служить расчетной моделью для двухслойного сферического самосмазывающегося подшипника скольжения.

Для поставленной задачи теории упругости впервые построены интегральные уравнения, решение которых для относительно малых толщин слоев получено с использованием асимптотического метода, основанного на сведении парного ряда-уравнения к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений с сингулярной матрицей и специальной аппроксимации символа его ядра. Произведен расчет распределения контактных напряжений, параметров области контакта и перемещения штампа для разных значений исходных параметров.

Ключевые слова: теория упругости, контактная задача, сферический слой, сферический подшипник, асимптотический метод, контактные напряжения, область контакта.

The axisymmetric contact problem of the elasticity theory about the interaction of the absolutely rigid sphere (stamp) with the internal face of the spherical foundation, composed of the two spherical layers with the various elastic constant is considered. The external surface of the foundation is fixed, the layers are rigidly connected among themselves, the frictional forces are missed in the contact area. Such problem might be served as the estimated model for the two-layer spherical self lubricated slider bearing.

The integral equations for the posed problem of the elasticity theory are constructed. Solution of them is obtained for comparatively small thicknesses of the layers with the use of the asymptotic method, based on the reduction of the pair row-equation to the infinite system of the linear algebraic equations with the singular matrix and the special approximation of the kernel symbol, are first constructed for the posed problem of the elasticity theory. The contact stresses distribution, the characteristic of the contact area and the stamp displacements for the various values of the original characteristic are estimated.

Keywords: the theory of elasticity, contact problems, spherical layer, spherical bearing, asymptotic method, contact stress, contact area.

Постановка задачи теории упругости В сферических координатах (r, 0, р) рассмотрим

Рассматривается осесимметричная контактная задача теории упругости о взаимодействии абсолютно жесткого шара (штампа) с внутренней поверхностью сферического основания, состоящего из двух сферических слоев с различными упругими постоянными. Внешняя поверхность основания закреплена, слои между собой жестко соединены, в зоне контакта отсутствуют силы трения. Такая задача может служить расчетной моделью для двухслойного сферического самосмазывающегося подшипника скольжения.

Для поставленной задачи теории упругости впервые построены интегральные уравнения, решение которых для относительно малых толщин слоев получено с использованием асимптотического метода [1], основанного на сведении парного ряда-уравнения к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений с сингулярной матрицей и специальной аппроксимации символа его ядра. Произведен расчет распределения контактных напряжений, параметров области контакта и перемещения штампа для разных значений исходных параметров.

В [1] рассмотрена аналогичная задача для однослойного сферического основания.

два сферических слоя Я, < г < Я2 (слой 1) и Я2 < г < Я3 (слой 2) с различными упругими постоянными (- модуль сдвига; у1 - коэффициент Пуассона; I - номер слоя) и жестко соединенных по сферической поверхности г = Я2 . Пусть поверхность г = Я3 неподвижна, а в поверхность г = Я вдавливается силой Р штамп в форме шара радиуса Я0 = Я, -А с точкой первоначального касания г = Я,, р = 0 . Предполагаем, что трение между штампом и сферическим слоем отсутствует, сила Р направлена вдоль прямой <р = 0 , а величина А мала (рисунок). В этом случае приходим к решению осесимметричной краевой задачи для уравнений Ляме в сферических координатах со следующими граничными условиями:

и® = (5 + А)^р-А , т< = 0 (г = Я1, | р\<у), (1) ^ = о, г® = 0 (г = Я,, \р\>у), иг2 = и< = 0 (г = Я3),

Г,ф

и\.1 = и\.2, = иф2,

т(1) = т(2)

Гф Гф ,

^ =а(2 ( г = r2).

Здесь 3 - смещение штампа; и(г') - перемещение вдоль оси г ; ст^ , т<(г) - компоненты тензора напряжений (г = 1;2); \ р \< у - область контакта.

Схема двухслойного подшипника

Разыскивается решение уравнений Ляме в виде разложений

ТО

и() = £акш(\г)Рк (со*р) , к=0

u У = X akV('(r Pk (cos p)

k=0 d(p

( )

d

(2)

X akpk (cos p) = 0 (r< p <ж\

k=0

(3)

Сг 1

f(р) = ТТ7°—-((3 + А)соя р-А) , ak = k + - . R1(l -V-) 2

Неизвестные контактные напряжения под штампом аг (Яг, р) = q(р) определяются через решение

парного ряда-уравнения (3) из соотношения

ад

q((p) = £ akPk (cosp) . k =0

В (3) функция K(u) получена с использованием программы аналитических вычислений MAPLE, она имеет довольно громоздкую структура и поэтому не представляется возможным полностью привести ее здесь, но основные ее свойства изучены, напри-

K(u)

мер, K (u) представимы в виде K (u) =

K 2(u)

Ki (и) = О (и) + Оцл (и) + ъ0 (и), где О = О2/Ог, а найденные функции ^ (и) содержат степенные и

экспоненциальные функции аргумента и, зависят только от коэффициентов Пуассона материала слоев и отношения радиусов г2 = Я2/ Яг, г3 = R3/R1. Поведение функции К (и) на бесконечности и при и = 0 дается соотношениями

А

K (u) = И u + O(H u 2) (u ^ю), K(0) = A = -

2

Величины A имеют громоздкий

(4)

вид

где и у - перемещение вдоль оси у ; Рк (со* р) - полиномы Лежандра. Подставляя (2) в уравнения Ляме, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно W(/)(r) и У(/)(г), решив которую, найдем (г = 1, 2)

W(i)(r) = АгР-гк+1 + ВД2г-к + СД2гк-1 + БД~к-2 ,

Гк0)(г) = АгУ-Гк+1 + ВгУ2Г~к + Су3Гк-1 + БуГ~к-2 .

Здесь введены следующие обозначения: Д = ¡(к + 1)(к + 2) - (Л + 2Ж)к(к +1), Рг = Ж(к -1) + (Л + 2/и)к(к +1), у = -(Л + Ж)(к +1)-2(Л + 2Ж) , у2 = (Л+Ж)к-2(Л+2Ж), у3 =-(Л + Ж)(к-1)-2(Л + 2Ж), у4 = (Л + ж)(к + 2) -2(Л + 2Ж).

Удовлетворяя граничным условиям (1), для нахождения неизвестных коэффициентов а получим парный ряд-уравнение

то

£ акК(ак)Рк (сояр) = f (р) (0 < р <у),

к=0

Аг = О Ъ2 + ОЪ,1 0 .

В табл. 1 приведены значения коэффициентов г]ы при некоторых значениях параметров г и V ^ (г = 2,3 ;

] = 1,2), при этом полагаем ъ12 = 1, что не нарушает общности и означает деление числителя и знаменателя дроби (4) для А на одно и то же число г/12 .

Таблица 1

Значения коэффициентов г}у

r2 r3 Ч Пм Лю Л22 Л21 Л 20

1,05 1,1 0,3 0,4 0,583 -0,00314 49,4 -0,122 -0,000654

1,1 1,15 0,3 0,4 0,284 -0,00273 25,0 -0,0998 -0,00109

1,1 1,2 0,3 0,4 0,574 -0,0102 25,0 -0,163 -0,00410

1,1 1,3 0,3 0,4 1,17 -0,0362 25,0 -0,210 -0,0145

1,1 1,4 0,3 0,4 1,77 -0,0728 25,0 -0,182 -0,0292

1,1 1,5 0,3 0,4 2,36 -0,116 25,0 -0,106 -0,0467

1,2 1,6 0,3 0,4 1,13 -0,0943 12,9 -0,000885 -0,0701

Решение парного уравнения.

Асимптотический метод

В реальных самосмазывающихся подшипниках скольжения толщина слоев мала по сравнению с их радиусом, поэтому относительные радиусы г2 и г3 близки к единице. В этом случае, как показывают расчеты, А является малой величиной (А < 0,5), и поэтому ассимтотическое решение парного ряда-уравнения (3) при малых А может быть получено на основе метода, изложенного в [1, 2]. Не останавливаясь подробно на изложении этого подхода, приведем окончательные выражения для определения распределения контактных напряжений ц(р), перемещения штампа 3 и области контакта у при заданном значении действующей силы Р и других параметров. От-

F =

Fi =

п

п

yi = 2Re

метим только, что идея метода основана на сведении 2чГа

парных рядов-уравнений к бесконечной системе ли- " нейных алгебраических уравнений первого рода с сингулярной матрицей и получении ее асимптотического решения при малых А после аппроксимации функции К (и) функцией К *(и) = и ~1ЖАи .

Максимальная относительная погрешность такой аппроксимации, например, при О = 1, v1 = v2 = 0,3 , г2 = 1,1 и г3 = 1,4 не превосходит 8,4 %. С увеличением О и уменьшением г2 и г3 погрешность аппроксимации будет уменьшаться. Однако при этом приведенное ниже асимптотическое решение будет иметь 3 = значительно меньшую погрешность [1].

Используя результаты монографии [2] для расчета контактных напряжений аг (Я ,р) = ч(р), получим следующие соотношения: О1

N

ln2Re( К * (1/2))

snyn

1^„2 + 9/4)

iJa * n

ln4Re[ z(r) K * (3 / 2)] _2

2

sny„

+ 9/4)

уП = Re[K*(1/2)(iS2/2 + 9Sn/4 + 9i/8)(Sn + i/2)-1];

^f+4sn+f )k * f f k+3;

Перемещение штампа дается соотношением

1-VL р* + piA>2-1 _Д .

RiY

Здесь N = Е[(5/(2е))2/5], где E[...] - целая часть от числа; е - заданная точность.

Числовые расчеты На основе приведенных выше формул был проведен расчет угла области контакта у (град.), перемещения штампа 3 и контактных напряжений ч(р) в точках рп =уп /5 (п = 0,1,2,3,4), величины параметра А при некоторых значениях О, Р* = Р / О1, А, г2 и г3. Результаты расчетов при Я = 1, у1 = 0,3 и у2 = 0,3 приведены в табл. 2, в которой

Чп = Ч(Рп )/О1 .

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (гранты 08-08-00873, 06-08-01257).

Таблица 2

Значения величин области контакта, смещения штампа и контактных напряжений

q(p) =

Ч\(ф) =

Ri(1 -Vi)

у

[-Д^ф) + (S + Ä^G?)],

Ч2 (ф) =

K (1/2) У

1 +

sm у ™ м _(y_V)sn

--2 xne (У ф) s

sm ф n=1

(ф> 0),

K (3/2)

cosp + J2x2e-(y-PSn

sm ф n=1

-1 sn T

где xn = Im

2S„

K * (1 / 2) Sn+ i/2

3sn

2S

Im

z(y)

(ф> 0) K * (3/2)

s+3i/2

z(y) = f 1<хиу-^sm у

п (2n -1)!!

3 'У n 2ä4Ä (2n - 2)!!' A Г(1/2 - iuÄ /п)

K +(u) =

п Г(1 - iuÄ /п) (Г(x) - гамма-функция).

При ф = 0 q1 ф) = -

У

Ч2(ф) =■

У

К (1/ 2) " К (3/ 2) Для нахождения величины области контакта у имеем уравнение

2Re

z(y) K _

* I 3 2

-дрК(3/2)Ке

2 K (1/2)

P - сила, действующая на штамп.

т 1 -

Л r1 у

i 1 n

12 )_

Л

P + P Д

где P = P / G1;

P =

P2 =

п

уК (1/2)

2п

3уК (3/2)

(sin2 у + 2S1);

(1 - cos3 у + 3S2);

G у S-104 Ч0 -103 q -103 q2 -103 q3 -103 q4 -103 Ä

* P = 0,001, Д = 0,0001, r2 = 1,1, r3 = 1,2

0,2 56,0 1,06 0,752 0,725 0,645 0,515 0,338 0,215

0,5 51,2 0,700 0,898 0,889 0,762 0,596 0,370 0,114

2,0 45,4 0,462 1,13 1,08 0,950 0,734 0,438 0,0589

5,0 43,4 0,405 1,22 1,17 1,03 0,792 0,468 0,0476

P* = 0,001, Д = 0,0001, r2 = 1,05, r3 = 1,2

0,2 57,6 1,30 0,705 0,680 0,610 0,493 0,334 0,291

0,5 52,5 0,776 0,856 0,823 0,728 0,571 0,359 0,133

2,0 43,7 0,413 1,21 1,16 1,02 0,783 0,464 0,0491

5,0 39,9 0,318 1,43 1,38 1,21 0,924 0,539 0,0318

S = sin у 2

n=S„ + 9/4

+ -Ft sin 2у (i = 1,2).

x1 = s„ Re

( К _(1/2)Л

S__ i/2

X2 = 2sn Re

z(у)

К_(3/2) Sn _3i/2

Литература

1. Александров В.М., Чебаков М.И. К теории расчета цилиндрического подшипника // МТТ. 2004. № 1. С. 22-30.

2. Александров В.М., Чебаков М.И. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости. М., 2004.

Поступила в редакцию

11 сентября 2007 г.

n

n

2

n

N

X

n